高三第二轮综合训练(七)(数学)

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基本初等函数、函数与方程专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮基本初等函数、函数与方程（原卷+答案）1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2－x －14，x ≤1log a x －1，x >1，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( )A ．116 ≤a <1B ．116 <a <1 C ．0<a ≤116 D ．0<a <1164．若函数f (x )＝x ＋ax －1在(0，2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，145．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的15 ，则信息传递速度C 大约增加了( )(参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213%6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(4，8)C ．(0，8)D ．(0，＋∞)7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h )的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12， (如图所示)实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．(1)k ＝________；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋2，x ≤0x －3＋e x，x >0 的零点个数为________. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤1log 2x ，x >1 ，若1<f (a )≤2，则实数a 的取值范围为________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －2－102－x ，x ≤2||x －3－1，x >2，则不等式f (x )＋f (x －1)<0的解集为________．12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 恰有两个零点，则实数c 的取值范围是________．13.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(0，1)14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，0≤x ≤12sin π2x －1，1<x ≤2，若关于x 的方程m ln ||x ＝f (x )至少有8个实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1ln 5B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1ln 6，1ln 5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1ln 5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，1ln 5参考答案1．解析：函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的定义域为（－1，4）. 要求函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间，只需求y ＝4＋3x －x 2的增区间，只需x <32 . 所以－1<x <32 .所以函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 .故选C.答案：C2．解析：当函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调递减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <112a ≥1a －54≥－1，解得14 ≤a ≤12 ，因为a >0且a ≠1，所以当x ≤1时，f （x ）不可能是增函数，所以函数f （x ）在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 ，故选B.答案：B3．解析：当a >1时，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ，可得log a x <0，则－log a x >0，又由x 2>0，此时不等式x 2－log a x <0不成立，不合题意；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递减，此时函数y ＝－log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，又由y ＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，要使得不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2－log a 12 ≤0，解得116 ≤a <1.故选A.答案：A4．解析：函数f （x ）＝x ＋ax －1在（0，2）上有两个不同的零点等价于方程x ＋ax －1＝0在（0，2）上有两个不同的解，即a ＝－x 2＋x 在（0，2）上有两个不同的解．此问题等价于y ＝a 与y ＝－x 2＋x （0<x <2）有两个不同的交点．由下图可得0<a <14 .故选D. 答案：D5．解析：提升前的信息传递速度C ＝W log 2S N ＝W log 21 000＝3W log 210＝3Wlg 2≈10W ，提升后的信息传递速度C ′＝2W log 210S 15N ＝2W log 250SN ＝2W log 250 000＝2W ·4＋lg 5lg 2 ＝2W ·5－lg 2lg 2 ≈94W 3 ，所以信息传递速度C 大约增加了C ′－CC ＝943W －10W 10W ≈2.13＝213%.故选D.答案：D6．解析：函数g （x ）有四个不同的零点等价于函数f （x ）的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点．画出f （x ）的大致图象，如图所示．由图可知m ∈（4，8）.不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，则－4<x 1<－2<x 2<0，且x 1＋x 2＝－4.所以x 2＝－x 1－4，所以x 1x 2＝x 1（－x 1－4）＝－（x 1＋2）2＋4∈（0，4），则0<x 3<1<x 4，因为||log 2x 3 ＝||log 2x 4 ，所以－log 2x 3＝log 2x 4，所以log 2x －13 ＝log 2x 4，所以x 3·x 4＝1，所以x 1·x 2·x 3·x 4＝x 1·x 2∈（0，4）.故选A. 答案：A7．解析：由f （x ＋2）＝f （－x ）可得f （x ）关于x ＝1对称，由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ）＝－f （x ）＝－[－f （x －2）]＝f （x －2），所以f （x ）的周期为4,求函数y ＝f （x ）－x 3的零点问题即y ＝f （x ）－x 3＝0的解，即函数y ＝f （x ）和y ＝x 3的图象交点问题，根据f （x ）的性质可得如图所示图形，结合y ＝x 3的图象，由图象可得共有3个交点，故共有3个零点，故选B. 答案：B8．解析：（1）由题图可知，当t ＝12 时，y ＝1，所以2k ＝1，所以k ＝2. （2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0<t <12，12t ，t ≥12，当t ≥12 时，y ＝12t ，令y <0.75，得t >23 ，所以在消毒后至少经过23 小时，即40分钟人方可进入房间．答案：（1）2 （2）409．解析：当x ≤0时，令x 3＋2＝0，解得x ＝3－2 ，3－2 <0，此时有1个零点；当x >0时， f （x ）＝x －3＋e x ，显然f （x ）单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－52 ＋e 12 <0，f （1）＝－2＋e>0，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点．答案：210．解析：若a ≤1，则f （a ）＝4a －1，故1<4a －1≤2，解得12 <a ≤log 43，故12 <a ≤log 43；若a >1，则f （a ）＝log 2a ，故1<log 2a ≤2，解得2<a ≤4；综上：12 <a ≤log 43或2<a ≤4. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，log 43 ∪（2，4]11．解析：①当x ≤2时，x －1≤1，∵f （x ）＝10x －2－102－x 在（－∞，2]上单调递增，∴f （x ）≤f （2）＝0，又f （x －1）≤f （1）<f （2）＝0， ∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；②当2<x ≤3时，1<x －1≤2，f （x ）＝||x －3 －1＝2－x <0，又f （x －1）≤f （2）＝0，∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；③当3<x ≤4时，2<x －1≤3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝3－x ；∴f （x ）＋f （x －1）＝－1<0恒成立；④当x >4时，x －1>3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝x －5，∴f （x ）＋f （x －1）＝2x －9<0，解得x <92 ，∴4<x <92 ；综上所述：不等式f （x ）＋f （x －1）<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 12．解析：因为a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.，所以f （x ）＝（x 2－2）⊗（x －1）＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2 ，由图可知，当－2<c ≤－1或1<c ≤2时，函数f （x ）与y ＝c 的图象有两个公共点，∴c 的取值范围是（－2，－1]∪（1，2]. 答案：（－2，－1]∪（1，2] 13．解析：令g （x ）＝f （x ）－x 2，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （－x ）＝f （x ），则g （－x ）＝f （－x ）－（－x ）2＝g （x ），所以函数g （x ）也是偶函数， g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ，因为当x ≥0时，f ′（x ）－2x >0，所以当x ≥0时，g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ≥0，所以函数g （x ）在（0，＋∞）上递增，不等式f （x ）>x 2＋2即为不等式g （x ）>2，由f （1）＝3，得g （1）＝2，所以g （x ）>g （1），所以||x >1，解得x >1或x <－1，所以f （x ）>x 2＋2的解集是（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 故选B. 答案：B14．解析：因为f （2－x ）＝f （2＋x ），且f （x ）为偶函数，所以f （x －2）＝f （x ＋2），即f （x ）＝f （x ＋4），所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数，作出y＝f（x），y＝m ln x在同一坐标系的图象，如图，因为方程m ln ||x＝f（x）至少有8个实数解，所以y＝f（x），y＝m ln |x|图象至少有8个交点，根据y＝f（x），y＝m ln |x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当m>0时，只需m ln 5≤1，即0<m≤1ln 5，当m<0时，只需m ln 6≥－1，即－1ln 6≤m<0，当m＝0时，由图可知显然成立，综上可知，－1ln 6≤m≤1ln 5.故选B.答案：B。

江西省南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷数学(2)

