19年高考考纲数-学
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：13直接证明与间接证明
第十三章直接证明与间接证明考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 2017 19(2),417(1),71. 认识直接证明的两种基分分20,15 分22(2),(3 1. 直接证明本方法 : 剖析法和综合法 . 20(1),6 20(1),7认识18(1),7 20( 文 ),1 ),与间接证明 2. 认识间接证明的一种基分分分 5 分约 10分本方法 : 反证法 . 21(2),820,15 分分2. 数学概括认识数学概括法的原理 , 能22(1), 用数学概括法证明一些简认识法约 5 分单的数学命题 .剖析解读 1. 直接证明与间接证明、数学概括法是高考的考察内容, 综合法是“由因导果” , 而剖析法例是“执果索因” , 它们是截然相反的两种证明方法. 剖析法便于我们去找寻思路 , 而综合法便于过程的表达 , 两种方法各有千秋 , 在解决详细的问题中, 综合运用 , 成效会更好 .2. 数学概括法常与数列、不等式等知识综合在一同, 常常综合性比较强, 对学生的思想要求比较高 .3. 综合法与剖析法因其在解决问题中的巨大作用而获得命题者的喜爱, 估计 2019 年高考试题中 , 直接证明、间接证明与导数综合出题的可能性较大.五年高考考点一直接证明与间接证明1.(2017课标全国Ⅱ理,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩四人中有 2 位优异 ,2 位优异 , 我此刻给甲看乙、丙的成绩 , 给乙看丙的成绩, 给丁看甲的成绩说 : 我仍是不知道我的成绩. 依据以上信息, 则 () .老师说:你们 . 看后甲对大家A.乙能够知道四人的成绩B.丁能够知道四人的成绩C.乙、丁能够知道对方的成绩D.乙、丁能够知道自己的成绩答案 D2.(2016 北京 ,8,5 分) 袋中装有偶数个球 , 此中红球、黑球各占一半 . 甲、乙、丙是三个空盒 . 每次从袋中随意拿出两个球 , 将此中一个球放入甲盒 , 假如这个球是红球 , 就将另一个球放入乙盒 , 不然就放入丙盒 . 重复上述过程 , 直到袋中全部球都被放入盒中, 则 ()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球同样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球同样多答案 B3.(2017北京文,14,5分)某学习小组由学生和教师构成, 人员构成同时知足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数 ;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数 .①若教师人数为4, 则女学生人数的最大值为;②该小组人数的最小值为.答案①6②124.(2017北京理,20,13分)设{a n}和{b n}是两个等差数列, 记c n=max{b1-a 1n,b 2-a 2n,,b n-a n n}(n=1,2,3, ),此中 max{x 1,x 2, ,x s} 表示 x1,x 2, ,x s这 s 个数中最大的数.(1) 若 a n =n,b n =2n-1, 求 c 1,c 2,c 3 的值 , 并证明 {c n } 是等差数列 ;(2) 证明 : 或许对随意正数 M,存在正整数 m,当 n ≥m 时, >M;或许存在正整数 m,使得 c m ,c m+1,c m+2, 是等差数 列 .分析 此题考察等差数列 , 不等式 , 合情推理等知识 , 考察综合剖析 , 概括抽象 , 推理论证能力 . (1)c 1=b 1-a 1=1-1=0,c 2 =max{b 1-2a 1,b 2-2a 2}=max{1-2 × 1,3-2 × 2}=-1,c 3 =max{b 1-3a 1,b 2-3a 2,b 3-3a 3}=max{1-3 × 1,3-3 × 2,5-3 × 3}=-2.当 n ≥ 3 时 ,(b k+1 -na k+1 )-(b k-na )=(b -b )-n(a k+1-a )=2-n<0,kk+1kk所以 b k -na k 对于 k ∈ N * 单一递减 .-a n}=b -a n=1-n.所以 c =max{b -a n,b -an, ,bn1122 n n11所以对随意 n ≥ 1,c n =1-n, 于是 c n+1-c n =-1,所以 {c} 是等差数列 .n(2) 设数列 {a n } 和 {b n } 的公差分别为 d 1,d 2, 则 b k -na k =b 1+(k-1)d 2-[a 1+(k-1)d 1 ]n=b 1-a 1n+(d 2-nd 1)(k-1).所以 c =n①当 d 1>0 时,取正整数 m> , 则当 n ≥ m 时,nd 1 >d , 所以 c =b -a n.2n 11此时 ,c m ,c m+1,c m+2, 是等差数列 .②当 d =0 时, 对随意 n ≥ 1,1c n =b 1-a 1n+(n-1)max{d 2,0}=b 1-a 1+(n-1)(max{d2,0}-a 1).此时 ,c,c ,c , ,c, 是等差数列 .1 23n③当 d 1<0 时,当 n> 时, 有 nd 1<d 2.所以 ==n(-d 1)+d 1-a 1+d 2+≥ n(-d 1)+d 1-a 1+d 2-|b 1-d 2|.对随意正数 M,取正整数 m>max,故当n ≥ m 时 ,>M.5.(2016江苏 ,20,16 分 )记 U={1,2,,100}.对数列 {a n }(n ∈N *)和U 的子集T,若 T=? ,定义S T =0;若T={t1,t2,,tk },定义S T =+ + +. 比如 :T={1,3,66}时 ,S T =a 1+a 3+a 66. 现设 {a n }(n∈ N *)是公比为3 的等比数列 , 且当 T={2,4} 时 ,S T =30.(1) 求数列 {a n } 的通项公式 ;(2) 对随意正整数 k(1 ≤ k ≤ 100), 若 T? {1,2,,k}, 求证 :S T <a k+1 ; (3) 设 C? U,D? U,S C ≥ S D , 求证 :S C +S C ∩ D ≥ 2S D .分析 (1) 由已知得 a n =a 1· 3n-1 ,n ∈ N * . 于是当 T={2,4} 时 ,S T =a 2+a 4=3a 1+27a 1=30a 1.又 S =30, 故 30a1 =30, 即 a =1.T1所以数列 {a n } 的通项公式为 n-1,n *a n =3 ∈ N .(2) 因为 T? {1,2, ,k},a n =3n-1 >0,n ∈N * ,k-1kk所以 S ≤ a +a + +a =1+3+ +3 = (3 -1)<3 .T 12k所以 ,S T <a k+1.(3) 下边分三种状况证明.①若 D 是 C的子集 , 则 S C+S C∩D=S C+S D≥ S D+S D=2S D.②若 C 是 D的子集 , 则 S C+S C∩D=S C+S C=2S C≥ 2S D.③若 D不是 C的子集 , 且 C不是 D的子集 .