等差等比数列的性质总结

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一、等差数列

1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n );

2.等差数列通项公式:

*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a

推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m

n a a d m

n --=;

3.等差中项

(1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2

b

a A +=

或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a

4.等差数列的前n 项和公式:

1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0)

特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项

()()()12121121212

n n n n a a S n a +++++=

=

+(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)

5.等差数列的判定方法

(1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )⇔ {}n a 是等差数列.

(2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=(其中b k ,是常数)。

(4)数列{}n a 是等差数列⇔2

n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。

6.等差数列的证明方法

定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )⇔ {}n a 是等差数列.

7.提醒:

(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。

(2)设项技巧:

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d );

③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d )

8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,

等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;

前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

(2)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。

(3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.

注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅,

(4)若{}n a 、{}n b 为等差数列,则{}{}12n n n a b a b λλλ++,都为等差数列

(5) 若{n a }是等差数列,则232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列

(6)数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*

N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列

(7)设数列{}n a 是等差数列,d 为公差,奇S 是奇数项的和,偶S 是偶数项项的和,n S 是前n 项的和

1.当项数为偶数n 2时,

()

121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇

()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶

()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇

11

n n n n S na a S na a ++==奇偶

2、当项数为奇数12+n 时,则

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪

⇒⇒=⎨⎨

-==⎪⎪⎩⎩

n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 (其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).

(8)、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ,且

()n

n

A f n

B =, 则21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.

(9)等差数列{}n a 的前n 项和m S n =,前m 项和n S m =,则前m+n 项和()m n S m n +=-+

(10)求n S 的最值

法一:因等差数列前n 项是关于n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

*n N ∈。

法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当,,001<>d a 由⎩⎨

⎧≤≥+0

1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值.

(2) “首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当,,001>

1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值.

或求{}n a 中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数,故n 取离二次函数对称轴最近的整数时,n S 取最大值(或最小值)。若S p = S q 则其对称轴为2

p q

n +=

注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:

①基本量法:即运用条件转化为关于1a 和d 的方程;

②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

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