新人教版八年级数学(上)12.3.1角平分线的性质(1)
人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)
PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质(第一课时)教学设计
（一）教学重难点
1.重点：角的平分线的定义、性质及其应用。
2.难点：
（1）角的平分线性质的推理与证明。
（2）运用角的平分线性质解决实际问题，如构造等腰三角形、解决角度分配问题等。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用直观演示法，通过动态图示、实际操作等方式，让学生直观感受角的平分线的形成过程，为理解性质打下基础。
2.教师总结：
（1）强调角的平分线的定义及性质。
（2）指出角的平分线在实际问题中的应用价值。
（3）鼓励学生继续探索几何知识，提高自己的空间观念和逻辑思维能力。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的角的平分线的性质，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.基础练习题：
（1）完成课本习题12.3第1题，判断下列各图中，哪些是角的平分线，并说明理由。
（1）联系生活实际，设计一道角的平分线性质的应用题，要求解题步骤详细，答案正确。
（2）运用角的平分线性质，解决一道实际生活中的问题，如角度分配、构造图形等。
4.思考题：
（1）思考：如何运用角的平分线性质求解等腰三角形的顶角？
（2）思考：在平面几何中，角的平分线有哪些重要性质？它们在解决实际问题中有什么作用？
3.生活实例导入：通过生活中的实例，如红绿灯的指示牌、墙壁上的挂钟等，让学生感受到角在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
4.提出问题：引导学生思考如何将一个角平均分成两个相等的角。从而引出本节课的主题——角的平分线。
（二）讲授新知
1.角的平分线的定义：介绍角的平分线的概念，强调角的平分线将一个角分成两个相等的角。
（2）新课：以直观演示、问题驱动方式引入角的平分线的定义和性质，让学生通过自主探究、小组合作等方式掌握性质。
人教版八年级数学上册12.3.1角的平分线的性质(第1课时)
E
B
C
D
A
E
B
C
D
4.如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 则PN=_______ 。 2
N 0 M P
A
C B
*5.如图，△ABC中，AB=8厘米，∠C=90°， AC=BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于 点E。求：△DBE的周长= 8厘米。
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC (SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. M
A C
O
N
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
P48 思考 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线 OC，在OC 上任取一点P，过点 A P 画出OA，OB 的垂线，分别记 D 垂足为D，E，测量 PD，PE 并 C 作比较，你得到什么结论？ P O
B
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等
E
C
A
2. 如 图 , 在 △ ABC 中 ， AC⊥BC ， AD 为 ∠ BAC 的平分线，DE⊥AB，AB ＝ 7 ㎝ ， AC ＝ 3 ㎝ ， 求 BE= 4 CM. 3.如图，在△ABC中， ∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若 BC＝8,BD＝5，则点D 3 到AB的距离为_____
证明:∵ AD平分∠CＡＢ, D是AD上一点（已知）
∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知） ∴DC＝DＥ(角平分线的性质） 在Rt△CDF和Rt△EDB 中 BD=FD （已知） DC=DE（已证） ∴Rt △CDF≌Rt△EDB (HL) ∴CF＝EB（全等三角形对应边相等）
人教版八年级数学上册教案：12.3角的平分线的性质
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角的平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在小组讨论环节，我尝试提出一些开放性问题，引导学生深入思考角的平分线在实际生活中的应用。我发现同学们的想象力很丰富，能够从不同角度提出问题和解决问题。这种讨论方式有助于他们形成批判性思维和解决问题的能力。
然而，我也意识到在教学中还存在一些不足。首先，对于教学难点的处理，我可能需要更多的耐心和细致的讲解。特别是在性质证明这一部分，我应该放慢速度，让学生有足够的时间消化和理解。其次，对于学生的个别差异，我需要给予更多的关注，为不同层次的学生提供适当的学习支持。
人教版八年级数学上册教案：12.3角的平分线的性质
一、教学内容
人教版八年级数学上册教案：12.3角的平分线的性质
1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
2.角平分线的性质：
（1）角的平分线将角平分成两个相等的角；
（2）角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对角的平分线的性质这一部分内容表现出很大的兴趣。通过引入日常生活中的实例，他们能够更直观地理解角的平分线的概念。在理论讲授环节，我注意到有些同学对性质的理解还有待加强，特别是在性质证明的部分。这让我意识到，除了直观的演示，还需要通过更多的例题和练习来巩固他们的理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
12.3 角的平分线的性质(1) 人教版八年级数学上学期教案
放在角的顶点，ADBA（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.【三】巩固练习已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．拓展延伸，巩固强化知识。
【五】布置作业1.课本练习2.同步练习对应习题OCN别为点D、E.∴ PD=PE二次备课。
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
人教版八年级上册数学教案：12.3角的平分线的性质
本节课的教学重点是：证明角平分线的性质和判定。
本节课的教学难点是：灵活运用角平分线性质解决问题。
三、学习者特征分析
本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难。例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”。其重要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性。教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果······那么······”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明命题的一般步骤。
学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据。
动手操作
学会尺规作图
教师首先引导学生分析命题的条件和结论。如果学生感到困难，可以让学生将命题写成“如果······那么······”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找到结论中的隐含条件（垂直）。最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质。
二、教学目标
1.【知识与技能】
进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
2.【过程与方法】
通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案
12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。
八年级数学人教版(上册)12.3第1课时角平分线的性质
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
尺规 作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角平分线
性质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作 垂线段 (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，
交OB于点F；
(2)分别以点E，F为圆心，大于1 EF的长为半径画 弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；2
(3)画射线OC； (4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求 (如上图所示)．
侵权必究
2 角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
侵权必究
已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直 线的垂线的方法.