令 E=C∩ ?U D,F=D∩ ?U C, 则 E≠ ? ,F ≠ ? ,E ∩F=? . 于是 S C=S E+S C∩D,S D=S F+S C∩D, 从而由 S C≥ S D得 S E≥ S F .设 k 为 E 中的最大数 ,l 为 F 中的最大数 , 则 k≥1,l ≥ 1,k ≠ l.由 (2)Ek+1.于是 3l-1 l F E k+1 k, 所以 l-1<k, 即 l ≤ k. 又 k≠ l, 故 l ≤ k-1. 知 ,S <a =a ≤ S ≤ S <a =3从而F12 l l-1= ≤= ≤, S ≤ a +a + +a =1+3+ +3故 S E≥ 2S F+1, 所以 S C-S C∩D≥ 2(S D-SC∩D)+1, 即 S C+S C∩D≥2S D+1.综合①②③得 ,S C+S C∩D≥ 2S D.6.(2015 北京 ,20,13 分 ) 已知数列 {a } 知足 :a ∈ N ,a ≤ 36, 且 a = (n=1,2,). 记会合 M={a |nn 1 *1 n+1 n ∈N*}.(1)若 a1=6, 写出会合 M的全部元素 ;(2)若会合 M存在一个元素是 3 的倍数 , 证明 :M 的全部元素都是 3 的倍数 ;(3)求会合 M的元素个数的最大值 .分析(1)6,12,24.(2)证明 : 因为会合 M存在一个元素是 3 的倍数 , 所以不如设 a k是 3 的倍数 .由 a n+1= 可概括证明对随意 n≥ k,a n是 3 的倍数 .假如 k=1, 则 M的全部元素都是3的倍数.假如 k>1, 因为 a k=2a k-1或 a k=2a k-1 -36,所以 2a k-1是 3 的倍数 , 于是 a k-1 是3的倍数.近似可得 ,a k-2 , ,a 1都是 3 的倍数 .从而对随意 n≥ 1,a n是 3 的倍数 , 所以 M的全部元素都是 3 的倍数 .综上 , 若会合 M存在一个元素是 3 的倍数 , 则 M的全部元素都是3的倍数.(3) 由 a1≤ 36,a n= 可概括证明 a n≤36(n=2,3,).因为 a 是正整数 ,a = 所以 a 是2的倍数,1 2 2从而当 n≥3 时 ,a n是 4 的倍数 .假如 a1是 3 的倍数 , 由 (2) 知对全部正整数n,a n是 3 的倍数 ,所以当 n≥3 时 ,a n∈ {12,24,36},这时 M的元素个数不超出 5.假如 a1不是 3 的倍数 , 由 (2) 知对全部正整数n,a n不是 3 的倍数 ,所以当 n≥3 时 ,a n∈ {4,8,16,20,28,32},这时 M的元素个数不超出 8.当 a =1 时 ,M={1,2,4,8,16,20,28,32} 有8个元素.1综上可知 , 会合 M的元素个数的最大值为 8.7.(2014 江苏 ,23,10 分 ) 已知函数 f 0(x)= (x>0), 设 f n(x) 为 f n-1 (x) 的导数 ,n ∈ N* .(1) 求 2f 1 + f 2 的值 ;(2) 证明 : 对随意的n∈ N* , 等式= 都建立 .分析(1) 由已知 , 得 f 1(x)=f' 0(x)= '= - , 于是f (x)=f' (x)= '- '=- - + , 所以 f1 =- ,f2=-+.2 1故 2f 1 + f 2 =-1.(2) 证明 : 由已知 , 得 xf 0(x)=sinx, 等式两边分别对x 求导 , 得 f 0(x)+xf' 0(x)=cosx, 即 f 0(x)+xf 1(x)=cosx=sin , 近似可得2f (x)+xf (x)=-sinx=sin(x+ π ),1 23f (x)+xf (x)=-cosx=sin ,2 34f (x)+xf (x)=sinx=sin(x+2 π ).3 4下边用数学概括法证明等式nf n-1(x)+xfn对全部的*都建立 .(x)=sin n∈ N(i)当 n=1 时 , 由上可知等式建立 .(ii) 假定当 n=k 时等式建立 , 即 kf k-1 (x)+xf k(x)=sin. 因为[kfk-1 (x)+xfk(x)]'=kf'k-1(x)+fk(x)+xf'k(x)=(k+1) · f (x)+xf (x), '=cos ·'=sik k+1n ,所以(k+1)f k (x)+xf k+1 .(x)=sin所以当 n=k+1 时 , 等式也建立 .综合 (i)(ii) 可知等式 nf n-1 (x)+xf n (x)=sin*对全部的 n∈ N 都建立 .令 x= , 可得 nf n-1 + f n =sin (n ∈ N* ). 所以= (n ∈ N* ).教师用书专用 (8)8.(2013 江苏 ,19,16na, 公差为 d 的等差数列(d ≠0),Sn n,n ∈分 ) 设{a } 是首项为是其前 n 项的和 . 记 b =(1)若 c=0, 且 b1,b 2,b 4成等比数列 , 证明 :S nk=n2S k(k,n ∈ N* );(2)若 {b n} 是等差数列 , 证明 :c=0.nd.证明由题意得 ,S =na+(1) 由 c=0, 得 b n= =a+ d.又因为 b ,b ,b 成等比数列 , 所以=b b , 即=a 2 4 , 化简得 d -2ad=0.1 2 1 4因为 d≠ 0, 所以 d=2a.所以 , 对于全部的* m2m∈ N , 有 S =ma.从而对于全部的k,n ∈ N* , 有 S nk=(nk) 2a=n2k2a=n2S k.(2) 设数列 {b } 的公差是 d , 则 b =b +(n-1)d, 即=b +(n-1)d*的表达式 , 整理得 , 对于全部,n ∈ N , 代入 Sn1n1111n* 3 2 111的 n ∈ N , 有n + n +cd n=c(d -b ).令 A=d 1- d,B=b 1-d 1-a+ d,D=c(d 1-b 1), 则对于全部的 n ∈ N * , 有32An +Bn +cd 1n=D.(*)在 (*) 式中分别取 n=1,2,3,4, 得A+B+cd 1=8A+4B+2cd 1=27A+9B+3cd 1=64A+16B+4cd 1,从而有由②③得 A=0,cd 1=-5B, 代入方程① , 得 B=0, 从而 cd 1=0.即 d 1- d=0,b 1-d 1-a+ d=0,cd 1=0.若 d 1=0, 则由 d 1- d=0, 得 d=0,与题设矛盾 , 所以 d 1≠ 0. 又因为 cd 1=0, 所以 c=0.考点二 数学概括法1.(2017 浙江 ,22,15 分 ) 已知数列 {x } 知足 :x =1,x =x +ln(1+x*)(n ∈ N ).n1nn+1n+1证明 : 当 n ∈ N * 时 ,(1)0<x<x ;n+1n(2)2x-x ≤;n+1n(3) ≤x n ≤.分析 此题主要考察数列的观点、递推关系与单一性基础知识, 不等式及其应用 , 同时考察推理论证能力、 剖析问题和解决问题的能力 . (1) 用数学概括法证明 :x n >0. 当 n=1 时 ,x 1=1>0. ≤ 0, 则 0<x =x +ln(1+x ) ≤ 0, 矛盾 , 故 x>0. 假定 n=k 时,x k >0, 那么 n=k+1 时, 若 xk k+1k+1k+1 k+1所以 x n >0(n ∈ N * ). 