单位圆中的三角函数线
单位圆与三角函数线,诱导公式
课题：三角函数线和诱导公式学习目标：1、理解单位圆、有向线段的概念2、学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。
学习重点：用三角函数线表示任意角的三角函数值。
学习难点：正确地用于单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。
自主学习1、单位圆：半径等于的圆叫做单位圆。
2、三角函数线设单位圆的圆心在原点，角a的顶点在圆心o，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，点P在x轴上的正射影为M，过点A（1，0）作单位圆的切线交直线OP或其反向延长线于点T，如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），（1）为正弦线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。
（2）为余弦线，有向线段的方向是规定与x轴正方向相同为，反之为。
（3）为正切线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。
点P的坐标与角a的正余弦的关系为。
点T的坐标与角a的正切的关系为。
（2）（3）（4）注意：三角函数线的位置，三角函数线的方向，三角函数线的正负。
典型例题：例1 分别作出334ππ和-的正弦线、余弦线和正切线。
练习课本P21，练习A ，1例2、在单位圆中画出适合下列条件的角a 的终边的范围，并由此写出角a 的集合。
练习： 1. 利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是 ( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.52.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b例3、当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α. 当堂检测：（1）已知角a 的正弦线的长度为单位长度，那么角a 的终边（ ）A 在x 轴上B 在y 轴上C 在直线y=x 上D 在直线y=-x 上（2）利用正弦线比较a=sin1，b=sin1.2，c=sin1.5的大小关系A a>b>cB a>c>bC c>b>aD b>a>c(3)在02π在（，）内，使得sinx>cosx 成立的角x 的取值范围是（ ）（4）已知角a 的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为（ ）A （sina ，cosa ）B （cosa ，sina ）C （sina ，tana ）D （tana ，sina ）课后巩固（1）满足 的a 的集合为 。
高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线
利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。
7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》
高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。
三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。
可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。
学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。
利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。
2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。
3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。
教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。
2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。
教学重点认识三角函数线的意义。
教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。
如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。
因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。
因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
第一章 1.2.2单位圆与三角函数线
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
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[典型例题]
1.2.2
1 例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝ 的角 α 的终边，并求角 α 2 的取值集合．
本 课 时 栏 目 开 关
π π {x|2kπ－2<x<2kπ＋2，k∈Z} (3)函数 y＝lg cos x 的定义域为__________________________．
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1.2.2
探究点二
三角函数线的作法
问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？ 答 过任意角 α 的终边与单位圆的交点 P， 过点 P 向 x 轴作垂线，
本 小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三 课 时 角函数线的变化规律，回答下列问题． 栏 目 问题1 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 开 关 可得：sin α的范围是 －1≤sin α≤1 ；cos α的范围是 －1
≤cos α≤1 .
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本 课 时 栏 目 开 关
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1.2.2
(2)因为角 α 的正切值等于－1，所以 AT＝－1， 在单位圆上过点 A(1,0)的切线上取 AT＝－1，
本 课 时 栏 目 开 关
连接 OT，OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是角 α 的终边，则角 α 的取值 3π 7π 集合是{α|α＝2kπ＋ 或 α＝2kπ＋ ，k∈Z}＝ 4 4 3π {α|α＝nπ＋ ，n∈Z}． 4
单位圆中的三角函数线
M
y tan AT x
A x
O
P
T
思考3：若角α 为第二象限角，其终边 y 与单位圆的交点为P（x，y），则 tan x 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？
T y P A T
y tan AT x
A M O
x
思考4：若角α 为第三象限角，其终边 y 与单位圆的交点为P（x，y），则 tan x 是正数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？
课堂
练习
利用单位圆中的三角函数线，证明 当 0, ,sin tan y 2
当 0, 时， 证明： 2
P
O
T
S
AOP
S扇形AOP S
M A
x
AOT
即
1 OA MP 2
<
1 OA AP 2
<
1 OA AT 2
y
y tan AT x
T
A M
O
T
A x
P
思考5：根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？
y P O A x T P O A T x y
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T，则 AT=tanα .
