一道高考数学题的命题过程与答题分析
利用观察归纳猜想 借助符号严密演绎—数学高考中数列题的命题和答题
《 中学数 学杂志》 高 中） ２ ０ （ ０ ２年第 ５期
利用观察归纳猜想 借助符号严密演绎
— —
数 学 高 考 中数 列题 的命 题 和 答 题
任子朝
２０ ０ ２年数 列 试 题 编 拟 的 基 本 目 的是 考 定 ． 题 在 此 基 础 上 进 一 步 发 展 ， 并 没 有 试 但 查代 数 推 理 能 力 ， 以考 查 演 绎 推 理 为 主 ， 兼 要求 考 生求 出数 列 的通 项 公 式 ， 是 猜 想 数 而 顾 归纳 推理 ， 可 能 的 范 围 和程 度 考查 数 学 列 的通 项公 式 ， 是 在 不 超 纲 的 前 提 下 的创 在 这 归 纳法 ．以往在 考查 数 学归 纳法 时存 在 这 样 新设 计 ， 查 了归 纳 猜 想 的 能 力 ．数 列 ａ＋ 考 。
的关系 ， 只是形 式地套 用归纳法 的模式 ， 证
明 已知 的关 系 ．因此 这 次编 拟试 题 的基 本 的 原则 一 是 尽 量 不 出 现 “ 数 学 归 纳 法 证 明 用
…
” 字样 ， 在 证 题 过 程 中 自然 用 到 数 学 的 而
一个 比较 常 用 的 方法 归纳法 ， 以避 免 套 用 之 虞 ； 是 尽 量 不 出 现 系并 不能 简单 的判 定 ， 二 应 变 量 间 的大 于 、 于 或 等 于 的关 系 ， 求 考 就是 作 差 ， 用 数 学 归 纳法 进 行 证 明 ．因 此 小 要
的大小 ， 并证 明你 的结 论 ．
（ ）当 ” ＝ ｋ时 ， ａ ２ 设 ≥ ｋ＋１ ≥ ，ｂ
＿ ，０ ＇ １ 在第一 问中 ， 由递 推公式 ｎ ＝ ｃ ｋ ＋ｌ 贝 当 ／ ＝ ｋ＋１时 ， ｚ ：一
上海外国语大学附属外国语学校2024年高考数学试题命题揭秘与专题练析
上海外国语大学附属外国语学校2024年高考数学试题命题揭秘与专题练析请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．152D ．622．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．5003．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]4．直线20(0)ax by ab ab +=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切5．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>6．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π7．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．858．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤9．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形10．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A． BC．D11．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．96012．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A．BC．3D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学大题解题步骤与答题思路
高考数学大题解题步骤与答题思路高考数学大题解题步骤是怎样的，答题要分步骤给分吗，跳步会不会扣分？数学大题答题思路是怎样的，如果卡壳了怎么办？高中数学必修一知识结构图如何从数学学渣逆袭成数学学霸?学霸支招：如何提高高三数学成绩高中文科数学公式大全1.第一道大题：三角函数总共两种考法：10%~20%是解三角形，80%~90%是考三角函数本身。
解三角形不管题目是什么，你要明白，关于解三角形，你只学了三个公式：正弦定理、余弦定理和面积公式。
所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。
至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试未尝不可。
三角函数套路：给你一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期频率、单调性等问题。
解决方法：首先利用“和差倍半”对式子进行化简。
化简成形式，然后求解需要求的。
掌握以上公式，足够了。
关于题型见下图。
2.第二大题：概率统计我总感觉，这块没啥可说的。
因为考的不多而且非常容易。
详细内容翻看一下小数老师历史推送的文章就够用了。
3.第三道大题：立体几何这个题，相比于前面两个给分的题，要稍微复杂一些，可能会卡住某些人。
这题有2-3问。
第一问：某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直；最后一问是求二面角。
这类题解题方法有两种，传统法和空间向量法，各有利弊。
向量法优点：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。
缺点：计算量大，且容易出错。
应用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。
建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。
其形式为。
然后进行后续证明与求解。
传统法你们在学立体几何的时候，讲了很多性质定理和判定定理。
但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。
所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。
另外，还有一类题，是求点到平面距离的。
这类题百分之百用等体积法求解。
4.第四道大题：数列从这里开始，就明显感觉题目变难了，但是掌握了套路和方法，这题并不困难。
一道高考数学试题的命题赏析与启示
作者：王永生
来源：《云南教育·中学教师》2017年第06期
一、试题解析
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值.
【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图2所示.
二、命题赏析
要设计一道好的解答题，一般要经历如下几个步骤：选材与立意；搭架与构题；加工与调整；审查与复核.本题作为解答题的第三题，难度适中，确实是近些年来立体几何解答题中难得一见的好题.其在考查学生基础知识、基本能力的同时，还考查了学生的个性品质，更重要的是体现了一定的创新性.
3.试题言简意赅，平实中领新潮
几乎任何一道数学题都要通过语言进行表述，可以是文字、符号，也可以是图象.考试时，考生通过阅读语言，理解题意，同时又利用语言进行非常重要.本题第（Ⅰ）问中，“在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）”，这样的表述十分简洁明了.为了避免与解答题的总要求“解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤”产生冲突，题目还特意进行了补充说明，从而使考生更清楚题目的要求.
1.试题立足基础，平和中见新奇
本题以长方体为载体，立足立体几何的基础知识，重点考查学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解等基本能力.试题难易适中，略显平和.纵观近几年新课标全国卷（2012年开始云南省使用）理科数学立体几何解答题的第（Ⅰ）问，其考查要求如下表所示：
不难看出，除2015年外，立体几何解答题的第（Ⅰ）问都直接考查学生的推理论证能力.但为了突出新课标在立体几何部分对学生提出的学习要求——直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，2015年该题的第（Ⅰ）问并未一如既往地直接考查线面平行与垂直，而是要求学生在图中画出正方形且不必说明画法和理由.事实上，在“操作确认”的过程中，学生还是要进行“思辨论证”的，只不过不必写出.这在一定程度上节省了学生的答题时间，体现了对学生的人文关怀.可见，试题立意较为深遠，立足基础，平和中见新奇.