高三新课标第二轮复习测试卷数学（2）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,(1)}M z i =+，i 为虚数单位，{3,4}N =，若{1,2,3,4}M N = ，则复数z 在复平面上所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数()f x =A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]3．（理）若1110(1),(1),(sin 1)xa x dxb e dxc x dx =-=-=-⎰⎰⎰，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<（文）若1sin 23α=，则2cos ()4πα+= A ．23 B ． 12 C ． 13 D ． 164．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若223,15,63k k k S S S -+===，则q = A ．2- B ．2 C ．4- D ．45．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，对任意的实数x 均存在a 使得()()(0)f a f x f ≤≤成立，且||a 的最小值为2π，则函数()f x 的单调递减区间为（） A ．[,]()2k k k Z πππ-∈ B ．[,]()2k k k Z πππ+∈C ．[2,2]()2k k k Z πππ-∈D ．[2,2]()2k k k Z πππ+∈6．已知椭圆:)20(14222<<=+b b y x ,左右焦点分别为21F F ，,,过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若||||22AF BF +的最大值为5，则b 的值是A ．1B ．2C ．23D ．37．已知平面α，命题甲：若//,//a b αα，则//a b ，命题乙：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，则下列说法正确的是A ．当,a b 均为直线时，命题甲、乙都是真命题；B ．当,a b 均为平面时，命题甲、乙都是真命题；C ．当a 为直线，b 为平面时，命题甲、乙都是真命题；D ．当a 为平面，b 为直线时，命题甲、乙都是假命题；8．（理）51()(2)a x x x x+-展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为A ．40-B ．20-C ．20D ．40（文）从[0,3]中随机取一个数a ，则事件“不等式|1||1|x x a ++-<有解”发生的概率为 A ．56B ．23C ．16D ．139．已知函数2()2f x x x=+的图像在点11(,())A x f x与点2212(,())(0)B x f x x x<<处的切线互相垂直，则21x x-的最小值为A．12B．1C．32D．210．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的影）的面积S关于时圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴间t的函数为()S f t=，则下列图中与函数()S f t=图像最近似的是二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)11．已知两个不共线的单位向量,a b，(1)c ta t b=+-，若()0c a b⋅-=，则t=．12．在OAB∆中，120oAOB∠=，OA OB==，边AB的四等分点分别为123,,A A A，1A靠近A，执行下图算法后结果为．13．已知2()sin21xf x x=++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f-+-+++=．14．为了考察某校各班参加数学竞赛的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最小值为．15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点(2,)2Aπ，点B在直线cos sin0ρθθ=上运动，则线段AB的最短长度为．②（不等式选做题）若函数()2()log|1||5|f x x x a=-+--的值域为R,则实数a的取值范围为．（文）1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯…依此类推，第n个等式为．三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）在ABC∆中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c，32Cππ<<且sin2sin sin2b Ca b A C=--．（I ）判断ABC ∆的形状；（II ）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅ 的取值范围．17．（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：221220nn n n S S ++-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12(1)(1)n n n n b S a -=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有2n T <．18．（本小题满分12分）（理）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）若从女生中随机抽取2人调查，其中喜爱打篮球的人数为X ，求X 的分布列与期望．(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)（文）一个袋中装有四个大小形状都相同的小球，它们的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个小球，求取出的两个小球编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个小球，该球的编号为x ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个小球，该球的编号为y ，求2y x <+的概率．19．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，1AD DC CB ===，060ABC ∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1CF =． (1) 求证：BC ⊥平面ACEF ；(2)（文）若点M 在线段EF 上移动，点N 为AB 中点，且MN ∥平面 F C B ，试确定点M 的位置，并求此时MN 的长度．（理）若点M 在线段EF 上移动，试问是否存在点M ，使得平面MAB 与平面FCB 所成的二面角为045 ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为'P 、'Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．21．（本小题满分14分）（理）设函数321()(4)3f x mx m x =++，()ln g x a x =，其中0a ≠．（1）若函数()y g x =图象恒过定点M ,且点M 在()y f x =的图象上,求m 的值； (2)当8a =时,设()'()()F x f x g x =+,讨论()F x 的单调性；(3)在(1)的条件下,设(),1()(),1f x x G xg x x ≤⎧=⎨>⎩,曲线()y G x =上是否存在两点P 、 Q ,使OPQ ∆ (O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由．（文）设函数322()=(0)f x x ax a x m a +-+>．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[1,1]x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围；（3）若对任意的[3,6]a ∈,不等式()1f x ≤在[2,2]x ∈-上恒成立,求m 的取值范围．南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷数学（2 ）参考答案一、选择题：每小题5分，共50分．二、填空题：每小题5分，共25分．11．12； 12．9； 13．5； 14．4 15．（理）1；○24a ≥ （文）213(21)(1)(2)(2)nn n n n ⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯⨯…… 三、解答题：（本大题共6小题共75分）16．解：（1）由sin 2sinA sin 2Cb Ca b =--及正弦定理有sin sin 2B C = 所以2B C =或2=2B C π+若2B C =，且32C ππ<<，所以23B ππ<<或B C π+>（舍）所以2=2B C π+，则A C =，所以ABC ∆为等腰三角形．（2）因为||2BA BC += ，所以222cos 4a c ac B ++⋅=，因为a c =，所以222cos a B a -=，而cos cos2B C =-，32C ππ<<，所以1cos 12B <<，所以2413a <<，又2cos 2BA BC ac B a ⋅==- ，所以2(,1)3BA BC ⋅∈17．解：（1）221220nn n n S S ++-=，122)0n n n n S S +-+=（)(，解得2n n S =当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，111222nn n n n n a S S ---=-=-=（1n =不适合）所以12,1,2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当1n =时，111211211(1)(1)(21)b S a -===---，1112T b ==<；当2n ≥时，111211(21)(21)2121n n n n n n b ---==----- 22311111111()()()212121212121n n n T -=+-+-++------- 12221n =-<- 综上，对于任意的*n N ∈，都有2n T <． 18．（理）解：(1) 列联表补充如下：（2）∵2250(2015105)30202525K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯8.3337.879≈>∴有99.5%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关.（3）喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2. 其概率分别为021*******(0)20C C P X C ===，1110152251(1)2C C P X C ===，2010152253(2)20C C P X C === 故X 的分布列为：X 的期望值为71012202205EX =⨯+⨯+⨯= ．（文）解：（1）袋中随机取两球的基本事件共有1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)（，其中编号之和不大于4的基本事件有1,2),(1,3)（两种，所求的概率21==63P ． (2)从袋中依次有放回地两次取球的基本事件总数为44=16⨯（种）当1x =时，23x +=，此时y 可取1,2两种情况；当2x =时，24x +=，此时y 可取1,2,3三种情况；当3x =时，24x +>，此时y 可取1,23,4，四种情况；当4x =时，24x +>，此时y 可取1,23,4，四种情况，所以，所求事件的概率2344131616P +++==．19．解：(1) 证明：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =DC =CB =1，∠ABC =60o ， ∴ 2AB =，2222cos603AC AB BC AC BC =+-⋅︒=， ∴ 222AB AC BC =+，∴ AC BC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD ，∴ BC ⊥平面ACEF ．(2) （文）设M 为EF 的中点，G 为AC 的中点，连MG ，NG ，则NG ∥BC ．因为四边形ACEF 为矩形，所以MG ∥FC ，所以平面MNG ∥平面BCF 因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面FCB ，即M 为EF 的中点时符合题意．这时，1MG CF ==，011111cos60222222NG BC AB ==⋅=⨯⨯= 由（I ）BC ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥MG即MNG ∆为直角三角形，得2MN ===（理）由(1)知，AC 、BC 、CF 两两垂直，以C 为原点，AC 、BC 、CF 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图），则00)A ，(010)B ，，，设(01)M a ，，，则(AB = ，(,1,1)BM a =-，设(,,)m x y z =是平面AMB 的法向量，则00m AB y m BM ax y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，取1x =，得)m a = ，显然(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，于是cos 2m n <>==，，化简得22)0a +=，此方程无实数解， ∴ 线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成的二面角为45o ．20．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，∴抛物线21:4C y x =同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,b c a ==∴= 得椭圆222:12y C x +=．（2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++=216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩由12,NA AF NB BF λλ== 得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-= 整理得：121212,11x x x x λλ==-- 2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x kλλ+-+-∴+===-+-++-+．（3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x 由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+= 得21p Q p Q x x y y +=-…………① 2212p p y x +=……………………② 2212Q Q y x +=……………………③ 由①+②+③得22()()12p Q p Q y y x x +++=∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证．21．（理）解：(1)令ln 0x =,则1x =,即函数()y g x =的图象恒过定点(1,0)M , 则1(1)(4)03f m m =++=，∴3m =- ． (2)2()2(4)8ln F x mx m x x =+++,定义域为(0,)+∞,8()2(82)F x mx m x '=+++ =22(82)8mx m x x +++=(28)(1).mx x x++ 0x > ,则10,x +>∴当0m ≥时,280,()0,mx F x '+>> 此时()F x 在(0,)+∞上单调递增,当0m <时,由()0F x '>得40x m <<-,由()0F x '<得4x m>-, 此时()F x 在4(0,)m -上为增函数, 在4(,)m -+∞为减函数, 综上当0m ≥时,()F x 在(0,)+∞上为增函数；0m <时,在4(0,)m -上为增函数,在4(,)m-+∞为减函数． (3)由条件(1)知32,1,()ln , 1.x x x G x a x x ⎧-+≤=⎨>⎩假设曲线()y G x =上存在两点P 、Q 满足题意,则P 、Q 两点只能在y 轴两侧设(,())(0)P t G t t >,则32(,),Q t t t -+因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形, 所以0OP OQ ⋅= ，232()()0t G t t t -++= ①当01t <≤时,32()G t t t =-+，此时方程①为23232()()0t t t t t -+-++=,化简得4210t t -+=．此方程无解,满足条件的P 、Q 两点不存在当1t >时,()ln G t a t =,方程①为232ln ()0t a t t t -+⋅+=,即1(1)ln ,t t a =+ 设()(1)ln (1)h t t t t =+>,则1()ln 1,h t t t '=++显然当1t >时()0h t '>即()h t 在(1,)+∞上为增函数,所以()h t 的值域为((1),)h +∞,即(0,)+∞,所以10a>，即0a >．综上所述,如果存在满意条件的P 、Q ,则a 的取值范围是0a >．（文）解：（1）∵22()=323()()3af x x ax a x x a '+-=-+，又0a >，∴当x a <-或3a x >时，()0f x '>；当3a a x -<<时，()0f x '<． ∴函数()f x 的单调递增区间为(,)a -∞-，(,)3a +∞，单调递减区间为(,)3a a -．（2）由题设可知，方程22()=320f x x ax a '+-=在[1,1]-上没有实根， ∴(1)0(1)00f f a '-<⎧⎪'<⎨⎪>⎩，解得3a >．（3）∵[3,6]a ∈，∴由（Ⅰ）知[1,2]3a ∈，3a -≤- 又[2,2]x ∈-，∴max (){(2),(2)}f x f f =-而2(2)(2)1640f f a --=-<，∴2max ()(2)842f x f a a m =-=-+++又∵()1f x ≤在[2,2]-上恒成立，∴max ()1f x ≤，即28421a a m -+++≤ 即2942m a a ≤--在[3,6]a ∈上恒成立∵2942a a --的最小值为87-，∴87m ≤-．。