思考6：当角α 的终边在坐标轴上时，角 α 的正切线的含义如何？ y
P
P O x
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线 是一个点；当角α的终边在y轴上时，角 α的正切线不存在.
作三角函数线的步骤:
(1) 作出角的终边，画单位圆; (2) 设α的终边与单位圆交于点P，作 PM⊥x轴于M，则有向线段MP是正弦线, 有向线段OM是余弦线; (3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A， 过点A作x轴的垂线与角α的终边 (或其反向延长线)交于点T， 则有向线段AT是正切线.
课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线
得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧 利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长 线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的 余弦线 、 正弦线 和 正切线 .
【拓展延伸】 理解三角函数线应注意的问题 对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在 过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在 坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线 由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同 向的为正值,反向的为负值.
人教B版高中数学必修第三册7.2.2 单位圆与三角函数线
(2)作直线 x＝－35交单位圆于 M，N 两点，则 OM 与 ON 为角 α 的终边， 如图②.
(3)在直线 x＝1 上截取 AT＝2，其中 A 的坐标为(1,0)．设直线 OT 与单 位圆交于 C，D 两点，则 OC 与 OD 为角 α 的终边，如图③.
解
1．作三角函数线的四个步骤 (1)确定角的始边，单位圆与 x 轴交点 A(1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点 P. (3)过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过 A 作 x 轴的垂线，与角的终边(或 其反向延长线)交于 T(T′)． (4)得正弦线M→P，余弦线O→M，正切线A→T(或A→T′)． 2．单位圆中求作角的终边的方法 应用三角函数线可以求作满足形如 f(α)＝m 的三角函数的角的终边，具 体作法是先作出直线 y＝m 或 x＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接 所得射线即为所求角的终边．
[跟踪训练 3] 已知 α∈0，π2，求证：sinα<α<tanα.
证明 在单位圆中设∠AOP＝α，则 的长度为 α， 角 α 的正弦线为M→P，正切线为A→T，
∵△OPA 面积<扇形 OPA 面积<△OAT 面积，∴12|O→A |·|M→P|<12|O→A|·α<12|O→A|·|A→T|，即|M→P|<α<|A→T|，
解
题型二 利用三角函数线比较大小
例 2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin23π与 sin45π；
(2)cos23π与 cos45π；
(3)tan23π与
4π tan 5 .
[解] 如图，在单位圆中，23π的终边为 OP1，45π的终边为 OP2，过 P1， P2 分别作 x 轴的垂线，垂足为 M1，M2，延长 P1O，P2O 交经过 A(1,0)的单 位圆的切线于 T1，T2.
单位圆与三角函数线教案
单位圆与三角函数线教案目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
过程：一、备考三角函数的.定义，表示：定义从代数的角度阐明了三角函数就是一个比值。
二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值。
三、新授：1. 介绍(定义)单位圆圆心在原点o，半径等于单位长度的圆。
此处略设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于p，坐标轴正半轴分别与单位圆交于a、b两点过p(x,y)作pmx轴于m，过点a(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于t，过点b(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于s。
3. 直观了解向量(具有方向的量用正负号则表示)有向线段(带有方向的线段)。
方向可行与坐标轴方向相同，长度用绝对值则表示。
例：有向线段om，op 长度分别为当om=x时若 om看做与x轴同向 om具备正值x若 om看作与x轴反向 om具有负值x4.存有向线段mp,om,at,bs分别称为角的正弦线,余弦线,正切线,余切线四、例一，利用三角函数线比较以下各组数的大小：1 与2 tan 与tan3 cot 与cot求解：例如图所述：tan tancot cot例二，利用单位圆寻找适合下列条件的0到的角 1 sin 2 tan解： 1 230 90或例三求证：若时，则sin1 sin2证明：分别作1,2的正弦线x的终边无此x轴上 sin1=m1p1 sin2=m2p2∵m1p1 m2p2 即sin1 sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业：课本 p15 练 p20习题4.3 2。