所以 x n =x n+1+ln(1+xn+1)>x n+1.所以 0<x n+1<x n (n ∈ N * ). (2) 由 x n =x n+1+ln(1+x n+1) 得 ,x x -4x+2x =-2xn+1 +(x n+1 +2)ln(1+x).n n+1n+1nn+1记函数 f(x)=x 2-2x+(x+2)ln(1+x)(x ≥ 0),f'(x)=+ln(1+x)>0(x>0).函数 f(x) 在 [0,+ ∞ ) 上单一递加 , 所以 f(x) ≥ f(0)=0, 所以-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥ 0,故 2x n+1-x n ≤(n ∈ N * ).(3) 因为 x n =x n+1+ln(1+x n+1) ≤ x n+1+x n+1=2x n+1, 所以 x n ≥ .由≥ 2x n+1-x n得- ≥ 2 >0,所以 - ≥ 2 ≥ ≥ 2n-1 =2n-2 ,故 x n≤.综上, ≤ x n≤(n ∈ N* ).2.(2015 江苏 ,23,10 分 ) 已知会合 X={1,2,3},Y n={1,2,3,,n}(n ∈ N* ), 设 S n={(a,b)|a 整除 b 或 b 整除 a,a ∈X,b ∈ Y n}. 令 f(n) 表示会合 S n所含元素的个数 .(1) 写出 f(6) 的值 ;(2) 当 n≥ 6 时 , 写出 f(n)的表达式,并用数学概括法证明.分析(1)f(6)=13.(2)当 n≥ 6 时 ,f(n)=(t ∈ N* ).下边用数学概括法证明:①当 n=6 时,f(6)=6+2++ =13, 结论建立 ;②假定 n=k(k ≥ 6) 时结论建立 , 那么 n=k+1 时 ,S k+1在 S k的基础上新增添的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生 , 分以下情况议论:1) 若 k+1=6t, 则 k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+++3=(k+1)+2++,结论建立 ;2) 若 k+1=6t+1, 则 k=6t, 此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+ + +1=(k+1)+2++,结论建立 ;3)若 k+1=6t+2, 则 k=6t+1, 此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论建立 ;4)若 k+1=6t+3, 则 k=6t+2, 此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+ ++2=(k+1)+2++,结论建立 ;5) 若 k+1=6t+4, 则 k=6t+3, 此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2=(k+1)+2++,结论建立 ;6) 若 k+1=6t+5, 则 k=6t+4, 此时有 f(k+1)=f(k)+1 =k+2+ + +1=(k+1)+2++ ,结论建立 .综上所述 , 结论对知足 n ≥ 6 的自然数 n 均建立 .3.(2014 安徽 ,21,13 分 ) 设实数 c>0, 整数 p>1,n ∈ N * . (1) 证明 : 当 x>-1 且 x ≠ 0 时 ,(1+x) p>1+px;(2) 数列 {a n } 知足 a 1> ,a n+1= a n +. 证明 :a n >a n+1> .证明 (1) 用数学概括法证明 :①当 p=2 时,(1+x) 2=1+2x+x 2>1+2x, 原不等式建立 .②假定 p=k(k ≥ 2,k ∈ N * ) 时 , 不等式 (1+x) k >1+kx 建立 .当 p=k+1 时,(1+x) k+1=(1+x)(1+x) k >(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x.所以 p=k+1 时 , 原不等式也建立 . p综合①②可得 , 当 x>-1,x ≠ 0 时, 对全部整数 p>1, 不等式 (1+x)均建立 .>1+px (2) 证法一 : 先用数学概括法证明 a n > .①当 n=1 时, 由题设 a >知 a > 建立 .1n②假定 n=k(k ≥ 1,k ∈ N * ) 时 , 不等式 a k > 建立 .由 a n+1= nn*a + 易知 a >0,n ∈ N .当 n=k+1 时, = + =1+ .由 a k > >0 得 -1<- <<0.由 (1) 中的结论得=>1+p ·= .所以>c, 即 a k+1 > .所以 n=k+1 时 , 不等式 a n >也建立 .综合①②可得 , 对全部正整数 n, 不等式 a n > 均建立 .再由=1+可得<1, 即 a n+1<a n .综上所述 ,a >a>*n+1 ,n ∈ N.n证法二 : 设 f(x)=x+ x 1-p ,x ≥ , 则 x p ≥c, 而且f'(x)= + (1-p)x-p= >0,x> .由此可得 ,f(x) 在 [ ,+ ∞ ) 上单一递加 .因此 , 当 x> 时 ,f(x)>f()= ,①当 n=1 时, 由 a 1>>0, 即 >c 可知a 2 = a 1+ =a 1 <a 1, 而且 a 2=f(a 1)>, 从而 a 1>a 2> .故当 n=1 时, 不等式 a n >a n+1>建立 .*不等式 a k >a k+1> 建立, 则 当 n=k+1 时,f(ak )>f(ak+1)>f( ), 即有 a>a > .k+1k+2所以 n=k+1 时 , 原不等式也建立 .综合①②可得 , 对全部正整数 n, 不等式 a >a > 均建立 .nn+14.(2014 陕西 ,21,14 分 ) 设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x≥ 0, 此中 f'(x)是 f(x) 的导函数 .(1) 令 g (x)=g(x),g(x)=g(gn (x)),n ∈N , 求 g (x) 的表达式 ;1n+1+n(2) 若 f(x) ≥ ag(x) 恒建立 , 务实数 a 的取值范围 ; (3) 设 n ∈ N +, 比较 g(1)+g(2)+ +g(n) 与 n-f(n)的大小 , 并加以证明 .分析由题设得 ,g(x)=(x ≥ 0).(1) 由已知得 ,g 1(x)= ,g 2(x)=g(g 1(x))= = ,g 3 (x)=, , 可得 g n (x)=.下边用数学概括法证明 .①当 n=1 时,g 1(x)=, 结论建立 .②假定 n=k 时结论建立 , 即 g k (x)=.那么 , 当 n=k+1 时 ,g k+1 (x)=g(g k (x))== = ,即结论建立 .由①②可知 , 结论对 n ∈ N +建立 . (2) 已知 f(x) ≥ ag(x) 恒建立 , 即 ln(1+x) ≥ 恒建立 .设 φ (x)=ln(1+x)-(x ≥ 0),即φ '(x)=-=,当 a≤ 1 时 , φ '(x) ≥0( 仅当 x=0,a=1 时等号建立 ), ∴φ (x) 在 [0,+ ∞ ) 上单一递加 , 又φ (0)=0,∴ φ (x) ≥0 在 [0,+ ∞ ) 上恒建立 ,∴ a≤ 1 时 ,ln(1+x)≥恒建立(仅当x=0时等号建立).