八年级数学分解因式4
八年级数学上册：《因式分解》的4种基本方法,例解+练习高清图片,可保存
八年级数学上册：《因式分解》的4种基本方法，例解+练习高清图片，可保存因式分解是初中数学中一个非常重要的概念，了解和掌握因式分解的方法非常有必要。
因此，本文将详细介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法和例解和练习的高清图片。
首先，介绍因式分解的定义：因式分解的意思就是将一个多项式拆分成多个因子，使其值等于原来的多项式的值，并且多项式中的次数不会发生变化，从而达到简单化或剖析多项式的表达式的目的。
其次，介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法：1. 查表法。
查表法是把因式表中的每一项拿出来，然后用多项式中的每一项去比较，如果多项式的某一项是因式列表中某一项的整数倍，就将该因式提取出来，然后分解。
2. 平方差分解法。
找出一个最大的可以合成该多项式中所有次数和为偶数，最高次为偶数的平方差，然后把该多项式拆分成两个多项式，一个多项式中各项次和为x2，另一个多项式中各项次和为x，然后将两个多项式分别用此法求解得出各自因式。
3. 系数法。
如果可以找出多项式中最高次的系数，并将它简化为若干个合数的乘积的形式，然后再将各个因式拆分成单项式，最后将它们一一相乘，即可得到最终的结果。
4. 因式分解辗转相除法。
该方法是把多项式中的每一项的系数提取出来，然后拿系数中的每一项去比较，查找出最大的可以相除的因子，将其因子提取出来，放入前一项，然后再用辗转相减、相除法求出结果。
最后，例解+练习高清图片可直观地帮助学生理解因式分解的方法，加深印象，让学生在掌握并灵活运用这一方法时不会出现停滞，而是可以轻松应对考试中的试题。
综上所述，八年级数学上册中因式分解的4种基本方法都是可有效分解多项式的有效方法，通过举例教学+练习，可以有效帮助学生理解这一概念，加深对因式分解这一技能的掌握。
八年级因式分解法的四种方法
八年级因式分解法的四种方法在八年级数学课程中，因式分解是一个重要的内容。
下面我将介绍四种常见的因式分解方法，希望能够满足你的需求。
1. 公因式提取法：公因式提取法是最常见的因式分解方法之一。
它适用于多项式中存在公共因子的情况。
首先，找出多项式中的公因式，然后将这个公因式提取出来，剩下的部分进行简化。
例如，对于多项式2x^2 + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。
2. 完全平方公式：完全平方公式是因式分解中常用的方法之一，适用于形如a^2 + 2ab + b^2或a^2 2ab + b^2的多项式。
利用完全平方公式，我们可以将这些多项式分解成两个平方的和或差。
例如，对于多项式x^2 + 6x + 9，可以将其分解为(x + 3)^2。
3. 分组分解法：分组分解法适用于四项式中存在两对互补的项的情况。
首先，将四项式中的项进行分组，然后在每个组内进行因式分解，最后再进行合并。
例如，对于多项式x^3 + 2x^2 + 3x + 6，可以将其分组为(x^3 + 2x^2) + (3x + 6)，然后在每个组内进行因式分解，得到x^2(x + 2) + 3(x + 2)，最后合并得到(x^2 + 3)(x + 2)。
4. 平方法：平方法适用于三项式中存在平方项和线性项的情况。
它的思路是将三项式中平方项的系数和线性项的系数相乘，然后找到一个数使得它的平方等于这个乘积，然后利用这个数进行分解。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，我们可以将5乘以6得到30，找到一个数使得它的平方等于30，即5，然后将多项式分解为(x + 2)(x + 3)。
这些是八年级常见的因式分解方法，每种方法都适用于不同的多项式形式。
在实际应用中，可以根据多项式的特点选择合适的因式分解方法。
希望这些解释能够帮助你更好地理解因式分解的方法。
数学：人教版八年级上册《因式分解》
7．分解因式：27x2＋18x＋3. 3(3x＋1)2
8．分解因式：4x(x＋y)＋y2. (2x＋y)2
【解析】ax2－ay2＝a(x2－y2)＝a(x＋y)(x－y)．
【答案】C
2．(2010·安徽)下列因式分解错误的是( ) A．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B．x2＋6x＋9＝(x＋3)2 C．x2＋xy＝x(x＋y) D．x2＋y2＝(x＋y)2
【解析】D 项中，将等号的右边展开为 x2＋2xy＋y2≠x2＋y2.