2023年高考数学二轮复习讲练测 (新高考) 专题02 正余弦定理在解三角形

专题02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题【命题规律】解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：倍长定比分线模型核心考点二：倍角定理核心考点三：角平分线模型核心考点四：隐圆问题核心考点五：正切比值与和差问题核心考点六：四边形定值和最值核心考点七：边角特殊，构建坐标系核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围【真题回归】1．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________．2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．（1）求ABC 的面积；（2）若sin sin A C =b ．3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）若2A B =，求C ；（2）证明：2222a b c =+4．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos sin21sin1cos2A BA B=++．（1）若23Cπ=，求B；（2）求222a bc+的最小值．【方法技巧与总结】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．【核心考点】核心考点一：倍长定比分线模型【规律方法】如图，若P 在边BC 上，且满足PC BP λ=，AP m =，则延长AP 至D ，使PD AP λ=，连接CD ，易知AB ∥DC ，且DC c λ=，(1)AD AP λ=+．180BAC ACD ∠+∠=︒．【典型例题】例1．（2022·福建·厦门双十中学高三期中）如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若2AC =，3AB =，则||AP 的值为（）A B C D例2．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.例3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，AD 为BC 边上的中线，c ＝1，23BAC π∠=，12sin cos sin sin sin 2c A B a A b B b C =-+．(1)求AD 的长度；(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为ABC 的重心，连接EG 并延长与AC 交于点F ，求AF 的长度．例4．（2022·广西柳州·高三阶段练习（文））已知2()sin cos f x x x x =，将()f x 的图象向右平移π0<<2ϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭单位后，得到()g x 的图象，且()g x 的图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求ϕ；(2)若ABC 的角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，且182A g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=1,=2b c ，若点D 为BC 边靠近C 的三等分点，试求AD 的长度．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，D 为BC 上靠近点C 的三等分点，且1AD CD ==．记ABC 的面积为S ．(1)若sin 2sin C B =，求S ； (2)求S 的取值范围．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 所对的边，且满足1cos 2c A b a =-，若P 为边AB 上靠近A 的三等分点，1CP =，求：（1）求C 的值；（2）求2+a b 的最大值．例7．（2022·全国·高三专题练习）在①ANBN=AMN S =△AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，c =8，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，___________，求AM 的长和ABC 外接圆半径.例8．（2022·湖北·高三期中）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()sin sin()a c A a B C -=-，b =(1)求角B ；(2)若AC 边上的点D 满足2CD DA =，BD =ABC 的面积．核心考点二：倍角定理【规律方法】例9．（2022·广西·灵山县新洲中学高三阶段练习（文））在锐角ABC 中，角A B C ，，所对的边为a b c ，，，且()cos 1cos a B b A ⋅=+.(1)证明:2A B =(2)若2b =，求a 的取值范围.例10．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 是ABC 的面积,()222sin SB C a c +=-．(1)证明：A ＝2C ；(2)若a ＝2，且ABC 为锐角三角形，求b ＋2c 的取值范围．例11．（2022·福建龙岩·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin sin sin sin B C A C -=．(1)证明：2B C =；(2)若A 是钝角，2a =，求ABC 面积的取值范围．例12．（2022·江苏·宝应中学高三阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值.例13．（2022·江苏连云港·高三期中）在ABC 中，AB ＝4，AC ＝3． (1)若1cos 4C =-，求ABC 的面积；(2)若A ＝2B ，求BC 的长．例14．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =. (2)求bc 的取值范围.核心考点三：角平分线模型【规律方法】斯库顿定理：如图，AD 是ABC △的角平分线，则2·AD AB AC BD DC =⋅-，可记忆：中方=上积一下积．【典型例题】例15．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）ABC 中，2AB =，1AC =，BD BC λ=，()0,1λ∈. (1)若120BAC ∠=︒，12λ=，求AD 的长度； (2)若AD 为角平分线，且1AD =，求ABC 的面积.例16．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在锐角ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a bC A B+=+ (1)求角C 的大小；(2)若c =A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.例17．（2022·江苏泰州·高三期中）在①sin (cos cos )sin sin sin C a B b A a B a A b B +-=+；②22sin sin cos cos B A B B A A -=两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a b ，．(1)求角C 的大小；(2)若∠ACB 的角平分线CD 交线段AB 于点D ，且4,4CD BD AD ==，求△ABC 的面积．例18．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知向量()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数()32f x a b =⋅+． (1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ACB 的角平分线交AB 于点D ，若()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a ＋4b 的最小值．例19．（2022·河北·高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中=4a ，=3b . (1)若点D 为AB 的中点且=2CD ，求ACB ∠的余弦值；(2)若ACB ∠的角平分线与AB 相交于点E ，当c CE ⨯取得最大值时，求CE 的长.例20．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△；③tan tan tan A C A C +=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． (1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．例21．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（）A ．16B ．C ．64D ．核心考点四：隐圆问题【规律方法】若三角形中出现(1)b a λλ=>，且c 为定值，则点C 位于阿波罗尼斯圆上．【典型例题】例22．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数()0,1λλλ>≠的动点的轨迹．已知在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin A B =，cos cos 3a B b A +=，则ABC 面积的最大值为（）A ．3B ．C ．6D ．例23．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（）AB C ．43D ．53例24．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.例25．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值λ（0,1λλ>≠）的动点的轨迹.已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 2sin ,A B =cos cos 2,a B b A +=则ABC 面积的最大值为__________．例26．（2022·全国·高三专题练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有ABC ∆，4,sin 2sin AC C A ==，则当ABC ∆的面积最大时，AC 边上的高为_______________.核心考点五：正切比值与和差问题【规律方法】例27．（2022·江苏南通·高三期中）在ABC 中，点D 在边BC 上，且AD BD =，记BDCDλ=. (1)当13λ=，π3ADB ∠=，求ABAC ；(2)若tan 2tan BAC B ∠=，求λ的值.例28．（2022·河南焦作·高三期中（文））在锐角ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，2b =，且ABC 的面积2S =．(1)若4sin 5A =，求a ； (2)求tan B 的最大值．例29．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知在ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-，1b =(1)若)tan tan 1tan tan A C A C -=+，求边c 的值； (2)若2a c =，求ABC 的面积．例30．（2022·江西赣州·高三期中（理））在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)a c BA BC cCB CA -⋅=⋅．(1)求角B 的大小； (2)若tan tan 4tan tan B B A C+=，求sin sin AC 的值．例31．（2022·湖南·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 满足22222a b c +=且90B ≠︒． (1)求证：tan 3tan C A =； (2)求111tan tan tan A B C++的最小值．例32．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222tan tan tan a b c A B Cλλ+=>（1）. (1)当,14A a π==，2λ=时，求c 的值；(2)判断ABC 的形状.例33．（2022·湖北·高三开学考试）在ABC 中，内角,,A B C 满足2222sin sin 2sin A B C +=. (1)求证：tan 3tan C A =； (2)求123tan tan tan A B C++最小值.例34．（2022·江苏南京·高三开学考试）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab -+-=. (1)若4C π=，求A ，B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求2cos ab B的取值范围.例35．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量(,sin )m a b C =-，(3,sin sin )n c b A B =-+，(0)m n λλ=≠，则1tan 24b Cc +的最小值为（）A B ．C D例36．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22222a c b +=，则tan tan BC=______．例37．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A+=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________．核心考点六：四边形定值和最值【规律方法】正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，等号成立．【典型例题】例38．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））在四边形ABCD 中，2,3AB BC CD AD ====，则四边形ABCD 面积的最大值为______.例39．（2022·江苏无锡·高三期中）如图，在平面四边形ABCD 中，cos AB BD ABD =∠．(1)判断ABD △的形状并证明；(2)若AB =，BC =，12BC =，求四边形ABCD 的对角线AC 的最大值．例40．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值．例41．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）已知函数()((1sin cos 1sin cos f x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎣⎦.(1)求()f x 的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足314A f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.例42．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）如图，在平面凹四边形ABCD 中，=2AB ，=3BC ，60B ∠=︒.(1)若sin sin AD A CD C =且=1AD ，求凹四边形ABCD 的面积； (2)若120ADC ∠=︒，求凹四边形ABCD 的面积的最小值.例43．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，()090BAD BCD θθ∠=∠=<<，6AB BC +=.(1)若=2BC AB ，75θ=，求对角线AC 的长；(2)当AD CD =，=3BC 时，求平面四边形ABCD 的面积的最大值及此时θ的值.例44．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设()()cos sin f x x x ϕ=--，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，已知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小值；(2)已知凸四边形ABCD 中，()114,7AB AC AD f A ====，求ABCD 面积的最大值.核心考点七：边角特殊，构建坐标系【规律方法】利用坐标法求出轨迹方程【典型例题】例45．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2a +2228b c +=，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:方法1:如图，在ABC ∆中，以线段AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则,02c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02c B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)C x y ，得222c x y ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222822c x y c ⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得222544x y c +=-，当ABC ∆面积最大时0x =，故12ABC S c ∆=⨯=285c =时，ABC ∆.方法2:如图，设AD x =，BD y =，CD h =，由22228a b c ++=，得()()22222(h y h x x +++++2)8y =，即222222()8h x y x y ++++=，又2222x yx y ++222()(2x y x y ++当且仅当x y =时取等号)，所以2252()82h x y ++，又1()2ABC S x y h x∆=+=+22y =⨯1)2x y⎤+=⎥⎦15)25x y⎤+⨯⨯⎥⎦2252()25225h x y++(当且仅当)x y+=时，等号成立，即h，将h=与x y=代人222222()8h x y x y++++=中，得x y==⎭.所以ABC∆.方法3:由三角形面积公式，得1sin2ABCS ab C∆=，即()222222211sin1cos44ABCS a b C a b C∆==-，由22228a b c++=，得22282a b c+=-，由余弦定理，得283cos2cCab-=，所以()222222211sin1cos44ABCS a b C a b C∆==-=()22222222831831142416cca b a bab⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥⋅-=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()2222242835161616a b c cc+--=-+(当且仅当a b=时取等号)，当285c=时，42516cc-+，取得最大值45，即245ABCS∆，所以ABC∆面积的最大值为(也可以用基本不等式求2ABCS∆的最大值，即42516ABCcS∆=-+()2225165145165c cc-=⋅，所以ABC∆).方法4:在ABC∆中，由余弦定理，得2222cosc a b ab C=+-，由22228a b c++=，得()222222cos8a b a b ab C+++-=，即()22384cosa b ab C+=+，又222a b ab+，所以84cos6ab C ab+，即(32cos)4ab C-，故432cosabC-，又1sin2ABCS ab C∆=，所以2sin32cosABCCSC∆-，令2sin()32cosxf xx=-，(0,)xπ∈，得26cos4()(32cos)xf xx-'=-，令6cos40x-=，得2cos3x=，即当2cos3x=时，sin x=ABC∆.例46．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a b==ABC△所在的平面内存在点M ，使得2223MA MB MC +==3，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:以AB 所在直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,0)A m -，(,0)B m ，(0,)C n ，(,)M x y ，0m >，0n >.由223MA MB +=，得2222()()3x m y x m y +++-+=，即22232x y m +=-①，又21MC =，故22()1x y n +-=②，其中①式可以看作以(0，0)的圆的轨迹方程，②式可以看作以(0,)n 为圆心，半径为1的圆的轨迹方程，由题意知两圆有公共点，即点M ，则2311(3)2n m -③，又a b =得223m n +=④，由③，④得223016m <，因为ABC S mn ∆=，所以()22223ABCSm n m∆==-，2223924m m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，当22316m =时，2ABC S ∆取得最大值575256，故BC S ∆的最大值核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题【规律方法】与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．【典型例题】例47．（2022·重庆一中高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足()22sin cos cos B A C B =-+.(1)证明：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a c >且22252a cb +=，ABC ABC 的周长.例48．（2022·山东聊城·高三期中）已知ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且2b a =，3c =． (1)若2π3C =，求ABC 的面积； (2)若2sin sin 1B A -=，求ABC 的周长．例49．（2022·山西·高三阶段练习）在①cos sin c A C =；②()(sin sin )()sin a b A B c C -+=-；③3cos cos b A a B c +=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足___________． (1)求角A 的大小；(2)若D 为线段CB 延长线上的一点，且2,CB BD AD AC ===，求ABC 的面积．例50．（2022·云南云南·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(cos sin )b c A A =-.(1)求角C ；(2)若c =，D 为边BC 的中点，ADC △的面积1S =且B A >，求AD 的长度.例51．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））如图，△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CDAB BC=．(1)证明：πBAC DAC ∠+∠=；(2)若AB ＝2，AC ＝1，BC =ABD 的面积．核心考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围【规律方法】对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．【典型例题】例52．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.例53．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知向量()cos ,sin a x x =，()3sin ,sin =b x x ，函数()12=⋅-f x a b ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图像．(1)求函数()g x 的零点；(2)若锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，且()1f A =，求b ca+的取值范围．例54．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()πsin cos sin π2f x x x x x m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．(1)在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求出使函数()f x 在区间[]0,a 上最小值为12-时，a 的取值范围；条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π3x =．(2)若12m =-，在锐角ABC 中，若()1f A =，且能盖住ABC 的最小圆的面积为π，求+AB AC 的取值范围．例55．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin sin cos a A A B b B =+，且ab ．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．例56．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）在,ABC 中内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,.a b c 已知22cos 2sin sin 12A B A B -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ (1)求角C 的大小. (2)若1c =，求ABCS 的最大值.例57．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 满足3BD BC =，且0AD AC ⋅=． (1)若b ＝c ，求A 的值； (2)求B 的最大值．例58．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知()()22232cos b c b c a abc C -+-=．(1)求tan A ；(2)若b c +=ABC 面积的最大值．例59．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②S BA CA =⋅；③tan (2)tan c A b c C =-.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，且满足___________ (1)求A 的大小；(2)设ABC 的面积为D 在边BC 上，且2BD DC =，求AD 的最小值.【新题速递】一、单选题1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））在ABC 中，已知30B =︒，1b =，则AB AC ⋅的最小值为（） A ．-1B ．14-C ．13-D ．12-2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则4b c +的最小值为（）A ．21B ．24C ．27D ．363．（2022·山西·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．点D 为BC 的中点，π1,3AD B ==，且ABC c =（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·山东菏泽·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c --=，则ABC 外接圆面积与ABC 面积之比的最小值为（）．A B C D5．（2022·湖北·高三期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c tan tan A B =+，下列结论正确的是（） A ．6A π=B ．当2a =，4c =时，ABC 的面积为C ．若AD 是BAC ∠的角平分线，且AD =112b c+=D ．当b c -=ABC 为直角三角形6．（2022·贵州·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是边AB 上一点，CD 平分ACB ∠，且CD =cos cos 2cos a B b A c C +=，则2a b +的最小值是（）A ．4+B ．6C ．3+D ．47．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 是锐角三角形，且满足()()0b a a b ac -+-=，若△ABC 的面积2S =，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是（）A ．()88， B ．()0,8C ．⎝D ．8）8．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()2AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=m 的最大值为（） A ．6 B ．65C ．145D ．3二、多选题9．（2022·江苏南通·高三期中）在圆O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4CD DA ==，则（）A ．27BD =B ．四边形ABCD 的面积为C ．12AO BD ⋅=D ．16AC BD ⋅=10．（2022·江苏淮安·高三期中）在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若2228a b c ++=，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（）AB C D 11．（2022·湖北·高三阶段练习）已知ABC 外接圆的面积为π，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，设ABC 的周长和面积分别为P ，S ，则（）A ．π03B <≤B ．0b <≤C ．0P <≤D ．0S <≤12．（2022·山西太原·高三期中）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，cos 0C <，且tan bB c=，则下列结论正确的是（） A ．06B π<<B ．sin cos 0BC +=C ．5cos cos cos (1,]4A B C ++∈D ．5cos cos cos (1,]4A B C ++∈-三、填空题13．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若2sin 3tan ,2c B a A a ==；则当角A 最大时，ABC 的面积为______.14．（2022·四川南充·高三期中（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin2B Ca A Cb ++=，且ABC 内切圆面积为4π，则ABC 周长的最小值是______． 15．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin()cos 06a B b A ππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，10a =，若点M 满足25BM BC =，且MAB MBA ∠=∠，则AMC 的面积为_________________．16．（2022·全国·高三专题练习）已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且AB ＝1，CD ＝2，AD ＝4，BC ＝5，则P A 的长度为______．四、解答题17．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 是ABC 的面积,()222sin SB C a c +=-．(1)证明：A ＝2C ；(2)若a ＝2，且ABC 为锐角三角形，求b ＋2c 的取值范围．18．（2022·河北·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足)cos cos 2sin a C c A b B +=，且c b >．(1)求角B ；(2)若b =ABC 周长的取值范围．19．（2022·湖北·高三期中）如图，在平面凹四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，120ADC ∠=，角B 满足：(1sin cos )(cossin )cos 222B B BB B ++-=．(1)求角B 的大小;(2)求凹四边形ABCD 面积的最小值．20．（2022·湖北襄阳·高三期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()cos .B C a B c ++=(1)求角A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且6b =，求ABC 面积的取值范围.21．（2022·湖北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2c a a b =+.(1)求证：2C A =；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin 3sin B A +的取值范围.22．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在ABC 中，sin sin sin sin sin sin sin C B A BA B C-+=+，(1)求角C 的大小；(2)求sin 22πsin 4B B +⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围．。