当 a>1 时 , 对 x∈ (0,a-1] 有φ '(x)<0,∴ φ (x) 在 (0,a-1]上单一递减,∴ φ (a-1)<φ (0)=0.即 a>1 时 , 存在 x>0, 使φ (x)<0, 故知 ln(1+x)≥不恒建立, 综上可知 ,a 的取值范围是(- ∞ ,1].(3) 由题设知g(1)+g(2)++g(n)= + + +,n-f(n)=n-ln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)++g(n)>n-ln(n+1).证明以下 :证法一 : 上述不等式等价于+ + +<ln(n+1),在 (2) 中取 a=1, 可得 ln(1+x)>,x>0.令 x= ,n ∈ N+,则<ln.下边用数学概括法证明.①当 n=1 时, <ln2, 结论建立 .②假定当n=k 时结论建立 , 即 + + +<ln(k+1).那么 , 当 n=k+1 时 ,+ + ++<ln(k+1)+<ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论建立 .由①②可知 , 结论对 n∈ N+建立 .证法二 : 上述不等式等价于+ + +<ln(n+1),在 (2) 中取 a=1, 可得 ln(1+x)>,x>0.令 x= ,n ∈ N+, 则 ln>.故有 ln2-ln1>,ln3-ln2>,ln(n+1)-lnn>,上述各式相加可得ln(n+1)> + + + .结论得证 .教师用书专用 (5)5.(2014 重庆 ,22,12 分 ) 设 a =1,an+1 =+b(n ∈ N ).1*(1) 若 b=1, 求 a 2,a 3 及数列 {a n } 的通项公式 ;*(2) 若 b=-1, 问 : 能否存在实数c 使得 a <c<a建立 ?证明你的结论 .对全部 n ∈ N2n2n+1分析 (1) 解法一 :a 2=2,a 3= +1.由题设条件知 n+1 2 =(a n -1) 2 +1,(a -1)从而 {(a n -1) 2} 是首项为 0, 公差为 1 的等差数列 ,n2n*故 (a -1)=n-1, 即 a =+1(n ∈ N ).解法二 :a 2=2,a 3= +1,可写为 a 1=+1,a 2=+1,a 3=+1.所以猜想 n+1.a =下用数学概括法证明上式 : 当 n=1 时结论明显建立 .假定 n=k 时结论建立 , 即 a k = +1, 则 a k+1 =+1=+1=+1.这就是说 , 当 n=k+1 时结论建立 . 所以 a n = +1(n ∈ N * ).(2) 解法一 : 设 f(x)=-1, 则 a n+1=f(a n ).令 c=f(c), 即 c=-1, 解得 c= . 下边用数学概括法证明命题a 2n <c<a 2n+1<1.当 n=1 时 ,a 2=f(1)=0,a 3=f(0)= -1, 所以 a 2< <a 3<1,结论建立 .假定 n=k 时结论建立 , 即 a 2k <c<a 2k+1<1. 易知 f(x) 在 (- ∞,1] 上为减函数 , 从而 c=f(c)>f(a 2k+1)>f(1)=a 2, 即 1>c>a 2k+2>a 2.再由 f(x) 在 (- ∞,1] 上为减函数得 c=f(c)<f(a 2k+223<1. 2k+3所以 a 2(k+1)2(k+1)+1)<f(a )=a故 c<a <1,<c<a<1.这就是说 , 当 n=k+1 时结论建立 .综上 , 切合条件的 c 存在 , 此中一个值为 c= .解法二 : 设 f(x)=-1, 则 a n+1=f(a n ).*先证 :0 ≤ a ≤1(n ∈ N ). ①n当 n=1 时 , 结论明显建立 .假定 n=k 时结论建立 , 即 0≤a k ≤1. 易知 f(x) 在 (- ∞ ,1] 上为减函数 , 从而 0=f(1) ≤ f(a k ) ≤ f(0)=-1<1.即 0≤ a k+1≤ 1. 这就是说 , 当 n=k+1 时结论建立 . 故①建立 .再证 :a2n <a(n ∈ N ).②2n+1*当 n=1 时 ,a 2=f(1)=0,a3=f(a 2)=f(0)=-1, 有 a 2<a 3, 即 n=1 时②建立 .假定 n=k 时, 结论建立 , 即 a<a .2k2k+1由①及 f(x) 在 (- ∞ ,1] 上为减函数 , 得a =f(a2k )>f(a2k+1 )=a 2k+2,2k+1a =f(a 2k+1 )<f(a2k+2 )=a2(k+1)+1 .2(k+1)这就是说 , 当 n=k+1 时②建立 . 所以②对全部 n ∈N * 建立 .由②得 a 2n <-1,即 (a 2n +1) 2< -2a 2n +2,所以 a 2n < . ③又由①②及 f(x) 在 (- ∞ ,1] 上为减函数得 f(a 2n )>f(a 2n+1 ), 即 a 2n+1>a 2n+2,所以 a 2n+1>-1, 解得 a 2n+1> . ④综上 , 由②③④知存在 c= 2n2n+1*使 a <c<a对全部 n ∈ N 建立 .三年模拟A 组 2016— 2018 年模拟·基础题组考点一 直接证明与间接证明1.(2016 广东惠州第一次调研 ,12) 定义映照 f:A → B, 此中 A={(m,n)|m,n ∈R},B=R, 已知对全部的有序正整数对 (m,n) 知足以下条件 : ① f(m,1)=1; ②若 n>m,则 f(m,n)=0; ③ f(m+1,n)=n[f(m,n)+f(m,n-1)], 则 f(2,2)= . 答案 2 2.(2018 浙江萧山九中 12 月月考 ,20) 设函数 f(x)=lnx+a-1, 曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1))处的切线与直线y= x+1 平行 . (1) 求 a 的值 ;(2) 证明 : 当 x>1 时 ,f(x)< (x-1).分析 (1) ∵ f'(x)= +, ∴ f'(1)=1+= ,(5 分)∴ a=1.(6 分 )(2) 证明 : 设 g(x)=lnx+ -1- (x-1)=lnx+- x+ ,(8 分)则 g'(x)=+-==,(12分)当 x>1 时 , 有 g'(x)<0, 所以 g(x) 在区间 (1,+ ∞ ) 上是减函数 ,∴ g(x)<g(1)=0, 即 f(x)< (x-1).(15 分 )3.(2017 浙江测试卷 ,20) 设函数 f(x)=x2+,x ∈[0,1].证明 :(1)f(x) ≥ x 2- x+1;(2)<f(x) ≤.证明 (1) 记 g(x)=f(x)-x2+ -1= + -1,则 g'(x)=- + >0,x ∈(0,1),∴g(x) 在区间 (0,1) 上单一递加 ,又 g(0)=0, ∴ g(x)=f(x)-x 2-1+ ≥0,2∴ f(x) ≥ x - x+1.(2)f'(x)=2x- , 记h(x)=2x- ,由h(0)=- <0,h(1)=2- >0, 知存在x0∈(0,1), 使得h(x 0)=0, ∵h(x) 在 [0,1] 上是增函数 ,∴f(x) 在区间 (0,x 0) 上单一递减 , 在区间 (x 0,1) 上单一递加 ,又 f(0)=1,f(1)= , 所以 f(x) ≤,另一方面 , 由 (1) 适当 x≠时 ,f(x)2+1= + > , 且 f > , ≥ x -故<f(x) ≤.