2019年高考数学命题热点解析理科专题4【函数的零点与方程的根的解题方法】
2019年高考数学命题热点解析理科专题4【函数的零点与方程的根的解题方法】本专题特别注意：一．命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y ＝f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0)零点的分布⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎪⎨⎪⎧f(m)<0⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎨⎧⎩⎪⎨⎪⎧或（一）零点与整数解；例1．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( ) A ．函数f(x)在区间内一定有零点 B ．函数f(x)在区间或 内有零点，或零点是 C ．函数f(x)在内无零点 D ．函数f(x)在区间 或内有零点 【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数f(x)在区间内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内，C. 函数f(x)在内无零点，这个是不确定的；D. 函数f(x)在区间或内有零点，这个也是不确定的。
2023年高考典型试题解读分析
2023年高考典型试题解读分析高考数学题型特点和答题技巧1.选择题——“不择手段”题型特点：(1)概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强，试题的陈述和信息的传递，都是以数学的学科规定与习惯为依据，决不标新立异。
(2)量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容，在高考的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大，而且许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不是简单或机械的计算问题，其中往往蕴含了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定量计算紧密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点。
(3)充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。
作为数学选择题，尤其是用于选择性考试的高考数学试题，只凭简单计算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在，绝大多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力。
思辨性的要求充满题目的字里行间。
(4)形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立开来分割进行，而是有分有合，将它们辩证统一起来。
这个特色在高中数学中已经得到充分的显露。
因此，在高考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题。
因此，数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种重要且有效的思想方法与解题方法。
(5)解法多样化：以其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出，尤其是数学选择题由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。
常常潜藏着极其巧妙的解法，有利于对考生思维深度的考查。
解题策略：(1)注意审题。
把题目多读几遍，弄清这个题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。
高中数学大题解题技巧方法归纳
高中数学大题解题技巧方法归纳数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
下面是小编为大家整理的关于高中数学大题解题技巧，希望对您有所帮助!高考数学大题题型总结及答题技巧17题三角函数17题考的知识点比较简单，只要在平时多加注意和总结就不成问题，但是重要的公式譬如二倍角公式等一定要熟记，这些是做题的基础;18题立体几何18题的第一小题通常是证明题，有时利用现成的条件马上就可以证明，但是也不排除需要做辅助线有一点难度的可能，而且形势越来越偏向后一种，所以在平时要多多注意需要做辅助线的证明题，第二小题通常是求线面角和线线角的大小，也有可能是求相关的体积，不过这样也是变相的让你求线面角或线线角的大小，至于求面面角大小，我们老师说不大可能，因为求面面角的难度稍大所需要的时间也会比较多，这样对后面的发挥会有比较大的影响，(虽然高考的目的是选拔人才，但是全省的平均分也不能太低。
)提醒一点：如果做第二小题时没有很快有思路，那就果断选择向量法，向量法的难点是空间直角坐标系的建立，一定要找到三条相互垂直的线分别作为x轴y轴z轴，相互垂直一定要是能证明出来的，如果单凭感觉建立空间直角坐标系万一错了后面的就完全错了。
19题导数19题的难点是求导，如果你对复杂函数的求导掌握的很熟练，那第一小题就不用担心啦，第二小题会比较有难度，但是基础还是求导，无论有没有思路都要先求导，说不定在求导的过程中就找到思路了;20题圆锥曲线20题是圆锥曲线，第一小题还是比较基础的但完全正确的前提是要掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，因为很有可能会出现让你判断某某是椭圆、双曲线、还是抛物线的题目。
第二小题比较难，但是简单在有一定的套路，(做题做多了就知道的)套路就是1.设立坐标，一般是求什么设什么.2.将坐标带入所在曲线的方程中.3.利用韦达定理求出x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2.4.所求的内容尽力转换为与x1、x2、y1、y2相关的式子，在转换的过程中要结合题目的条件.一定要筛选和转换题目中所给出的条件，因为有的方式虽然可以得出结果但是过程很复杂，浪费的时间会比较多，别忘了后面还有一个大boss呢。
高考数学原创试题的命题方向及典型题分析
高考数学原创试题的命题方向及典型题分析从2004年开始，全国高考11个省市独立命题。
高考数学形成了“百花齐放”的局面，各地数学试卷中出现了不少新颖的高质量原创试题. 从某种角度看， 原创试题的新颖性对考生是一种难度，可真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况；而对命题者来说，更是命题成功与否的一个重要标志。
笔者在文[1]中已探讨了原创试题命题的七个方向，下面结合国内外课程标准，再提出原创试题的六个命题方向。
