2016年高考全国卷(1)理科数学
2016年高考全国1卷理科数学试题及答案详解
启封前★绝密试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（试题及答案详解）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1（B ）2（C ）3（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31（B ）21（C ）32（D ）43（5）已知方程132222=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足 （A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB|=2，|DE|=25则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A ，a//平面CB1D1，a ⋂平面ABCD=m ，a ⋂平面ABA1B1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为 (A)3 (B)2 (C)3(D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=__________. (14)5(2)x x +的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an 的最大值为____________。
2016全国统一高考数学试卷
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，xx在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，）C．（0，3） D．（0，）6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17π B．18πC．20πD．28π7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．ac＜bcB．abc＜bacC．alogbc＜blogac D．logac＜logbc9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5分）（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+）5的xx中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的xx值．19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2xx机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一xx零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个xx零件，为此搜集并整理了100xx这种机器在三年使用期内更换的xx零件数，得如图柱状图：以这100xx机器更换的xx零件数的频率代替1xx机器更换的xx零件数发生的概率，记X表示2xx机器三年内共需更换的xx零件数，n表示购买2xx机器的同时购买的xx零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买xx零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙Oxx，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOyxx，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系xx，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3xx，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；4O：定义法；5J ：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数的模．xx优网版权所有【专题】34 ：方程思想；4O：定义法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】83：等差数列的性质．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，xx在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．xx优网版权所有【专题】5I ：概率与统计．【分析】求出xx等车时间不超过10分钟的时间xx，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设xx到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，xx等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，）C．（0，3） D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17π B．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5F ：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．xx优网版权所有【专题】27 ：图表型；48 ：分析法；51 ：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．ac＜bc B．abc＜bacC．alogbc＜blogac D．logac＜logbc【考点】72：不等式比较大小；4M：对数值大小的比较．xx优网版权所有【专题】33 ：函数思想；35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式．【分析】根据已知xxa＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误；函数f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B错误；logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．故D错误；0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc ＜blogac，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；28 ：操作型；5K ：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合；K8：抛物线的简单性质．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，xA==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5G ：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．xx优网版权所有【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ﹣2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；35 ：转化思想；5A ：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+）5的xx中，x3的系数是10 ．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项xx的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出xxxxx3的系数．【解答】解：（2x+）5的xx中，通项公式为：Tr+1==25﹣r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为64 ．【考点】8I：数列与函数的综合；87：等比数列的性质．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值．【解答】解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…an=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000 元．【考点】7C：简单线性规划．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；31 ：数形结合；33 ：函数思想；35 ：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．xx优网版权所有【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABCxx，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的xx值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5H ：空间向量及应用；5Q ：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的xx值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的xx值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2xx机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一xx零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个xx零件，为此搜集并整理了100xx这种机器在三年使用期内更换的xx零件数，得如图柱状图：以这100xx机器更换的xx零件数的频率代替1xx机器更换的xx零件数发生的概率，记X表示2xx机器三年内共需更换的xx零件数，n表示购买2xx机器的同时购买的xx零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买xx零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5xxn的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5xx，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；J2：圆的一般方程．xx优网版权所有【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；5B ：直线与圆；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用xx定理xx长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆xx的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用xx定理xx长公式，以及直线xx相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；51：函数的零点．xx优网版权所有【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x ﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g （x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0xx成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）xx成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）ex=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x ﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在Rxx至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在Rxx单调递增，函数f（x）在Rxx至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在Rxx至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）xx成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙Oxx，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．xx优网版权所有【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5M ：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOyxx，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系xx，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3xx，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4A ：数学模型法；5S ：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3xx，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．xx优网版权所有【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，。
2016高考理科数学全国1卷-含答案
2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合{}0342<+-=x x x A ，{}032>-=x x B ，则=B A（A ）（3-，23-） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（23-，3）（2） 设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3） 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4） 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （5） 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3）（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（7） 函数xe x y -=22在[]22，-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）（8） 若1>>b a ，10<<c ，则（A ）c c b a < （B ）c c ba ab < （C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <（9） 执行右图的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ,1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）y （10） 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 点．已知24=AB ，52=DE ，则C （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（11） 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31（12） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016高考真题数学全国乙卷理科试卷