考点二数学概括法4.(2016 黑龙江哈尔滨三中模拟,10) 用数学概括法证明不等式“1+ + + +<n(n ∈ N* ,n ≥ 2) ”建即刻 , 由 n=k(k ≥2) 时不等式建立 , 推证 n=k+1 时 , 左侧应增添的项的个数是 ( )A.2 k-1B.2 k-1C.2 kD.2 k+1答案 C5.(2018 浙江 9+1 高中结盟期中 ,22) 已知数列 {a n} 知足 :a 1= ,p>1,a n+1=.(1) 证明 :a >a >1;nn+1(2) 证明 : <a < ;n+1(3) 证明 : ×<ln(a 1 a2a n)< ×.证明(1) 先用数学概括法证明a n>1.①当 n=1 时, ∵ p>1, ∴ a1= >1;②假定当 n=k 时 ,a k>1, 此时易证得lna k -a k +1<0 恒建立 , 即 lna k<a k-1 恒建立 , 则当 n=k+1 时 ,a k+1=>=1. 由①②可知a n>1.再证 a n>a n+1.a n+1-a n= -a n = ,令 f(x)=x-1-xlnx,x>1, 则 f'(x)=-lnx<0, 所以f(x) 在 (1,+ ∞ ) 上单一递减 , 所以f(x)<f(1)=0,所以<0, 即 a >a .n n+1所以 a n>a n+1>1.(5 分 )(2) 要证<a n+1< , 只要证< <, 只要证此中 a n>1,先证 2a n lna n- +1<0,令 f(x)=2xlnx-x 2+1,x>1, 只要证 f(x)<0.因为 f'(x)=2lnx+2-2x<2(x-1)+2-2x=0,所以 f(x) 在 (1,+ ∞ ) 上单一递减 , 所以 f(x)<f(1)=0. 再证 (a n+1)lna n-2a n+2>0,令 g(x)=(x+1)lnx-2x+2,x>1, 只要证 g(x)>0,g'(x)=lnx+ -2=lnx+ -1,令 h(x)=lnx+ -1,x>1, 则 h'(x)= - = >0,所以 h(x) 在 (1,+ ∞ ) 上单一递加 , 所以 h(x)>h(1)=0, 从而 g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞ )上单一递加,所以 g(x)>g(1)=0,综上可得<a n+1< .(10 分 )(3) 由 (2) 知, 一方面 ,a -1< (n ≥ 2), 则 a -1<(a1 -1) = ·(n ≥ 2),n=1 时 ,a -1=·,n n 1 因为 lnx<x-1(x>1), 所以 lna <a -1 ≤ ·,n n所以 ln(a 1a2a n)=lna 1+lna 2 + +lna n<= ×= ×;另一方面 , > ,则> ×= ·(n ≥ 2),n=1 时 , ==·.因为 lnx>1- (x>1), 所以 lna n>1- ≥·,所以 ln(a a a )=lna +lna + +lna > + + +1 2 n 1 2 n= ×.综上 , ×<ln(a a a )< ×.(15 分 )1 2 nB 组2016— 2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2016 福建厦门一中期中 ,12) 若数列 {a n } 知足 : 存在正整数 T, 对于随意正整数 n 都有 a n+T =a n 建立 , 则称数列 {a n } 为周期数列 , 周期为 T. 已知数列 {a n } 知足 a 1=m(m>0),a n+1= 则以下结论中错误的选项是 ()A. 若 a 3=4, 则 m 能够取 3 个不一样的值B. 若 m= , 则数列 {a } 是周期为 3 的数列nC. 随意的 T ∈ N * 且 T ≥2, 存在 m>1,使得 {a n } 是周期为 T 的数列D. 存在 m ∈Q 且 m ≥ 2, 使得数列 {a } 是周期数列n答案 D二、解答题n+1-a n )+a n +nln2=0(n ∈ N * ).2.(2018 浙江要点中学 12 月联考 ,22) 已知数列 {a n } 知足 :a 1=0,ln(a(1) 求 a ;3(2) 证明 :ln(2-2 1-n ) ≤ a n ≤ 1-2 1-n ; (3) 能否存在正实数 c, 使得对随意的 n ∈N * , 都有 a n ≤1-c? 并说明原因 . 分析(1) 由已知得 a n+1=a n +,又 a 1=0, 所以 a 2= ,a 3= +.(2 分 )(2) 证明 : 因为 a n+1>a n ,a 1=0, 所以 a n ≥ 0, 则 a n+1=a n +≤ a n +e -nln2 =a n +2-n ,所以 a n ≤ a n-1 +2-(n-1) ≤a n-2 +2-(n-2) +2-(n-1) ≤ ≤ a 1+2-1 + +2-(n-2) +2-(n-1) =1-2 1-n .(5 分 )令 f(n)=+21-n -2,则f(n+1)-f(n)=(-n-(n-1)-2]=- -2 -n--n= [-n+2 -2)-[+2=-2-1]-2 >-2 -n=0,所以 {f(n)} 是递加数列 , 所以 f(n) ≥ f(1)=0, 即+21-n -2 ≥ 0, 所以 a n ≥ ln(2-2 1-n ). 综上 ,ln(2-21-n) ≤ a n ≤1-2 1-n .(8 分 )(3) 由 (2) 得 a n+1=a n +≤ a n +=a n + ,(10 分 )所以 a ≤ an-1 +≤an-2 ++≤ ≤ a ++ ++=+ ++.(12 分)n1因为 =≤(n ≥ 3),所以当 n ≥4 时 ,a n ≤ + + + += + +< .由 (1) 知 : 当 n=1,2,3 时 ,a n < ,综上 : 对随意的 n ∈ N * , 都有 a n < , 所以存在 c= .(15 分 )3.(2017 浙江镇海中学模拟 (5 月 ),22) 已知在数列 {a } 中 ,a = ,a= -2a n +2,n ∈N , 其前 n 项和为 S .n1n+1*n(1) 求证 :1<a n+1 n<a <2;(2) 求证 : ≤ a n≤;(3) n求证 :n<S <n+2.证明(1) 先用数学概括法证明1<a n<2.①当 n=1 时,1<a 1= <2,②假定当n=k 时 ,1<a k<2.则当 n=k+1 时 ,a k+1= -2a k+2=(a k-1) 2+1, 又 a k∈ (1,2),所以a k+1∈ (1,2).由①②知1<a n<2,n ∈ N*恒建立 .a n+1-a n= -3a n+2=(a n-1)(a n-2)<0.所以 1<a n+1<a n<2 建立 .(2)a 1= = ,a 2= > , 当 n≥ 3 时 , <1, 又 1<a n<2, 所以 a n≥. 由 a n+1= -2a n+2 得 2-a n+1=2a n- ,即= < ,所以-1< ,所以-1< = ,所以 a < *(n ≥ 2,n ∈ N ),n1 = n≤*当 n=1 时 ,a , 所以 a (n ∈ N ).所以≤ a n≤.(3) 由 1<a n<2 得 S n>n.