第 4 讲 因式分解
考点知识精讲 中考典型精析 举一反三
考点训练
考 点 因式分解 1．因式分解的定义及与整式乘法的关系 (1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算就是因式分解． (2)因式分解与整式乘法是互逆运算．
2．因式分解的常用方法 (1)提公因式法 如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式． 提公因式法用公式可表示为 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其分解步骤为： ①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积． ②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． (2)运用公式法 将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法，即 a2－b2＝(a＋ b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
C．－x2＋4y2
D．a2＋ab＋b2
(2)若 x2＋2(m－3)x＋16 是完全平方式，则 m 的值是( )
北师版八年级数学下册教学课件(BS) 第四章 因式分解 第1课时 平方差公式
,
y
3. 2
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问 题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①， ∴x－y＝－2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x
1 2
(x a p)2 (x b q)2
(x p) (x q) (x p) (x q)
(2x p q)( p q).
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只
要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因 式分解.
针对训练 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
8. (1)992-1能否被100整除吗？
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
∴992-1能否被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). ∵n为整数 ∴(2n+1)2-25能被4整除.
八年级数学下册 第4章 因式分解4.3 公式法第2课时 用完全平方公式分解因式习
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2； ＝(x2＋16y2)2－(8xy)2 ＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy) ＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(3)a3－a＋2b－2a2b； ＝a(a2－1)＋2b(1－a2) ＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(4)【2019·齐齐哈尔】a2＋1－2a＋4(a－1)．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋ 12b－61，c是△ABC中最短边的长(三边长各不相等)， 且c为整数，那么c可能是哪几个数？
解：∵a2＋b2＝10a＋12b－61， ∴(a－5)2＋(b－6)2＝0， ∴a＝5，b＝6，∴1＜c＜11. ∵c 是△ABC 中最短边的长，且 c 为整数，∴c 可能是 2，3，4.
8．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab， ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( ) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2
【点拨】从图形的特征入手，利用面积公式求解． 【答案】B
9．【2019·哈尔滨】把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式 的结果是_a_(_a_－__3_b_)2___．
题．相信你也能很好地解决下面两个问题．请写出你的解题过程．
ห้องสมุดไป่ตู้
解决问题： (1)若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值； 解：∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0， ∴x2－4xy＋4y2＋y2＋2y＋1＝0， ∴(x－2y)2＋(y＋1)2＝0，∴x－2y＝0，y＋1＝0， 解得 x＝－2，y＝－1，故 xy＝(－2)－1＝－12.
10．【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正 确的是( C ) A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2 【点拨】8a3－8a2＋2a＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a －1)2.故选C.