高三数学第二轮复习专题数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关：数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案：数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -．所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-．点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练第7练(原卷及答案)(新高考专用)

高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练(7)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知M ，N 为R 的两个不相等的非空子集，若M N M ⋂=，则（）A．M N =R B．RN C M R =⋃C．RM C N R=⋃D．RM C N C RR =⋃2.已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.()622x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A.640-B.320- C.640D.3204.已知函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线518x π=对称，则函数()f x 在区间[0,]π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.45.已知函数()f x 为R 上的偶函数，对任意不相等的12,(,0)x x ∞∈-，均有()()1212f x f x x x -<-成立，若ln 2ln 3ln5,,235a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A．c b a<<B．a c b<<C．a b c <<D．c a b<<6.已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C 与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（）1-B．512-C．312-D．227.当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．(0C．(]0,2D．[)2,+∞8.已知02πα<<，02βπ<<，且32sin 9αββα-=-，则（）A.2αβ< B.2αβ> C.2a b> D.2a b<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（）A.从中任取3个球，恰有1个白球的概率是35B.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为36125C.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有1次取到红球的概率为98125D.从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第1次取到红球的条件下，第2次再次取到红球的概率为1210.已知向量()()()1,3,2,1,3,5c a b ==-=-，则（）A ．()2//a b c+B ．()2a b c+⊥C ．a c +=D ．2a c b+=的正方体的展开图如图所示.已知H 为线段BF 的中点，动点P 在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（）A.BM 与AN 是异面直线B.AF 与BM 所成角为60C.平面CDEF ⊥平面ABMND.若AM HP ⊥，则点P 的运动轨迹长度为612.已知00e ln 10，，a a b ab b >>+-=，则（）A．1ln b a >B．1eab>C．ln 1a b +<D．1ab <三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(3,4)P -在角α的终边上，则sin 2α=_________．14.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2*2(N )n S n n n =+∈，设11n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前2021项和2021T =________．15.已知0x >，0y >，若()2211412x y y x +++=，则22log log x y ⋅的最大值为_________．16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，设三棱锥A ′－BDC 的外接球和内切球的半径分别为r 1，r 2，球心分别为O 1，O 2.若正方形ABCD 的边长为1，则21r r =________；O 1O 2＝__________.高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练(7)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知M ，N 为R 的两个不相等的非空子集，若M N M ⋂=，则（）A．M N =R B．RN C M R =⋃C．RM C N R =⋃D．RM C N C RR =⋃【答案】C【解析】依题意M N M ⋂=，所以M N ，则集合M ，N 与R 的关系如下图所示：所以R M C N R =⋃；故选：C2.已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】21i 12i i i 1i 2+++==-Q ，且i 的乘方运算是以4为周期的运算所以202120222021202221i i 1i 1i i i i i z +⎛⎫=+++ ===-⎝-⎪+⎭，所以复数z 所对应的点()1,1-，在第二象限.故选：B3.()622x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A.640-B.320- C.640D.320【答案】B【解析】62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：66216622rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭；令620r -=，解得：3r =，∴展开式中的常数项为336221620320C -⨯=-⨯=-.故选：B.4.已知函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线518x π=对称，则函数()f x 在区间[0,]π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线518x π=对称，所以53()182k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得()3k k Z πϕπ=-∈，又因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()sin 303f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则3()3x k k Z ππ-=∈，得39k x ππ=+，因为[0,]x π∈，所以47,,999x πππ=.即函数()f x 在区间[0,]π上零点的个数为3.故选：C5.已知函数()f x 为R 上的偶函数，对任意不相等的12,(,0)x x ∞∈-，均有()()12120f x f x x x -<-成立，若ln 2ln 3ln5,,235a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A．c b a <<B．a c b <<C．a b c <<D．c a b<<【答案】D【解析】∵对任意不等1x ，()2,0x ∞∈-，均有1212()()0f x f x x x -<-成立，∴此时函数在区间(),0∞-上为减函数，又∵()f x 是偶函数，∴当()0,x ∞∈+时，()f x 为增函数．由25ln 5ln 2ln 5ln 22ln 55ln 252<⇔<⇔<，23ln 3ln 2ln 3ln 22ln 33ln 232>⇔>⇔>，所以ln 5ln 2ln 3523<<，所以ln 3ln 2ln 5325f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c a b <<.故选：D6.已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C 与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（）1-【答案】A【解析】依题意，椭圆2C 的右焦点(,0)2pF ，则其左焦点(,0)2p F '-，设过F 的1C 与2C 的公共弦在第一象限的端点为点P ，由抛物线与椭圆对称性知，PF x ⊥轴，如图，直线PF方程为：2px =，由222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩得点(,)2p P p ，于是得||PF p =，在PF F '中，90PFF '∠= ，||FF p '=，则||2PF '=，因此，椭圆2C 的长轴长2||||(21)a PF PF p '=+=，所以椭圆的离心率||212(21)FF pe a p'==-+.故选：A7.当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)2,+∞B．(02，C．(]0,2D．[)2,+∞【答案】B【解析】()221112x a x +≥-恒成立，即()22min 1112x a x ⎡⎤+≥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦02,20x a a x <<∴-> ，又2222221112222(2)(2)(2)(22)x a x x a x x a x x a x a +≥=≥=+----，上述两个不等式中，等号均在2x a x =-时取到，()m 222in1122x a a x ⎡⎤∴+=⎢-⎢⎥⎣⎦，212a ∴≥，解得a ≤且0a ≠，又0a >，实数a 的取值范围是(0.故选：B.8.已知02πα<<，02βπ<<，且32sin 9αββα-=-，则（）A.2αβ< B.2αβ> C.2a b> D.2a b<【答案】D【解析】设()sin f x x x -＝，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0f x x '-＝＞即f (x )在（0，2π）上单调递增，所以f (x )＞f （0）＝0，故x ＞sin x ，因为32sin 9αββα﹣＝﹣，所以2232sin 92sin 323αβββαβββ++++＝＝＜，所以g （α）＜g （2β），令g (x )＝3x+x ，显然g (x )单调递增，所以α＜2β．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（）A.从中任取3个球，恰有1个白球的概率是35B.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为36125C.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有1次取到红球的概率为98125D.从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第1次取到红球的条件下，第2次再次取到红球的概率为12【答案】ABD【解析】对于A 中，从中任取3个球，恰有1个白球的概率为21323563105C C P C ===，所以A 正确；对于B 中，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为25，所以恰好有2个白球的概率为2232236()(155125P C =-=，所以B 正确；对于C 中，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为25，所以至少有1次取到红球的概率为333281171(15125125P C =-=-=，所以C 不正确；对于D 中，设第1次取到红球为事件A ，第2次再次取到红球为事件B ，所以第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率为32()154(|)3()25P AB P B A P A ⨯===，所以D 正确.故选：ABD.10.已知向量()()()1,3,2,1,3,5c a b ==-=-，则（）A ．()2//a b c+B ．()2a b c+⊥C．a c +=D ．2a c b+=【答案】AD 【解析】因为()()()1,3,2,1,3,5c a b ==-=- ，所以()325a b +=- ，，所以2a b c +=- ，所以()2//a b c +，故A 正确，B 不正确；又()42a c +=- ，，c a +== ，b == 2a c b +=，故D 正确，C 不正确，故选：AD.的正方体的展开图如图所示.已知H 为线段BF 的中点，动点P 在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（）A.BM 与AN 是异面直线B.AF 与BM 所成角为60C.平面CDEF ⊥平面ABMND.若AM HP ⊥，则点P 的运动轨迹长度为6【答案】BCD【解析】由展开图还原正方体如下图所示，对于A ，//MN ，∴四边形MNAB 为平行四边形，//AN BM ∴，BM ∴与AN 是共面直线，A 错误；对于B ，//BM AN ，AF ∴与BM 所成角即为NAF ∠，AN NF AF == ，ANF ∴为等边三角形，60NAF ∴∠= ，即AF 与BM 所成角为60 ，B 正确；对于C ，AB ⊥Q 平面BCMF ，CF ⊂平面BCMF ，AB CF ∴⊥；又CF BM ⊥，= AB BM B ，,AB BM ⊂平面ABMN ，CF ∴⊥平面ABMN ，又CF ⊂平面CDEF ，∴平面CDEF ⊥平面ABMN ，C 正确；对于D ，由正方体性质可知AM ⊥平面CFN ，取,,,,BC CD DN NS EF 中点,,,,G Q T S R ，连接,,,,,HG GQ QT ST SR RH ，则平面//SRHGQT 平面CFN ，∴点P 的轨迹为正六边形SRHGQT 的边，∴点P 的轨迹长度为6=，D 正确.故选：BCD.12.已知00e ln 10，，a a b ab b >>+-=，则（）A．1ln b a >B．1e a b>C．ln 1a b +<D．1ab <【答案】BCD 【解析】对于A 选项，当1a =时，1010e ln e ln a ab b b b +-=⇔+-=.设()1e ln f x x x =+-，其中0x >.则()10e f x x'=+>，故()f x 在()0,∞+上单调递增.又()110e -f =>，110e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，则11,e b ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()0f b =.即存在1a =，11,e b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使10e ln a ab b +-=.但此时，1101ln ln b a<=<=.故A 错误.对于B 选项，1111110e ln e ln e ln a a a ab b a b a b b b b b+-=⇔+=⇔-=111ln e ln e ab a b b ⇔-=.设()e x g x x =，其中0x >.则()()1e 0x g x x '=+>.得()g x 在在()0,∞+上单调递增.注意到()11111ln e ln e ln ab a g a g b b b b ⎛⎫-=⇔-= ⎪⎝⎭.则()1110ln ln g a g a b b b ⎛⎫-=>⇒> ⎪⎝⎭.又e x y =在R 上递增，则有11ln e e e a a b b>⇒>.故B 正确.对于C 选项，由B 选项可知1e a b >，则由10e ln a ab b +-=，有10111e ln ln ln a ab b ab b a b b=+->⋅+-⇒+<.故C 正确.对于D 选项，因00a b >>，，10e ln a ab b +-=，则101e ln ln e a ab b b b =->⇒<⇒<.设e m b =，其中1m <.则1010e ln e a a m ab b a m ++-=⇔+-=.设()1e x m h x x m +=+-，其中()0,x ∈+∞.则()()10e x m h x x +'=+>，得()h x 在()0,∞+上单调递增.（1）若01m <<，注意到()()()11e 10h m m -=-->，()010h m =-<，则()01,x m ∃∈-，使()0h x =.即()01,a m ∈-，则()1e m ab m <-，设()()1e x p x x =-，则()e x p x x '=-，得()p x 在()0,1上单调递减，则()()()101e m ab m p m p =-=<=.（2）当0m =，()e 1x h x x =-，注意到()()010110，e h h =-<=->.则()0,1a ∈，此时1ab a =<.（3）当0m <，注意到()()()()1011e 10h m h m m -=--=--，则()1,a m m ∈--，又由（1）分析可知()p x 在(),0∞-上单调递增.则()()()101e m ab m p m p =-=<=.综上，有1ab <.故D 正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(3,4)P -在角α的终边上，则sin 2α=_________．【答案】2425-【解析】三角函数的定义可知43sin ,cos 55αα====-，所以4324sin 225525α⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为：2425-14.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2*2(N )n S n n n =+∈，设11n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前2021项和2021T =________．【答案】20212022【解析】22n S n n =+ ，22n n n S +∴=，2n 时，1(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-=-=-=，111112a S +===也适合上式，n a n ∴=，111(1)1nb n n n n ==-++，20211111120211223202120222022T ∴=-+-++-= ．故答案为：2021202215.已知0x >，0y >，若()12y x +=，则22log log x y ⋅的最大值为_________．【答案】14【解析】因为()12y x +=，所以12y x +.设()f t t =0t >，则()12f f y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，从而12=y x ，即12xy =，所以22222log log 1log log 24x y x y +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22x y ==时取等号，即22log log x y 的最大值为14.故答案为：1416.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，设三棱锥A ′－BDC 的外接球和内切球的半径分别为r 1，r 2，球心分别为O 1，O 2.若正方形ABCD 的边长为1，则21r r =________；O 1O 2＝__________.【答案】2【解析】设AC BD M =，则12MA MB MC MD BD =====∴三棱锥A ′－BDC 的外接球122r =，点M 即为1O ，∵将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，又A M BD '⊥，∴A M '⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，∴A M '⊥MC ，1A C '=，∴12A BD CBD S S '==，3A BC A CDS S ''==∴211133112322322r ⎛++=⨯⨯ ⎝⎭，解得22262r =，∴2122622322r r -=设球2O 与平面A BD '，平面BCD 分别切于P ，Q ，则2O PMQ 为正方形，∴2212223O M O O r ==故答案为：23，23.。