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)_知识点总结
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）_知识点总结高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT 方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
而单位圆作为三角函数的基础，具有重要的几何和代数意义。
本文将探讨三角函数与单位圆之间的关系，以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
以正弦函数为例，它是一个周期函数，可以表示为f(x) = sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
通过图形可以看出，正弦函数的图像在一个周期内呈现出波浪形状，具有对称性。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆，圆心位于坐标原点(0, 0)。
单位圆的方程可以表示为x^2 + y^2 = 1。
单位圆上的点可以表示为(x, y)，其中x和y的取值范围是[-1, 1]。
单位圆在坐标平面上呈现出完美的对称性。
三、三角函数与单位圆的关系三角函数与单位圆之间存在密切的关系。
我们可以通过单位圆来解释三角函数的定义和性质。
1. 正弦函数与单位圆正弦函数可以通过单位圆上的点的y坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标即为sin(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而y坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算正弦函数的值。
2. 余弦函数与单位圆余弦函数可以通过单位圆上的点的x坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么x坐标即为cos(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而x坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算余弦函数的值。
3. 正切函数与单位圆正切函数可以通过单位圆上的点的y坐标和x坐标的比值来表示。
具体而言，对于一个角度x（弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标除以x 坐标即为tan(x)。
这是因为正切函数定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)，而单位圆上的点的坐标正好满足这个比值关系。
三角函数与单位圆
sin A =
①
在 R t △A C1 B 1 中 , 有
sin A =
②
图中易知 , B 1 C1 ∥ B C ,得
河南 聂智勇 北京 万尔遐 ( 特级教师)
1 三角比 — — — 与角的边长无关
即正弦比 sin A 的值与 ∠A 所在的直三角形的 边长大小无关 . 同理可得 , ∠A 的其他三角比与所在 的直三角形的边长大小无关 . ( 与边的长度 ∠A 的三角比是属于 “角的” 无关 ) . 当 ∠A 确定时 , ∠A 的三角比也随 之确定 .
) ( 1 ) 这 2 个角不相等 , 即α α 解( Ⅱ 1 ≠ 2 ; ( 2) 这 2 个角的终边相同 , 都在第三象限角的角 平分线上 ;
5
凡事总要有信心 , 老想着 “行” . 要是做一件事 , 先就担心着 “ : 怕不行吧 ? ” 那你就没有勇气了 . — — — 盖叫天
题根研究
随时可用坐标关系将其找回来 .
角的大小是变化的 , 由此而成为一个自变量 — — — 角变量α, 角α的三角比值如正弦比值λ 在 “角变量” 的变化时随之而变 , 由此λ成为 “角变量α ” 的函数 . 如果角变量用 α表示 ,α的正弦比λ 用 sin α 表 α ) = sin α 示 , 则得正弦函数λ= f ( . 因为 “正弦” 是个比 值 , 所以正弦函数是正弦比值函数的简称 . α α 例2 1 , 2 都是锐角 , 若 α α 1 < 2 , 试比较 ( 1) co s α 1 和 co s α 2 的大小 ; ( 2) sin α 1 和 sin α 2 的大小 . 分析 既然 “三角比” 与角 的边长无关 , 于是我们可以将角 的 2 条边长都简化为单位 1 , 并 图3 将其 中 一 边 看 作 是 另 一 边 ( 始 边) 绕着角的顶点旋转后的结果 ( 终边 ) . 当问题中有 多个角时 , 我们可以让这些角的始边重合 , 终边看作 是始边绕公共顶点旋转到不同位置所得到的结果 . α 设α 1 、 2 的始边重合于 OA ( = 1 ) , 终边分别 为 O P1 和 O P2 ( 如图 3 ) . 因为α A O P2 的内部 . 1 <α 2 , 所以 O P1 落在 ∠ 分别作 P1 M 1 ⊥ OA 于 M 1 , P2 M 2 ⊥ OA 于 M 2 . 由平面几何知识 , 点 M 2 落在线段 OM 1 的内部 . 即 OM 2 < OM 1 , M 2 P2 > M 1 P1 . 按 “余弦比” 和 “正弦比” 的定义 ,
单位圆与三角函数线(说案)
单位圆与三角函数线（说课）一、教材分析1、教材的地位和作用著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系以后，使得对三角函数的研究大为简化。
《单位圆与三角函数线》是人教版B版高中数学必修四第一章第二单元的第二课时，安排在“角的概念的推广”、“弧度制”和“三角函数的概念”之后。
通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。
由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。