秘密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1.设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （ ）. A.33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2.设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.A. 1B.D.23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）. A. 100 B.99 C.98 D.974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.A.13B.12 C.23 D. 34 5.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）.A. ()1,3-B.(-C.()0,3D.(6.如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ）. A. 17π B. 18π C. 20π D. 28π7.函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A.B.C.D.8.若101a b c >><<，，则（ ）. A.cca b < B.ccab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c <9.执行如图所示的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（ ）. A.2y x = B.3y x = C.4y x = D.5y x =10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ,E 两点.已知||AB =DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）.A. 2B.4C.6D.811.平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α 平面=ABCD m ，α 平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）.A.2 B.2 C. 3D.1312. 买《全归纳》即赠完整word 版高考真题已知函数π()sin()0,,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭…π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）.A.11B.9C.7D.5第II 卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量(,1),m =a (1,2)=b ，且222+=+a b a b ，则m = .14. (52x 的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）.15.设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 . 16. 买《全归纳》即赠完整word 版高考真题某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c =ABC △ABC △的周长． 18.（本小题满分12分）如图所示，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠= ，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60 ．（1）求证：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值．19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（1）求X 的分布列； （2）若要求()0.5P X n 剠，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？20. 买《全归纳》即赠完整word 版高考真题（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点且与轴不重合，交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明EA EB +为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21. 买《全归纳》即赠完整word 版高考真题（本小题满分12分） 已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点.FEDC BA40（1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，求证：122x x +<.请考生在第22，23，24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.满分10分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （1）求证：直线AB 与圆O 相切；（2）点,C D 在圆O 上，且,,,A B C D 四点共圆，求证：CD AB ∥.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.（1）在如图所示的图形中，画出()y f x =的图像； （2）求不等式()1f x >的解集.ODCBA组合教育《洞穿高考数学辅导丛书》编委会供稿。
2016年高考理科数学全国1卷-含答案
2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合{}0342<+-=x x x A ，{}032>-=x x B ,则=B A(A ）（3-，23-) （B ）(3-,23) （C ）（1，23） （D)(23-，3）（2） 设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x（A)1 （B)2 (C ）3 （D ）2（3） 已知等差数列{}n a 前9项的和为27,810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 (D ）97（4） 某公司的班车在7:30,8：00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A)31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （5） 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） (B ）（1-，3） （C ）（0,3) （D ）(0，3)（6） 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（7） 函数xe x y -=22在[]22，-的图象大致为（A ） （B ） (C ） (D)（8） 若1>>b a ，10<<c ，则（A ）c c b a < （B ）c c ba ab < （C)c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <（9） 执行右图的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= (C ）x y 4= （D ）y （10） 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 点．已知24=AB ，52=DE ，则C （A ）2 (B ）4 （C ）6 (D ）8（11） 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为(A)23 （B)22 （C ）33 （D ）31（12） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>,4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 (C)7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考理科数学全国1卷,附答案
2016 年高考数学全国 1 卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项是符合题目要求的.9．执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出x ，y 的值满足（）2﹣4x+3＜0} ，B={x|2x ﹣3＞0} ，则 A ∩B=（）1．设集合 A={x| x A ．（﹣3，﹣）B ．（﹣3， ） C．（1， ）D ．（ ，3）2．设（ 1+i ）x=1+yi ，其中 x ，y 是实数，则 |x+yi|= （ ） A ．1B．C．D． 23．已知等差数列 {a n } 前 9 项的和为 27，a 10=8，则 a100=（ ）A ．100B．99C．98D． 97 4．某公司的班车在 7：00，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）A ．y=2xB ．y=3xC ． y=4xD．y=5x A ．B．C ．D ．10．以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点，交 C 的准线于 D 、 E 两点．已知 |AB|=4，|DE|=2 ，则 C 的焦 点到准线的距离为（ ） 5．已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ ）A ．2B．4C．6D．8A ．（﹣1， 3） B ．（﹣1， ）C ．（ 0，3）D．（ 0，）11．平面 α过正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的顶点 A ，α ∥平面 CB 1D 1，α ∩平面 ABCD=，m α ∩平面 ABB 1A 1=n ，则 m 、n所成角的 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 ，正弦值为（ ） 则它的表面积是（）A ．B．C．D ．12．已知函数 f （x ）=sin （ ωx+φ）（ω＞0，| φ| ≤ ）， x=﹣为 f （ x ）的零点， x= 为 y=f （x ）图象的对称轴， 且 f （ x ）在（， ）上单调，则 ω 的最大值为（） A ．17πB ． 18πC ．20πD ．28πA ．11B．9C．7D． 57．函数y=2x2﹣e |x|在[﹣2，2] 的图象大致为（）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 .13．设向量=（m ， 1）， =（1，2），且 |+ | 2=| | 2+| | 2，则m= ．14．（2x+）5 的展开式中， x 3 的系数是．（用数字填写答案）15．设等比数列 {a n } 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2⋯ a n 的最大值为．A ．B ．C ．D ．16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 8．若 a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（）个工时；生产一件产品B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品A 的利润为 2100 元，生产一件 A ．ac ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．alogc ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．alogb c ＜blog a c D ．log a c ＜log b c产品B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．第 1页共 9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理三、解答题：本大题共 5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或步骤.19．（12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器演算外时，可以额17．（12 分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，整理集并（Ⅰ）求C；应同时购买几个易损零件，为此搜状图：得如图柱以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更为，求△ABC的周长．（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5 ，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角 DE与二面角C﹣B E﹣F都是60°．A F﹣﹣（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；A的余弦值．B C﹣（Ⅱ）求二面角E﹣第2页共9 页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆 A 于C，D两点，过 B 作2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D两点，过 B 作21．（12 分）已知函数 f （x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）x+a（x﹣1）2 有两个零点．AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅰ）证明|EA|+|EB| 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ）设x1，x2 是f （x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N两点，过 B 且与l 垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．第 3 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. [ 选修4-5 ：不等式选讲]24．已知函数 f （x）=|x+1| ﹣|2x ﹣3| ．[ 选修4-1 ：几何证明选讲] （Ⅰ）在图中画出y=f （x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f （x）| ＞1 的解集．22．（10 分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[ 选修4-4 ：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ．（Ⅰ）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tan α0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．第 4 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理2016 年高考数学全国 1 卷（理科）参考答案与试题解析7．【解答】 解：∵ f （x ）=y=2x 2﹣e |x| ，∴ f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |x| ，∴ f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |﹣x | =2x 2﹣e |x| ，故函数为偶函数， 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 2 x当 x=±2 时， y=8﹣e ∈（ 0，1），故排除 A ，B ； 当 x ∈[0 ， 2] 时， f （x ） =y=2x ﹣e ，1．【解答】 解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}= （1，3），B={x|2x ﹣3＞0}= （ ，+∞），∴ f ′（ x ）=4x ﹣e x =0 有解，故函数 y=2x 2﹣e |x| 在[0 ，2] 不是单调的，故排除 C ，x =0 有解，故函数 y=2x 2﹣e |x| 在[0 ，2] 不是单调的，故排除 C ，故选： D∴A ∩B=（ ，3），故选： D8．【解答】 解：∵ a ＞b ＞1，0＜ c ＜1，2．【解答】 解：∵（ 1+i ） x=1+yi ，∴ x+xi=1+yi ，即，解得，即 |x+yi|=|1+i|=，∴函数 f （x） =x c 在（ 0，+∞）上为增函数，故 a c ＞b c ，故 A 错误；c 在（ 0，+∞）上为增函数，故 a c ＞b c ，故 A 错误； 故选： B ．函数 f （x ）=x c ﹣1 在（ 0，+∞）上为减函数，故 a c ﹣1＜b c ﹣1，故 ba c ＜ab c，即 ab c ＞ba c ；故 B 错误； c ﹣1 在（ 0，+∞）上为减函数，故 a c ﹣1＜b c ﹣1，故 ba c ＜ab c ，即 ab c ＞ba c ；故 B 错误；log a c ＜0，且 log b c ＜0，log a b ＜ 1，即= ＜1，即 log a c ＞log b c ．故 D 错误；3．【解答】 解：∵等差数列 {a n }前 9 项的和为 27，S 9===9a 5 ．0＜﹣l og a c ＜﹣l og b c ，故﹣b log a c ＜﹣a log b c ，即 blog a c ＞alog b c ，即 alog b c ＜blog a c ，故 C 正确；∴9a 5=27，a 5 =3，又∵ a 10=8，∴ d=1，∴ a 100=a 5+95d=98，故选： C故选： C4． 【解答】 解：设小明到达时间为y ，当 y 在 7： 50 至 8：00，或 8：20 至 8：30 时，9．【解答】 解：输入x =0，y=1，n=1，则x =0，y=1，不满足x2+y 2≥ 36，故 n=2，2+y 2≥ 36，故 n=2，小明等车时间不超过10 分钟，故 P= = ，故选： B则x= ，y=2，不满足x 2+y 2≥ 36，故 n=3，则x = ，y=6，满足x 2+y 2≥ 36，故 y=4x ，2+y 2≥ 36，故 n=3，则x = ，y=6，满足x 2+y 2≥ 36，故 y=4x ， 故选： C5．【解答】 解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴ c=2，当焦点在 x 轴上时，可得： 4=（m2+n ）+（3m 2﹣n ），解得： m2=1， 22∵方程﹣=1 表示双曲线，∴（ m +n ）（3m ﹣n ）＞ 0，可得：（n+1）（3﹣n ）＞ 0，210．【解答】 解：设抛物线为 y =2px ，如图： |AB|=4，|AM|=2 ，|DE|=2 ，|DN|= ，|ON|= ，解得：﹣1＜n ＜3，即 n 的取值范围是： （﹣1，3）．当焦点在 y 轴上时，可得：﹣4=（m 2+n ）+（3m 2﹣n ），解得： m 2=﹣1， 2+n ）+（3m 2﹣n ），解得： m 2=﹣1， x A = = ， |OD|=|OA| ，=+5，解得： p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．无解．故选： A ．故选： B ．6．【解答】 解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图： 可得：=，R=2．它的表面积是：×4π?2 2+=17π．故选：A．共9 页第5页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师11．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=，mα∩平面ABA1B1=n，15．