八年级因式分解的四种方法
一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：年月日(星期 )3.因式分解(公式法):(1) 4x2-9；解：原式二(2) 16x2 + 24x + 9 ； 解：原式二(3) -4x2 + 4xy -y2 ；解：原式二 (4) 9(m + n)2 - (m - n)2 ； 解：原式二1.下列由左到右的变形，是因式分解的是 ________________ .①-3x2y2 --3-X2 - y2 ； (2)((2 + 3)(〃 - 3) = "2 一9 ； ④ 2mR + 2mr = 2m(R + r)；③ “2 — Z?2 +1 = (〃 + b)(a -Z?) + l ； (S)x2 -xy + x = x(x - y);⑦尸4y + 4 = (y-2)2.2.因式分解(提公因式法)：(1) 12a2b - 24ab2 + 6ab ；解：原式二- 4 = (m + 2)(m - 2)； (2)一“3 — a2 + Cl ； 解：原式二 (3) (a-Z?)(m + l)-(Z?-a)(M-l);解：原式二⑷ x(x-y)2-y(y-x)2 ；解：原式二(5 ) Xm + Xm-1 . 解：原式二(5)(x + 3y)2 -2(x + 3y)(4x-3y) + (4x-3y)2 ；解：原式二(6) x2(2x-5) + 4(5 -2x)；解：原式二(7) -8ax2 +16axy - 8ay2 ；(8) x4 - y4 ；解：原式二解：原式二(9) a4 -2a2 +1 ；(10) (a2 + b2)2 -4a2b2.解：原式二解：原式二4.因式分解（分组分解法）：(1) 2ax -10ay + 5by - bx；(2) m2 —5m一mn +5n；解：原式二解：原式二(3) 1 -4a2 -4ab-b2 ；(4) a2 + 6a + 9-9b2 ；解：原式二解：原式二♦【典型例题】因式分解(十字相乘法)：(1) x 2 + 4 x + 3 ；解：原式二(2) x2 + x一6 ；解：原式二(3) -x2 + 2x + 3 ；解：原式二(4) 2x2 + x-1 ；解：原式二(5) 3x2 + xy -2y2 ；解：原式二(6) 2x2 +13xy +15y2 ；解：原式二【巩固练习】1.因式分解(分组分解法)：(1)9 ax 2 + 9 bx 2 - a一b；解：原式二(2) a2 -2a + 4b-4b2. 解：原式二2.因式分解(十字相乘法):(1)x 3 - 2 x 2 - 8 x；解：原式二33) x4 -6x2 -27 . 解：原式二(2) x4 一7x2 +12 ；解：原式二三、随堂检测用适当的方法因式分解:(1) (2a一b)2 + 8ab；解：原式二(2) x2 - 2xy + y2 - 2x + 2y +1.解：原式二四、课堂小结五、课后作业用适当的方法因式分解：(1) a 2 - 8 ab +16b 2一c2 ；解：原式二(2) 4xy2 -4x2y- y3 ；解：原式二(3) 2(a -1)2 -12(a-1) +16 ；(4) (x +1)(x + 2) -12 ；解：原式二解：原式二因式分解拓展提高板块一：因式分解知识回顾1、列式子从左边到右边的变形中是分解因式的是( )A. x2 - x + 2 = x(x -1)+ 2 C. x2 -1 =(x + 1)Q -1)B. (a +b)aD. x -1 = x-b)=(.(1 \1 -72-b 2提公因式法一形如ma+mb+mc=m(a+b+c)分解因式：(1) 2a2bc2 + 8ac2 -4abc(2) m(m + n)3 + m(m + n)2 一m(m + n)(m 一n)运用公式法一平方差：a2 - b2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a2 土2ab+b2 = (a土b)2(1) a8 -1 (2) 4a2 +12ab + 9b2(3) 16(2m + n)2 一8n(2m + n) + n2 (4)(x2 + 4y2)2-16x2y2十字相乘法：x 2 + (p + q) x + pq = (x + p)(x + q)(1) x2 + 3x + 2 (2) 6a4 + 11a2b2 + 3b2 (3) x2 -(2m + 1)x + m2 + m - 2分组分解法：分组后能提取公因式，分组后能直接运用公式分解因式(1)3ax+4by+4ay+3bx (2)4x2 -4x- y2 + 4y-3板块二：综合应用例 1 ① x (x -1) + y (y +1) - 2 xy②(xy -1)2 + (x + y - 2)( x + y - 2 xy)③(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1) (xy-1)例 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x 3+6 x 2 +11 x + 6板块三：实际应用例3求证：一个三位数的百位数字与个位数字交换后，得到的数与原数之差能被99整除。
因式分解(4)
新安县铁门二中八年级数学导学案班级：课题：因式分解（4）——平方差公式分解因式姓名：课型：新授课主备人：邵雪审核：八年级数学组得分：一、教学目标：掌握用平方差公式分解因式；理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。