2、教学目标：根据教学大纲要求、新课程标准精神，本节课的知识特点以及高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：能借助于单位圆理解三角函数线的定义；会画出任意角的三角函数线；能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律；能运用三角函数线解决简单的实际问题。
（2）过程与方法：通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法。
提高学生自主分析地分析问题和解决问题的能力。
（3）情感、态度、价值观：通过本节课的作图、分析、展示，体验数学的美，感受学习的快乐；通过学生之间、师生之间的交流与合作，创设共同探究、教学相长的教学氛围；通过给学生及时、恰当的评价和鼓励激发学生对数学学习的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。
通过情景的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
3、教学的重点和难点：根据本节课的地位与作用及教学目标，我认为本节课的重点、难点、关键分别是：重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。
难点：理解三角函数和三角函数线间的关系，准确作图。
角函数的定义与单位圆、三角函数线
利用单位圆解决三角函数问题
题目1
已知sinα = 3/5，α为第二象限角，求cosα， tanα的值。
题目2
已知cosβ = -4/5，β为第三象限角，求sinβ， tanβ的值。
三角函数线在综合题中应用
题目1
题目2
题目3
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π/2) 的图象与x轴的 交点中，相邻两个交点之间的距 离为π/2，且图象上一个最低点 为M(2π/3, -2)。求f(x)的解析式。
三角恒等式与三角不等式
三角恒等式是描述三角函数之间关系的等式，如正弦定理、余弦定理等。三角不等式则是描述三角函数 值大小关系的不等式，如正弦函数在第一象限内单调递增等。这些恒等式和不等式在解决三角形问题、 振动问题等领域有广泛应用。
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单位圆与三角函数关系
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单位圆定义及性质
单位圆的定义
在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，1为半径的圆称为单位圆。
单位圆的性质
单位圆上的任意一点P(x,y)都满足$x^2+y^2=1$的关系。特殊地，当射线OP与x轴正半轴形成的角为α时，P点 的坐标可表示为$(cosalpha, sinalpha)$。
余弦函数（cosine）
余弦函数表示一个角的余弦值与角度之间的关系，记作cos(x)。在单位圆中，余弦值等于 对应角的邻边长度与斜边长度的比值。
正切函数（tangent）
正切函数表示一个角的正切值与角度之间的关系，记作tan(x)。在单位圆中，正切值等于 对应角的对边长度与邻边长度的比值。
高一数学人必修课件单位圆与三角函数线
06
课程总结与拓展延伸
课程重点内容回顾
单位圆的定义与性质
单位圆是以原点为圆心，半径为1的圆。其方程为 $x^2+y^2=1$。单位圆在三角函数中具有重要 地位，因为三角函数的定义和性质都与单位圆密 切相关。
三角函数的基本性质
三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等基本性 质。这些性质可以通过单位圆和三角函数线的图 像进行直观理解。
有界性
正弦线和余弦线的值域都是[1,1]，而正切线的值域是R（实 数集）。
单调性
正弦线和余弦线在各自周期内 具有单调性，而正切线在定义
域内不具有单调性。
三角函数线与单位圆的关系
要点一
单位圆定义
在平面直角坐标系中，以原点O为圆 心、1为半径的圆称为单位圆。
要点二
三角函数线与单位圆 的交点
正弦线、余弦线和正切线与单位圆的 交点分别对应着角α的正弦值、余弦 值和正切值。具体来说，当角α的终 边与单位圆交于点P(x,y)时，sinα=y ，cosα=x，tanα=y/x（x≠0）。
02 03
分析
学生的解答中，sinγ的值计算正确，但cosγ的值计算错误。根据三角函 数的定义，cosγ=x/r，其中x为点M的横坐标，r为OM的长度。因此， 正确的解法应该是cosγ=-1/√5。
纠正
在解题时，要认真审题，注意三角函数定义中的符号问题。同时，要熟 练掌握同角三角函数的基本关系式，以便在解题时能够灵活运用。
性质
单位圆上的任意一点P(x,y)都满足 x²+y²=1。
单位圆上的点与三角函数值的关系
01
任意角α的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则sinα=y，cosα=x。
02
通过单位圆可以直观地理解三角 函数的定义域、值域、周期性、 奇偶性等性质。
单位圆与三角函数线讲解
由三角函数的定义我们知道，对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— —几何表示法
y ①比值 叫做 的正弦， r
记作 sin ，即 sin
O
x
x 记作 cos，即 cos ． r y ③比值 叫做 的正切，
x ②比值 叫做 的余弦， r
y ． r
x 记作 tan，即 tan
y ． x
1.设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x， y），角α 的三角函数是怎样定义的？
＜OA · AT /2 MP＜α＜AT
sinα＜α＜tanα
例5：设 为锐角，试证: sin
y
cos >1.