由 a n≤=1+ <1+ ,得S n< + + + =n+ =n+2 <n+2, 故n<S n<n+2.4.(2017 浙江温州三模(4 月 ),20) 设函数f(x)=4x 3+ ,x ∈ [0,1], 证明 : (1)f(x) ≥ 1-2x+3x 2;(2) <f(x) ≤.证明(1) 令函数 g(x)=(1+x) 2 (1-2x+3x2-4x 3),x∈ [0,1],(23则 g'(x)=-20(1+x)x≤0(等号建立当且仅当x=0),(4分)分 )故 g(x) 在 [0,1] 上单一递减 , 于是 g(x) ≤g(0)=1,即当 x∈ [0,1]时,(1+x)2(1-2x+3x2-4x3)≤ 1,2亦即 f(x) ≥ 1-2x+3x ;(6分)(2) 一方面 , 由 (1) 知 , 当 x∈ [0,1]时,f(x)≥ 1-2x+3x2=3+ ≥ , 但上述两处的等号不可以同时建立,故 f(x)> .(10 分 )另一方面 ,f'(x)=12x 2- = ,(12 分 )明显函数 h(x)=6x 2(1+x) 3-1 在 [0,1] 上单一递加 , 而 h(0)=-1<0,h(1)=47>0, 故 h(x) 在 (0,1) 内存在独一的零0点 x ,即 f'(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈ (x0,1)时,f'(x)>0,故 f(x) 在 (0,x 0) 内单一递减 , 在 (x 0,1) 内单一递加 ,(14 分 )所以在 [0,1]上,f(x)≤ max{f(0),f(1)}=max=.综上 , <f(x)≤.(15分)5.(2017 浙江台州期末质量评估,22) 已知数列 {a } 知足 :a = ,a = *+a (n ∈ N ).n 1 n+1 n(1)求证 :a n+1>a n;(2)求证 :a 2017<1;(3)若 a n>1, 求正整数 n 的最小值 .分析(1) 证明:由a n+1-a n= ≥0, 得a n+1≥ a n.因为a1= , 所以a n≥, 所以a n+1-a n= >0,所以a n+1>a n.(2) 证明 : 由已知得= = - ,所以= - .则= - ,= -,*=- (n ≥ 2,n ∈N),累加可得- =++ +(n ≥ 2,n ∈ N* ).由 (1) 得 =a1<a2<a3< <a2016 ,所以- = + + + <2016×=1.所以 a2017<1.(3) 由 (2) 得 =a1<a2<a3< <a2017<1,所以- = + + + >2017×=1.所以 a 2017 2018 n+1 n<1<a , 又因为 a >a ,所以 n 的最小值为2018.C 组2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1反证法的解题策略1. 等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n,a 1=1+ ,S 3=9+3.(1)求数列 {a n} 的通项 a n与前 n 项和 S n;(2) 设 b n= (n ∈ N* ), 求证 : 数列 {b n} 中随意不一样的三项都不行能成为等比数列.分析(1) 因为∴ d=2,故 a n=2n-1+,S n=n(n+).(2) 证明 : 由(1) 得 b n= =n+.假定数列 {b n} 中存在三项b p、 b q、b r (p 、 q、 r 互不相等 ) 成等比数列 , 则=b p b r , 即 (q+ ) 2=(p+ )(r+), ∴ (q 2-pr)+(2q-p-r)=0.∵p、 q、 r ∈ N* , ∴∴=pr, 即 (p-r)2=0,∴p=r,与p≠r矛盾.∴数列 {b n} 中随意不一样的三项都不行能成为等比数列.方法 2数学概括法的解题策略2. 设数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 且方程 x2-a n x-a n=0 有一根为S n-1,n ∈ N* .(1)求 a1,a 2;(2)求数列 {a n} 的通项 .分析 (1) 当 n=1 时 ,x 2-a 1x-a 1=0 有一根为 S1 -1=a 1-1,于是 (a -1) 2 =0, 解得 a = .-a (a -1)-a1 1 1 1 1当 n=2 时 ,x 2-a 2x-a 2=0 有一根为 S2-1=a 2- ,于是-a 2-a 2=0, 解得 a2= .(2) 由题意得 (S n-1) 2-a n(S n-1)-a n=0,即 -2S n+1-a n S n=0.当 n≥ 2 时 ,a n=S n-S n-1 , 代入上式得S n-1 S n-2S n+1=0, ①由 (1) 知 S1=a1= ,S 2=a1+a2= + = .由①可得S3= . 由此猜想S n=,n=1,2,3,.下边用数学概括法证明这个结论.(i)当 n=1 时结论建立 .(ii) 假定 n=k(k ≥ 1) 时结论建立 , 即 S k=,当 n=k+1 时, 由①得 S k+1 =, 即 S k+1=,故 n=k+1 时结论也建立 .由 (i)(ii) 可知 S n= 对全部正整数n 都建立 .于是当 n≥2 时 ,a n=S n-S n-1 =- = ,又 n=1 时 ,a = = 知足上式 , 所以 {a } 的通项公式为 a = ,n=1,2,3,.1 n n。
浙江新高考学考考纲考试标准数学学考选考标准
数学一、考试性质与对象浙江省普通高中数学学业水平考试是在教育部指导下，由省教育行政部门组织实施的全面衡量普通高中学生数学学业水平的考试。
考试成绩是普通高中学生毕业的基本依据之一，也是高校招生录取和用人单位招聘的重要参考依据。
浙江省普通高中数学学业水平考试实行全省统一命题、统一施考、统一阅卷、统一评定成绩，每年开考2次。
考试的对象是2014年秋季入学的高中在校学生，以及相关的往届生、社会人员和外省在我省异地高考学生。
二、考核目标、要求与等级(一)考核目标普通高中数学学业水平考试是全面考察和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到《课程标准》所规定的基本要求和所必须具备的数学素养的检测考试。
(二)考核要求根据浙江省普通高中学生文化素质的要求，数学学业水平考试面向全体学生，有利于促进学生全面、和谐、有个性的发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的正确导向作用。
突出考查数学学科基础知识、基本技能和基本思想方法，考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力。
关注数学学科的主干知识和核心内容，关注数学学科与社会的联系，贴近学生的生活实际。
充分发挥数学作为主要基础学科的作用，既考查中学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查对数学思想方法、数学本质的理解水平．全面检测学生的数学素养。
1．知识要求知识是指《教学指导意见》所规定的必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法。