二、教学重点：掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式三、教学难点：把多项式转换到能用平方差公式分解因式的模式，综合运用多种方法因式分解四、教学过程：（一）交流预习1、填空①25x2＝(_____)2②36a4＝(_____)2③0.49b2＝(_____)2④64x2y2＝(_____)2 ⑤14b2＝(_____)22、口算：(x+5)(x-5)= (3x+y)(3x-y)=(1+3a)(1-3a)= (a+b)(a-b)= a2-b2=（二）确定目标1、把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 倒过来，就得到，把它作为公式，可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做。
2、把下列各式因式分解：（1）25－16x2（2）9a2－14b2（三）分组合作1、运用平方差公式分解因式。
下列多项式中，能运用平方差公式进行分解因式的是：A、x2+2x+3B、-x2-y2C、-169+a4D、9x2-7y2、把下列各式分解因式。
（1）442211616x y m n；（2）(a+b)2-1；（3）(ax+b)2-4c2（四）展示提升1、分解因式方法的综合运用。
(1)、分解因式：a3-ab2(2)、计算：5752×12-4252×12= 。
（五）穿插巩固： 将下列各题因式分解：x 2-9= ;2m 2-8n 2= ;2()4a b +-=__________; 44x y -=________________; 222169x y z -=______; 21()b a --=___ ; 22(1)9(1)x x +--=_____ ；X 8-x 5=（六）达标检测1、222224225(_______);(______);0.09(_________)16m a a b ===. 222210.49()[_______];()[___________]36x y m n +=-= 2、因式分解(x-1)2-9的结果是（ ）A 、(x+8)(x+1)B 、(x+2)(x-4)C 、(x-2)(x+4)D 、(x-10)(x+8)3、多项式a 2+b 2，a 2-b 2，-a 2+b 2，-a 2-b 2中能用平方差公式分解因式的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如果多项式4a 4-(b-c)2=M(2a 2-b+c)，则M 表示的多项式是（ ）A 、2a 2b+cB 、2a 2-b-cC 、2a 2+b-cD 、2a 2+b+c5、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A 、x 2-xyB 、x 2+xyC 、x 2-y 2D 、x 2+y 26、m 2+n 2是下列多项式（ ）中的一个因式A 、m 2(m-n)+n 2(n-m)B 、m 4-n 4C 、m 4+n 4D 、(m+n)2·(m-n)27、下列分解因式错误的是（ ）A 、-a 2+b 2=(b+a)(b-a)B 、9x 2-4=(3x+4)(3x-4)C 、x 4-16=(x 2+4)(x+2)(x-2)D 、x 2-(x-y)2=y(2x-y) 8、下列多项式中: ①22x y --; ②2224x y +; ③22()()m n ---; ④224b a -+; ⑤22144169x y --,能用平方差公式进行因式分解的有( )个.A. 1B. 2C. 3D. 49、请你写一个能先提公因式再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果。
八年级数学上册因式分解公式法
拓展应用
知识小结
评价反馈
3. 如图，在一块边长为a cm的正方形纸片 的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形， 求剩余部分的面积.如果a＝3.6，b＝0.8呢？
解：剩余部分的面积是：a2－4b2=(a+2b)(a－2b) 当a=3.6，b=0.8时，原式=(a+2b)(a－2b) =(3.6+2×0.8)(3.6－2×0.8)
复习巩固
新知学习
拓展应用
公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2
知识小结
评价反馈
完全平方式，特征： ①三项式 ②两平方项的符号同正 ③首尾2倍中间项
整式乘法
(a+b)2 因式分解
整式乘法
(a－b)2 因式分解
a2+2ab+b2 a2－2ab+b2
复习巩固
新知学习
拓展应用
第四章 因式分解 4.3.2 公式法
学习目标
1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方 公式进行因式分解． 2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进
行因式分解．
目录
CONTENTS
1 复习巩固 2 新知学习 3 拓展应用 4 知识小结 5 评价反馈
复习巩固
新知学习
拓展应用
知识小结
评价反馈
复习巩固
新知学习
拓展应用
知识小结
评价反馈
2.已知4x2+kxy+9y2 是一个完全平式，则k= ±12 .