高三数学二轮复习阶段性综合检测(七)

阶段性综合检测(七)(必做题部分：时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(2010年青岛质检)复数i 1＋2i(i 是虚数单位)的实部是________．解析：因为i 1＋2i ＝i(1－2i)5＝25＋i 5，所以复数i 1＋2i(i 是虚数单位)的实部是25.答案：252．(2010年扬州调研)执行如图所示的程序框图，若p ＝4，则输出的s ＝________.解析：由程序框图知s ＝12＋14＋18＋116＝1516.答案：15163答案：(b 1b n )n 2 4．(2010年南京第一次调研)复数z ＝(1＋i)21－i对应的点在第________象限．解析：z ＝(1＋i)21－i ＝2i 1－i＝－1＋i ，其对应的点的坐标为(－1,1)，所以点在第二象限．答案：二5．设0＜θ＜π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n (n ∈N ＋)，猜想a n＝________.解析：因为0＜θ＜π2，所以a 2＝2＋2cos θ＝2cos θ2，a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4，a 4＝2＋2cos θ4＝2cos θ8，于是猜想a n ＝2cos θ2n －1(n ∈N ＋)．答案：2cos θ2n －1 6．(2010年南通第一次调研)根据下面一组等式：S 1=1,S 2=2+3=5,S 3=4+5+6=15,S 4=7+8+9+10=34,S 5=11+12+13+14+15=65,S 6=16+17+18+19+20+21=111.可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝________.解析：从已知数表得S 1＝1，S 1＋S 3＝16＝24，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34，从而猜想S 1＋S 3＋…＋S 2n －1＝n 4.答案：n 47．复数53＋4i的共轭复数是________．解析：因为53＋4i ＝5(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝3－4i 5，所以其共轭复数为35＋ 45i.答案：35＋45i8．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i ＋y ＝1＋i ，则(21＋i)x ＋y 的值为________．答案：－49．(2010年南京第一次调研)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 列的数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为________．解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.答案：10710．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a ，b ，c 的值分别为________．解析：∵已知等式对一切n ∈N ＋成立，∴当n ＝1,2,3时也成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝14，c ＝14.答案：12 14 1411．某电信公司推出一种手机月费方案为：若全月的通讯时间不超过150分钟，则收固定的月费60元；若全月的通讯时间超过150分钟，则除固定的月费之外，对超过150分钟的部分按每分钟0.30元收费．下面是计算手机月费的算法的流程图，其中处理框中应填上的条件是________．解析：若全月的通讯时间超过150分钟，则在固定的月费60元之外，对超过150分钟的部分按每分钟0.30元收费，则在T >150时，月费为Y ＝60＋0.30(T －150)．结合算法流程图，可知处理框中应填Y ←60＋0.30(T －150)．答案：Y ←60＋0.30(T －150)12．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋2π3)＋sin(α＋4π3)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________．解析：类比推理可知，四等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图．答案：sin α＋sin(α＋π2)＋sin(α＋π)＋sin(α＋3π2)＝013．有一算法流程图如图，则该算法解决的是________．答案：输出不大于660能被10整除的所有正整数14．(2010年皖南八校模拟)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：因为k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，所以得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．各式相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4…＋n (n ＋2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为________．解析：∵k (k ＋2)＝16[k (k ＋2)(k ＋4)－(k －2)k (k ＋2)]，∴1×3＋2×4＋3×5＋4×6＋5×7＋6×8＋…＋n (n ＋2)＝16[1×3×5－(－1)×1×3＋2×4×6－0×2×4＋3×5×7－1×3×5＋4×6×8－2×4×6＋5×7×9－3×5×7＋6×8×10－4×6×8＋…＋n (n ＋2)(n ＋4)－(n －2)n (n ＋2)]＝16[－(－1)×1×3－0×2×4＋(n －1)(n ＋1)(n ＋3)＋n (n ＋2)(n ＋4)]＝16(2n 3＋9n 2＋7n )＝16n (n ＋1)(2n ＋7)．答案：16n (n ＋1)(2n ＋7)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i (2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i 有实数解，求a ，b 的值．解：⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )，(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i 由第一个等式得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y 1＝－(3－y )，解得⎩⎨⎧ x ＝52y ＝4.将上述结果代入第二个等式中得5＋4a －(10－4＋b )i ＝9－8i.由两复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋4a ＝910－4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2. 16．(本小题满分14分)假设a ，b ，c ，d ∈R 且ad －bc ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.证明：假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1.∵ad －bc ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝ad －bc .∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0.∴2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2＋2ab ＋2cd ＋2bc －2ad ＝0.∴(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＝0.∴a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0.∴a ＝b ＝c ＝d ＝0，∴ad －bc ＝0，这与ad －bc ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1成立．17．(本小题满分14分)某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”，然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现；第三步，按照亲子活动方案进行活动；第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时家长填写反馈卡，最后启导员填写服务跟踪表．你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗？解：活动流程图如图所示．儿童与家长如约来到“儿童之家” ↓ ↓接待儿童做接待家长交流活动前准备儿童本周表现↓ ↓按亲子活动方案活动↓ ↓启导员填写亲子家长填写亲子活动总结记录活动反馈卡↓ ↓启导员填写服务跟踪表18．(本小题满分16分)已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝(x ＋y i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15(2x －y )＋15(x ＋2y )i ，因为z ＋2i ，z 2－i均为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2＝0x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2，所以z ＝4－2i ，所以(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，又复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2＞08(a －2)＞0，解得2＜a ＜6，所以实数a 的取值范围是(2,6)． 19．(本小题满分16分)已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证： a ＋12＋ b ＋12≤2.证明：要证 a ＋12＋ b ＋12≤2，只要证：a ＋12＋b ＋12＋2 (a ＋12)(b ＋12)≤4， ∵由a ＋b ＝1，故只要证： (a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：(a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：ab ≤14，∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立． 20．(本小题满分16分)(1)已知x ，y ∈R ，求证：不等式：①12x 2＋12y 2≥(12x ＋12y )2；②13x 2＋23y 2≥(13x ＋23y )2；③14x 2＋34y 2≥(14x ＋34y )2；(2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论．解：(1)证明：①∵12x 2＋12y 2－(12x ＋12y )2＝12x 2＋12y 2－14x 2－12xy －14y 2＝14x 2－12xy ＋14y 2＝14(x －y )2≥0，∴12x 2＋12y 2≥(12x ＋12y )2.②∵13x 2＋23y 2－(13x ＋23y )2＝29x 2＋29y 2－49xy＝29(x 2＋y 2－2xy )＝29(x －y )2≥0，∴13x 2＋23y 2≥(13x ＋23y )2.③∵14x 2＋34y 2－(14x ＋34y )2＝14x 2＋34y 2－(116x 2＋38xy ＋916y 2)＝316x 2＋316y 2－38xy＝316(x 2＋y 2－2xy )＝316(x －y )2≥0，∴14x 2＋34y 2≥(14x ＋34y )2.(2)一般的结论是：已知x ，y ∈R ，a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则ax 2＋by 2≥(ax ＋by )2.证明如下：∵a ＋b ＝1，∴a＝1－b＞0，b＝1－a＞0.∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，又∵a＞0,1－a＞0，(x－y)2≥0，∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，即ax2＋by2≥(ax＋by)2(其中a＋b＝1且a＞0，b＞0)成立.。

高三数学二轮复习阶段性综合检测(二)