一、考查数学交流评价的试题在我国2003年制订的《普通高中数学课程标准》（下面简称《标准》）中，数学交流已作为一项教学目标被明确提出.使用交流去培养学生的数学理解力是数学交流的目标，但在我国高考数学中“数学交流”的试题现在基本上还没有涉及.以后会编制出不同种类的“数学交流”试题，让学生通过书面表述、图表、数学模式、数学图象、数学规律等方式进行数学交流，最终达到熟练掌握数学语言进行交流的目的.典型题1 (韩国高考数学题改编)下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容:甲:我们能够想象到的集合之全体的集合叫做Ｓ，那么(ａ)Ｓ将Ｓ自身作为元素所有，是吧?乙:那不成体统，哪有那样的事?甲:好，那么(ｂ)不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢?以数学方式表达上述争论中带有底线的(ａ)，(ｂ)，哪一项最好?(A)S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(B) S ∈S ，{A|A ⊄A ，A 是集合}；(C) S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(D) S ⊂S ，{A|A ⊂A ，A 是集合}.评注：此题通过两个学生的数学交流来表明他们对集合与集合、集合与元素之间关系的理解，同时让应试者参与讨论，并把一些观点与数学表达符号化.二、考查凸显数学文化的试题数学文化是多姿多彩的，它是人类文化宝库中的奇葩.《标准》中指出：数学是人类文化的重要组成部分。
数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。
【高考数学】高考解析几何解答题题型分析及解答策略(学生).doc
高考解析几何解答题题型分析及解答策略。
©归纳・・1.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点.(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点.2.定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法, 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.4.圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系.(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.5.圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由.6.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).7.圆锥曲线与三角、向量的交汇问题8.圆锥曲线与数列、不等式的交汇问题9.圆锥曲线与函数、导数的交汇问题.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交.于(不同于点A的)M, N两点，试判断直线与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.［例2］.已知椭圆C：务+相=1(泓＞0)的离心率e=斗,左、右焦点分别为Fi，F2,点F(2, 茶)，点％在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆。
高考数学命题热点名师解密：专题(02)函数问题的解题规律(文)(含答案)
专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。
一道解析几何高考题的解析与探究——以 2020年全国卷Ⅰ理科第 20题为例
解析：设点 P、C、D 的坐标为 P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2），则
t
t
直线 PA 的方程是 y = ( x + 3 )，直线 PB 的方程是 y = ( x 9
3
t
ì
ïy = 9 ( x + 3 ),
ï
消 元 得 ( t 2 + 9 ) x 2 + 6t 2 x + 9t 2 3 )；联 立 í 2
ï + y = 1,
î9
技法点拨
106
2mny + n2 - 9 = 0，设 C（x1，y1），D（x2，y2），则 y 1 + y 2 = y1 y2 =
n2 - 9
m2 + 9
（1）。又直线 AC 的方程为 y =
直线 BD 的方程为 y =
共点 P，所以
9y 1
x1 + 3
=
y2
x2 - 3
后对 C、D 横坐标分两种情况考虑，考查了分类与整合的数学
思想，强调思维的严谨性。
思路 3：先求直线带参数的方程（即共点的直线系方程）。
先引进直线 CD 的方程，当斜率不为零时，设其为 x=my+
n，联立直线 CD 与椭圆 E 的方程，利用韦达定理找到 C、D 坐标
的关系（用参数 m，n 表示），然后写出直线 AC、BD 的方程，利用
功能，以下着重讨论第二问的解法。
二、试题解析
思路 1：从命题者的角度寻找答案。
此题的命题背景是极点和极线的位置关系，即寻找极线
x=6 对应的极点。
解析：由于椭圆及直线 x=6 都是关于 x 轴对称的图形，若
2024年高考数学新高考Ⅱ卷试题评析及备考策略指导课件
2024新高考数学11卷评析/暨2025高考备考策略够》解构经典试题生重教考衔接6、、共享复习策略■科学备战高考PART01以考促教教考衔接2024年高考试卷评析及备考策略1.1.1稳定：突出基础性要求，全面考查/深入考查基础年份2021新高考II卷2022新高考II卷2023新高考II卷2024新高考II卷题号题型考点考点考点考点1选择题岌数的运算及几何意妲绝对值不等式的解法、集合的交集运算复数基本运第复数的几何意义_求角数的槿__________ 2选择题集合的运算_复数的乘法运算_集合的基本运算逻艇算，判定命题真假3选择题点到直线的距离、抛物线的焦点坐标等差数列的性质、斜率与倾斜角、数学文化分层抽样的计算；组合数的计第分步乘法原理向量基本运算，求向量的模4选择题球体的表面积平面向量的坐标运算、向量夹角、数量积运算函数奇偶性的定义，偶函数的性质,对数运算统计初步，中数、极差平均数等基本概念5选择题_棱台的体积_排列组合、分步乘法计数原理椭圆基本量与点到直线的距离与圆相关的中点轨迹方程（椭圆）6选择题正态曲线的特点两角和与差的正、余淞式、同角三角函数的基本关系含参指对型函数在给定区间单调，求参数范围函数零点问题，求参数值7选择题对数的大小比较棱台外接球的表面积二倍角公式或者半角公式己知台体的体积，线面角8选择题函数的基本性质函数的周期性等比数列前顽和公式函数单调性与不等式9多项选择题数字的样本特征正弦函数的图象与性质多选,以圆锥为背景,考查体积，侧面积，二面角等概念三角函数性质与图像问题10多项选择题直线与直线的位置关系抛物线的定义及性质、斜率公式抛物线焦点弦常用性质抛物线与圆的综合问题11多项选择题点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系三枝锥的体积公式、空间中的线面垂直关系以极大值极小值为背景考查区间内-元二次方程根与系数的关系函数零点极值点以及对称问题12多项选择题新定义问题不等式的性质、基本不等式牌率问题，课本例习题等差数列求和问题13填空题双曲线的几何性质正杰曲线的对称性向量的数量积的运算三角函数正切公式应用14填空题函数的单调性与奇偶性、导数的应用导数的几何意义正四棱椎中台体的体积公式排列组合（两问）15平面向量的数量积直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式设计含参直线与定圆，考察直线与圆的位置关系（相交弦构成的三角形面积）；本题答案不唯一选、填共计73分16填空题利用导数求切线方程及取值范围问题椭圆的中点弦、直线与椭圆三角函数的图像变换，五点法作图以考促教教考衔接2024年高考试卷评析及备考策略1.1.2稳定：突出主干知识题号年份2021新高考II卷2022新高考II卷2023新高考II卷2024新高考II卷17m等差蹶的通项公式及前顽fil等差、等比效列综尔敏舰项却的关系解训形相灿识,余弦定理,俪积公式，正切公式15.（13分）正、余弦定理、求三觥的周长18KM利用正、余核定理解:M正、余弦定理、三角形的面积公式an为等差数列，bn为其衍生的等差效列,耕等差效列的通项公式,求利公式,分类计论蝴16.