3.已知a(a+1)－(a2－b)=－2, 求 a2 b2 ab 的值. 2
解: 由a(a+1)－(a2－b) =a2+a－a2+b
因式分解 北师大版数学八年级下册期末复习
(选做题)1.观察下列各式：3²-1²=8×1, 5²-3²=8×2,7²-5²=8×3，……，探索以上式子的规律， 试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写 式子的正确性.
解：规律：(2n+1)²-(2n-1)²=8n 验证： (2n+1)²-(2n-1)²
1、整式乘法与分解因式的概念易混 2、分解因式要彻底
3.(x 5)(x 3)是多项式x2 px 15分解因式的结果， 则5. p的值是 8 .
6.多项式 a(a x)(x b) ab(a x)(b x) 的公因式是（ B ）
A.－a B. a(a x)(x b) C. a(a x) D. a(x a)
7.若 mx 2 kx 9 (2x 3)2 ，则m，k的值分别是（ C ）
=3a(a+2b)
(2)原式=[(x²-5)+1]² (3)原式=(x²+y²)²-4(x²+y²)+4
=(x²-4)²
=[(x²+y²)-2]²
=[(x+2)(x-2)]²
=(x²+y²-2)²
=(x+2)²(x-2)²
2．已知：a,b,c是△ABC的三边长，且满足
a2b a2c b3 b2c 0 ,试判断三角形的形状.
2．下列各式中：①x2﹣6x+9； ②25a2+10a﹣1； ③x2﹣4x+4； ④a2+a+ ．其中能用完全平方公式
因式分解的个数为（ C ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.因式分解（1）a²-4a-b²+4=_(_a_-_2_+_b_)_(_a_-_2_-_b)
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
八年级上册分解因式
八年级上册分解因式
在八年级上册，分解因式是一个重要的数学概念。
在这个阶段，你将开始学习如何将多项式进行因式分解。
下面是一些常见的分解因式的方法和示例：
1.公因式提取法：
当一个多项式中的每一项都有一个公共因子时，可以使用公因式提取法来分解因式。
例如：
将多项式2x+4分解为公因式2和多项式x+2：2(x+2)。
将多项式3x^2+6x分解为公因式3x和多项式x+2：3x(x+2)。
2.二次因式分解法：
当一个二次多项式可以被分解为两个一次因式的乘积时，可以使用二次因式分解法来分解因式。
例如：
将多项式x^2+5x+6分解为两个一次因式的乘积：(x+2)(x+3)。
将多项式x^24x5分解为两个一次因式的乘积：(x5)(x+1)。
3.特殊因式分解法：
在特定情况下，我们可以使用特殊因式分解法来分解因式。
例如：
将差平方公式应用于多项式x^24：(x2)(x+2)。
将平方差公式应用于多项式x^2y^2：(xy)(x+y)。
这些是分解因式的一些常见方法。
在八年级上册，你将继续学习更多的分解因式的技巧和方法。
记住，在处理多项式时要仔细观察其中的模式和规律，以便找到
正确的分解因式的方法。
北师大八年级数学下册教案：第4章 因式分解
北师大八年级数学下册教案：第4章因式分解4．1因式分解1．理解并掌握因式分解的概念；2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题．(难点)一、情境导入某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b)元．”同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？二、合作探究探究点一：因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k分解因式后有一个因式是x－3，试求k的值及另一个因式．解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x2－mx－k3)，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值．解：设另一个因式为2x2－mx－k3，∴(x－3)(2x2－mx－k3)＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－mx2－k3x－6x2＋3mx＋k＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－(m＋6)x2－(k3－3m)x＋k＝2x3－5x2－6x＋k，∴m＋6＝5，k3－3m＝6，解得m＝－1，k＝9，∴k＝9，∴另一个因式为2x2＋x－3.方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．三、板书设计1．因式分解的概念把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．2．因式分解与整式乘法的关系因式分解是整式乘法的逆运算．本课是通过对比整式乘法的学习，引导学生探究因式分解和整式乘法的联系，通过对比学习加深对新知识的理解．教学时采用新课探究的形式，鼓励学生参与到课堂教学中，以兴趣带动学习，提高课堂学习效率.4．2提公因式法第1课时直接提公因式因式分解1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式；2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．(重点)一、情境导入小华家买了一套新房，装修时打算在三室两厅的地面上贴相同规格的地板砖，为此小华的父亲要求小华测算出三室两厅的地面总面积．小华发现三室两厅的地面宽度相同，都是a 米，大厅长度为c米，三室长度均为d米，其中a＝3.6，b＝5.6，c＝2.8，d＝4.2，那么怎样计算总面积比较简便呢？二、合作探究探究点一：确定公因式多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是()A．abc B．3a2b2C．3a2b2c D．3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．探究点二：用提公因式法进行因式分解(一)【类型一】用提公因式法因式分解因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．【类型二】用因式分解简化运算计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．三、板书设计1．公因式多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式各项的公因式．2．提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法．本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.第2课时变形后提公因式因式分解1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义；2．熟练运用提公因式法分解因式．(重点)一、情境导入下面的多项式有公因式吗？如果有，怎样因式分解呢？(1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；(3)a(a－b)3－(b－a)3.二、合作探究探究点：用提公因式法进行因式分解(二)【类型一】利用因式分解整体代换求值已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．