基于遗传算法与模拟退火算法的旅行商问题研究

基于遗传算法与模拟退火算法的旅行商问题研究赵自明11(厦门大学信息科学与技术学院，计算机科学系，邮编361005)A study of Genetic Algorithm and Simulated Annealing for Traveling Salesman ProblemZiming Zhao1(xiamen university information science and technology school ，computer science department)Abstract:(null)Key words: Genetic Algorithm Simulated Annealing TSP摘要:启发式算法被用来求解NP难问题，遗传算法是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。

模拟退火算法是一种通用概率算法，用来在一个大的搜寻空间内找问题的最优解。

两种算法各具优势，本文主要研究学习遗传算法和模拟退火算法，并在此基础之上结合两算法的优点，将遗传算法和模拟退火算法思想相结合研究旅行商问题。

关键词遗传算法模拟退火算法旅行商问题1.TSP问题描述旅行商问题是组合优化问题领域中的著名难题之一。

问题描述：旅行商从驻地出发，经过每个所要访问的城市一次且只经过一次，并最终返回驻地。

问如何安排旅行的路线使得旅行的总路程最短。

旅行商问题在军事通讯电路板的设计大规模集成电路基因排序等领域具有广泛的应用。

给定一个完全无向带权图G=（V,E），其中每一边有一非负权值（代价）w(u,v)。

目的是要找到G的一条经过每个顶点一次且仅经过一次的回路，即汉密尔顿回路{v1,v2,…v n}使得回路的总权值和最小。

即：对于这种类型的旅行商问题，如果顶点数为|V|，则搜索空间是|V|顶点的一个全排列，其大小为|V|！2.遗传算法求解TSP2.1 遗传算法介绍遗传算法是从代表问题可能潜在的解集的一个种群（population）开始的，而一个种群则由经过基因（gene）编码的一定数目的个体(individual)组成。

每个个体实际上是染色体(chromosome)带有特征的实体。

染色体作为遗传物质的主要载体，即多个基因的集合，其内部表现（即基因型）是某种基因组合，它决定了个体的形状的外部表现，如黑头发的特征是由染色体中控制这一特征的某种基因组合决定的。

因此，在一开始需要实现从表现型到基因型的映射即编码工作。

由于仿照基因编码的工作很复杂，我们往往进行简化，如二进制编码，初代种群产生之后，按照适者生存和优胜劣汰的原理，逐代（generation）演化产生出越来越好的近似解，在每一代，根据问题域中个体的适应度（fitness）大小选择（selection）个体，并借助于自然遗传学的遗传算子（genetic operators）进行组合交叉（crossover）和变异（mutation），产生出代表新的解集的种群。

这个过程将导致种群像自然进化一样的后生代种群比前代更加适应于环境，末代种群中的最优个体经过解码（decoding），可以作为问题近似最优解。

遗传算法伪代码：GA()1 t←0; initialize Pop(t) with N chromosomes Pop i(t)2 while not (terminating condition) do3 for i ←1 to N do f i← f(Pop i(t))4 for i ←1 to N do5 NewPop i(t+1)←randomly choose Pop i(t)∈Pop(t)with p j=f j/(∑k f k)6 CrossPop(t+1) ← recombine(NewPop(t+1)) with p c7 MutPop(t+1) ← mutate(CrossPop(t+1)) with p m8 Pop(t+1)←MutPop(t+1)9 t ← t+1遗传算法包括以下几个重要的部分：1)编码和初始群体的生成2)适应度函数3)选择算子4)杂交算子5)变异算子6)终止条件[1]遗传算法作为一种全局最优算法，具有简单通用、健壮性强、适于并行处理以及高效、使用，具有智能求解许多复杂问题的能力，在组合优化问题，而本文所研究的正是组合优化问题中的经典问题TSP、神经网络学习。