阶段性综合检测(二)(必做题部分：时间120分钟，满分160)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是________．解析：①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m 、n 相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l ∥γ，β∩γ＝m ，l ⊂β，∴l ∥m ，又α∩β＝l ，且m ⊂β，∴m ∥α，又m ⊂γ且γ∩α＝n ，∴m ∥n ，∴有l ∥n 故④对．答案：22．(2010年黄冈质检)直线x ＋ay ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行的充要条件是________．解析：若两直线平行，则a (a －2)＝1×3，且1×2a ≠(a －2)×6，解得a ＝－1.答案：a ＝－13．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43，半径为18 cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．解析：设母线长为l ，底面半径为r ，则依题意易知l ＝18 cm ，由θ＝2πr l ，代入数据即可得r ＝12 cm ，因此所求角的余弦值即为r l ＝1218＝23. 答案：234．与x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有________条．解析：直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则2k 2＋1＝1，所以k ＝±3，有两条直线；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，则a ＝2±2，有两条直线，所以共四条．答案：45．(2010年青岛第一次质检)如图所示，b 、c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，E 在线段AB 上(C ，D ，E 均异于A ，B )，则△CDE 的形状是________．答案：钝角三角形6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.解析：由题意，可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)间线段的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )间线段的中垂线，于是⎩⎨⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3n －3m －7＝－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35n ＝315，故m ＋n ＝345.答案：3457．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线； ②直线BE 与直线AF 是异面直线； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确结论的序号是________．解析：由EF ∥AD ∥BC ，知BE 、CF 共面，①错；②正确；③正确；④错．答案：②③8．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足________．解析：由sin α＋cos α＝0得k ＝tan α＝－1.由ax ＋by ＋c ＝0得y ＝－a b x －cb∴k ＝－a b ，故k ＝－ab＝－1，∴a －b ＝0.答案：a －b ＝09．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为________．解析：设截面半径和底面半径分别为r 1、r 2，由于面积比为1∶3，则r 1∶r 2＝1∶ 3.设圆锥体高为h ，体积为V ，上部分高为h 1，体积为V 1，则由相似形可证h 1∶h ＝1∶3，则V 1∶V ＝r 12h 1∶r 22h ＝1∶33，则V 1∶(V －V 1)＝1∶(33－1)．答案：1∶(33－1)10．在空间直角坐标系O －xyz 中，过点M (－4，－2,3)作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点P (x ，y,0)的坐标满足条件________．解析：由题意，得OM ⊥PM ，∴OM →·PM →＝0，即(－4，－2,3)·(x ＋4，y ＋2，－3)＝0，化简整理得4x ＋2y ＋29＝0.答案：4x ＋2y ＋29＝011．在一个倒置的正三棱锥容器中，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图为________．解析：由对称性易知球是与棱锥各个面上的高都相切，与棱是相离的，而易知截面三角形的三边分别是一棱及两高，因此可知截面中圆与两边相切，与一边相离，而且相离的边必为棱，而棱的长必定比两高要长，所以相离的边应为长边．答案：②12．(2009年高考浙江卷改编)已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为_________________个．解析：边长为3,4,5的三角形内切圆半径为r ＝3＋4－52＝1.而半径为1的圆的圆心在圆心与三角形任一顶点的连线上移动时，都会产生4个交点．答案：413．如图，已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则线段B 1C 的长是________．解析：连结上底面对角线B 1D 1的中点O 1和下底面BD 的中点O ，得棱台的高OO 1，过点B 1作OO 1的平行线交BD 于点E ，连结CE ，在△BCE 中，由BC ＝2，BE ＝22，∠CBE＝45°，利用余弦定理可得CE ＝102，故在Rt △B 1CE 中易得B 1C ＝ 12＋(102)2＝142. 答案：14214．(2008年高考天津卷)已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：先求出圆心C (x 0，y 0)坐标． ⎩⎨⎧y 0－1x 0＋2＝－1，y 0＋12＝x 0－221，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.令圆半径为R ，(0，－1)到3x ＋4y －11＝0的距离d ＝3， ∴R 2＝32＋32＝18， ∴x 2＋(y ＋1)2＝18. 答案：x 2＋(y ＋1)2＝18 二、解答题(本大题共有6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，PD ⊥底面ABCD ，ABAD＝2，直线PA与底面ABCD 成60°角，点M ，N 分别是PA ，PB 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ；(2)如果△CDN 为直角三角形，求CDAB的值．解：(1)证明：由条件知MN ∥AB ，而AB ⊂平面ABCD ， MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD . (2)①若∠CDN ＝90°，与CD ⊥平面PAD ，CD ⊥DM 矛盾，所以不可能；②若∠DCN ＝90°，则四边形MNCD 为矩形，设AB ＝2a ，则CD ＝MN ＝22a ，可得CD AB ＝12；③若∠DNC ＝90°，则设AB ＝2a ，由已知有Rt △MDN ∽Rt △NCD ，可得CD AB ＝32.16．(本小题满分14分)已知△ABC 中，点A (1,2)，AB 边和AC 边上的中线方程分别是5x －3y －3＝0和7x －3y －5＝0，求BC 所在的直线方程的一般式．解：设C 点坐标为(a ，b )，因为点C 在AB 边的中线上，所以有5a －3b －3＝0，AC 的中点坐标为(1＋a 2，2＋b2)，又因为AC 的中点在AC 边的中线上，所以有7×1＋a 2－3×2＋b2－5＝0，联立解得C (3,4)，同理，可得B (－1，－4)，则BC 的方程是：2x －y －2＝0.17．(本小题满分14分)(2010年深圳市高三调研)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上，P 为AC 的中点．(1)求证：BC ⊥A 1B ；(2)若AD ＝3，AB ＝BC ＝2，求三棱锥P －A 1BC 的体积．解：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴A 1A ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BC ，∵AD ⊥平面A 1BC ，且BC ⊂平面A 1BC ，∴AD ⊥BC . 又AA 1⊂平面A 1AB ，AD ⊂平面A 1AB ，A 1A ∩AD ＝A ， ∴BC ⊥平面A 1AB ，又A 1B ⊂平面A 1BC ，∴BC ⊥A 1B .(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥AB . ∵AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上， ∴AD ⊥A 1B .在Rt △ABD 中，AD ＝3，AB ＝BC ＝2，sin ∠ABD ＝AD AB ＝32，∴∠ABD ＝60°.在Rt △ABA 1中，AA 1＝AB ·tan60°＝23，由(1)知BC ⊥平面A 1AB ，AB ⊂平面A 1AB ，从而BC ⊥AB ，S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2.∵P 为AC 的中点，S △BCP ＝12S △ABC ＝1，∴VP －A 1BC ＝VA 1－BCP ＝13S △BCP ·A 1A ＝131×23＝233.18．(本小题满分16分)圆心在直线y ＝2x ＋1上，且到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，求此圆的方程．解：设(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵圆心(a ，b )在直线y ＝2x ＋1上，∴有b ＝2a ＋1.① 又圆心到x 轴的距离|b |恰好等于圆的半径r ， ∴有|b |＝r .②在y 轴上截得的弦长为2 5. ∴(5)2＋|a |2＝r 2.③ 联立①②③得 ⎩⎪⎨⎪⎧r 2－a 2＝5r 2＝b 2b ＝2a ＋1⇒(2a ＋1)2－a 2－5＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－3r ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73，r ＝73.∴所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9 或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝499. 19．(本小题满分16分)如图，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：BC ⊥平面A 1AC ；(2)求三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值．解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，∴BC ⊥AC .∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面A 1AC ，AC ⊂平面A 1AC ， ∴BC ⊥平面A 1AC .(2)法一：设AC ＝x ，在Rt △ABC 中， BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)，故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13x 4－x 2(0<x <2)，即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4.∵0<x <2,0<x 2<4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值为23.法二：在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2＝4，VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13·AC ·BC ≤13·AC 2＋BC 22＝ 13·AB 22＝23.当且仅当AC ＝BC 时等号成立，此时AC ＝BC ＝ 2.∴三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值为23.20．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1、l 2相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB ＋PQ 的最小值及此时点P 的坐标．解：(1)直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)． ∵l 的倾斜角为30°，∴l 2的倾斜角为60°， ∴k 2＝3，∴反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.已知圆C 与l 1切于点A ，设C (a ，b )，∵圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，则b －2a －23＝－3，∴b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， ∴a ＝33，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝2－(－1)＝3.故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)由(1)知点B (0，－4)关于l 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3，联立得B ′(－23，2)．由点与圆的位置关系知，当B ′、P 、Q 共线时，PB ＋PQ 最小，且直线B ′Q 过圆心C ，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3.设P (x ，y )，由⎩⎨⎧k PC ＝k B ′C ，y ＝33x ，得⎩⎨⎧y ＋1x －33＝2＋1－23－33，y ＝33x ，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12，即P (32，12)，最小值B ′C －3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3.故PB ＋PQ 的最小值为221－3，此时P 点的坐标为(32，12)．。

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

2017届高三数学(文)二轮复习课件(全国通用)专题突破专题7 概率与统计第2讲统计及统计案例

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x乙 =
s 乙= 1 28 302 29 302 30 302 31 302 32 302 = 2 . 所以 x甲 < x乙 ,s 甲>s 乙,故选 B.
︱高中总复习︱二轮·文数
(2)(2016· 北京卷,文17)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图: ①如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少? (2)解:①由用水量的频率分布直方图知, 该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],
4.(2015· 全国Ⅱ卷,文18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用
户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100] 6
x
46.6
y 563
w 6.8
x x
8 i 1 i
2
w w
8 i 1 i
2
x x y y
8 i 1 i i
w w y y
8 i 1 i i
289.8
1.6
1469
108.8
1 8 表中 wi= xi , w = wi . 8 i 1

高三数学第二轮专题复习三角函数(有答案)

高三数学第二轮专题复习三角函数班级姓名1.cos300︒=( )A.312 C .1232.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A ．12B 3C ．22D 33.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是A ．23 B. 43 C . 32D. 3 4.已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=A.5- B .19- C.1955.为了得到函数的图像，只需把函数的图像 A.向左平移个长度单位 B .向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位6.下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 A.sin(2)2y x π=+B.cos(2)2y x π=+C.sin()2y x π=+D.cos()2y x π=+ 7.已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则A. ω=1 ϕ= 6πB. ω=1 ϕ=- 6πC. ω=2 ϕ= 6π D . ω=2 ϕ= -6π8.观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=( )A.()f xB.()f x -C. ()g x D .()g x -9.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A=A .030 B.060 C.0120 D.0150sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+4π4π2π2π10.函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是__________________ .11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =,sin cos B B +=则角A 的大小为 .12.已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .13.在ABC ∆中，4π=A ，1010cos =B .（Ⅰ）求C cos ；（Ⅱ）设5=BC ，求CB CA ⋅的值.14.在ABC ∆中，AB =1BC =，3cos 4C =.（1）求sin A 的值；（2）求CA BC ⋅的值.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =．（1）求b 的值；（2）求sinC 的值．16,已知向量(cos sin ,sin )a x x x =+，(cos sin ,2cos )b x x x =-，设()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期. （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小17.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；(II) 函数()f x 的单调增区间.18.已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期. (II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题(7)--_直线与圆的方程注：【高三数学第二轮专题复习必备精

高三数学第二轮专题复习系列(7)直线与圆的方程注：【高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题共10讲全部免费欢迎下载】一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)

高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)一、基础知识回顾三角函数是高中数学中的重要内容之一。

在这个专题中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质以及相互之间的关系。

1. 三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三角函数的概念。

对于一个角A，定义了三个比值：正弦函数sinA=对边/斜边，余弦函数cosA=邻边/斜边，正切函数tanA=对边/邻边。

2. 三角函数的周期性我们知道，三角函数具有周期性。

例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

这意味着在一个周期内，三角函数的值是重复的。

这种周期性使得三角函数在实际问题中具有广泛的应用。

3. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质。

例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即f(x)=f(-x)；正切函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。

此外，三角函数还具有增减性和界值性质。

二、三角函数的图像与性质下面我们将进一步讨论三角函数的图像与性质。

通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解三角函数的特点和性质。

1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振动范围在[-1,1]之间。

正弦函数的图像关于y轴对称，且在0点处取得最小值。

我们可以通过调整系数来改变正弦函数的振幅和周期。

2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振动范围也在[-1,1]之间。

与正弦函数不同的是，余弦函数的图像关于x轴对称，且在0点处取得最大值。

同样地，我们可以通过系数调整来改变余弦函数的振幅和周期。

3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的曲线，其值在整个实数轴上变化。

正切函数在某些点上没有定义，这些点是函数的奇点。

我们可以通过系数调整来改变正切函数的振幅和周期。

三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用。

在这一部分，我们将介绍一些常见的三角函数应用，并通过例题来加深理解。

超实用高三数学一、二、三轮、冲刺复习计划(详细时间安排)

超实用高三数学一、二、三轮、冲刺复习
计划(详细时间安排)
本文档旨在为高三学生提供一份超实用的数学一、二、三轮、冲刺复计划，帮助他们合理安排时间，有效备考。

以下是详细的时间安排：
第一轮复 (2个月)
- 第1周：复数学基础知识，包括数学公式、常用函数等。

- 第2-4周：逐章复高中数学各个单元，重点关注基础知识和常见题型。

- 第5-6周：进行第一次全书综合测试，查漏补缺。

- 第7-8周：针对薄弱知识点进行有针对性的强化训练。

第二轮复 (1个月)
- 第9-11周：全面复高中数学各个单元，重点关注难点和高频考点。

- 第12周：进行第二次全书综合测试，检验复效果。

- 第13周：针对测试结果进行重点复和强化练。

第三轮复 (2周)
- 第14周：集中复高考重点知识点，总结归纳解题技巧。

- 第15周：进行模拟考试，熟悉考试环境和节奏。

- 第16周：进行第三次全书模拟考试，检验复成果。

冲刺复 (2周)
- 第17-18周：针对模拟考试结果进行重点复和错题集训练。

- 第19-20周：进行模拟高考，模拟真实考试流程和答题方式。

通过以上的复习计划，学生们可以全面系统地复习数学知识，
强化难点和考点，提升解题能力和应考技巧。

希望这份复习计划能
够帮助他们在高考中取得优异的成绩！。

高三数学二轮复习计划及策略

清河中学2023届高三数学第二轮复习策略与计划（一）夯重基础，加深理解与应用基础永远是高考的重点。

对基础的复习，不是对课本内容的简单重复，而是对知识点的解析梳理，对概念、公式等的准确理解、牢固掌握，是学生理解能力的升华。

加强对常考知识点、重难点的融会、贯通，把握每个知识点背后的潜在的出题规律，要通过对基础题的系统训练和规范讲解，从不同的角度把握每一个知识点的内涵与外延以及与其它知识点的联系。

“一体四层四翼”是高考的评价体系，从国家层面设计上回答了“为什么考”“考什么”“怎么考”等关键性问题。

一体：高考评价体系，通过确立“立德树人，服务选拔，导向教学”这一核心立场，回答了“为什么考”的问题。

四层：通过明确“必考知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标，回答了“考什么”的问题。

四翼：通过明确“基础性、综合性、应用性、创新性”四个考查要求，回答了“怎么考”的问题。

复习策略上以基础、中档题为主，抓住问题的本质，知识间的相互联系，总结出通性通法，注意最优（技巧性）解法的优越性。

（二）注重数学思想方法，培养数学核心素养高考数学试题十分重视对数学思想的考查，着重考查如下七种数学思想：函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想，分类与整合思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想，数学思想蕴含在数学基础知识之中，是架设在数学知识与能力之间的一座桥梁。

数学的思想与方法，是宏观与微观的关系，在数学思想的指导下，灵活运用数学方法解决具体问题，没有思想的方法是肤浅的，没有方法的思想是空洞的，只有二者完美的结合才是数学教学的最高境界。