（15分）利用导拥究碱的切线时题、利川榆妹值点求参效的范国19m面面乖直的证明、二映的求解频率分步直旅求平均值、辩、条件骚率频率分砒方图相关诚17.（15分）立体几何SI折柯凯证明线西垂直，求:面角20解笞题眦的标准方程及几何食义、直线与倾J位置关系证明线画平行、空间向量求二而角以三棱勒我体，考嚓空间线雌直关系;向址在空间的应用;向量法求解二Ihi角的方法林题笫:问也可不it系）18.（17分）二项分布概率、期里（3问）21样本机国体的成川、随机变址的分布列及期里双曲线的方程及性质、直线与双曲线的位置关系以双曲线为我休,问题1求双曲线的方柩嘘2考察定直线问题固定斜率的直线与双曲19.（17分）线交娜性质,双曲线盘列的综合问题（3问）22m利川械0冼榆效的邮、利川损求甫跚岑占＜小、导破求单邮、参效的取值都、不等式的证明雌1考察用*敏的不等式;雌2,改极大耕求参效邮醐,嫩较大1.试题易中难比例:52:76:22;2.选填题难度设置明显降低，没有难题，而且比2023年少了一题多选题，一道填空题，对考生相当友好，选填的答题准确率和速度，应该是2021年以来发挥最好的一次；3•解答题变化较大，减少了一个答题，而且每一题的赋分也有相应的增加，大题的第二题考查导数不再是压轴题，难度降低很多；18题是概率加载了较大的运算，最后的19题是解析几何与数列共舞，综合性强难度较大，考生考场上不易完整做出来。
高考数学命题点及答题技巧
高考数学命题点及答题技巧1、选择题高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查三基为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大。
选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面。
解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。
一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择支应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。
解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么策略手段都是无关紧要的，所以人称可以不择手段。
但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因。
另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速。
总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的个性，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。
这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间。
2、填空题填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。
不过填空题和选择题也有质的区别。
首先，表现为填空题没有备选项。
因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。
关于高考数学答题技巧有哪些
关于高考数学答题技巧有哪些从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。
不同的数学家和哲学家对数学的准确范围和定义有一系列的看法。
下面我为大家带来高考数学答题技巧有哪些，盼望大家喜爱!高考数学答题技巧专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。
2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sinx，y=cosx的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h 的性质，写出结果。
④（反思）：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
专题二、解三角形问题1、解题路线图(1)①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2)①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即依据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
④再反思：在实施边角互化的时候应留意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
2、构建答题模板①找递推：依据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：依据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定（方法）：依据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
④写步骤：规范写出求和步骤。
⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
专题四、利用空间向量求角问题1、解题路线图①建立坐标系，并用坐标来表示向量。
高三试卷的分析
高三试卷分析篇一：高中数学试卷分析青海湟川中学高一年级第二次月考数学试卷分析一、试卷分析本试卷整体结构及难度分布合理，着重考查基础知识、基本技能、基本方法(包括基本运算)和数学基本思想，对重点知识作了重点考查，主要检测学生对基本知识的掌握以及解题的一些通性通法。
试题力求创新。
有一些新题，这些题目，虽然素材大都源于教材，但并不是对教材的原题照搬，而是通过提炼、综合、改编新创为另一个全新的题目出现，使考生感到似曾相似但又必须经过自己的独立分析思考才能解答。
二、答卷分析通过本次阅卷的探讨和本人对试卷的分析，学生在答卷中存在的主要问题有一下几点：1、客观题本次考试在考查基础知识的同时，注重考查能力，着重加强对分析分问题和解决问题能力的考查，加大了对知识综合能力与理性思维能力的考察，客观题得分较低，导致总分低。
2. 基础知识不扎实，基本技能和方法掌握不熟练．基础知识不扎实，以选择题第4题为例．第4题是一道考察诱导公式的问题，利用三角形内角和是?，再一个诱导公式。
但是出错率还是较高。
再以17题为例，17题是一道考察集合的子集的基础题，但考生在试卷中暴露的问题是：对子集概念，尤其是对空集这个特殊的集合的理解和应用很不到位，忘记考虑空集这一集合，导致出错率很高。
3. 审题不到位，运算能力差，书写不规范，计算能力欠佳审题不到位在的第21题表现的较为明显。
这是一道函数模型应用，由于审题不到位致使函数模型搞错、在（Ⅰ）问中学生出现结果重复与遗漏的现象严重导致后面全错，还有不会应用数学语言，表达五花八门。
在考生的试卷中，因审题不到位、运算能力差等原因导致的书写不规范问题很多。
而且由于计算量较大，很多学生答不完题，导致心慌意乱，失去信心。