侵权必究
练一练
如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝ 1 ∠AOB.
4
A
O
B
导引：要作射线OM，使∠AOM＝ 1∠AOB， 其实质是作 1 ∠AOB的平分线． 4
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
侵权必究
目录页
新课导入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
侵权必究
新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的 性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
12.3.1角平分线的性质(1)
归纳总结
掌握知识
角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等
书写格式:
∵ OC 平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE
巩固基础
例题演练
已知：如图，在△ABC中，AD是 ∠BAC的角平分线，且BD=CD， DE⊥AB，DF⊥AC， 求证:EB=FC.
巩固基础
变式训练
如图，OC平分∠AOB，OA=OB， PD⊥AC，PE⊥BC， 求证：PD=PE
1 、在一张纸上画 ∠ AOB ， 找出它的角平分线OC，
画板验证
分析整理
自能探究
从活动中可以得到以下命题： 角平分线上的点到角两边的距离相等
如何证明这个命题？
找出条件和结论 分析并证明
转化为数学语言 画出对应图形
分析整理
自能探究
角平分线上的点到角两边的距离相等
已知:如图， OC 是∠AOB的 分析并证明 角平分线，P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB， 求证：PD=PE
驶向胜利 的彼岸
课堂小结
1：画一个已知角的角平分线
2：角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
疑难解决
疑难解决
为什么？
现有 ∠ AOB ，而老师和你们手上只有 基本作图工具（尺规），没有平分角 的仪器，我们要怎样得到 ∠ AOB 的角 为什么？ 平分线？ 射线OC即为 ∠AOB的角平分线
思考迁移
自能探究
思考迁移
自能探究
为什么OC即为∠AOB的角平分线？
根据作图步骤，你能证明吗？
动手操作
自能探究
（作 PD ⊥ OA ， 2、在OC上任取一点P，分别 PE ⊥ OB ， 测量P到角∠AOB两边的距离 测量PD，PE） 3、你有什么发现？
人教版数学八年级上册-12.3角的平分线的性质 教案(1)
奇妙的角平分线——由书上一道添辅助线题的思辨而作南昌二中昌北校区一、教材内容和内容解析1．教材内容本节课是人教版八年级上册第十二章第三节《角平分线的性质》的第二课时。
角平分线性质的应用，空间广博，是前面学习全等三角形的综合应用。
在平面几何的学习研究中应用广泛，本节课拟就“角平分线”背景的专题的探究学习，帮助学生体会角平分线的应用价值和作为辅助线的神奇，并积累一定的学习经验。
2．内容解析在平面几何学习中，角平分线是一种重要而又丰富的线，它的奇妙作用，需要在科学思维指导下，通过直观想象和综合分析来体现。
在此之前，学生已经学习了角平分线的定义、全等三角形、角平分线的性质及其结论，都为本节专题课奠定了基础。
通过“奇妙的角平分线”专题学习,着力于培育学生的直观想象和逻辑推理核心素养，积累一定的添辅助线构造全等三角形的经验。
二、教学目标和目标解析根据学生已有的知识和对本课知识的理解，我设计了如下目标：1．教学目标（1）掌握角平分线的性质，理解角平分线会带来轴对称图形从而带来相等的元素；（2）掌握利用角平分线构造全等三角形的三种方法“截长法”、“补短法”、“作垂线”；（3）在探究角平分线的拓展应用中，通过动手操作，互相交流，分享经验，提高学生交流合作的意识，培养学生科学的探究精神，和理性思考的意义；2．目标解析教学目标（1）是本节课的核心目标；教学目标（2）的确立则在（1）的基础上让学生进一步感受角平分线的神奇的魅力，体现它的应用价值，实现数学思维的启发与数学方法迁移；教学目标（3）则是以本节专题课为平台，开展数学推理的思考过程，综合训练学生各种能力，为以后的数学学习，特别是逻辑推理内容的学习起到很好的示范作用。
三、教学问题诊断分析1．学情分析八年级的学生已学完了三角形和全等三角形,对平面几何的证明有了初步的认识。
具备一定逻辑思考能力，动手能力较强，但学习数学的科学方法、思维范式会有所欠缺，以及每个学生的数学素养各有不同。
12.3角的平分线的性质(第一课时)教学设计
12.3角的平分线的性质（第一课时）教学设计一．内容与内容解析1．内容角平分线的性质。
2．内容解析（1）角平分线的性质是反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法。
它的研究过程为以后学习线段的垂直平分线的性质提供了思路和方法。
（2）本节内容是新人教版八年级上册第十二章《全等三角形》第三节内容，它是在学习了“全等三角形的性质和判定”后，通过一些实际问题讨论了角的平分线的性质。
教材中通过实际问题来引入本节内容，这样设计是能更好的体现角的平分线的实际背景，反映数学与实际的关系，即数学理论来源于实际又服务于实际。
通过本节的学习可以为后继研究几何图形打下良好的铺垫。
同时，可以培养学生的观察、分析、归纳能力，探究精神和创新意识。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：角平分线性质的探究、证明、运用。
二．目标与目标解析1．目标（1）会用尺规作一个已知角的平分线。
（2）探索并证明角平分线的性质。
（3）能运用角平分线的性质解决一些简单问题。
2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分线的方法与原理，能在老师的引导下用尺规作出已知角的平分线。
达成目标（2）的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表述性质的内容，能正确的写出已知、求证，能运用全等三角形的性质证明角平分线的性质。
达成目标（3）的标志是：学生能利用角的平分线的性质证明与线段相等的有关问题。
三．教学问题诊断分析学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明常常感到困难。
其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出，学生分不清题设和条件，教师要引导学生分析性质中的条件和结论，正确写出已知和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤。
本节课的教学难点是：证明以文字命题形式给出的角平分线的性质。
四．教学过程设计（一）导入新课：如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD ，BC=DC 。
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 第1课时 角平分线的性质课件
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
人教版八年级数学上册第十二章 1 第1课时 角的平分线的性质
123456
1.如果要作已知∠AOB的平分线OC,合理的顺序是 ( ).