【解答】解：等比数列{a n} 满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q= ．a1+q1=10，解得a1=8．2a2a可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n 所成角的正弦值为：．故选：A．则a1a2⋯a n=a1n?q1+2+3+⋯+（n﹣1）=8n? = = ，当n=3 或4时，表达式取得最大值：=26=64．n?q1+2+3+⋯+（n﹣1）=8n? = = ，当n=3 或4 时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．16．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元．由题意，得，z=2100x+900y ．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y ．经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．12．【解答】解：∵x=﹣为f （x）的零点，x= 为y=f （x）图象的对称轴，故答案为：216000．∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f （x）在（，）上单调，则﹣= ≤，即T= ≥，解得：ω≤12，当ω=11 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵| φ| ≤，∴φ=﹣，此时 f （x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵| φ| ≤，∴φ= ，此时 f （x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选： B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共25 分.13．【解答】解：| + | 2=||2+||2，可得? =0．向量=（m，1），=（1，2），三、解答题：本大题共 5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．17．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC ≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA ）=sinC ，整理得：2cosCsin （A+B）=sinC ，14．【解答】解：（2x+ ）r+1= =25 的展开式中，通项公式为：T5﹣r ，5 的展开式中，通项公式为：T5﹣r ，即2cosCsin （π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC ∴cosC= ，∴C= ；令5﹣=3，解得r=4 ∴x 3 的系数 2 =10．故答案为：10．3 的系数 2 =10．故答案为：10．（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab? ，∴（a+b）2+b2﹣2ab? ，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S= absinC= ab= ，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+ ．第6页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理18．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，19．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF? 平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；P（X=16）=（）2= ，（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣A F﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，P（X=17）= ，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣B E﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF? 平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=C，D AB? 平面ABCD，P（X=18）=（）2+2（）2= ，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，P（X=19）= = ，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），P（X=20）= = = ，∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）P（X=21）= = ，P（X=22）= ，设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．∴X的分布列为：X 16 17 18 19 20 21 22设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：设二面角E﹣B C﹣A的大小为θ，则cosθ= = =﹣，P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）= = ．则二面角E﹣B C﹣A的余弦值为﹣．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= + = ．∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= + = ．买19 个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20 个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19 个更合适．第7页共9 页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，21．【解答】解：（Ⅰ）∵函数 f （x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，∴f ′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），x+a（x﹣1）2，∴f ′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），另一部分为备件不足时额外购买的费用，x①若a=0，那么 f （x）=0? （x﹣2）e =0? x=2，函数 f （x）只有唯一的零点2，不合题意；当n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000 ×0.08+1500 ×0.04=4040 ，②若a＞0，那么e x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f ′（x）＜0，此时函数为减函数；x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f ′（x）＜0，此时函数为减函数；当n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000 ×0.4=4080 ，∴买19 个更合适．当x＞1 时，f ′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1 时，函数 f （x）取极小值﹣e，x由f （2）=a＞0，可得：函数 f （x）在x＞1 存在一个零点；当x＜1 时，e ＜e，x﹣2＜﹣1＜0，20．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2 =16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，∴f （x）=（x﹣2）e ＞（x﹣2）e+a（x﹣1）x+a（x﹣1） 2x+a（x﹣1） 22=a（x﹣1）2 +e（x﹣1）﹣e，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t 1，t 2，且t 1 ＜t 2，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4 ，故 E 的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，则当x＜t 1，或x＞t 2 时，f （x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数 f （x）在x＜1 存在一个零点；即函数 f （x）在R是存在两个零点，满足题意；且有2a=4，即a=2，c=1，b= = ，则点 E 的轨迹方程为+ =1（y≠0）；③若﹣＜a＜0，则ln （﹣2a）＜lne=1 ，当x＜ln （﹣2a）时，x﹣1＜ln （﹣2a）﹣1＜lne ﹣1=0，（Ⅱ）椭圆C1：+ =1，设直线l ：x=my+1，由PQ⊥l ，设PQ：y=﹣m（x﹣1），e x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即 f ′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即 f ′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，当ln （﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，ex +2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，由可得（3m 1，y1），N（x2，y2 ），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x 即f ′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故 f （x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，x+2a）＜0 恒成立，故 f （x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，故当x=ln （﹣2a）时，函数取极大值，则|MN|= ?|y 1﹣y2|= ? = ? =12? ，由f （ln （﹣2a））=[ln （﹣2a）﹣2] （﹣2a）+a[ln （﹣2a）﹣1] 2=a{[ln （﹣2a）﹣2] 2+1} ＜0 得：函数 f （x）在R上至多存在一个零点，不合题意；A到PQ的距离为d= = ，|PQ|=2 =2 = ，④若a=﹣，则ln （﹣2a）=1，当x＜1=ln （﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，则四边形MPNQ面积为S= |PQ| ?|MN|= ? ?12 ?即f ′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，故函数 f （x）在R上单调递增，x+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，故函数 f （x）在R上单调递增，函数 f （x）在R上至多存在一个零点，不合题意；=24? =24 ，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24? =8 ，⑤若a＜﹣，则ln （﹣2a）＞lne=1 ，当x＜1 时，x﹣1＜0，ex+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12 ，8 ）．当1＜x＜ln （﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0 恒成立，故 f （x）单调递减，当x＞ln （﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，故当x=1 时，函数取极大值，由f （1）=﹣e＜0 得：函数 f （x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述， a 的取值范围为（0，+∞）第8 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是f （x）的两个零点，∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a3 ，2=0，即为 C2=0，即为 C∴f （x1）=f （x2）=0，且x1≠1，且x2≠1， 2∴1﹣a =0，∴a=1（a＞0）．∴﹣a= = ，令g（x）= ，则g（x1）=g（x2）=﹣a，[ 选修4-5 ：不等式选讲]24．∵g′（x）= ，∴当x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；【解答】解：（Ⅰ）f （x）= ，当x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）= ﹣= ，由分段函数的图象画法，可得 f （x）的图象，如右：设h（m）= ，m＞0，（Ⅱ）由|f （x）| ＞1，可得当x≤﹣1 时，|x ﹣4| ＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；则h′（m）= ＞0 恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，当﹣1＜x＜时，|3x ﹣2| ＞1，解得x＞1 或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，当x≥时，|4 ﹣x| ＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或≤x＜3．令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）? g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）? 2﹣x1＞x2，综上可得，x＜或1＜x＜3 或x＞5．则|f （x）| ＞1 的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．即x1+x2＜2．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[ 选修4-1 ：几何证明选讲]【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=O，B∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=O，B TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．[ 选修4-4 ：坐标系与参数方程]【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2+（y﹣1）2=a2．∴C1 为以（0，1）为圆心，以 a 为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2+y2=ρ2，y=ρsin θ，得ρ2﹣2ρsin θ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cos θ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0 满足t an α0=2，得y=2x，∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，第9页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理。
2016年高考理科数学全国1卷Word版(含详细答案)
（A） （B） （C） （D）
（2）设 ，其中 是实数，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知等差数列 前 项的和为 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（4）某公司的班车在 ， ， 发车，小明在 至 之间到达发车站乘
坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（21）（本小题满分12分）
已知函数 有两个零点．
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 是 的两个零点，证明： ．
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图， 是等腰三角形， ．以 为圆心，
为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线 与⊙ 相切；
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。晖军頷损铖榄煬种撵摈賠宽櫬皱鳏趨飩黌埡蕭弳龉鶘鈉縝飆徠賻繭蓟閏贐錳寿袄帐鲍農亏厩壙届线鱿舊赞龅诨銨续呓恽习餓圇权匭姍鋇顓员贺頻轨稅個燜够镍鏽鐘闔鹌兹約侣蜆况脹鍔飯裝饱匮繼谗贱馍党漸啭锴泺媯黄繞橫钫。
（11）平面 过正方体 的顶点 ， 平面 ， 平面
， 平面 ，则 所成角的正弦值为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数 ， 为 的零点， 为
图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为
（A）11（B）9（C）7（D）5
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。懾圇贄疗锈鎳沒蚀棧屨惭綻釗滄脓玑鲚窑濘盡湊鏇鷥錠閾胆竞繪锖缨肾糁勱萤哝鹩灤詎資纪緱赢诽麩讥鹰鋪鏑竖囂饨斷壇钶钟睾嬷韫薈殮禄阏铈鉻質铪稱悫惨茔俦牵鈣頃赢痙悫鹤担隱遞訟兴踬讽栈涣瀏锣辫闡綢務盜儉謁骄隊。
