等差等比数列的运用公式大全

p q ，则 am·
an
a
·
p
aq
（2）
Sn，S2n
Sn，S3n
S2
……
n
仍为等比数列,公比为
q
n
.
注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？
n 1 时， a1 S1 ； n 2 时， an Sn Sn1 . 3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列an ，
1 2
a1
1 22
a2
∴ an a0 f (2) f (3) …… f (n)
（4）等比型递推公式
an can1 d （ c、d 为常数， c 0，c 1，d 0 ）
可转化为等比数列，设 an x c an1 x an can1 c 1 x
令
(c
1)x
d
，∴
x
d ，∴ c 1
an
c
d
1
是首项为
这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索
其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：
等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
2. 公式法：对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列 的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的 应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
3
n
an a1
1 n
又 a1
3 ，∴ an
3 n
.
（3）等差型递推公式
由 an an1 f (n)，a1 a0 ，求 an ，用迭加法
a2 a1 f (2)
n 2 时，
a3 a2 f (3) …… ……
两边相加得
an
a1
f
(2)
f
(3) ……
f
(n)
an an1 f (n)
3. 裂项相消法：是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下 有限项，从而求出数列的前 n 项和。
4. 错位相减法：是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相 乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和 式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。
1
a1
1，公差为 1 2
，∴ 1 an
1 n 1·
1 2
1 n 1 ，
2
∴
an
2 n 1
a (附：公式法、利用 n
S1(n1)
Sn Sn1 (n2) 、累加法、累乘法.构造等差或等比 an1 pan q
或 an1 pan f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)
1 x
2
x2 1 x2
1 1 x2
1
∴原式
f
(1)
f
(2)
f
1 2
f
(3)
f
1 3
f
(4)
f
1 4
1 2
111
3
Hale Waihona Puke Baidu1 2
求数列的前 n 项和
1. 倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项 之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，
a1
d ，c c 1
为公比的等比数列
∴
an
c
d 1
a1
c
d 1
·
cn1 ，∴ an
a1
c
d 1
c n 1
c
d
1
（5）倒数法
如：
a1
1，an1
2an an 2
，求
an
由已知得： 1 an 2 1 1 ，∴ 1 1 1
an1 2an 2 an
an1 an 2
∴
1 an
为等差数列，
S2n n(a1 a2n ) n(a2 a2n1 ) n(an an1 )(an , an1为中间两项 )
S偶
S奇
nd
， S奇 S偶
an an1
.
（7）项数为奇数 2n 1的等差数列an ，有
S2n1 (2n 1)an (an为中间项 ) ，
S奇
S偶
an
，
S奇 S偶
n. n 1
2. 等比数列的定义与性质
定义：
an 1 an
q （ q 为常数， q
0 ）， an
a1qn1 .
等比中项： x、G、y 成等比数列 G2 xy ，或 G xy .
na1(q 1)
前 n 项和： Sn
a1
1 qn
1 q
（要注意！） (q 1)
性质：an 是等比数列
（1）若 m n
Sn Sn
a1 an
a2 …… an1 an1 …… a2
an a1
相加
2Sn
a1
an
a2
an1
… a1
an
…
［练习］已知
f
(x)
x2 1 x2
，则
f
(1)
f
(2)
f
1 2
f
(3)
f
1 3
f
(4)
f
1 4
1 2
由
f
(x)
f
1 x
1
x
2
x
2
1
x
第六讲：等差、等比数列的运用
1. 等差数列的定义与性质
定义： an1 an d （ d 为常数）， an a1 n 1 d
等差中项： x，A，y 成等差数列 2A x y
前
n 项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
性质：an 是等差数列
（1）若 m n p q ，则 am an ap aq；
Sn 的最值可求二次函数 Sn an2 bn 的最值；或者求出an 中的正、负分界项，
即：当 a1 0，d 0 ，解不等式组 aann1 00 可得 Sn 达到最大值时的 n 值.
当 a1 0，d 0 ，由 aann1 00 可得 Sn 达到最小值时的 n 值.
（6） 项数为偶数 2n 的等差数列an ，有
如： Sn 1 2x 3x2 4x3 …… nxn1
①
x· Sn x 2x2 3x3 4x4 …… n 1 xn1 nxn
②
①—② 1 x Sn 1 x x2 …… xn1 nxn
x
1 时，
Sn
1
1
xn
x2
nxn 1 x
，
x
1 时，
Sn
1
2 3 ……
n
nn 1
2
（3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
4. 求数列前 n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：
an
是公差为
d
的等差数列，求
n k 1
ak
1 ak
1
解：由
1 ak· ak1
ak
1
ak d
1 d
1
ak
1 ak 1
d
0
∴
n k 1
1 ak ak 1
n k 1
1 d
1 ak
（2）数列 a2n1 , a2n ,a2n1仍为等差数列， Sn，S2n Sn，S3n S2n…… 仍为等差数列，
公差为 n2d ；
（3）若三个成等差数列，可设为 a d，a，a d
（4）
若
an，
bn
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n，Tn
，则
am bm
S2m1 T2m1
（5）an 为等差数列 Sn an2 bn（ a，b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数）
7. 构造法：是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征， 构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项 和。)
5. 迭加法：主要应用于数列{an}满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等 比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列 式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。
6. 分组求和法：是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这 类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和， 再将其合并。
……
1 2n
an
2n
5 ，求 an
解
n
1 时，
1 2
a1
21
5
，∴
a1
14
①
n
2 时，
1 2
a1
1 22
a2
……
1 2n1
an1
2n
1
5
②
①—②得：
1 2n
an
2
，∴ an
2n1 ，∴ an
14 (n 1) 2n1 (n 2)
［练习］数列an
满足
Sn
Sn1
5 3
an1，a1
4
，求
an
1 ak 1
1 d
1 a1
1 a2
1 a2
1 a3
……
1 an
1 an1
1 1 1
d
a1
an1
［练习］求和：1
1 1
2
1
1 2
3
……
1
2
3
1 ……
n
an
…… ……，Sn
2
1 n 1
（2）错位相减法
若an 为等差数列，bn 为等比数列，求数列 anbn（差比数列）前 n 项和，可由 Sn qSn ， 求 Sn ，其中 q 为bn 的公比.
注意到 an1
Sn1
Sn
，代入得
S n 1 Sn
4 又 S1 ；
4 ，∴
Sn
是等比数列， Sn 4n
n 2 时， an Sn Sn1 …… 3· 4n1
（2）叠乘法
如：数列an 中， a1
3，an1 an
n
n
1
，求
an
解
a2· a1
a3 …… an
a2
an1
1· 2
2 …… n 1 ，∴