4. 心态不好，应变能力较弱．考试本身的巨大压力，考生信心不足，造成考生情绪紧张，缺乏冷静，不能灵活应变，会而不对、对而不全，甚至会而不得分的情形常可见到．三、解决问题的措施1．立足基础，注重能力培养．"基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验"是新课程高考的考查重点，所以，后期的复课中，要重视"基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验"训练，打好基础．"基础知识"一定要在"准确"上下功夫，"基本方法"、 "基本技能" 、"基本的数学活动经验"要在"熟练"上下功夫．对大多数学生而言还是要坚持"低起点，严要求"的原则．训练时要舍得在基础题上花时间．对于基础题，要求学生勤动笔，完整的表达出来，不要眼会心不会、心会手不会．平时训练中，淡化解题技巧．要学生掌握通性、通法，一定要加强基本数学思想方法的渗透与应用．注重思维能力和运算能力的训练，整体提高学生的数学能力．2．全面提高学生的数学素养和分析解决问题的能力．时要求学生也要有反思，他们要有自己的"总结"、"评注"．让他们在反思中体会数学思想方法，总结解题规律，做到触类旁通．3．重视数学应用.新课程的一个显著的特点就是"强调数学应用"，这一点在已率先实行新课程高考的省份的高考试题中已有所体现，应引起我们的重视，尤其要重视"实际测量问题--解三角形"和"统计与概率和实际问题的结合"，因为，只有将统计和概率结合起来，才使得统计变得更加有意义。
2020年高考“直线和圆的方程”专题命题分析
高中数学解析几何中直线和圆的方程的主要内容包括直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等内容.直线和圆的方程是解析几何初步的主要内容，也是学生学习圆锥曲线的基础，同时又与平面几何、平面向量和三角函数等都有着内在联系.该部分内容的学习是学生运用平面直角坐标系将思维认识从一维到二维逐渐丰富的重要过程，同时也是将函数与方程两者融会贯通的过程.一、考点分析2020年高考数学试卷中直线和圆方程的试题注重考查主干知识，突出对学生能力和素养的考查，体现重思维、重应用、重创新的指导思想，除全国新高考试卷的题型有变化外，其他试卷题型基本稳定.直线和圆的方程的相关试题主要考查了圆的方程、直线与圆的位置关系判定、圆的切线方程、点到直线的距离、轨迹问题、利用圆求最值等内容.在考查中坚持基础与能力并重，保持几何与代数交会，突出运用坐标法研究图形几何性质的解析几何本色.基础题考查目标明确，立足于直线与圆的方程及其几何性质，考查解析几何的基本思想和方法；创新题立意新颖，聚焦轨迹问题、定值问题和最值问题等的动态变化研究.2020年高考数学试卷共13份，直线和圆的方程内容的考查情况如下表所示.卷别全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷全国Ⅲ卷全国新高考Ⅰ卷全国新高考Ⅱ卷北京卷天津卷浙江卷上海卷江苏卷科别理文理文理文——————————————题型及题号分布选择题11，填空题15，解答题20选择题6，填空题15，解答题21选择题5，选择题8，解答题19选择题8，选择题9，解答题19选择题5，选择题10，解答题20选择题7，选择题8，解答题21填空题13，填空题15，解答题22填空题13，填空题15，解答题21选择题5，填空题12，解答题20选择题7，填空题12，解答题18填空题15，解答题21选择题10，解答题20填空题14，解答题18分值22222222222222222425212020统计表明，2020年直线和圆的方程的考查特点主要体现在以下四个方面.1.布局合理，分值稳定据统计，2020年高考数学试卷除选考内容外，所有试卷在考查直线和圆的方程这部分内容上分值大致相当，除浙江卷、上海卷、江苏卷外其余试卷均为两2020年高考“直线和圆的方程”专题命题分析收稿日期：2020-08-04作者简介：刘莉（1964—），女，副教授，主要从事高中数学课程、教学、评价研究.刘摘要：针对2020年高考数学试卷中直线和圆的方程相关试题，从考查内容、试题难度和思想方法等方面，总体概括考查特点.研究表明，2020年高考对直线和圆的方程的考查体现了解析几何数与形的基本关系，并在解决问题的方法使用上体现了数形结合思想的力量，利用一题多解，多层次、多角度考查了学生的必备知识、关键能力和核心素养.鉴于此，2021年高考要回归教材、突出思想、重视交会、提升素养.关键词：2020年高考；直线和圆；命题分析道选择题或填空题和一道解答题，且考点全面，重点突出，更侧重于对数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的考查.例如，全国新高考Ⅰ卷第15题，先考查学生对平面图形的读图、识图能力,即直观想象素养；然后考查逻辑推理素养；最后的计算过程考查数学运算素养.2.重视能力，简洁清晰2020年高考数学试题中解析几何部分语言表述简洁清晰，有些题目还辅助图形加以说明，让学生能够将更多的时间和精力投入到数学思考之中.这部分内容的考查突出了代数与几何、方程与函数的转化与化归思想，重点考查了学生的推理论证、运算求解等能力.3.总体难度稳定，突出通性、通法2020年高考数学各试卷对直线和圆的方程部分的考查总体难度不大，考查内容比较稳定，具有考查全面，梯度清晰，降低运算，突出基础知识、基本思想和关键能力等特点.例如，全国Ⅱ卷理科卷的解析几何解答题，位置提到了第19题，明显降低了难度；全国Ⅰ卷和全国Ⅲ卷的解析几何解答题也是常规题型，注重通性、通法，运算量不大，充分体现了在立足于课程标准的基础上，突出重点知识、重要能力，注重对数学思想方法和关键能力进行考查.4.文、理科趋同，逐渐过渡综观2020年高考数学试卷中的直线和圆的方程试题，不难发现，在难度和分值的设置上，对应的文、理科试题都基本相同，即使有些试题不同，背景及考查的知识点也是同根同源，为新一轮高考不分文、理科的改革打下了良好的基础.二、命题思路分析对2020年高考数学的13份试卷中的直线和圆的方程的试题进行分类整理后，不难发现这部分试题紧扣知识点，没有难题、偏题，降低了运算难度，延续了“立足基础，重视思想，坚持创新”的命题思想.试题最大的亮点是既侧重对学生知识技能掌握情况的考查，更关注数学学科核心素养的形成与发展.1.突出主干，考查必备基础直线和圆是解析几何中最简单、最直观的研究对象之一，是学生初步尝试和体验解析几何思想与方法的最佳载体.直线与圆的方程是高中数学知识的重要组成部分，也是高考数学的考点之一，该部分知识相对简单，但应用较为广泛，对今后解决其他几何问题起着重要的作用.综观2020年高考数学试题，发现其特点是重视对本专题必备基础知识的考查，难度稳定，题目常规，突出基础性.例1（全国Ⅰ卷·理11）已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当||PM·||AB最小时，直线AB的方程为（）.（A）2x-y-1=0（B）2x+y-1=0（C）2x-y+1=0（D）2x+y+1=0【评析】该题考查学生比较熟悉的圆上动点到定直线的最短距离问题，设计巧妙，在问题的处理过程中需要用到转化与化归思想，既考查直线与圆的位置关系，也考查两圆的公共弦所在直线的方程.学生在解决问题的过程中，既可以利用平面几何知识将||PM·||AB转化成关于||PM的函数，进而利用函数的性质求出最小值，也可以利用四边形的对角线相互垂直，以四边形的面积为桥梁，得出面积取最小值时的点P位置，最后由两圆的公共弦所在直线的方程得到结论.充分体现了以能力立意的命题思想.例2（全国Ⅰ卷·文6）已知圆x2+y2-6x=0，过点()1，2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）.（A）1（B）2（C）3（D）4【评析】该题涉及最短弦长的问题，考查了直线恒过定点及圆弦长的最值等问题.需要学生根据直线恒过定点选择过这点和圆心垂直的弦，这样就可以求出答案.需要注意的是，在解决直线和圆的问题时，要充分利用数形结合思想.当然，该题也可以用函数思想直接求解，直接利用点到直线的距离公式，求出弦长，这样就将问题转化为函数最值问题，充分体现了试题设置的多元性和开放性.2.