2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅰ，理1，5分】设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则AB =（ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】{|13}A x x =<<，3{|}2B x x =>，3{|3}2A B x x ∴=<<，故选D ．【点评】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易． （2）【2016年全国Ⅰ，理2】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题意知：1x y ==，i =1i 2x y ∴++=，故选B ．【点评】察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易． （3）【2016年全国Ⅰ，理3，5分】已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C【解析】解法一：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a a d -∴==-()100101001089098a a d ∴=+-=+=，选C ． 解法二：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得11,1a d =-=，()1001100119998a a d ∴=+-=-+=，故选C ． 【点评】考察等差数列的基本性质、前n 项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易． （4）【2016年全国Ⅰ，理4，5分】某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是201402P ==，故选B ．【点评】考察几何概型的概率计算，第一次考察，难易程度：易．（5）【2016年全国Ⅰ，理5，5分】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：2234m n m n ++-=，解得21m =，1030n n +>⎧∴⎨->⎩，解得13n -<<，故选A ．【点评】考察双曲线的简单几何性质，属于了解层次，必考题，难易程度：易． （6）【2016年全国Ⅰ，理6，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=解得2r =，2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ．【点评】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等． （7）【2016年全国Ⅰ，理7，5分】函数22xy x e =-在[2,2]-的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【答案】D【解析】解法1（排除法）：2()2xf x x e =-为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ．解法2：2()2xf x x e =-为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时， '0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】本题结合导数利用函数奇偶性，综合考察函数解析式与函数图像之间的关系，常规题型，属于必考题，难易程度：中等．这类题型的最佳解法应为结合函数的性质，选取特殊点进行排除．（8）【2016年全国Ⅰ，理8，5分】若101a b c >><<，，则（ ） （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C【解析】解法1（特殊值法）：令14,22a b c ===，，易知C 正确．解法2：当0α>时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递增，故A 选项错误；当1a >时，a 越大对数函数()log a f x x =的图像越靠近x 轴，当01c <<时，log log a b c c >，故D 选项错误；c c ab ba <可化为()c a ab b<，由指数函数知，当1a >时，()x f x a =在(0,)+∞上递增，故B 选项错误；log log b a a c b c <可化为11log log abb ac c <，1111abbb b a <<<，故选C ．【点评】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等． 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除．（9）【2016年全国Ⅰ，理9，5分】执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C【解析】011x y n ===，，时，框图运行如下： 1、012x y n ===，，；2、1232x y n ===，，；3、3632x y n ===，，，故选C ．【点评】考察算法中的循环结构，必考题型，难易程度：易． （10）【2016年全国Ⅰ，理10，5分】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C的标准线于D 、E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】B【解析】解法1排除法：当4p =时，不妨令抛物线方程为28y x =，当y =1x =，即A 点坐标为(，所以圆的半径为3r =，此时D 点坐标为(-，符合题意，故B 选项正确．解法2：不妨令抛物线方程为22y px =，D 点坐标为2P ⎛- ⎝，则圆的半径为r =，22834p r -=-，即A 点坐标为⎭，所以22=，解得4p =，故选B ． 【点评】考察抛物线和圆的简单性质，必考题型，难易程度：中等． （11）【2016年全国Ⅰ，理11，5分】平面a 过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//a 平面11CB D ，a 平面ABCD m =，a 平面11ABA B n =，则m 、n 所成角的正弦值为（ ）（A （B ）2 （C （D ）13【答案】A【解析】令平面a 与平面11CB D 重合，则11m B D =，1n CD =，故直线m 、n 所成角为60o ，，故选A ． 【点评】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算，必考题型，难易程度：中等．（12）【2016年全国Ⅰ，理12，5分】已知函数()()sin 02f x x +πωϕωϕ⎛⎫=>≤ ⎪⎝⎭，，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（ ）（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】解法1（特殊值验证法）令9ω=，则周期29T π=，区间[]44ππ-，刚为94T ，且在53636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，恰好符合题意，故选B ．解法2：由题意知152()24369T πππ≥-=，所以29Tπω=≤，故选B ．【点评】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质，属于必考题型，难易程度：偏难．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，理13，5分】设向量(),1m =a ，()1,2=b ，且222+=+a b a b ，则m = ． 【答案】2-【解析】解法一（几何法）由向量加法的几何意义知a b ⊥，故20a b m ⋅=+=，所以2m =-；解法二（代数法）22(1)9114m m ++=+++，解得2m =-．【点评】考察向量运算，必考题型，难易程度：易．（14）【2016年全国Ⅰ，理14，5分】(52x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】10【解析】()555215522r rrrr rr T Cx C x---+==，令532r-=，解得4r =，454525210C -∴=⨯=． 【点评】考察二项式定理展开式中指定项问题，必考题型，难易程度：中等．（15）【2016年全国Ⅰ，理15，5分】设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 ． 【答案】64【解析】由1310a a +=，245a a +=解得118,2a q ==，14118()()22n n n a --∴==，27321(4)21211()()22n nn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==，所以当3n =或4时，12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64．【点评】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题，必考题型，难易程度：中等． （16）【2016年全国Ⅰ，理16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016年数学全国高考1卷试题及答案
2016年数学全国高考1卷试题及答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效().4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】D【答案】B【解析】【答案】C【解析】【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，小明到达时间总长度为40，等车不超过10分钟，符合题意的是是7:50-8:00，和8:20-8:30，故所求概率为，选B.（5）已知方程x2m2+n –y23m2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) 【答案】A（6）如图，某几何体的三视图是三个半径()相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C）（D）【答案】C【解析】12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点学.科网，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =.(14)5(2x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。
2016全国高考数学试题及答案
2016全国高考数学试题及答案【篇一：2016年高考全国卷(一)理科数学试题及答案】>试题类型：a2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合a?{x|x?4x?3?0}，b?{x|2x?3?0}，则a?b? 23333(?3,?)(1,)(,3)(?3,)2（b）2（c）2（d）2（a）（2）设(1?i)x?1?yi，其中x，y是实数，则x?yi=（a）1（bcd）2（3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（a）100（b）99（c）98（d）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（a）1123（b）（c）（d） 3234x2y2??1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（5）已知方程22m?n3m?n（a）(–1,3) （b）(–3) （c）(0,3) （d）3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（a）（b）（c）（d）0?c?1，则（8）若a?b?1，（a）ac?bc（b）abc?bac（c）alogbc?blogac（d）logac?logbc（9）执行右面的程序图，如果输入的x?0，y?1，n?1，则输出x，y的值满足（a）y?2x（b）y?3x（c）y?4x（d）y?5x(10)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a、b两点，交c的标准线于d、e两点.已知|ab|=|de|=则c的焦点到准线的距离为(a)2(b)4(c)6(d)8(11)平面a过正方体abcd-a1b1c1d1的顶点a，a//平面cb1d1，a?平面abcd=m，a?平面aba1b1=n，则m、n所成角的正弦值为1b)(d) 32?12.已知函数f(x)?sin(?x+?)(??0?2),x???4为f(x)的零点，x??4为y?f(x)图像的对称轴，且f(x)在???5???单调，则?的最大值为 1836??（a）11 （b）9 （c）7 （d）5第ii卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=__________.(14)(2x5的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为____________。
2016高考全国1数学试卷及解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）理科数学第Ⅰ卷一．选择题（共12小题）1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二．填空题（共4小题）13．设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三．解答题（共7小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l 交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2018年04月22日fago的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二．填空题（共4小题）13．设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r==25﹣+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三．解答题（共7小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122 P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l 交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g （1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2016年数学全国高考1卷试题及答案
（I）证明 为定值，并写出点E的轨迹方程；
（ ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求 的分布列；
（ ）若要求 ，确定 的最小值；
（ ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应选用哪个？
20.（本小题满分12分）
（II）直线C3的极坐标方程为，学.科网其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)=∣x+1∣-∣2x-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；
（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。
2016数学高考卷1解析
(I)证明：直线AB与O相切；
(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）
。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=cosθ.
（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
已知函数有两个零点.
(I)求a的取值范围；
(II)设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.
2016全国高考理科卷
绝密★启用前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41i z z =-（ ）(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量13(,)22B A =uuv ,31(,),22BC =uuu v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是（ ）(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均最高气温高于200C的月份有5个（5）若3ta n4α=，则2c o s2sin2αα+=（）(A)6425(B)4825(C) 1 (D)1625（6）已知432a=，254b=，1325c=，则（）（A）b a c<<（B）a b c<<（C）b c a<<（D）c a b<<（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）（A）3（B）4（C）5（D）6（8）在A B C△中，π4B=，BC边上的高等于13B C,则cos A=（）（A）31010（B）1010（C）1010-（D）31010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ） （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
2016年全国Ⅰ卷理科数学16题(高考数学说替比赛)
24
变式三：
某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.