高中数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

对学生核心素养的培养，对于发展学生的理性思维、培养学生的学科能力，具有决定性的作用。

（三）重视数学文化传承，注重创新意识发展中科院院士、王梓坤教授曾指出：“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括.”，武汉大学齐民友教授站在影响人类文化的兴衰、民族生存发展的高度，在《数学与文化》一书中写到：“一种没有相当发达的数学文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的.” 阐明了数学文化的价值.由于数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括，其价值对于人类文明乃至民族的存亡有着重大的意义.近年来，每年都对中华优秀传统文化知识进行考查，对传统文化知识的考查是对高层次数学思维的考查；每年的数学试题中总有4～5道新颖题型，体现创新意识，以便选拔优秀的学生.每年创新题型肯定会出现，这样的题型包括新定义型、归纳猜想型、类比推理型、探索发现型、研究设计型、开放发散型问题等，但整体试卷难度不会大起大落，以平稳为主。

圆锥曲线的综合问题强化训练-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮圆锥曲线的综合问题强化训练（原卷+答案）考点一证明问题——等价转化，直击目标圆锥曲线中证明问题的两种常见类型圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．例 1已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点．对点训练已知直线y ＝3与曲线C ：x 2＋2py ＝0的两个公共点之间的距离为4√6. (1)求C 的方程；(2)设P 为C 的准线上一点，过P 作C 的两条切线，切点为A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，直线AB 的斜率为k 0.证明：k 1·k 2为定值，且k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二定点问题——目标等式寻定点解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．例 2 已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点P (2，0)，记直线PC 的斜率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，当1k 1+1k 2＝1时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由．对点训练已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，S (t ，4)为C 上一点，直线l 交C 于M ，N 两点(与点S 不重合)．(1)若l 过点F 且倾斜角为60°，|FM |＝4(M 在第一象限)，求C 的方程；(2)若p ＝2，直线SM ，SN 分别与y 轴交于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝8，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由．考点三定值问题——巧妙消元寻定值定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等．二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，若是能整体约分也可以)．三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值．例 3 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝3上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1.(1)求双曲线C 的方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点．求证：△OMN 的面积为定值．对点训练已知F 1(－√3，0)，F 2(√3，0)分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 为双曲线在第一象限的点，△AF 1F 2的内切圆与x 轴交于点P (1，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)设圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点Q 处的切线l ，若l 与双曲线C 左、右两支分别交于点M 、N ，问：QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．考点四圆锥曲线中的最值、范围问题——巧设变量，引参搭桥圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F 1，F 2为椭圆x 2a2+y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有：①|OP |∈________；②|PF 1|∈________；③|PF 1|·|PF 2|∈________；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有：①|OP |≥________；②|PF 1|≥________． (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥________；②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值；③点N (a ，0)是抛物线的对称轴上一点，则|PN |min ＝{|a |(a ≤p )，√2pa −p 2(a ＞p)．例 4如图，已知椭圆x 212＋y 2＝1.设A ，B 是椭圆上异于P (0，1)的两点，且点Q (0，12)在线段AB 上，直线P A ，PB 分别交直线y ＝－12x ＋3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD |的最小值．对点训练已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值．[典例] 已知圆(x ＋√3)2＋y 2＝16的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点N (√3，0)，点G 在线段MP 上，且满足(GN⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )． (1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点T (4，0)作斜率不为0的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．(1)因为(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝0，即GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－GP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝0，所以|GP |＝|GN |，所以|GM |＋|GN |＝|GM |＋|GP |＝|MP |＝4>2√3＝|MN |，所以点G 在以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝4，2c ＝2√3，即a ＝2，c ＝√3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以点G 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意可设直线l ：x ＝my ＋4. 由{x =my +4，x 24+y 2=1消去x ，得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Δ＝64m 2－4×12×(m 2＋4)＝16(m 2－12)>0，得m 2>12. ①且y 1＋y 2＝－8mm 2+4，y 1y 2＝12m 2+4.②因为点A 关于x 轴的对称点为D ，所以D (x 1，－y 1)，可设Q (x 0，0)，所以k BD ＝y 2+y 1x 2−x 1＝y 2+y 1m (y 2−y 1)，所以BD 所在直线的方程为y －y 2＝y 2+y 1m (y2−y 1)(x －my 2－4)．令y ＝0，得x 0＝2my 1y 2+4(y 1+y 2)y 1+y 2. ③将②代入③，得x 0＝24m−32m−8m＝1，所以点Q 的坐标为(1，0)．因为S △ABQ ＝|S △TBQ －S △TAQ |＝12|QT ||y 2－y 1|＝32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝6√m 2−12m 2+4，令t ＝m 2＋4，结合①得t >16，所以S △ABQ ＝6√t−16t＝ 6√−16t 2+1t ＝6√−16(1t −132)2+164.当且仅当t ＝32，即m ＝±2√7时，(S △ABQ )max ＝34. 所以△ABQ 面积的最大值为34.参考答案考点一[例1] 解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得{4n =1，94m +n =1，解得{m =13，n =14. 所以椭圆E的方程为x 23+y 24＝1. (2)证明：方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2)．联立得方程组{x −1=t (y +2)，x 23+y 24=1. 消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2+8t 4t 2+3，y 1y 2＝16t 2+16t−84t 2+3.设T (x 0，y 1)．由A ，B ，T 三点共线，得y 1+2x 0＝y 1+1x 0−32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′)．由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1，所以直线HN 的斜率k ＝y 2−y ′x 2−x ′＝y 2−y 1x 2+x 1−(3y 1+6)＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(x －x 2)．令x ＝0，得y ＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(－x 2)＋y 2＝(y 1−y 2)(ty 2+2t+1)t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＋y 2＝(2t−3)y 1y 2+(2t−5)(y 1+y 2)+6y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＝(2t−3)·16t 2+16t−84t 2+3+(5−2t )·16t 2+8t4t 2+3+6y 1−t(16t 2+8t)4t 2+3−3y 1+4t−4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2)．方法二由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2. a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23+y 24＝1，可得N (1，2√63)，M (1，－2√63)．将y ＝－2√63代入y ＝23x －2，可得T (3－√6，－2√63)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (5－2√6，－2√63)．此时直线HN 的方程为y ＝(2＋2√63)(x －1)＋2√63，则直线HN 过定点(0，－2)． b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立得方程组{kx −y −(k +2)=0，x 23+y 24=1. 消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0. 所以{x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4，x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，则{y 1+y 2=−8(2+k )3k 2+4，y 1y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4，且x 1y 2＋x 2y 1＝−24k3k 2+4.①联立得方程组{y =y 1，y =23x −2，可得T (3y 12＋3，y 1)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (3y 1＋6－x 1，y 1)．则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1−y 23y 1+6−x 1−x2(x －x 2)．将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.②将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2)．对点训练解析：(1)将y ＝3代入x 2＋2py ＝0，得x 2＝－6p . 当p ≥0时，不合题意；当p <0时，x ＝±√−6p ，则2√−6p ＝4√6，解得p ＝－4，故C 的方程为x 2＝8y .(2)证明：由(1)可知C 的准线方程为y ＝－2，不妨设P (m ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设过点P 且与C 相切的直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －m )－2，且k ≠0，联立{y =k (x −m )−2，x 2=8y ，得x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝0，则Δ＝64k 2－32(km ＋2)＝0，即k 2－12mk －1＝0，由题意知，直线P A ，PB 的斜率k 1，k 2为方程k 2－12mk －1＝0的两根，则k 1＋k 2＝m2，k 1k 2＝－1，故k 1·k 2为定值．又x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝(x －4k )2＝0，则x 1＝4k 1，同理可得x 2＝4k 2，则k 0＝y 1−y 2x 1−x 2＝18x −1218x 22x 1−x 2＝x 1+x 28，因此k 0＝4(k 1+k 2)8＝k 1+k 22，故k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二[例2]解析：(1)因为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，过椭圆右焦点的弦长的最小值为2b 2a＝2，所以a ＝2，c ＝√2，b ＝√2，所以椭圆M 的方程为x 24+y 22＝1. (2)设直线l 的方程为m (x －2)＋ny ＝1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由椭圆的方程x 2＋2y 2＝4，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)．联立直线l 的方程与椭圆方程，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)[m (x －2)＋ny ]，即(1＋4m )(x －2)2＋4n (x －2)y ＋2y 2＝0，(1＋4m )(x−2y )2＋4n x−2y＋2＝0，所以1k 1+1k 2＝x 1−2y 1+x 2−2y 2＝－4n 1+4m＝1，化简得m ＋n ＝－14，代入直线l 的方程得m (x －2)＋(−14−m)y ＝1，即m (x －y －2)－14y ＝1，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l恒过定点(－2，－4)．对点训练解析：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，因为l 过点F 且倾斜角为60°，所以l ：y ＝√3(x －p2)，联立y 2＝2px (p >0)，可得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x ＝32p 或x ＝p6，又M 在第一象限，所以x M ＝32p ，因为|FM |＝4，所以32p ＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；(2)由已知可得抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点S (4，4)，设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，点M (y 12 4，y1)，N (y 22 4，y2)，将直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立得y 2－4my －4n ＝0，所以Δ＝16m 2＋16n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n (*)，直线SM 的方程为y －4＝y 1−4y 12 4－4(x －4)，令x ＝0求得点A 的纵坐标为4y 1y 1+4，同理求得点B 的纵坐标为4y 2y2+4，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝16y 1y 2y 1y 2+4(y 1+y 2)+16＝8，化简得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)＋16，将上面(*)式代入得－4n ＝16m ＋16，即n ＝－4m －4，所以直线l 的方程为x ＝my －4m －4，即x ＋4＝m (y －4)，所以直线l 过定点(－4，4)．考点三[例3] 解析：(1)不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0), 因为A (a ，0)，从而AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−c −a ，0)，AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(c －a ，0) ，故有 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a 2－c 2＝－1, 又因为a 2＋b 2＝c 2, 所以 b ＝1，又因为A (a ，0) 在圆 O ：x 2＋y 2＝3 上，所以 a ＝√3，所以双曲线C的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)证明：设直线l 与x 轴交于D 点，双曲线的渐近线方程为y ＝±√33x ，由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，当动直线l 的斜率不存在时， l ：x ＝±√3，|OD |＝√3，|MN |＝2，S △OMN ＝12×√3×2＝√3，当动直线l 的斜率存在时，且斜率k ≠±√33，不妨设直线 l ：y ＝kx ＋m,故由{y =kx +m x 23−y 2=1⇒(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，依题意，1－3k 2≠0且m ≠0，Δ＝(－6mk )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝0, 化简得 3k 2＝m 2＋1，故由{y =kx +my =√33x ⇒x M ＝√33−k ，同理可求，x N ＝－√33+k，所以|MN |＝√1+k 2|xM−x N |＝2√3|m|√k 2+1|1−3k 2|，又因为原点O 到直线l ：kx －y ＋m ＝0的距离d ＝√k 2+1，所以S △OMN ＝12|MN |d ＝√3m 2|1−3k 2|，又由3k 2＝m 2＋1，所以S △OMN ＝√3|m|√k 2+1|1−3k 2|＝√3，故△OMN 的面积为定值，定值为√3.对点训练解析：(1)如图，设AF 1，AF 2与△AF 1F 2的内切圆分别交于G ，H 两点，则2a ＝|AF 1|−|AF 2|＝|F 1P |−|PF 2| ＝(1＋√3)－(√3－1)＝2，所以a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝2，则双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由题意得，切线l 的斜率存在．设切线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，所以√1+k 2＝√2，即m 2＝2k 2＋2.联立{y =kx +m ，x 2−y 22=1，消去y 并整理得(2－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2km2−k 2，x 1x 2＝−m 2−22−k 2.又QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|ON ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QON －|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QOM ＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |+ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2. 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(k 2+1)(−m 2−2)2−k 2+2k 2m 22−k2＋m 2＝m 2−2k 2−22−k 2，将m 2＝2k 2＋2代入上式得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0.所以QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝－2. 综上所述，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，且QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2.考点四(1)[b ，a ] [a －c ，a ＋c ] [b 2，a 2] (2)a c －a (3)p2[例4] 解析：(1)设M (2√3cos θ，sin θ)是椭圆上一点，P (0，1)，则|PM |2＝12cos 2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin 2θ－2sin θ＝14411－11(sin θ＋111)2≤14411.故|PM |的最大值为12√1111.(2)由题意，知直线AB 的斜率存在，故设直线AB 的方程为y ＝kx ＋12.将直线方程与椭圆方程联立，得{y =kx +12，x 212+y 2=1.消去y 并整理，得(k 2＋112)x 2＋kx －34＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－kk 2+112，x 1x 2＝－34(k 2+112).直线P A ：y ＝y 1−1x 1x ＋1与直线y ＝－12x ＋3交于点C ，则x C ＝4x 1x1+2y 1−2＝4x 1(2k+1)x 1−1. 同理可得，x D ＝4x 2x 2+2y 2−2＝4x 2(2k+1)x 2−1，则|CD |＝ √1+14|x C －x D | ＝√52|4x1(2k+1)x1−1−4x2(2k+1)x2−1|＝2√5|x 1−x 2[(2k+1)x1−1][(2k+1)x 2−1]|＝2√5|x 1−x 2(2k+1)2x 1x 2−(2k+1)(x 1+x 2)+1|＝3√52·√16k 2+1|3k+1|＝6√55·√16k 2+1· √916+1|3k+1| ≥6√55，当且仅当k ＝316时等号成立．故|CD |的最小值为6√55.对点训练解析：(1)由题意知M (0，－4)，F (0，p2)，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p2＋4－1＝4，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ，由题意可知直线AB 的斜率存在，设A (x 1，x 12 4)，B (x2，x 22 4)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，联立得{y =kx +bx 2=4y，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，则Δ＝16k 2＋16b >0(※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝√1+k 2|x 1－x 2|＝√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4√1+k 2·√k 2+b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x12，在点A 处的切线方程为y −x 12 4＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x −x 12 4，同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x −x 22 4，联立得{y =x 12x −x 124y ＝x22x －x 22 4，则{x =x 1+x 22=2ky =x 1x 24=−b ，即P (2k ，－b )．因为点P 在圆M 上，所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①，且－1≤2k ≤1，－5≤－b ≤－3，即－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※)．设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝2√1+k 2，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝4√(k 2+b )3.由①得，k 2＝1−(4−b )24＝−b 2+8b−154，令t ＝k 2＋b ，则t ＝−b 2+12b−154，且3≤b ≤5. 因为t ＝−b 2+12b−154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max ＝5，此时k ＝0，所以△P AB 面积的最大值为20√5.。