证明：如图示： ∵ 为锐角
OM | OM |, MP | MP |
P ∵
sin = MP
O
M
cos= OM
x
| MP | | OM || OP | 1
sin cos 1
新课讲授
一、单位圆： 1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。
y N o
α
2、单位圆与x轴的交点： （1，0）和（-1，0）
P T
单位圆与y轴的交点：（0，1）和（0，-1）
M A x
3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M，
PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别 是点P在X轴、Y轴上的正射影
正弦线和余弦线
2、三角函数线的作用：
①利用三角函数线确定角的终边；
巧用单位圆求解三角函数问题
2020年第6期(上)中学数学研究41巧用单位圆求解三角函数问题广东省中山市中山纪念中学(528454)李文东三角函数的定义来自于单位圆,利用单位圆的定义法来研究三角函数,以及单位圆中的三角函数线与单位圆的定义的联系,使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的性质,如经典的不等式:当α∈(0,π2)时,sin α<α<tan α以及两角差的余弦公式的证明都用到了单位圆.在三角函数中会经常遇到一些涉及已知三角函数值求角,求三角函数值,比较三角函数值的大小及其证明的问题,有时我们可以利用单位圆数形结合的思想去思考、分析和判断,往往能达到出奇制胜的效果,下面举例说明.一、巧用单位圆求值例1已知2sin α+cos α=−√5,则tan α=.解点A (cos α,sin α)可看作直线l :x +2y +√5=0与单位圆x 2+y 2=1的交点,由于原点O 到直线l 的距离为d =√5√12+22=1,故直线l 与圆相切.从而tan α=k OA =−1k l=2.变式若方程sin x +2cos x =√102(−π2<x <π2)的两根为α,β,则tan α·tan β=.解点A (cos x,sin x )可看作直线l :2x +y −√102=0与单位圆x 2+y 2=1的交点,由于原点O 到直线l的距离为d =√102√12+22=√22,故直线l 与圆相交.由题意两交点分别为图1P (cos α,sin α),Q (cos β,sin β),结合距离可知此时OP ⊥OQ .于是tan α·tan β=k OP ·k OQ =−1.评注借助单位圆,我们还可以分别求出tan α,tan β,如图1,作OM ⊥l 于点M ,记直线OM 的倾斜角为θ,则tan θ=k OM =12,于是tan α=k OP =tan (θ+π4)=1+tan θ1−tan θ=3,tan β=k OQ =tan (θ−π4)=tan θ−1tan θ+1=−13.例2已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,求cos 2α+cos 2β+cos 2γ的值.解点A (cos α,sin α)、B (cos β,sin β)、C (cos γ,sin γ)均在单位圆上,由条件可知∆ABC 的重心坐标y =13(sin α+sin β+sin γ)=0,x =13(cos α+cos β+cos γ)=0,而其外心也为原点,即重心与外心重合,故∆ABC 为正三角形.于是α=β−2π3+2kπ,γ=β+2π3+2kπ,k ∈Z 从而cos 2α+cos 2β+cos 2γ=cos 2(β−2π3+2kπ)+cos 2β+cos 2(β+2π3+2kπ)=cos 2(β−2π3)+cos 2β+cos 2(β+2π3)=12(1+cos (2β−4π3)+1+cos 2β+1+cos (2β+4π3))=12(3+cos 2β−cos (2β−π3)−cos (2β+π3))=32.二、巧用单位圆证明三角恒等式例3已知cos 4αcos 2β+sin 4αsin 2β=1,求证:cos 4βcos 2α+sin 4βsin 2α=1.证明由已知条件可知点A (cos 2αcos β,sin 2αsin β)在x 2+y 2=1上,记x 0=cos 2αcos β,y 0=sin 2αsin β,则x 0cos β+y 0sin β=1,又单位圆x 2+y 2=1在点A 处的切线l的方程为x 0x +y 0y =1,可见它过点B (cos β,sin β),故A,B 两点重合,于是cos 2αcos β=cos β,sin 2αsin β=sin β.因为cos 2α=cos 2β,且sin 2α=sin 2β,所以cos 4βcos 2α+sin 4βsin 2α=1.例4已知锐角α,β为方程a cos x +b sin x =c (a=0,c=0)的两不等实根,求证:cos 2α−β2=c 2a 2+b 2.