生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用3个工时；
生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，
生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为
900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过
13年 14年 15年 16年 17年
Ⅰ卷，空考 Ⅱ卷，9题（知最值，求参数）
Ⅰ卷，9题（可行域） Ⅱ卷，9题（求截距，不含参）
Ⅰ卷，15题（求斜率，不含参） Ⅱ卷，14题（求截距，不含参）
Ⅰ卷，16题（应用题） Ⅱ卷，空考
Ⅲ卷，13题（求截距，不含参） Ⅰ卷，14题（求截距，不含参） Ⅱ卷，5题（求截距，不含参） Ⅲ卷，13题（求截距，不含参）
x 0
1y.5x0 0.5y 150
x
0.3 y
90
5x 3y 600
目标函数： z 2100x 900y
10
思维流程：
审题
整理 数据
平移直线 法找最优 解求最值
数
回
学
作图
归
建
现
模
实
特殊点法
找最优解 求最值
11
难点易错点1：整理数据，数学建模 难点易错点2：作图 难点易错点3：最优解的确定
B．16万元 D．18万元
甲 乙 原料限额
A（吨） 3
2
12
B（吨） 1
2
8
32
4.高考命题中的趋势和方向
通过对历年高考题的观察，2018年高考，考查 的方向仍然以线性规划的常规题为主，但是也 有可能在目标函数的形式、含参数以及应用题 等方面做文章！
2016全国统一高考数学真题及解析(文、理科)新课标Ⅰ卷(题解分离)
2016年普通高等学校招生全国统一考试文、理科数学（新课标卷Ⅰ）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【理】设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 【文】设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7}2.【理】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【文】设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）−3 （B ）−2 （C ）2 （D ）33.【理】已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97【文】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）564.【理】某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【文】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A ）2（B ）3（C ）2（D ）35.【理】已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)【文】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）346.【理】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【文】将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)7.【理】函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ） (C) (D)【文】同【理】68.【理】若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【文】若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b9.【理】执行右面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【文】同【理】710.【理】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【文】同【理】911.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33（D ）1312.【理】已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【文】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.【理】设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = . 【文】设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 14.【理】5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）【文】已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)= . 15.【理】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2鬃?a n 的最大值为 . 【文】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为 .16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【理】（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7,c ABC △=的面积为332，求ABC △的周长． 【文】已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和. 18.【理】（本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．【文】如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明：G 是AB 的中点；（II ）在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积． 19．【理】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【文】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：161718192021频数更换的易损零件数610162024记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （I ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；（II ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（III ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.【理】（本小题满分12分）PABD CGE设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【文】在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21．【理】（本小题满分12分） 已知函数有两个零点.（I ）求a 的取值范围； （II ）设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<2.【文】已知函数. (I)讨论的单调性；(II)若有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)
范围是
（A） 1,3 （B） 1, 3 （C） 0,3 （D） 0, 3
【答案】A
考点：双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意 双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错. （6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何
一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
（1）设集合 A x x2 4x 3 0 , x 2x 3 0 ,则 A B
（A）
3,
3 2
【答案】D
（B）
3,
3 2
（C）
1,
3 2
（D）
3 2
,
3
考点：集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般 要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数 集之间的运算,常借助数轴进行运算.
（8）若 a b 1，0 c 1,则 （A） ac bc （B） abc bac （C） a logb c b loga c （D） loga c logb c
【答案】C 【解析】
试题分析：用特殊值法,令 a 3, b
2,c
1
1
得 32
1
22 ,选项
A
1
错误, 3 22
1
2 32 ,选项
2016 高考数学（理科）试卷（全国 1 卷）
绝密 ★ 启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 1 卷）
数学（理科）
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷
2016年高考理科数学全国卷(全国ⅠⅡ Ⅲ卷)共三套试卷试题真题含答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2430={|}A x x x -+<，3{}0|2x B x ->=，则A B =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)22．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则|i |x y += （ ）A ．1BCD ．23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）A ．100B ．99C ．98D ．974．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．345．已知方程222213x y m n m n -=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ） A ．(1,3)- B．(- C ．(0,3)D．6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此-------------------卷-------------------上--------------------答-------------------题--------------------无------------------效----------ABC D 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．c ca b <B ．c cab ba >C ．alog log b a c b c <D ．log log a b c c <9．执行右面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E两点，已知||AB =，||DE =C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6D ．811．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A．B．2C．D ．1312．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5(,)1836ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．设向量a (,1)m =，b (1,2)=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则m = ．14．5(2x 的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）．15．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a …的最大值为 ．16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC △的面积为，求ABC △的周长．18．（本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E BC A --的余弦值．19．（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的 频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率，记X 表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数，n 表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n =19与n =20之中选其一，应选用哪个？20．（本小题满分12分）设圆22215=0x y x ++-的圆心为A ，直线l 过点(10)B ，且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明||||EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<．请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA为半径作圆.（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24．（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲ABCDE已知函数()|1||23| f x x x=+--.（Ⅰ）在图中画出()y f x=的图象；（Ⅱ）求不等式|()|1f x>的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】D【解析】{}{}2A x x4x30x1x3=-+<=<<，{}3B x2x30x x2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，故3A B x x32⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．【提示】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【考点】交集及其运算2.【答案】B【解析】(1i)x1yi+=+，x xi1yi∴+=+，即x1x y=⎧⎨=⎩，解得x1y1=⎧⎨=⎩，即x y i12+=+【提示】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【考点】复数求模3.【答案】C【解析】等差数列{an}前9项的和为27，195959(a a)92aS9a22+⨯===，59a27∴=，5a3=，又10a8=，d1∴=，10010a a90d98∴=+=．【提示】根据已知可得5a3=，进而求出公差，可得答案．