侧重转化与化归，突出能力立意数学学科的考试按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确定将知识、能力和素质融为一体，全面检测学生的数学素养.本专题对学生能力的考查重点是抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、文字语言与符号语言及图形语言的相互转化能力，要求学生能够灵活应用.例3（北京卷·5）已知半径为1的圆经过点()3，4，则其圆心到原点的距离的最小值为（）.（A）4（B）5（C）6（D）7【评析】该题表面看起来平淡无奇，实则蕴含着命题者的巧妙设计，解决该题需要学生具备数形结合思想、代数与方程思想、转化与化归思想.学生可以直接在坐标系中作出图形，通过直观感受得出答案；也可以设出圆心，建立圆的方程，再利用方程的几何意义，确定圆上的点到定点距离的最小值，这样问题就迎刃而解了.该题能有效考查学生是否能够灵活使用数形结合思想、代数法和几何法来解决问题.例4（浙江卷·15）已知直线y=kx+b()k>0与圆x2+y2=1和圆()x-42+y2=1均相切，则k的值为，b的值为.【评析】该题考查直线与圆的位置关系.在解题时，学生首先想到的是利用圆的半径和圆心到直线的距离作为突破口，这样就需要通过求解二元二次方程组来求解直线的斜率和截距，进而求得直线方程.另外，由题目可知两圆半径相等，可以借助几何直观发现直线与x轴的交点，再利用点到直线的距离等于半径即可求解.同时，直线的斜率也可以通过构建直角三角形来求解.该题可以从多个角度，利用多种方法求解，体现了命题者的人文关怀.3.聚焦核心素养，注重理性思维例5（全国Ⅲ卷·理20）已知椭圆C：x 225+y2 m2=1()0<m<5的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点.（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且||BP=||BQ，BP⊥BQ，求△APQ的面积.【评析】该题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解决第（2）小题，学生可以尝试作辅助线，然后从几何图形本身出发，利用三角形全等，求出点P和点Q的坐标，有效地考查了学生的平面几何功底.题目的设置也体现了平面解析几何中代数与几何的化归思想.该题还可以从代数角度出发来解决，因为已知||BP=||BQ，这就可以联想到圆，先运用三角函数和参数法，设出点Q的坐标，同理得出点P的坐标，再利用点P在椭圆上，求出点P的坐标.该题在命制时充分考虑到学生在数学关键能力上的个体差异，通过不同方法的选择和解题时间的长短来区分学生能力的差异，充分体现了让不同学生在数学上得到不同发展的教育目标.例6（江苏卷·14）在平面直角坐标系xOy中，已知Pèöø÷0，A，B是圆C：x2+æèöøy-122=36上的两个动点，满足PA=PB，则△PAB面积的最大值是.【评析】该题在2020年高考数学试题中可谓亮点突出，既体现了处理问题的不同思维模式，也体现了不同学生的认知差异，让所有学生都能从自身思维的最近发展区出发来作答.第一种思路，将面积表示成关于点到线距离的函数，再借助均值不等式或函数性质来求解，这种做法运算比较简单；第二种思路，由于对称性，将面积表示成关于角的函数，再利用导数求解最值；第三种思路，根据已知可以求出直线的斜率，设出直线方程，求出弦长及点到直线的距离，这样就构建了关于截距的函数，最后仍然要利用导数得出函数的增、减区间，进而求出函数的最值.4.坚持能力立意，突出选拔功能2020年高考直线和圆的方程内容从试题的立意、情境、设问三方面入手，确定能力考查目标，选择适宜的考查内容，设计恰当的设问方式，着重考查学生的运算求解能力、推理论证能力、阅读理解能力，以及应用意识和创新意识，以研究型、探究型、开放型、情境型问题形式呈现.例7（北京卷·20）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A()-2，-1，且a=2b.（1）求椭圆C的方程；（2）过点B()-4，0的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=-4于点P，Q.求||PB||BQ的值.【评析】该题考点涵盖直线方程、直线与直线的位置关系、直线与椭圆的位置关系，综合性很强，设计上充分考虑了各个层次的学生.第（1）小题是大部分学生都会解决的问题；第（2）小题是定值性问题，着重考查学生的运算求解能力及转化与化归思想，学生不难表示出两段线段的长度，但如果按题意直接处理，化简过程会很困难，因此应当先用特殊情况发现两点的纵坐标互为相反数，再利用解析思想，问题就迎刃而解了.该题具有较强的区分度，体现了高考对学生创新意识的考查，要求学生不仅能理解概念与定义，掌握定理与公式，更重要的是能够应用这些知识解决有一定深度和广度的问题.三、复习建议1.回归教材,夯实基础对基础知识的考查是高考的主体和核心,从历年的高考试题来看,高考试题源于教材而高于教材,如北京卷第5题、全国Ⅲ卷文科第8题等都是对教材上的习题稍作变形得到的，是比较常见的直线和圆的方程问题,考查了解析几何中非常基础且核心的动点的距离问题.但是从答题情况来看,学生对教材上的基础知识掌握不牢，不能灵活运用.因此，在日常教与学的过程中，师生一定要回归教材,重视对基础知识形成和发展过程的学习，重视对数学概念的理解、数学公式的变形及使用、数学定理与法则的推导，要善于挖掘教材例题和习题的价值.例如，点到直线的距离概念、直线与圆的位置关系判定、圆与圆的位置关系的推导过程等，高考中常考的最值问题等都源于这些知识的形成过程，复习时应该侧重思维，抓住其代数和几何的双重结构特点，优化解题方法.2.构建知识网络，完善认知结构在高三数学复习中，寻求知识网络的交会点，加大知识整合力度是提高复习效率的重要方法，也与高考试题的设计思路相吻合.历年高考对直线和圆的考查通常是围绕圆锥曲线来设计试题，因此在复习过程中，要以解析几何思想为主线，构建知识网络结构，进行专题突破，提高学生的解题能力.3.重视数学理解，提高运算技能解析几何题目总体来说运算量较大，对学生的运算素养要求较高.对学生而言，题目解法容易理解，但运算却不是很容易.因此，在直线和圆的方程的复习中也要把提高学生的运算求解能力作为主要的教学目标.事实上，运算是一种重要的数学素养，培养学生数学运算素养不能仅靠技能训练，不能脱离对数学概念、定理、法则的理解，以及对公式的灵活运用等，必须将数学理解和技能训练有机结合，通过解题来完成.如果教学中仅以运算和训练来代替数学理解，容易给学生造成记题型、套公式的错误认知.在解析几何复习阶段可以适当加强“一题多解”和“多题一解”训练，提升学生思维的灵活性，拓宽解题思路，促进学生对解析几何本质的理解，提高运算技能.4.落实教育本源，提升核心素养发展和落实学生的核心素养，提升学生的数学综合能力是当前教育改革的重要价值追求，也力求通过高考进行考查.高考对学生逻辑推理能力的考查，经常与数学运算进行结合，通过具体的运算推导或证明问题的结论，以及在运算中较多地糅合逻辑推理的成分，边推理边计算.也就是说学生解决问题的过程是综合运用各种素养的过程.因此，高考复习中要注重建立核心素养的整体意识，务必重视培养学生的数学学科核心素养.这就要求教师要引导学生理解数学概念，掌握数学的本质，不要就题论题，要关注高考试题与教材中例、习题的联系，并且要对高考试题进行适度引申和变式练习，关注数学思维方法的训练，使学生形成分析问题、解决问题的能力.另外，在复习中教师要创设有利于发展学生数学学科核心素养的教学情境，突出问题导向、突出内容主线、把握内容结构，让学生能够将生活实践和其他学科知识与数学问题结合在一起，在多种知识间建立联系，解决问题.四、模拟题欣赏1.已知圆C1：x2+y2-kx-y=0和圆C2：x2+y2-2ky-1=0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M 在直线mx+ny=2上，则m2+n2的最小值为（）.