证明由已知,点M (cos α,sin α),N (cos β,sin β)(α<β)可看作图2直线l :ax +by −c =0与单位圆x 2+y 2=1的两个交点,42中学数学研究2020年第6期(上)如图2,过原点O 作OP ⊥MN 于点P ,原点O 到直线l 的距离|OP |=c √a 2+b 2,在Rt ∆OP N 中,∠P ON =α−β2,则cos α−β2=c √a 2+b 2,于是cos 2α−β2=c 2a 2+b 2.三、巧用单位圆求三角函数的最值例5求函数y =sin xcos x −2的值域.解令P (cos x,sin x ),Q (2,0),则sin x cos x −2=k P Q ,如图3,当过Q 点的直线与单位圆相切时的斜率便是函数y =sin xcos x −2的最值,由几何知识,易求得过Q 的两切线图3的斜率分别为−√33、√33.结合图形可知,函数的值域是[−√33,√33].例6(2018年高考全国I 卷第16题)求函数f (x )=2sin x +sin 2x 的最值.解显然f (x )为奇函数,故只需求出f (x )的最大值即可.又f (x )=2sin x +sin 2x =2sin x (1+cos x ),记sin x =m,cos x =n ,f (x )=t ,则2m (1+n )=t ⇒n =12·tm−1,于是原题等价于在单图4位圆m 2+n 2=1条件下求目标函数n =12·t m−1的最大值,它是由反比例函数变换过来的,如图4,当它们的图像在第一象限相切时,t 最大,设切点为(m 0,n 0),则有−12·t m 20=−m 0√1−m 20,n 0=12·t m 0−1,n 0=√1−m 20,消去n 0和t 得:√1−m 20+1=m 20√1−m 20,化简得:m 20(4m 20−3)=0,因为m 0>0,从而m 0=√32,此时t =2m 30√1−m 20=3√32,即f (x )max =3√32,利用f (x )为奇函数知f (x )min =−3√32.点评此题作为2018年高考全国卷I 的填空压轴题,一般是利用导数求最值.这里我们利用单位圆求解,此法很容易推广到如下的一般情形:求函数f (x )=sin x (a +cos x )的最大值t .(1)当a 0时,它由下面的方程组确定: −t m 20=−m 0√1−m 20,n 0=t m 0−a,n 0=√1−m 20,化简得4m 40+(a 2−4)m 20+1−a 2=0,此时m 0=√4−a 2+a √a 2+88,最大值为(4−a 2+a √a 2+8)328√4+a 2−a √a 2+8;(2)当a <0时,它由下面的方程组确定: −t m 20=m 0√1−m 20,n 0=t m 0−a,n 0=−√1−m 20,化简得4m 40+(a 2−4)m 20+1−a 2=0,此时m 0=−√4−a 2−a √a 2+88,最大值为(4−a 2−a √a 2+8)328√4+a 2+a √a 2+8.例7求函数f (x )=sin x +12sin 2x +25cos x 的最大值.解f (x )=sin x +sin x cos x +25cos x =(sin x +25)(1+cos x )−25记sin x =m,cos x =n ,f (x )=t ,则(m +25)(1+n )−25=t ⇒n =t +25m +25−1,于是原题等价于在单位圆m 2+n 2=1下求目标函数n =t +25m +25−1的最大值,它是由反比例函数变换过来的,当它们的图像在第一象限相切时,t 最大,设切点为(m 0,n 0),则有 −t +25(m 0+25)2=−m 0√1−m 20,n 0=t +25m 0+25−1,n 0=√1−m 20,消去n 0和t 得:√1−m 20+1=m 0(m 0+25)√1−m 20,化简得:100m 30+40m 20−71m 0−20=0,即(5m 0−4)(20m 20+24m 0+5)=0,因为0<m 0 1,从而m 0=45,此时t =m 0(m 0+25)2√1−m 20−25=3825,即f (x )max =3825.评注利用单位圆思想,此法很容易推广到下面的一般情形:函数f (x )=sin x cos x +a sin x +b cos x=(sin x +b )(cos x +a )−ab,2020年第6期(上)中学数学研究43非等差等比数列常见模型问题的探究南京外国语学校仙林分校(210023)高斌摘要数列是刻画离散现象的数学模型,在学习等差等比数列的基础上,分析非等差等比数列问题,探究常见模型,通过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程,经过反思、交流,多角度解决数列通项、前n 项和、单调性和最值等问题,总结常用方法,形成模型巧解模块.培养学生观察、分析、探索、归纳的能力,体会特殊到一般,一般到特殊的思想方法,保证了高效课堂,体现了数学核心素养.关键词非等差等比数列;通项;前n 项和;单调性;最值;模型巧解教材中建立等差数列和等比数列两种特殊的数列模型,教学过程中,通过归纳法、叠(累)加法、逐差法和迭代法等基础方法推导等差数列的通项公式,通过倒序相加法和首末求和法推导等差数列的前n 项和公式,通过归纳法、叠(累)乘法和迭代法推导等比数列的通项公式,通过错位相减法、等比定理法推导等比数列的前n 项和公式,根据学生分层教学情况,还可以介绍拆项法、乘法运算公式法和方程法推导等比数列的前n 项和公式.