模式识别等领域得到了广泛的应用。

缺点是待定参数太多，计算速度比较慢。

2.2遗传算法解TSP2.2.1染色体和种群编码旅行商问题的解形式为1N的全排列，不同城市构成染色体上的基因，由这些基因构成基因序列即染色体。

基因编码形式为：n，其中，n为1到N中的任意数字。

染色体直接表示旅行商问题的任意解，染色体有自身的适应生存的能力，本文中称为适应度。

适应度越大，生存能力越强，越能够在竞争中获胜而生存或者参与配对产生下一代。

旅行商的解是最小化问题，需用一个足够大的数字减去路程总权值和，可得到染色体适应度。

染色体编码为：{H，fitness}，其中H 为哈密顿回路，亦可认为是染色体编码，fitness为染色体适应度。

种群的由大量的染色体构成。

种群的大小即为种群中染色体的个数。

种群亦有自身的适应度，它的适应度是所有染色体适应度的总和。

种群的适应度表征种群的生存能力，种群的适应度越强，种群的生存能力越强，种群的适应度应该在进化过程中逐渐变强。

种群的编码为：{chroms,sumFitness}，其中，chroms 为染色体集合，sumFitness为种群的适应度。

2.2.1进化的过程A：优胜劣汰（精英策略）进化的目的是为了让种群的适应能力更强，必须留下适应能力最强的染色体参与到下一代。

采用精英策略，从旧的种群中选取出适应能力最强的个体（染色体），作为新的种群的第一个成员。

B：交叉配对种群进化的动力是交叉配对，通过从旧的种群中选取双亲，双亲染色体交叉，产生具有新的适应能力的下一代，并且通过多次染色体交叉尽量产生适应能力强的下一代。

染色体交叉方法由下表2-1表示：表2-1 表格横向表示，parent1的染色体序列为ABCDIEFGH ，parent2的染色体序列为IGCEHFBAD ，按照表中颜色所示的方式进行染色体交换，v1和v1+为临时染色体，最终生成的染色体为child1，其序列为：CHBDIEFAG 。

Child2染色体的生成方式也类同child1。

染色体的交叉配在选取配偶（双亲）上考虑了双亲的适应度，选取方式采用轮盘法，具体参见程序。

C:变异种群的进化还需变异推波助澜，由于交叉配对过程只考虑了来自上一代的基因，很容易使解陷入僵局，为了使得解更加活跃，给新的种群注入新的活力，算法中需要引入变异因子，在TSP 问题中，变异通过交换解的两个基因的位置，并且选取适应度增强的变异基因，变异原理如下表2-2所示。

表2-2 表格横向表示chrom 的染色体序列为ABCDIEFGH,MutChrom 为变异染色体，序列为：ABFDIECGH ，蓝色单元表示交叉位置种群考虑了繁殖的世代数，世代数越多，种群的适应能力越强，但所耗费的时间将增加。

需要在时间和解的质量上找到平衡点。

下图2-1考虑了300代的进化过程：图2-1 X 轴表示种群的世代序列，Y 轴表示染色体所具有的权值，和哈密顿回路的权值对应。

红色粗线表示解的权值，绿线表示通过确定性算法得到的最优解，上图反应了经过世代繁衍，染色体所具有的权值越来越接近最优解，上图为种群的大小399，繁殖的世代数为300，种群杂交率为0.85，种群的变异率为0.15，满足以上参数的N=20的实例3.模拟退火算法求解TSP3.1模拟退火算法介绍模拟退火算法原理和金属退火的原理相似：我们将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点作为成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。

算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：1）由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

2）计算与新解所对应的目标函数差。

因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。

事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

3）判断新解是否被接受，判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。

4）当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。

此时，当前的解完成一次迭代。

可在此基础上开始下一轮试验。

而当新解被判定为舍弃时，则在原解的基础上继续下一轮试验。

模拟退火算法伪代码如下：SA()1 choose an initial solution X0randomly2 give an initial temperature T0 , X ← X0, T ← T03 while the stop criterion is not yet satisfied do4 for i ← 1 to L do5 pick a solution X'∈N(X) randomly6 Δf ← f(X')-f(X)7 if Δf<0 then X ← X'8 else X ← X' with probability exp(- Δf/T)9 T← g(T) //generally, T ← aT10 return X模拟退火算法适合解决组合优化问题，一般包括以下几个要素：1）初始问题T02）评价函数f(X)3）领域N(X)4）平衡参数L5）Metropolis接受准则6）冷却机制[1]SA的优点在于简单通用，具有理论上的收敛性，而且具有概率跳坑的能力，即具有逃离局部陷阱的能力，在给定温度下，模拟退火算法不但能进行局部搜索，而且能以一定的概率接受较差的解，从而使搜索过程减少了陷入局部最优的机会。

缺点是为了寻找到全局最优解，需要慢慢的退火，因此所花的时间长，特别是有关冷却机制的参数难以控制。

而且当目标函数具有较深的局部优势时，仅仅利用随机扰动的跳坑机制也无能为力。