（A）15（B）（C）（D）45答案：C.2.如果圆()x-a2+()y-a2=1()a>0上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为（）.（A）[]2，2（B）[]2，22（C ）[]1，2（D ）[]1，22答案：B.3.已知p ：直线y =kx +2与圆O ：x 2+y 2=1有交点；q ：A ，B 为△ABC 的内角，若sin 2A =sin 2B ，则三角形为等腰三角形.若p 或q 为真，则实数k 的取值范围是（）.（A ）-1<k <1（B ）k ≤-1或k ≥1（C ）-2<k <2（D ）k ≥1答案：B.4.已知圆C 的标准方程是()x +22+y 2=4，直线l ′：ax +2y +1=0()a ∈R ，若直线l ′被圆C 所截得的弦长为，则直线l ′与直线l ：x -y +2=0的位置关系为（）.（A ）平行（B ）垂直（C ）平行或相交（D ）相交答案：C.5.如图1，圆O ：x 2+y 2=4，A ()2，0，B ()-2，0，D 为圆O 上任意一点，过点D 作圆O 的切线分别交直线x =2和x =-2于E ，F 两点，连接AF ，BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C.图1（1）记直线AF ，BE 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的值，并求曲线C 的方程；（2）设直线l ：y =x +m ()m ≠0与曲线C 有两个不同的交点P ，Q ，与直线x =2交于点S ，与直线y =-1交于点T ，求△OPQ 的面积与△OST 的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.答案：（1）k 1k 2=-14，x 24+y 2=1()y ≠0；（2）m =-53时，λ取得最大值，最大值为.6.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 是椭圆上两点，且直线AB 的斜.图2（1）求证：OA 与OB 的斜率之积为定值；（2）设直线AB 交圆O ：x 2+y 2=4于C ，D 两点，且||AB||CD =，求△COD 的面积.答案：（1）略；（2）S △COD =2.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］陶兆龙.2019年高考“直线和圆的方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（7/8）：120-125.。
高考数学答题步骤介绍_高考数学答题技巧
高考数学答题步骤介绍_高考数学答题技巧高考数学选择题答题步骤1.数学突破运算运算是考场解题的奠基石，运算能力不过关，解题基本无法进行到最后，据估计高三学生绝大多数同学都或多或少有运算困扰，但是却苦于无从提高，因为这被公认为是“基础”没有人也没有资料专门讲解，如果有也是把很多题目放在一块，这是造成很多学生运算一直无法提高的主要原因.2.突破数学概念公式图形这一块内容在数学课本或者资料上都有详细归纳，但高一高二解题一般公式书归纳的内容基本可以，但是进入高三，随着题目的复杂化，你会发现，数学课本或者公式书上的内容还远远不够，我就举一些高一课本中的简单例子，如函数的奇偶性周期性等考试中会涉及很多结论，而这些可能在书上或一般公式书都没有，怎么办?这就需要你自己总结，又如函数的零点定理，它只是充分条件而不是必要条件，那么需要添加什么才能变成充要条件呢，再比如空间几何经常会考一些内外接球，可能你会计算，但是在考场上如果你没有归纳出内外接球半径计算公式，那么最终你可能由于时间关系外加紧张，可能会出现错误。
同时考试中涉及的图形可能并不完全是课本中熟知的，而是课本中基本图形的扩展图形，什么是扩展图形呢，我举一个简单例子，如直线大家都会画，那么对x或y添加绝对值,或者对x,y同时加绝对值它的图形你还会画吗?又如反比例函数y=1/x,扩展图形y=2x+1/x ,y=-2x+1/x, y=(-2x+1)/(x+3)等你知道吗?3.突破选择数学的选择题在考试中占据半壁江山，选择题的解题的解答直接会影响到整个试卷的做题规划，那么如何在较短的时间内提高选择题的解题效率是我们无法回避的现实问题。
那么选择题到底该如何突破呢?突破选择题主要包括：选项特征，选择题快速计算技巧，选择题题目特征及解法，以及一些常见选择题的特殊结论等4.突破-解答题数学解答题是考试中我们遇到的另外一种题型，但是它的解法不同于选择题，由于高考中解答题的特殊性，使我们可以通过一些策略可以取得令人满意的分数。
高考数学函数答题方法和技巧
高考数学函数答题方法和技巧一.高考函数体命题方向高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题;②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题;③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题.在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查.特别注意客观形题目，大题一般难度略大。
二.高考数学函数题答题技巧对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1，0)这点。
(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
指数函数指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得可以得到：(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴,永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)这点。
(8)显然指数函数无界。
奇偶性一般地，对于函数f(x)(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
对一道高考题的剖析、溯源、变式、推广
对一道高考题的剖析、溯源、变式、推广作者：刘海涛来源：《中学生理科应试》2021年第11期《中国高考评价体系》指出：“高考要求学生能够触类旁通、举一反三，甚至融会贯通，既包括同一层面、横向的交互融合，也包括不同层面之间、纵向的融会贯通”.高考客观上对高中教学起到重要的引导作用，因此，在教学过程中，对于一些高考真题，如果能够从不同角度思考，寻求不同的解法，并将其推广到一般化情形，定能加深对问题的本质认识，从而拓宽解题视野，发散解题思维，提升学习兴趣，提高解题能力.本文是笔者对2021年北京高考数学压轴题的研究，现与读者分享交流.一、试题呈现与分析（2021年北京卷题21）定义Rp数列an：对p∈R满足：①a1+p≥0，a2+p=0;②n∈N*，a4n-1<a4n;③m，n∈N*，am+n∈am+an+p，am+an+p+1.（1）对于前4项分别是2，-2，0，1的数列，可以是R2数列吗？说明理由;（2）若an是R0数列，求a5的值;（3）是否存在p∈R，使得存在Rp数列an（其前n项和是Sn），对任意n∈N*，满足Sn≥S10？若存在，求出所有这样的p;若不存在，说明理由.分析该题形式上以集合为载体考查数列，主要考查了用递推方法、分类讨论思想解决问题的能力，需要用到猜想、归纳、证明结论，并利用新的结论解决问题，体现了逻辑推理、数学运算等数学核心素养.第（1）、（2）两问属于常规问题，本文不再赘述，重点论述第（3）问，向读者介绍笔者的研究.