【考点】等差数列的性质4.【答案】B【解析】设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故201P402==．【提示】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【考点】几何概型5.【答案】A 【解析】双曲线两焦点间的距离为4，c 2∴=，当焦点在x 轴上时，可得224(m n)(3m n)=++-，解得2m 1=，方程2222x y 1m n 3m n-=+-表示双曲线，22(m n)(3m n)0∴+->，可得(n 1)(3n)0+->，解得1n 3-<<，即n 的取值范围是(1,3)-，当焦点在y 轴上时，可得224(m n)(3m n)-=++-，解得2m 1=-，无解．【提示】由已知可得c 2=，利用224(m n)(3m n)=++-，解得2m 1=，又22(m n)(3m n)0+->，从而可求n 的取值范围．【考点】双曲线的标准方程 6.【答案】A【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉18后的几何体，如图：可得37428ππR 833⨯=，R 2=，它的表面积是22714π2+3π2=17π84⨯⨯⨯⨯． 【提示】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【考点】由三视图求面积、体积 7.【答案】D【解析】2x ||f (x)y 2x e ==-，2x 2x ||||f (x)2(x)e 2x e -∴-=--=-，故函数为偶函数，当x 2=±时，2y 8e (0,1)=-∈，故排除A ，B ；当x []0,2∈时，2xf (x)y 2x e ==-，x f (x)4x e 0∴'=-=有解，故函数2x ||y 2x e =-在[0,2]不是单调的，故排除C ．【提示】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答． 【考点】函数的图象8.【答案】C【解析】a b 1>>，0c 1<<，∴函数cy x =在(0,)+∞上为增函数，故c c a b >，故A错误；函数c 1y x-=在(1,)+∞上为减函数，故c 1c 1a b --<，故c c ba ab <，故B 错误；a log c 0<，且b logc 0<，a log b 1<，即c a a b log b log c1log a log c<=，即a b log c log c >，故D 错误；a b 0log c log c <-<-，故a b blog c alog c -<-，即a b blog c alog c >，即b a alogc blog c <，故C 正确．【提示】根据已知中a b 1>≥，0c 1<<，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【考点】不等式比较大小，对数值大小的比较 9.【答案】C【解析】输入x 0=，y 1=，n 1=，则x 0=，y 1=，不满足22x y 36+≥，故n 2=，则1x 2=，y 2=，不满足22x y 36+≥，故n 3=，则3x 2=，y 6=，满足22x y 36+≥，故y 4x =．【提示】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x ，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【考点】程序框图 10.【答案】B【解析】设抛物线为2y 2px =，如图：AB =，AM =，DE =，DN =pON 2=，A x 4p ==，OD OA =，2216p 85p 4+=+，解得p 4=，C 的焦点到准线的距离为4．【提示】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【考点】圆与圆锥曲线的综合，抛物线的简单性质 11.【答案】A【解析】如图，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABA B n =，可知：1n CD ∥，11m B D ∥，11CB D △是正三角形，m 、n 所成角就是11CD B 60∠=，则m 、n．【提示】画出图形，判断出m 、n 所成角，求解即可． 【考点】异面直线及其所成的角 12.【答案】B【解析】πx 4=-为f (x)的零点，πx 4=为y f (x)=图象的对称轴，2n 1πT 42+∴=，即2n 12ππ(n )N 42+=∈ω，即2n 1)N (n ω=+∈，即ω为正奇数，f (x)在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则5πππT 3618122∴-=≤，即2ππT 6=≥ω，解得12ω≤，当11ω=时，11πk π4-+ϕ=，k ∈Z ，π2ϕ≤，π4∴ϕ=-，此时f (x)在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，不满足题意；当9ω=时，9πk π4-+ϕ=，k ∈Z ，π2ϕ≤，π4∴ϕ=，此时f (x)在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，满足题意；故ω的最大值为9． 【提示】根据已知可得ω为正奇数，且12ω≤，结合πx 4=-为f (x)的零点，πx 4=为y f (x)=图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f (x)在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得ω的最大值． 【考点】正弦函数的对称性第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】2-【解析】222a b a b +=+，可得a b 0=，向量a (m,1)=，b (1,2)=，m 20+=，解得m 2=-．【提示】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【考点】平面向量数量积的运算 14.【答案】10 【解析】5(2x )的展开式中，通项公式为r25r 5r r r 5r r 155T C (2x)C 2x ---+==，令r 532-=，解得r 4=，3x ∴的系数452C 10=． 【提示】利用二项展开式的通项公式求出第r 1+项，令x 的指数为3，求出r ，即可求出展开式中3x 的系数． 【考点】二项式定理的应用 15.【答案】64【解析】等比数列n {a }满足13a a 10+=，24a a 5+=，可得13q(a a )5+=，解得1q 2=，211a q a 10+=，解得1a 8=，则22n 1n n 23n 1n 17n n 32n n ()2211n(n 1)222a a a q 82a ++++----⎛⎫== ⎪⎝⎭==……，当n 3=或4时，表达式取得最大值12622264==．【提示】求出数列的等比与首项，化简12n a a a …，然后求解最值． 【考点】数列与函数的综合，等比数列的性质 16.【答案】216000元【解析】设A ，B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元，由题意得x N,y N1.5x 0.5y 150x 0.3y 905x 3y 600∈∈⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，z 2100x 900y =+，不等式组表示的可行域如图，由题意可得x 0.3y 905x 3y 600+=⎧⎨+=⎩，解得x 60y 100=⎧⎨=⎩，A(600,100)，目标函数z 2100x 900y =+经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值210060900100216000⨯+⨯=元．【提示】设A ，B 两种产品分别是x 件和y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可．【考点】简单线性规划的应用 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）在ABC △中，0C π<<，sinC 0∴≠，已知等式利用正弦定理化简得2cosC(sin AcosB sin BcosA)sinC +=，整理得2cosCsin(A B)sinC +=，即[]2c o s C s i n π(A B )s i n C -+=，2cosCsinC sinC =， 1cosC 2∴=，πC 3∴=；（Ⅱ）由余弦定理得2217a b 2ab2=+-，2(a b)3ab 7∴+-=，，ab 6∴=，2(a b)187∴+-=，a b 5∴+=，ABC ∴△的周长为5【提示】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为0求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数； （Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a b +的值，即可求ABC △的周长． 【考点】解三角形18.【答案】（Ⅰ）ABEF 为正方形，AF EF ∴⊥，AFD 90∠=，AF DF ∴⊥，DF EF F =，AF ∴⊥平面EFDC ， AF ⊂平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）由A F D F ⊥，AF EF ⊥，可得DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，由ABEF 为正方形，AF ⊥平面EFDC ， BE EF ⊥，BE ∴⊥平面EFDC ，即有CE BE ⊥，可得CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，可得DFE CEF 60∠=∠=．A B EF ∥，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ， AB ∴∥平面EFDC ，平面EFDC平面ABCD CD =，AB ⊂平面ABCD ，AB CD ∴∥， CD EF ∴∥，∴四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD a =，则E(0,0,0)，B(0,2a,0)，a C 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，A(2a,2a,0)，EB (0,2a,0)∴=，a BC ,2⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AB (2a,0,0)=-， 设平面BEC 的法向量为111m (x ,y ,z )=，则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，则11112ay 0a x 2ay 022=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取m (3,0,1)=-，设平面ABC 的法向量为222n (x ,y ,z )=，则n BC=0n A B 0⎧⎪⎨=⎪⎩，则，取n (0,3,4)=，设二面角E-BC-A 的大小为θ，则m n cos |m ||n|31316θ===++，则二面角E-BC-A 的余弦值为．【提示】（Ⅰ）证明AF ⊥平面EFDC ，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC 、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E BC A --的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何19.【答案】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，2201P(X 16)10025⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 20404P(X 17)210010025==⨯⨯=，22P 40206(X 18)210010025⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 24020206P(X 19)2210010010025⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 220402051P(X 20)2100100100255⎛⎫==+⨯⨯== ⎪⎝⎭， 2202P(X 21)210025⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 2201P(X 22)10025⎛⎫===⎪⎝⎭， X ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知：4611P(X 18)P(X 16)P(X 17)P(X 18)25252525≤==+=+==++=， 146617P(X 19)P(X 16)P(X 17)P X 18P(X 19)2525252525≤==+=+=+==+++=（）， P(x n)0.5∴≤≥中，n 的最小值为19；（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得146617P(X 19)P(X 16)P(X 17)P X 18P(X 19)2525252525≤==+=+=+==+++=（）， 买19个所需费用期望：117521EX 20019(20019500)(200195002)(200195003)404025252525=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，买20个所需费用期望：22221EX 20020(20020500)(200205002)4080252525=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，12EX EX <，∴买19个更合适；解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n 19=时，费用的期望为：192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯=，当n 20=时，费用的期望为：202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯=，∴买19个更合适．【提示】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列； （Ⅱ）由X 的分布列求出11P(X 18)25≤=，17P(X 19)25≤=，由此能确定满足P(x n)0.5≤≥中n 的最小值；（Ⅲ）方法一：由X 的分布列得17P(X 19)25≤=，求出买19个所需费用期望1EX 和买20个所需费用期望2EX ，由此能求出买19个更合适；方法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n 19=时，费用的期望和当n 20=时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【考点】离散型随机变量及其分布列20.