对知识的要求从低到高分为四个层次，依次为：了解、理解、掌握、综合应用，其含义如下：(1)了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，能记住和识别数学符号、图形、定义、定理、公式、法则等有关内容，并能按照一定的程序和步骤模仿，进行直接应用。
这一层次所涉及的主要行为动词有：了解、知道、识别、模仿、会求、会解等。
(2)理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识．知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明，用数学语言表达，利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，有利用所学知识解决简单问题的能力。
高考理科数学一轮总复习课标通用版课件：第2章函数2-4
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高考总复习/新课标版 数学·理
[强化训练 1.1] 已知 y＝f(x)是二次函数，且 f(－32＋x)＝f(－23－x)对 x∈R 恒成立，f(－ 32)＝49，方程 f(x)＝0 的两实根之差的绝对值等于 7.求此二次函数的解析式．
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高考总复习/新课标版
答案
1．(1)ax2＋bx＋c (2)a(x－h)2＋k
(3)a(x－x1)(x－x2) 2．(1)－2ba (2)(－2ba，4ac4－a b2) (3)向上 向下 (4)[4ac4－a b2，＋∞) (－∞，4ac4－a b2]
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02 函数的概念、基本初等函数 (Ⅰ)及函数的应用
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§2.4 二次函数
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2．(教材改编)若函数 f(x)＝4x2－kx－8 在区间[5，20]上是单调函数，则实数 k 的取 值范围是________．
解析：二次函数的对称轴方程是 x＝8k，
故只需8k≤5 或8k≥20，即 k≤40 或 k≥160. 故所求 k 的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞) 答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)
高考数学《复数》考纲要求
第十五章 数系的扩充——复数考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．基本方法与数学思想1．概念：⑴z=a+bi ∈R ⇔b=0 (a,b ∈R)⇔z=z ⇔ z 2≥0；⑵z=a+bi 是虚数⇔b ≠0(a,b ∈R)；⑶z=a+bi 是纯虚数⇔a=0且b ≠0(a,b ∈R)⇔z ＋z ＝0（z ≠0）⇔z 2<0；⑷a+bi=c+di ⇔a=c 且c=d(a,b,c,d ∈R)；2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R)，则：（1） z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i ；⑵ z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i ；⑶z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ;3．几个重要的结论：222221221221)2();(2)1(z z z z z z z z z z ==⋅+=-++；⑶i i 2)1(2±=±；⑷;11;11i i i i i i -=+-=-+ ⑸i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i（6）i 2321±-=ω 以3为周期，且1,,1320===ωωωω；21ωω++=0； （7）z z z z z 111=⇔=⇔=。
高考考纲单词
高考考纲单词1. 英语考纲单词：- communication 交流- globalization 全球化- innovation 创新- technology 技术- environment 环境- economy 经济- education 教育- population 人口- development 发展- employment 就业2. 数学考纲单词：- equation 方程- function 函数- trigonometry 三角函数- geometry 几何- calculus 微积分- algebra 代数- statistics 统计学- probability 概率- theorem 定理- variable 变量3. 物理考纲单词：- energy 能量- motion 运动- force 力- velocity 速度- acceleration 加速度 - gravity 重力- electricity 电力- magnetism 磁力- wavelength 波长- frequency 频率4. 化学考纲单词：- atom 原子- molecule 分子- chemical 化学的- reaction 反应- element 元素- compound 化合物- acid 酸- base 碱- reaction rate 反应速率 - balance 平衡5. 生物考纲单词：- organism 有机体- cell 细胞- DNA 脱氧核糖核酸 - evolution 进化- genetics 遗传学- metabolism 新陈代谢 - reproduction 繁殖- ecology 生态学- species 物种- ecosystem 生态系统。
2024广东高职高考数学考纲
2024年广东高职高考数学考试大纲**一、函数、极限与连续**1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 了解函数的单调性、奇偶性和周期性。
3. 掌握基本初等函数的性质及其图形。
4. 理解极限的概念，掌握求极限的方法。
5. 理解函数的连续性，会判断连续和间断点。
**二、一元函数微分学**1. 理解导数的概念及几何意义，会求常见函数的导数。
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
3. 理解函数的极值和最值的概念，掌握求极值和最值的方法。
4. 了解曲线的切线方程，会求曲线的切线方程。
**三、一元函数积分学**1. 理解定积分的概念，掌握不定积分和定积分的计算方法。
2. 理解积分中值定理，掌握定积分的性质。
3. 会计算定积分在平面区域上的面积。
4. 了解定积分的几何意义，会求曲线的长度、曲边梯形的面积。
**四、空间解析几何与向量代数**1. 理解空间直角坐标系，掌握向量的表示及运算。
2. 理解向量的数量积、向量积和混合积，会求向量的模长及两向量的夹角。