【类型二】因式分解与三角形知识的综合△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定．解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，∴a－c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝－12(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．【类型三】运用因式分解探究规律阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了3次；(2)分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2016次，结果是(1＋x)2015；(3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1.方法总结：解决此类问题需要认真阅读，理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．三、板书设计1．提公因式分解因式的一般步骤：(1)观察；(2)适当变形；(3)确定公因式；(4)提取公因式．2．提公因式法因式分解的应用本课时是在上一课时的基础上进行的拓展延伸，在教学时要给学生足够主动权和思考空间，突出学生在课堂上的主体地位，引导和鼓励学生自主探究，在培养学生创新能力的同时提高学生的逻辑思维能力.4．3公式法第1课时平方差公式1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4.解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )；(2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】利用因式分解整体代换求值已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2.方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型三】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.第2课时完全平方公式1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab ＋b2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点一：用完全平方公式因式分解【类型一】判定能否利用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋12－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.4；(3)9aA．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a 2＋4)2－16a 2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a 2，再把另一个因式(x 2－8x ＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a 2(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2；(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．探究点二：用完全平方公式因式分解的应用【类型一】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a ±b )2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型二】利用因式分解判定三角形的形状已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边的长，且a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．【类型三】整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.。
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
八年级数学第四章因式分解完全平方公式
完全平方公式【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点进阶：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式 例1、分解因式：（1）22363ax axy ay -+-； （2）42242a a b b -+；（3）2222216(4)x y x y -+； （4）4224816a a b b -+．举一反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．例2、已知a+b=3，ab=2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3．举一反三：【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.类型二、配方法分解因式例3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平方式？2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2352x x +-.类型三、完全平方公式的应用例4、先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为无论x 取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．举一反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足222166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=.【变式2】若（2015﹣x ）（2013﹣x ）=2014，则（2015﹣x ）2+（2013﹣x ）2= ．【巩固练习】 一.选择题1. 若22(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－5B ．7C ．－1D ．7或－12．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ） ①x 2﹣10x +25；②4a 2+4a ﹣1；③x 2﹣2x ﹣1；④；⑤．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 如果24a ab m --是一个完全平方公式，那么m 是（ ） A.2116b B.2116b - C.218b D. 218b -4. 已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 35. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ） A.12 B.6 C.3 D.06. 若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ） A.0c ≥ B. 9c ≥ C. 0c > D. 9c >二.填空题7．分解因式：4x 2﹣4xy +y 2= ．8. 