实际上遇到更多的是非等差等比数列,对于此类问题的常见模型做一些探究和方法总结,学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义.一、对于非等差等比数列,求其通项例1(1)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n −1+3n (n ∈N ∗,n 2),求通项公式a n ;解法1由题意知:a n −a n −1=3n ,a n −1−a n −2=3n −1,···,a 2−a 1=32,叠加得:当n 2时,a n −a 1=3n+3n −1+···+32=3n +1−92所以a n =3n +1−72,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =3n +1−72.解法2当n 2时,迭代得:a n =a n −1+3n =a n −2+3n −1+3n =···=a 1+32+33+···+3n −1+3n=3n +1−72当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =3n +1−72.(2)已知数列{a n }中,a 1=1,na n=(n −1)a n −1(n ∈N ∗,n 2),求通项公式a n .解法1由题意知:a n a n −1=n −1n ,a n −1a n −2=n −2n −1,···,a 2a 1=12,叠乘得:当n 2时,a n a 1=a n a n −1·a n −1a n −2·····a 2a 1=n −1n ·n −2n −1·····12=1n,所以a n =1n ,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.解法2由题意知:a n =n −1na n −1,当n 2时,迭代得:a n =n −1n a n −1=n −1n ·n −2n −1·a n −2=···=n −1n ·n −2n −1·····12·a 1=1n,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.解法3由题意知:na n =(n −1)a n −1,则a 2=12a 1=12,若将n ·a n 视为整体,则当n 2时,2·a 2,3·a 3,···,n ·a n ,···构成一个常数列,所以n ·a n =2·a 2=1,即a n =1n,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.的最大值为t ,这里只讨论a 0,b 0的情形.它由下面的方程组确定:−t +ab (m 0+b )2=−m 0√1−m 20,n 0=t +ab m 0+b −a,n 0=√1−m 20,化简得(2m 20+bm 0−1)2=a (1−m 20)(0<m 0<1),此时t =m 0(m 0+b )2√1−m 20−ab .从以上问题我们看到,利用单位圆求解三角函数问题有时会给我们带来意想不到的效果,在平时的教学中,我们要引领学生从不同的角度去观察问题,这样不仅能拓展学生的思维,还能取得很好的教学效果.。
三角函数线
1 单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么得到六个三角函数
有向线段：有大小和方向的线段。
3，正弦线作法：
(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,
得有向线段MP叫做角的正弦线，当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且y有正值；当线段MP与y 轴反向时，MP的方向为负向，且y有负值。
同理可得余弦线等其它线。
正弦线的方向以上为正，且永远为从点P在x轴的投影点M指向终边与单位圆的交点P，
余弦线的方向以右为正，且永远为从原点O指向终边与单位圆的交点P在x轴的投影点M，
4. 正切线作法：
根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
正切线的方向以上为正, 正切线的方向永远从（1，0）指向角终边所在直线，
且正切线永远在y轴右边，正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上。
角终边落在1、3象限正切线为正，2、4象限时正切线为负，
常用的三种三角函数线的作法：
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；
第二步：过点P作X轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；
第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写时要带上方向符号。
五、三角函数线的应用。
单位圆中的三角函数线
单位圆中的三角函数线
