等差、等比数列及其性质资料.

1 q
1 q
5.等比数列通项公式的性质
⑴若m+n=p+q,其中m、n、p、q∈N*，则am·an=ap·aq 特别地：m+n=2p则am·an=ap2
⑵若首项a1>0,公比q>1,或首项a1<0,公比0<q<1,则数列为递增数列：若首项 a1>0,公比0<q<1,或首项a1<0,公比q>1，则数列为递减数列；公比q=1，数列为 常数列；公比q<0，数列为摆动数列.
一、知识点播放
（一）等差数列 1、定义 一般地如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数交等差数列的公差，通常用字母d 表示。 2、等差中项 若a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A=(a+b）/2 3、通项公式
an=a1+(n-1)d和an=am+(n-m)d
2n
n
2
a S (3)设等差数列{ }、{ }的前n项和分别为
a b S T n
n
则
n， n，
n
2 n 1
b T n
2 n 1.
（二）等比数列
1.定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比， 公比常用字母q表示.(q≠0)
an}(
0),{|
an
|}，{ 1 },{ 2},{m
an an
an
Hale Waihona Puke • bn}(m0)仍为等比数列.
6.等比数列前n 项和公式的性质.
Sk、S2k-SK、S3k-S2k…为等比数列，公比为qk.
二、习题类型及解法技巧
1.等差、等比数列的判定与证明 2.通项公式性质的“整体运算”的运用
3.等差等比数列中的最值问题 4.等差等比数列中的“知三求二”问题
n( )
a a 2
2n
S a a a a a a 偶 (
2
4
) 2n
2
2
2n
n1
S a a a a a a a a 奇
( )
1
3
2 n 1
n( )
1
2 n 1
1
2 n 1
n
2
项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}，有前2n+1项和公式？
S2n+1=(2n+1)an+1(an+1为中间项）
⑷ 若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{man+kbn}仍为等差数列，其中m、k均 为常数。
6、等差数列前n项和公式的性质
（1）若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，...构成等 差数列，公差为m2d.
（2）项数为偶数2n的等差数列{an}，有 S2n=n(a1+a2n)=...=n(an+an+1) (an与an+1为中间两项） ∴S偶-S奇=（a2+a4+...+a2n)-(a1+a3+...+a2n-1)=n·d
⑶ 有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项得积相等，且等于 首末两项之积，特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方， 即a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=a中2.
⑷在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构 成的新数列仍然是等比数列，但剩余的项不一定为等比数列.
（5）若{an}、{bn}为等比数列，则{
S奇-S偶= (a1+a3+…＋a2n+1)-(a2+a4+…+a2n)
=a1+(a3-a2)+(a5-a4)+…+(a2n+1-a2n)
=a1+n·d=an+1=a中
(n 1)(
)
a a 1
2 n 1
S a a a 奇
1
3
2n1
2
n 1
S a a a 偶
2
4
2n
a a n( )
2
2.等比中项
如果在a与b之间间插入一个G，使 a、 G、 b成等比数列，那 么G叫做a与b
的等比中项G = ab.
3.等比数列的通项公式
a a q a a q n1
• ,
• nm , 其中n m,也可以n m.
n
1
n
m
4.前n项和公式（推导方法）
na1
q=1
Sn= a1(1 qn) a1 an q (q 1)
4、等差数列前n项和公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
n(a1 2
an )
5、等差数列通项公式的性质
⑴m、n、p、q∈N*，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 特别地若m+n=2p,则am+an=2ap
⑵ 等差数列（有穷数列）与首末两端等距离的项和相等， 即a1+an=a2+an-1=…
⑶在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数 列仍然是等差数列，但剩下的项按原来顺序构成的数列不一定是等差数列。