因式分解:()222224m n m n +-＝_____________.9. 因式分解: 2221x x y ++-＝_____________.10. 若224250x y x y +-++=，x y +＝_____________.11. 当x 取__________时，多项式2610x x ++有最小值_____________.12.如果实数x 、y 满足2x 2﹣6xy+9y 2﹣4x+4=0，那么= ．三.解答题13.若44225a b a b ++=，2ab =，求22a b +的值.14.（2015春•怀集县期末）已知a+=，求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a ﹣）2；（3）a ﹣．15. 若三角形的三边长是a b c 、、，且满足2222220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的形状. 小明是这样做的：解：∵2222220a b c ab bc ++--=，∴2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=.即()()220a b b c -+-= ∵()()22,0a b b c -≥-≥，∴,a b b c a b c ====即.∴该三角形是等边三角形. 仿照小明的解法解答问题：已知： a b c 、、为三角形的三条边，且2220a b c ab bc ac ++---=，试判断三角形的形状.。
北师大版八年级数学下册第四章-分解因式-(基础+提高)
第四章分解因式考点一：分解因式的概念1、下列变形中，从左向右是因式分解的是（）A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．x2﹣8x+16=(x﹣4）2C．（x﹣1)2=x2﹣2x+1D．x2+1=x（x+）考点二:因式分解1、下列分解因式中，正确的个数为（）x2+2xy+x=x(x2+2y)；x2+4x+4=（x+2）2；—x2+y2=（x+y）（x—y)A．3个B．2个C．1个D．0个2、下列多项式中,能运用公式法进行因式分解的是（）A．a2+b2B．x2+9 C．m2﹣n2D．x2+2xy+4y23、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y,x+y，a+b，x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( ）A．我爱美B．宜晶游C．爱我宜昌D．美我宜昌4、若分解因式x2＋mx－24＝（x＋3)(x＋n)，则m的值为。
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），另一个因式为。
5、甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b,分解结果为（x+2）(x+4）；乙看错了a,分解结果为（x+1）(x+9），则a+b=_______6、因式分解9a2（x－y）＋4b2(y－x) x2＋2xy＋y2－4(m+1）（m﹣9)+8m．x2+4xy﹣5y24x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3．考点三：利用因式分解计算1、2016×2016﹣2016×2015﹣2015×2014+2015×2015的值为（)。
A．1 B．﹣1 C．4032 D．40312、3（4+1）（42+1）（44+1）+13、考点四：利用因式分解化简求值1、已知xy=8,x﹣y=2，求代数式x3y﹣x2y2+xy3的值为．2、a+1+a(a+1）+a（a+1)2+……+a（a+1)2014= ．3、已知a2+b2+4a﹣2b+5=0，则的值为（）A．3 B．C．﹣3 D．4、已知x2+x-1=0，则代数式x3+2x2+2014= .5、化简求值：（2x－1）2（3x＋2）＋（2x－1)（3x＋2）2－x（1－2x)(3x＋2)，其中x＝1.考点五：利用因式分解证明整除问题1、能被下列数整除的是( )A．3B．5C．7D．92、已知58－1能被20-—30之间的两个整数整除,则这两个整数是 .3、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如：自然数12321，从最高位到个位排出的一串数字是：1，2，3，2,1,从个位到最高排出的一串数字仍是:1，2，3,2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如:22，545,3883，34543，…,都是“和谐数"．（1)请你直接写出3个四位“和谐数"；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数"，设其个位上的数字为x（,x为自然数)，十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．考点六：利用因式分解解决几何问题1、若、、为的三边长,且满足，，则的形状是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2、设是一个直角三角形两条直角边的长,且，则这个直角三角形的斜边长为．3、已知a、b、c为△ABC三边的长．（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．(2)当a2+2b2+c2=2b(a+c）时，试判断△ABC的形状．4、已知是△ABC的三边长，是△ABC的最短边且满足，求的范围。
北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》复习 教案
第四章因式分解一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；（2）提高学生因式分解的基本运算技能；（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．2．过程与方法：（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳——能力提升――活学活用——永攀高峰．第一环节知识回顾活动内容：1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？3、分解因式常用的方法有哪些？4、试着画出本章的知识结构图。
北师版八年级下册数学第4章 因式分解 阶段题型专训 因式分解应用的八种常见题型
7．若 a，b，c 为三角形的三边长，证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2 的值一定为负．
证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2＝(a2＋b2－c2 ＋ 2ab)(a2＋ b2－ c2 － 2ab)＝ [(a＋ b)2 － c2][(a－ b)2 － c2]＝ (a＋ b＋ c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．
2．已知 x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值： (1)xy；
解：∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9. ∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9， 化简得 2xy＝2，即 xy＝1. (2)x2y－2xy2. x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.