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N.以A为原点建立y'轴与y轴同向，与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T')，则有向线段0M、0N、AT(或AT')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；
余弦线在x轴上；
正切线在过单位圆与x轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
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1.2.1 单位圆中的三角函数线
温故知新
1．角α的终边经过P(2,3)，则有( ) A ．sin α＝21313 B ．cos α＝13
2
C ．sin α＝31313
D ．tan α＝2
3
2．sin
25π
6
等于( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32
3．在下列各式中填上适当的不等号：
(1)sin759°28′8″ 0； (2)sin(－759°23′8″) 0； (3)tan(－135π) 0； (4)cos 41
7π 0.
4．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a
的值是 ． 新课引入
自主预习
认真阅读教材P15～17,回答下列问题．
三角函数线
(1)有向线段：带有 的线段叫做有向线段．
(2)定义：如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点
重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合)．
过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过点A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T
点，这样就有sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ ．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的 线、 线、 线，统称为三角函数线．
[破疑点]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在
x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．
②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正
切线由切点指向单位圆与α的终边(或反向延长线)的交点．
如图所示，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM ⊥x 轴于M ，AT 和A ′T ′均是单位圆的切线，则角α的( )
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的
是供乘客乘搭的座舱．乘客坐在摩天轮上慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．假设摩天轮的中心离地面的高度为h ，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需360秒．
若你坐在座舱中，从水平位置向上开始转动，经过30秒后，你离地面的高度为多少？
A ．正弦线是PM ，正切线是A ′T
B ．正弦线是MP ，正切线是A ′T
C ．正弦线是MP ，正切线是AT
D ．正弦线是PM ，正切线是AT
不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是( ) A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条
C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在
命题方向1 利用三角函数线解三角不等式
已知sinα≥1
2
，求角α的集合．
[分析] 根据正弦线的定义，先找到正弦线等于1
2
的角，再根据正弦线的变化趋势即可得
到．
(1)利用三角函数线求满足cosα≥1
2
的角α的集合．
(2)利用单位圆中的三角函数线求同时满足sinα≤
3
2
，cosα≥
3
2
的α的取值范围．
命题方向2 利用三角函数线解三角方程
已知sinα＝1
2
，求出角α的取值集合．
解方程：tanα＝－1.
设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sinα<α<tanα.
[分析] sinα、tanα分别用正弦线、正切线表示出来，α用它所对的弧表示出来，从而使关
系式得证．
已知α是锐角，求证：1<sinα＋cosα<
π
2
.
[分析] 在单位圆中画出sinα与cosα对应的三角函数线，依据三角形、扇形的边长与面积得
出结论．。