2015届高三数学(文理通用)二轮专项复习课件：专题7_第1讲_统计与统计案例

• 3．样本的数字特征 • (1)众数 • 在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)． • (2)中位数 • 样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数与方差 1 －样本数据的平均数 x ＝n(x1＋x2＋„＋xn)． 1 方差s ＝n[(x1－－ x )2＋(x2－－ x )2＋„＋(xn－－ x )2]．
• (1)求m，n的值， • (2)记表2中分组在(60,70]中的2名女生为A、 B，(90,100]中的4名女生为C、D、E、F，现从表2中(60,70]的女生中抽取1人，从 (90,100]的女生中抽取2人做专题发言，求 (60,70]中的女生A和(90,100]中的女生C同时被抽到的概率是多少？
[ 解析] 25人，
250 (1)由抽样方法知抽取的男生人数为：45× 450 ＝
200 抽取的女生人数为：45×450＝20. 所以m＝25－(3＋8＋6)＝8，n＝20－(2＋5＋4)＝9，故m＝8，n＝9.
(2)满足题意的所有抽法共有12种，情况如下： (A，C，D)，(A，C，E)，(A，C，F)，(A，D，E)，(A， D，F)，(A，E，F)，(B，C，D)，(B，C，E)，(B，C，F)， (B，D，E)，(B，D，F)，(B，E，F)．其中A和C同时被抽中的情况有3种如下所示：(A，C， D)，(A，C，E)，(A，C，F)． 3 1 所以A和C同时被抽中的概率为P＝12＝4.
.
注意：回归直线一定经过样本的中心点( － x ，－ y )，据此性质可以解决有关的计算问题．
5．回归分析 x yi－－ y xi－－
i＝ 1 n

大连育明中学2024届高三第二轮复习测试卷数学试题(一)

大连育明中学2024届高三第二轮复习测试卷数学试题（一）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切2．若31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（） A ．85B ．84C ．57D ．563．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．5．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（） A 10B ．23C ．3D ．46．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（） A ．3B ．2C ．5D ．67．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A ．45B ．50C ．55D ．608．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（） A ．134-B ．54C ．5D ．1549．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<10．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．811．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-12．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（） A ．14B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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2008年高三第二轮训练(七)数学第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合13|{},0)1(|{23+==≥-=x y y N x x x M ，R x ∈}，则N M 等于 ( )A ．φB ．}1|{≥x xC ．}1|{>x xD ．}01|{<≥x x x 或 2．下列不等式中恒成立的是 ( )A ．若a>b ，则a-c>b-cB ．若a>b,则a bc c> C ．若ac>bc,则a>b; D ．若a>b,则ac 2>bc 23.设P ：x<-1或x>0,Q ：-3<x<-2,则⌝P 是⌝Q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如图2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =( ) A.4 B.3 C. 2 D.15．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个6. 在2006)2(-x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当2=x 时，S 等于A ．23008B ．－23008C ．23009D ．－230097曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 ( )A.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.准线相同8．在所有的两位数（10～99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是 ( ) A ．56 B ．45 C ．23 D ．129．函数()cos y f x x =的图象按向量a (,1)4π=平移,得函数22sin y x =的图象,则()f x 是( ) A ．cos x B ．2cos x C ．sin x D ．2sin x 10．如图，在正方体AC 1中，E ，F 分别是面对角线DA 1、AC 上的点，且DE ：EA 1=1： 2，AF ：FC=1：2，则DA 1与EF 的夹角是 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°11．在等比数列中，对于任何自然数n 均有a 1+a 2+a 3+…+a n =2n -1,则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于 ( )A ．（2n-1）2B ．1(21)3n - C ．2(41)n - D ．1(41)3n -12．在宽2公里的河对岸有A 、B 两座城市，它们的直线距离为10公里，A 城到河对岸的垂直距离AA1=5公里，B 城到河对岸的垂直距离BB1=1公里，现要选址建桥，使得从A 到B 的路程最短，则最短路程为（河两岸近似看作两条平行直线） ( )A ．10 B．2+．7+．3第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．13．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为________________________。

（写出所有正确结论的编号） 14．函数y=f(x)(-1<x<1)为单调递减的奇函数，若f(k)+f(12)<0,则K 的取值范围是 15．)5465()5465()5465()7654()7654()7654(lim 2222n n n n n -++-+--++-+-∞→ = . 16．如图，它满足①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角形，则第n 行（n ≥2）第2个数是三、解答题：本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 的对边，且12 234 3 4 7 7 45 11 14 115ABCDA 1B 1C 1D 1题图α28sin 2cos 272B CA +-= （1）求角A 的大小（2）若a =b+c=3,求b 和c 的值18．（本小题满分12分）设二次方程2110()n n a x a x n N ++-+=∈有两个根12,x x ，满足1122176263,6x x x x a -+==且（1）用n a 表示1n a + （2）求{}n a 的通项公式（3）求{}n a 的前n 项之和Sn19．（本小题满分12分）甲，乙，丙3人投篮，投进的概率分别是.21,52,31现3人各投篮1次，求：（1）现有3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；（2）用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ 20．（本小题满分12分）如图三棱柱ABC —A 1B 1C 1为正三棱柱，D 是AC 的中点（1）证明AB 1∥平面DBC 1 （2）若AB 1⊥BC 1，BC=2①求二面角D —BC 1—C 的大小②若E 为AB 1的中点，求三棱锥E —BDC 1的体积 21．（本小题满分12分）设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为F 1、F 2，离心率为2，（1）求此双曲线的渐近线L 1、L 2的方程（2）若A 、B 分别为L 1、L 2上的动点，且2|AB|=5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 22．（本小题满分14分）已知函数2()(,,01bx c y f x a c R a ax +==∈>+，b 是自然数）是奇函数，f(x)有最大值12，且2(1)5f >（1）试求函数f(x)的解析式（2）是否存在直线L 与y=f(x)的图像只交于点P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点的中点坐标为（1，0）？若存在，求出直线L 的方程；若不存在，请说明理由。

参考答案(七)1．C 2．A 3．A 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．D 10.D 11.D 12.B13. ①③④⑤ 14. 1(,1)2- 15. –1 16. 222n n -+(提示：212,n n a a a n +=-=)17.解：（1）在ABC ∆中有B C A π+=-，由条件可得[]241cos()4cos 27B C A -+-+= 又cos()cos B C A +=- 24cos 4cos 10A A ∴-+=；解得1cos ,2A =又(0,)A π∈，3A π∴= （2）由1cos 2A =知2221,22b c a bc +-=即22()3b c a bc +-=，又3a b c =+=，代入得2bc =，由3b c +=，2bc =，得1,2b c ==或2,1b c ==。

18.解：（1）由12,x x 是方程2110n n a x a x +-+=的两个根，得112121,n n na x x x x a a ++==， 12126()23x x x x +-= 11623n n na a a +∴-=即11123n n a a +=+（2）由11123n n a a +=+，得1212()323n n a a +-=-，则23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12132a -=为首项，公比为12的等比数列，21()32n n a -=；12()()23n n a n N ∴=+∈。

（3）121212121212()()()123232323n n n n S a a a n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=++++++=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦19.解：（1）记“甲投篮1次投进”为事件A 1，“乙投蓝1次投进”为事件A 2，“丙投篮1次投进”为事件A 3，“3人都没有投进”为事件A.则.21)(,52)(,31)(321===A P A P A P,51)211)(521)(311()](1[)](1[)](1[)()()()()(321321321=---=-⋅-⋅-=⋅⋅==∴A P A P A P A P A P A P A A A P A P∴3人都没有投进的概率为51. （2）解法一：随机变量ξ的可能值有0，1，2，3.则E ξ=np =3×52=56.E ξ=0×125+1×125+2×125+3×125=5.20.解：（1）连结1CB 交1BC 于点O ，连结OD ，1//,OD AB OD 在面内1DBC ，1//AB ∴平面1DBC（2）（i）1C OD ⊥B ，又O 为1BC 的中点，1DB=DC ∴，1CC =过点O作OH 1BC ⊥交于BC 于点H ，则OH =HOD ∠为所求二面的平面角。

易求得BH=32=，DH =cos 2θ=45o θ∴=。

（ii ）11111111222E BCD A BDC B A DC V V V ---====21.解：（1）依题意得223,2,cc a a=+= 1,2a c ∴==∴双曲线方程为2213x y -=∴渐近线方程为y x =（2）设1122(),(),(,).A x y B x y M x y1225AB F F=，52102AB C ∴=⨯=10=又22113,,y x y ==12222121),)y y x x y y x x ∴+=--=+ 10=1212,22x x y y x y ++∴==2213(2)(2)100.3y x ∴⋅+⋅=即所求轨迹方程为22317525x y +=，其轨迹是中心在原点，焦点在轴x上，长轴长为22.解：（1）由()f x 为奇数，易知0c =。

又因为0a >时，()0f x >是自然数，所以，当x <0时，()0f x >。

∴()f x 的最大值12必在0x >时取得。

当0x >时，2()11bx b f x ax ax x==≤++等号当且仅当1ax x =时取得。

12= 又2(1),5f >所以215b a >+。

结合0a >，b 是自然数，可得1a b ==2()1xf x x ∴=+ （2）假设存在满足条件的直线l ，则P 、Q 的坐标可以设为0000(),(2,),P x y Q x y --且这两点都在函数2()1x f x x =+的图像上，即0020002012(2)1x y x x y x ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩消去0y ，得200210x x --=，解得01x =(1(1P Q ∴或(1(1P Q ∴直线l 的方程为410x y --= l 的存在性还需通过充分性的检验。