二、解法探究解析（1）不是R2数列（理由略）;（2）a5=1（过程略）;（3）思路1 由Sn≥S10得a10≤0≤a11，于是想到先“必要性探路”，再“充分性验证”的方法，首先根据条件中的递推关系得到a10和a11，结合a10≤0≤a11，得到p的值，再对该值进行充分性证明即可.方法1 假设存在满足条件的Rp数列an，其前n项和Sn的最小值为S10，則a10≤0≤a11.由③知a2∈2a1+p，2a1+p+1，而2a1+p+1≥-p+1>-p=a2，则-p=2a1+p，即a1=-p.由③知a3∈a1+a2+p，a1+a2+p+1=-p，1-p，a4∈2a2+p，2a2+p+1=-p，1-p，又由②知a3<a4，则a3=-p，a4=1-p.同理计算可得a5=a6=a7=1-p，a8=a9=a10=a11=2-p.于是有2-p≤0≤2-p，解得p=2，为Sn≥S10的一个必要条件.下面验证p=2的充分性.当p=2时，由上述分析得an=-2（1≤n≤3），an=-1（4≤n≤7），an=0（8≤n≤11），则S10=minS1，S2，…，S11，欲证Sn≥S10，证当n≥11时an≥0即可.下用数学归纳法证明.当n=11时，a11=0，命题成立;假设n=k（k≥11，k∈N*）时，命题成立，即ak≥0.当n=k+1时，由ak+1∈{ak+a1+2，ak+a1+3}得ak+1≥ak+a1+2≥a1+2=0.综上，得当n≥11时an≥0.评注“先充分后必要”法是探究性问题的通性通法之一，先通过必要性找到参数讨论的临界点或取值，再反过来验证其充分性，以保证命题的成立.思路2 由题设条件分析数列an的递推关系，归纳猜想出通项公式，用数学归纳法证明猜想，最后用通项公式解题.方法2 由③知a2∈2a1+p，2a1+p+1，而2a1+p+1>-p，则-p=2a1+p，即a1=-p.由③知an+1∈a1+an+p，a1+an+p+1=an，an+1，an+2∈a2+an+p，a2+an+p+1 =an，an+1，于是an+1，an+2∈an，an+1，则a4n-1，a4n∈a4n-2，a4n-2+1，又由②知a4n-1<a4n，则a4n-1=a4n-2，a4n=a4n-2+1，所以a3=a2=-p，a4=a2+1=1-p.同理计算可得an=-p（1≤n≤3），an=1-p（4≤n≤7），a8=2-p，由此猜想a4n-4= a4n-3=a4n-2=a4n-1=n-1-p（n∈N*）.（说明：这里为了叙述与表达的方便，给数列an增加了a0=-p）用数学归纳法证明猜想：当n=1，2时，猜想成立;假设n=k（k≥2，k∈N*）时猜想成立，即a4k-4=a4k-3=a4k-2=a4k-1=k-1-p，则a4（k+1）-4 =a4k=a4k-2+1=k-p;由a4k+1∈k-p，k-p+1∩k-1-p，k-p，得a4（k+1）-3=k-p;由a4k+2∈k-p，k-p+1∩k-1-p，k-p，得a4（k+1）-2=k-p;a4（k+1）-1=a4（k+1）-2=k-p.因此当n=k+1时猜想也成立.综上，a4n-4=a4n-3=a4n-2=a4n-1=n-1-p.若Sn≥S10，则a10≤0≤a11，即2-p≤0≤2-p，即p=2.当p=2时，有an<0（1≤n≤7），an=0（8≤n≤11），an>0（n≥12），所以Sn≥S10.综上，满足题设的实数p存在，且p=2.评注由数列的递推关系得到前几项后，根据规律归纳猜想出通项，再用数学归纳法证明猜想，得到通项公式的方法是求解一些比较复杂的数学通项的常用方法.猜想通项公式的过程是合情推理的体现，数学归纳法证明猜想的过程是演绎推理的体现，这种解决问题的思维模式恰是发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程.三、问题的溯源数学家波利亚曾说：“解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈.”通过上述解法探究，注意到4n-44=4n-34=4n-24=4n-14=n-1，所以数列an的通项可以记作an=n4-p（这里n表示不超过n的最大整数）.由此，可以将问题作一般化推广，得到如下命题：命题1 已知实数p，若数列an满足：①a1+p≥0，a2+p=0;②n∈N*，a4n-1<a4n;③m，n∈N*，am+n∈am+an+p，am+an+p+1.则（1）数列an的通项公式为an=n4-p;（2）前n项和Sn=-2n42+n4-pn-n4.（3）若p∈Z，则当4p-1≤n≤4p+3时，Sn取最小值-2p2-p;若p∈（m，m+1）（m∈Z），则当n=4m+3时Sn取最小值2m2+（2-4p）m-3p.说明命题1是对高考题的拓展，证明参照高考题的解法2，留给读者思考.笔者猜测，命题者是在充分挖掘了数列n4的性质后，命制出的该道高考题.四、问题的变式若将高考题中的“S10”改为“S11”，则有a11≤0≤a12，即2-p≤0≤3-p，即2≤p≤3.若p=2，当7≤n≤11时，Sn取得最小值;若p=3，当11≤n≤15时，Sn取得最小值;若2<p<3，当且仅当n=11时，Sn取得最小值;照此思路，笔者编制了两道变式题供读者尝试.变式1 已知数列an满足：①a1≥-5，a2=-5;②n∈N*，a4n-1<a4n;③m，n∈N*，am+n∈am+an+5，am+an+6.記数列an的前n项和是Sn，求使得Sn取最小值时的n的值.简解由命题得an=n4-5，则an<0（1≤n≤19），an=0（20≤n≤23），an>0（n≥24），所以当19≤n≤23时Sn取最小值.变式2 定义Rp数列an满足：①a1=-p，a3=1-p;②n∈N*，a2n-1<a2n;③m，n∈N*，am+n∈am+an+p，am+an+p+1.（1）求数列an的通项公式;（2）是否存在p∈R，使得存在Rp数列an（其前n项和是Sn），对任意n∈N*，满足Sn≥S2022？若存在，求出所有这样的p;若不存在，说明理由.简解（1）an=n2-p;（2）a2022=1011-p，a2023=1011-p，由Sn≥S2022，得a2022≤0≤a2023，即1011-p≤0≤1011-p，即p=1011.当p=1011时，有an<0（1≤n≤2021），an=0（n=2022，2023），an>0（n≥2024），所以n∈N*，Sn≥S2021=S2022=S2023.因此，满足题设的实数p存在，且p=1011.根据上述变式，我们不难得到下面的命题：命题2 已知实数p与正整数k（k≥2），若数列an满足：①a1+p=0，ak+1+p=1;②n∈N*，akn-1<akn;③m，n∈N*，am+n∈am+an+p，am+an+p+1.则（1）数列an的通项公式an=nk-p;（2）前n项和Sn=-k2nk2+nk-pn+1-k2nk;（3）若p∈Z，则当pk-1≤n≤（p+1）k-1时，Sn取最小值-k2p2+1-k2p;若p∈（m，m+1）（m∈Z），则当n=（m+1）k-1时Sn取最小值k2m2+（12-p）km-p（k-1）.说明命题2是对命题1的推广，证明留给读者思考.高考试题凝聚着命题人的心血与智慧，是命题者反复考量与打磨才成型的，对教师的教学具有导向性与启示性，要想科学高效备考，了解高考动向、把握高考脉络，深入研究高考真题是必经之路，是教师日常教研的一项基本任务，反映了教师本身的业务素养与能力.文章通过对真题的解法探究，根据a4n-1<a4n这一条件将问题拓展到一般化情况，得到数列的通项、前n项和及其最值，即命题1，接着变式问题，改变p的取值得到变式1，条件式②改为a2n-1<a2n得到变式2，最终将问题推广到更一般化情形，得到命题2.教学中，教师若能引导学生尝试将一些典型问题进行变式探究、一般化推广，实现从“解题”到“解决问题”的转变，定能增强学生的分析问题和解决问题的能力，提升他们的数学核心素养和关键能力，学会处理同类问题的通性通法，避免题海战术，减轻学业负担，提高学习效率，达到多解归一的目的.（收稿日期：2021-08-23）。