【答案】（Ⅰ）圆22x y 2x 150++-=即为22(x 1)y 16++=，可得圆心A(1,0)-，半径r 4=，由BEAC ∥，可得C EBD ∠=∠，由AC AD =，可得D C ∠=∠，即为D EBD ∠=∠，即有EB ED =，则EA EB EA ED AD 4+=+==，故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且有2a 4=，即a 2=，c 1=，b =点E 的轨迹方程为22x y 143+=，(y 0)≠，（Ⅱ）椭圆221x y C :143+=，设直线l ：x my 1=+，由PQ ⊥l ，设PQ:y m(x 1)=--，由22x my 1x y 143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(3m 4)y 6my 90++-=，设11M(x ,y )，22N(x ,y )，可得1226m y y 3m 4+=-+，1229y y=-， 则2M N212(m 1)|MN |y y |3m 4+=-==+，A 到PQ 的距离为d == 则四边形MPNQ 面积为2222221143m 41m 1mS |PQ ||MN |1224223m 41m3m 4+++====+++当m 0=时，S 取得最小值12，又2101m >+，可得3S 2483<= 即有四边形MPNQ 面积的取值范围是⎡⎣．【提示】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB ED =，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，求得a ，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l ：x my 1=+，代入椭圆方程，运x 10-<用韦达定理和弦长公式，可得|MN |，由PQ ⊥l ，设PQ:y m(x 1)=--，求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ |，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【考点】直线与椭圆的位置关系，圆的一般方程 21.【答案】（Ⅰ）函数x 2f (x)(x 2)e a(x 1)=-+-，x x f (x)(x 1)e 2a(x 1)(x 1)(e 2a)∴'=-+-=-+，①若a 0=，那么xf (x)0(x 2)e 0x 2=⇔-=⇔=，函数f (x)只有唯一的零点2，不合题意；②若a 0>，那么x e 2a 0+>恒成立，当x 1<时，f (x)0'<，此时函数为减函数； 当x 1>时，f (x)0'>，此时函数为增函数；此时当x 1=时，函数f (x)取极小值e -，由f (2)a 0=>，可得：函数f (x)在x 1>存在一个零点； 当x 1<时，x e e <，x 210-<-<，x 222f (x)(x 2)e a(x 1)(x 2)e a(x 1)a(x 1)e(x 1)e∴=-+->-+-=-+--，令2a (x 1)e (x 1)e 0-+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，2x t >时，2f (x )a (x 1)e(x 1)e 0>-+-->，故函数f (x)在x 1<存在一个零点； 即函数f (x)在R 是存在两个零点，满足题意；③若ea 02-<<，则ln (2a )l n e 1-<=，当x l n (2a )<-时，x 1ln(2a)1lne 10-<--<-=，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+<+=，即xf '(x)(x 1)(e 2a)0=-+>恒成立，故f (x)单调递增，当ln(2a)x 1-<<时，，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=，即xf '(x)(x 1)(e 2a)0=-+<恒成立，故f (x)单调递减，当x 1>时，x 10->，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=，即xf '(x )(x1)(e 2a )0=-+>恒成立，故f (x)单调递增，故当x ln(2a)=-时，函数取极大值，由[][][][]{}22f ln(2a)2a ln(2a)2a ln(2a)1a ln(2a)210-=---+--=--+<得：函数f (x)在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若ea 2=-，则l n (2a)1-=，当x 1l n (2a)<=-时，x 10-<，x ln(2a)e2a e 2a 0-+<+=，即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立，故f (x)单调递增，当x 1>时，x 10->，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=，即x f (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立，故f (x)单调递增，故函数f (x)在R 上单调递增，函数f (x)在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若ea 2<-，则ln(2a)lne 1->=，当x 1<时，x 10-<，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+<+=，即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立，故f (x)单调递增，当1x ln(2a)<<-时，x 10->，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+<+=，即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+<恒成立，故f (x)单调递减，当x ln(2a)>-时，x 10->，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=，即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立， 故f (x)单调递增，故当x 1=时，函数取极大值，由f (1)e 0=-<得：函数f (x)在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为(0,)+∞； （Ⅱ）1x ，2x 是f (x)的两个零点，12f (x )f (x )0∴==，且1x 1≠，2x 1≠，12x x 122212(x 2)e (x 2)e a (x 1)(x 1)--∴-==--，令x2(x 2)eg (x )(x 1)-=-，则12g(x )g(x )a ==-，2x3[(x 2)1]eg (x)(x 1)-+'=-，∴当x 1<时，g (x)0'<，g(x)单调递减；当x 1>时，g (x)0'>，g(x)单调递增；设，则1m 1m 1m 2m 222m 1m 1m 1m 1g (1m )g (1m )e e e e 1m mm m 1+-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭，设2mm 1h(m)e 1m 1-=++，m 0>，则22m 22m h '(m)e 0(m 1)=>+恒成立，即h(m)在(0,)+∞上为增函数，h(m)h(0)0>=恒成立， 即g(1m)g(1m)+>-恒成立，令1m 1x 0=->，则1111212g(11x )g(11x )g(2x )g(x )g(x )2x x +->+-⇔->=⇔->，即12x x 2+<． 【提示】（Ⅰ）由函数x 2f (x)(x 2)e a(x 1)=-+-可得xxf (x)(x 1)e 2a(x 1)(x 1)(e 2a)'=-+-=-+，对a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案；（Ⅱ）设1x ，2x 是f (x)的两个零点，则12x x 122212(x 2)e (x 2)e a (x 1)(x 1)---==--，令x2(x 2)e g (x )(x 1)-=-， 则12g(x )g(x )a==-，分析g(x)的单调性，令m 0>，则1m 2m2m 1m 1g (1m )g (1m )ee 1m m 1-+-⎛⎫+--=+ ⎪+⎝⎭， 设2mm 1h(m)e 1m 1-=++，m 0>，利用导数法可得h(m)h(0)0>=恒成立，即g(1m)g(1m)+>-恒成立，令1m 1x 0=->，可得结论．【考点】利用导数研究函数的极值，函数的零点22.【答案】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK ，OA OB =，AOB 120∠=，OK AB ∴⊥，A 30∠=，1OK OAsin30OA 2==，∴直线AB 与O 相切；（Ⅱ）因为OA 2OD =，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，设T 是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，OA OB =，TA TB =，OT ∴为AB 的中垂线，同理，OC OD =，TC TD =，OT ∴为CD 的中垂线，AB CD ∴∥．【提示】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK ，根据等腰三角形AOB 的性质知OK AB ⊥，A 30∠=，1OK OAsin30OA 2==，则AB 是圆O 的切线；m 0>（Ⅱ）设圆心为T ，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论． 【考点】圆的切线的判定定理的证明23.【答案】（Ⅰ）由x a cos t y 1a sin t =⎧⎨=+⎩，得x aco st y 1as i n t =⎧⎨-=⎩，两式平方相加得，22x (y 1)a +-=，1C ∴为以(0,1)为圆心，以a 为半径的圆，化为一般式222x y 2y 1a 0+-+-=①，由222x y +=ρ，y sin =ρθ， 得222sin 1a 0ρ-ρθ+-=；（Ⅱ）2C 4cos ρ=θ：，两边同时乘ρ得24cos ρ=ρθ，22x y 4x ∴+=②， 即22(x 2)y 4-+=，由30C θ=α：，其中0α满足0tan 2α=，得y 2x =，曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，y 2x ∴=为圆1C 与2C 的公共弦所在直线方程，数学试卷 第21页（共56页） 数学试卷 第22页（共56页）①-②得：24x 2y 1a 0-+-=，即为3C ，21a 0∴-=，a 1(a 0)∴=>．【提示】（Ⅰ）把曲线1C 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线1C 是圆，化为一般式，结合222x y +=ρ，y sin =ρθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线2C 、3C 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y 2x =为圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程，把1C 与2C 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y 2x =可得21a 0-=，则a 值可求．【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程的概念24.【答案】（Ⅰ）x 4x 13f (x)3x 21x 234x x 2⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，，，，由分段函数的图象画法，可得f (x)的图象，如图：（Ⅱ）由f (x)1>，可得，当x 1≤-时，x 41->，解得x 5>或x 3<，即有x 1≤-；当31x 2-<<时，3x 21->，解得x 1>或1x 3<，即有11x 3-<<或31x 2<<；当3x 2≥时，4x 1->，解得x 5>或x 3<，即有3x 32≤<或x 5>．综上可得，1x 3<或1x 3<<或x 5>．则f (x)1>的解集为1,(1,3)(5,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【提示】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f (x)的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x 1≤-时，当31x 2-<<时，当3x 2≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集． 【考点】带绝对值的函数，函数图象的作法绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(3)(1)iz m m=++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(3,1)-B.(1,3)-C.(1,)+∞D.(,3)∞--2.已知集合{1,2,3}A=,则{|(1)(2)0,}=+-<∈B x x x x Z,则A B =( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-3.已知向量a(1,)m=,b(3,2)-=,且（a+b）⊥b,则m=( )A.—8B.—6C.6D.84.圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1,则a= ( )A.43-B.34-CD.25.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效数学试卷第23页（共56页）数学试卷第24页（共56页）数学试卷 第25页（共56页） 数学试卷 第26页（共56页）7.若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A .()26k x k Z ππ=-∈ B .()26k x k Z ππ=+∈ C .()212k x k Z ππ=-∈D .()212k x k Z ππ=+∈8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的2x =,2n =,依次输入的a 为2,2,5,则输出的=s( )A .7B .12C .17D .34 9.若3cos()45πα-=,则sin2α=( ) A .725B .15C .15-D .725-10.从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对11(,)x y ,22(,)x y ,…,(,)n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A .4n mB .2n mC .4m nD .2m n11.已知1F ,2F 是双曲线E:22221x y a b-=的左、右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为( ) A.B .32C .3D .212.已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑( ) A .0B .mC .2mD .4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b = .14.