4．已知长方形的周长为 20，相邻两边长分别为 a，b(a，b 均为整 数)，且 a，b 满足 a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0.求 a，b 的值．
解：∵a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，∴(a－b)2－4(a－b)＋4＝0， 即(a－b－2)2＝0，∴a－b＝2.① 又∵周长为 20，∴a＋b＝10.② 联立①②，解得ab＝＝64，.
解：规律：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2. 理由：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1 ＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1＝[n(n＋1)＋1]2.
第四章 因式分解
阶题型专训 因式分解应用的八种常见题型
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1．计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
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填一填
请你帮老师把下面的诗歌补充完整
分解因式时， 先（ ）。 提公因式 遇见二项式， （ ）。 遇见三项式， 完全或十字 ※。 平方差公式 四项及以上， 分组试一试。
※：“完全”指（ “十字”指十字相乘法。
完全平方公式
）
二、提公因式法
1、公因式的确定方法： (1)系数：取各系数的最大公约数 (2)字母：取各项相同的字母 取最低指数 (3)相同字母指数： 2、变形规律： (1)x－y= (3)(x－y)3= (y－x) (y－x)3 (2)(x－y)2= + (y－x)2 (4)－x－y= (x+y)
练一练
分解因式：
(1)9a2b-12ab2 +3ab (2)a(x-3)+2b(3-x) (3) 5(x-y)3+10(y-x)2 (4) 计算：9992+999
三、运用公式法
平方差公式： a2－b2 = (a＋b)(a－b) a2－2ab＋b2 = (a－b)2 分解因式： (1) 25－16x2 (3) (x－y)2－ (x+y)2 (5) (x+y)2－6(x+y)+9 (2) －81x2+4y2 (4) x2－14x+49 (6)3x3-12x2y+12xy2 完全平方公式：a2＋2ab＋b2 = (a＋b)2
复习
分解因式
桐柏县新集中学 关军
2011.11.25
2013-7-25
主要知识点： 一、分解因式 二、提公因式法 三、运用公式法
一、分解因式
分解因式
多项式 整式的积
整式乘法
例：以下从左到右的变形中，哪些是分解因式？ (1) a(a+1)=a2+a (2) x2+2xy+y2=(x+y)2 (3) 8a3bc=2a2· 4abc (4) a2-b2=(a+b)(a-b) (5) m2+m-4=(m+3)(m-2)+2
四、综合运用
1、分解因式:a3- a 2、分解因式:a2b+b3 -2ab2 3、若a2-2a+1=0,则2a2-4a=？
4、在一个大正方形中截取一个小正方形后，
剩余的面积为13，且两正方形的边长均
为整数。求两正方形的边长？
课内练习
分解因式：
(1) x4-9x2；
(3) x5-x3； (5) 9(x+y)2-(x-y)2；
(2) -5x3+10x2-5x；
(4) 8x2-2y2； (6) (x2+4)2-16x2；
(7) 9(m+n)2-4(m-n)2；
(8) 2a2(a+b)2-3(a+b)3
分解因式
一、分解因式
多项式
整式乘法
整式的积
收
二、提公因式法
获
三、运用公式法
公因式的确定方法： (1)系数：取各系数的最大公约数 (2)字母：取各项相同的字母 (3)相同字母指数：取最低指数 平方差公式： a2－b2= (a＋b)(a－b) 完全平方公式： a2＋2ab＋b2 = (a＋b)2 a2－2ab＋b2 = (a－b)2