①作射线OC;②在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE;③分别以
D,E为圆心,大于
1 2
DE长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
A.①②③
B.②①③ C.②③① D.③②①
关闭
C
答案
-6-
知识梳理 预习自测
1234
关闭
因为∠ACB=90E=CE.
所以AE+DE=AE+CE=AC=3 cm.
关闭
B
解析 答案
角的平分线的性质拓展应用 【例题】 如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=36 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,求DE的长.
分析:由题目条件及图形知S△ABC=S△ABD+S△BCD.因为点D是 ∠ABC的平分线上的点,且DE⊥AB,所以易想到过点D作出BC边上 的高DF,利用角的平分线的性质有DE=DF.由△ABD和△BCD的面 积,可列出等式求出DE的长.
知识梳理 预习自测
1.角的平分线上的点到角的两边的距离 相等 . 2.一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照以下步骤进行: (1)明确命题中的 已知 和 求证 ; (2)根据题意,画出 图形 ,并用 符号 表示已知和求证; (3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
-5-
知识梳理 预习自测
解:过点D作DF⊥BC,垂足为F. ∵DE⊥AB,BD平分∠ABC,∴DE=DF. ∵S△ABC=S△ABD+S△BCD, ∴36=12·AB·DE+12·BC·DF=12DE·(AB+BC)=12DE·(18+12)=15DE. 解得DE=2.4(cm).
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质1-课件
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等直
思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到
公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉
处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20
000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边
的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
A
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等 想一想，点P在∠A 的 平分线上吗？这 说明三角形的三条角平分线有什么关系？ B
D N PM F
E
C
畅谈收获
知识应用
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
分析:要证明PD=PE,只要证明
D
它们所在的△OPD≌△OPE，
而△OPD≌△OPE的条件由已 知易知它满足公理(AAS).
O
1 2
P C
故结论可证.
E
老师期望:你能写出规范的证明过程. B
于是我们得角的平分线的性质： 在角的 平分线上的点到角的两边的距离相等．
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角 的两边的距离相等”这句话．请填下表：
2 、 如 图 ,OC 是 ∠AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC
上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足，分别是D、E,PD=4cm,则 PE=__________cm.
A E
D
A
C
P
D B
E
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C
A
D
P
B
·
E
O
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
A D
B
E
C
练一练
A
E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB， AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
O
1 2 E
P C
B
独立作业
1
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 你发现了什么？
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
• 如图，要在Ｓ区建一全集贸市场，使它到公 路，铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处 ５００米，这个集贸市场应建于何处？
做一做
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E B D
F C
驶向胜利 的彼岸
老师期望:
二、教学重点、难点：
1.教学重点：掌握角的平分线的性质定 理及其逆定理. 2.教学难点：角平分线定理和逆定理的 应用
如何用尺规作角的平分线？ 作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于
1 2
A
Ｍ
Ｃ
ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
的内部交于Ｃ． ３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣ即为所求．
角平分线上的点到角的两 边的距离相等。
在∠AOB的平分线OC 上任取一点P，然后， 作点P到∠AOB两边的 垂线段PD、PE，画一 画，量一量，从中你有 O 什么新发现？你能说明 其中的道理吗？
A D P · E
C
B
随堂练习
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
一、教学目标：
1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分 线的性质定理及其逆定理．
2.通过测量操作，发现角的平分线的性质定理
3.能用文字语言、符号语言阐述角的平分线的性质定理 及其逆定理，提高不同数学语言间的转化能力. 4.能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几 何问题.
5.通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的形 成，养成永无止境的科学探索精神.
做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
小结
拓展
回味无穷
A
DHale Waihona Puke 定理 角平分线上的点到这个 角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.