α,β是两个平面,,m n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果m n ⊥,m α⊥,n β∥那么αβ⊥;②如果m α⊥,n α∥,那么m n ⊥; ③如果αβ∥,m α⊂,那么m β∥;④如果mn ∥,αβ∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号）.15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .16.若直线y k x b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线ln(1)y x =+的切线,则b = .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且1=1a ,728S=.记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1，. （Ⅰ）求1b ,11b ,101b;数学试卷 第27页（共56页） 数学试卷 第28页（共56页）（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和.18.（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位:元）,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BC 交于点O ,5=AB ,6=AC ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,54AE CF ==,EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△'D EF 的位置,OD '=（Ⅰ）证明:D H '⊥平面ABCD ; （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥.（Ⅰ）当4=t ,||||=AM AN 时,求AMN △的面积;（Ⅱ）当2||=||AM AN 时,求k 的取值范围.21.（本小题满分12分）（Ⅰ）讨论函数2()2-=+xx f x x e 的单调性,并证明当0x >时,(2)20x x e x -++>; （Ⅱ）证明:当[0,1)a ∈时,函数2=(0)（）-->x e ax ag x x x 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD 中,E ,G 分别在边DA ,DC 上（不与端点重合）,且DE DG =,过D 点作DF CE ⊥,垂足为F .（Ⅰ）证明:B ,C ,G ,F 四点共圆;（Ⅱ）若1AB =,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(6)25x y ++=.（Ⅰ）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin ，，αα=⎧⎨=⎩x t y t （t 为参数）,l 与C 交于A ,B 两点,||AB =求l 的斜率.数学试卷 第29页（共56页） 数学试卷 第30页（共56页）24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集.（Ⅰ）求M ;（Ⅱ）证明:当,a b M ∈时,|||1|a b ab +<+.【解析】集合A B {0,1,2,3}=A B 的值．a (4,m ，b(3,2)-，ab (4,m ∴+=-(a b)b +⊥，，解得m 【提示】求出向量a b +的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m 的方程，解得【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】输入的：πcos4⎛-⎝πcos4⎛-⎝9712525-=．22π1n1，π∴=c a b=+，可得2e e20--=，e1>，解得e2=．1数学试卷第31页（共56页）数学试卷第32页（共56页）数学试卷第33页（共56页）数学试卷第34页（共56页）数学试卷 第35页（共56页） 数学试卷 第36页（共56页）（Ⅰ）某保险的基本保费为（Ⅰ）ABCD 是菱形，ABCD 是菱形，得AC 6=，AO ∴=AEOD 1AO=，则DH D =2OD OH '=OH EF H =，建立如图所示空间直角坐标系，AB 5=，6，B(5,0,0)∴，AB (4,3,0)=，AD (1,3,3)'=-，AC (0,6,0)=的一个法向量为n (x,y,z)=，由11n AB 0n AD 0⎧=⎪⎨'=⎪⎩，得3y 03y 3z +=++1n (3,4,5)∴=-同理可求得平面AD C '的一个法向量2n (3,0=,，设二面角B-D '122n n 9255210n n +==，∴二面角数学试卷 第37页（共56页） 数学试卷 第38页（共56页）（Ⅱ）以H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到AB 、AD '、AC 的坐标，的一个法向量n 、n ，求．221234k +，由2212121k 413k 341kk =+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由AM 22212121k434k 3k k=+++， 整理可得2(k 1)(4k k 4)0--+=，由24k -212144134⎫=⎪+⎭轴对称，由MA ⊥226t 3tk +，26t t 3k k+，AN ，可得2226t 6t 21k 1kt 3tk 3k k+=+++， 整理得26k 3kt -=，由椭圆的焦点在x 轴上，当2)(2,)-+∞2)和(2,-+∞x2e f (0)=2>数学试卷 第39页（共56页） 数学试卷 第40页（共56页）x 2e a 2⎫+⎪⎭a ∈x x 2(x)e 2-=的值域为t2e a 2=-，t2e 02≤恒成立，可得2t 2-<≤，由时，g (x)0'<g (x)0'>tt 2e e 2t 2=+，，e k (t )'=Rt DFC Rt EDC ∴△∽△，DF CFED CD∴=， DE DG =，CD BC =， DF CFDG BC∴=，又GDF DEF BCF ∠=∠=∠， GDF BCF ∴△∽△，CFB DFG ∴∠=∠，GFB GFC CFB GFC DFG DFC 90∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=， GFB GCB 180∴∠+∠=， B ∴，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）E 为AD 中点，AB 1=，1DG CG DE 2∴===，∴在Rt DFC △中，1GF CD GC 2==，连接GB ，Rt BCG Rt BFG △≌△，BCGBCGF 111S 2S =21=222∴=⨯⨯⨯△四边形．【提示】（Ⅰ）证明B ，C ，G ，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知BCD 90∠=，因此问题可转化为证明GFB 90∠=； （Ⅱ）在Rt DFC △中，1G F C D G C 2==，因此可得B C G B F G △≌△，则S 2S =，据此解答． ）圆22x ρ=+（Ⅱ）直线l xx α， l ，半径r =数学试卷 第41页（共56页） 数学试卷 第42页（共56页）24.【答案】（Ⅰ）当1x 2<-时，不等式f (x)2<可化为：11x x 222---<，解得x 1>-，11x 2∴-<<-，当11x 22-≤≤时，不等式f (x)2<可化为：11x x 1222-+-=<，此时不等式恒成立，11x 22∴-≤≤，当1x 2>时，不等式f (x)2<可化为：11x x 222++-<，解得x 1<，1x 12∴<<，综上可得M (1,1)=-； （Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即222a b 1a b +>+，即222a b 2a b 1a 2a b b +++>++， 即22(ab 1)(a b)+>+，即a b ab 1+<+． 【提示】（Ⅰ）分当1x 2<-时，当11x 22-≤≤时，当1x 2>时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即2222a b 1a b +>+，配方后，可证得结论． 【考点】绝对值不等式的解法数学试卷 第43页（共56页） 数学试卷 第44页（共56页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共6页.2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效.5. 第22、23、24小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答.要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|(2)(3)0}S x x x =--≥，{}0T x x =>，则ST =（ ）A. []2,3B. (,2][3,)-∞+∞C. [3,)+∞D. (0,2][3,)+∞2．若12i z =+，则4i1zz =-（ ）A. 1B. 1-C. iD. i -3．已知向量1331()()22BA BC ==，，，，则ABC ∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )----平均最低气温——平均最高气温A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个 5. 若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=( )A.6425B. 4825C. 1D. 16256. 已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<7. 执行如图的程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无----------------效---。
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试题类型：A
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合
2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2
（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +
（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2
（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a
（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97
（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A ）31（B ）21（C ）32（D ）4
3 （5）已知方程1322
22=--+n
m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)
（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π
（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为
（A ）（B ）
（C ）
（D ）
（8）若101a b c >><<，，则
（A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <
（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足
（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =
(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=42|DE|=25则C 的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为 (A)32(B )22 (C)33 (D)13
12.已知函数()sin()(0),24f x x+x π
π
ωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π
=为()y f x =图像的对称
轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，单调，则ω的最大值为
（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =__________. (14)5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是_________.（用数字填写答案）
（15）设等比数列
满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为____________。
（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。
该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为__________元。
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分为12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ；
（II ）若7,c ABC =的面积为332
，求ABC 的周长． （18）（本题满分为12分）
如图，在已A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．
（I ）证明平面ABEF ⊥EFDC ；
（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I ）求X 的分布列；
（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；
（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？
20. （本小题满分12分）
设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，学科&网过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点.
(I)求a 的取值范围；
(II)设x 1，x 2是
的两个零点，证明：+x 2<2.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°.以⊙O 为圆心，
2
1OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与⊙O 相切；
(II)点C ,D 在⊙O 上，且A ,B ,C ,D 四点共圆，证明：AB ∥CD .
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）。
在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ。
（I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.
（I ）在答题卡第（24）题图中画出y = f (x )的图像；
（II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集。