3. 了解向量的向量积和混合积的几何意义，会求向量的向量积和混合积。
4. 理解平面的方程，会求平面的方程。
5. 理解空间直线和曲线的方程，会求空间直线和曲线的方程。
**五、多元函数微分学**1. 理解多元函数的概念，会求多元函数的定义域。
2. 理解偏导数的概念，掌握偏导数的计算方法。
3. 理解多元函数极值和条件极值的求法。
4. 了解多元函数梯度的概念及计算方法。
**六、多元函数积分学**1. 理解二重积分的概念，掌握二重积分的计算方法。
2. 会计算三重积分和曲线积分。
3. 会计算面积分和体积分。
4. 了解格林公式和斯托克斯公式。
**七、常微分方程**1. 了解微分方程的概念，掌握微分方程的解法。
2. 会解一阶常微分方程和二阶线性微分方程。
3. 会解简单的一阶微分方程组。
4. 了解微分方程在经济、物理等领域的应用。
**八、线性代数与矩阵**1. 理解行列式的概念及计算方法。
高考数学考纲解读
的数学能力.抽象概括能力、推理论证能力、 空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力 以及应用意识和创新意识在试卷中都得到了较 好的考查. 2.突出通性通法
全国卷注重对数学通性通法的考查，试题 以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是 解决这一类题的通用方法，也即一解多题.
识、基本技能、基本方法，例如集合、复 数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、 算法、二项式定理、排列组合等都是直接 考查基础知识和基本方法的试题，考的频 次非常高.
2.考查主干内容 全国卷强调对主干内容的重点考查，体
现了对数学知识的全面性、基础性和综合 性.在解答题中重点考查函数、导数、三角 函数、概率统计、数列、立体几何、直线 与圆锥曲线等主干内容.
4，8，16，…，其中第一项是 20 ，接下来的两项是 20,21 ，再接下
来的三项是 20,21,22 ，依此类推.求满足如下条件的最小整数
N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂，那么该款软件
的激活码是
A.440
B.330
C.220
D.110
五 注重试题的技巧性优解，突出 选拔功能
解法二：
解法三：
解法四
例3 （2019益阳高三调研12）
设函数 f (x) x3 3x2 ax 5 a ，若存在唯一的正整数
x0 使得 f (x0 ) 0 ，则 a 的取值范围是
A.
0,
1 3
B.
1 3
,
5 4
C.
1 3
,
3 2
已知函数 f x ln x x2与g x x 22 1 m 的
2019年《·高考总复习》数学：第三章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式
9
考点 1 给角求值问题
例 1：(1)(2015 年新课标Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝( )
A.－
3 2
3 B. 2
C.－12
1 D.2
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.故
选 D.
答案：D
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金 榜题名！
14
考点 2 给值求值问题 例 2：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝________.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金 榜题名！
15
解析：由题意 sinθ＋π4＝35，
得
cos
θ＋π4 ＝
4 5
.∴
cos
π4－θ
＝
sin
θ＋π4＝
3 5
，
sin
π4－θ ＝
cosθ＋π4＝45.∴tanθ－π4＝－tanπ4－θ＝－csoinsπ4π4－－θθ＝－3545＝
101°－＋cos3s8i0n°10°＝
2cos10°－60° 2sin240°
＝
2cos 50°＝ 2sin 40°
2.
答案： 2
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金 榜题名！
12
(4)计算：tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°＝________. 解析：tan(20°＋40°)＝1t－ant2a0n°2＋0°ttaann4400°°，可得 3－ 3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°，移项，可得 tan 20°＋tan 40° ＋ 3tan 20°tan 40°＝ 3.
2019年《·高考总复习》数学：第七章 第1讲 直线的方程
截距式
ax＋by＝1(ab≠0)
不含垂直于坐标轴和 过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 零)
平面直角坐标系内的 直线都适用
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
5
4.过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若 x1＝x2，且 y1≠y2， 则 直 线 垂 直 于 x 轴 ， 方 程 为 _____x_＝__x_1_________. (2) 若 x1≠x2 ， 且 y1 ＝ y2 ， 则 直 线 垂 直 于 y 轴，方程为 ______y_＝__y1_________. (3)若 x1≠x2，且 y1≠y2，直线方程为yy2－－yy11＝xx2－－xx11.
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
14
【规律方法】请注意本题是指直线 l 与线段 AB(而不是直线
AB)有公共点.首先求出直线 PA ，PB 的斜率(边界)，然后数形结
合利用倾斜角及斜率的变化规律得出斜率的取值范围；也可以 利用特殊值法选定结果，如 kPA＝5，kPB＝－12，最终的结果只可 能是－12，5或－∞，－12∪[5，＋∞)两种情形，过点 P 作 x 轴的平行线(k＝0)，此直线显然不合题意，即斜率的取值范围内 不应含 0，故应为－∞，－12∪[5，＋∞).
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
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5.线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的
x1＋x2
中点 M 的坐标为(x，y)，则x＝
2
，
y1＋y2
y＝
2
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23分类讨论思想、转化与化归思想(热点难点突破)文(含解析)
2.设函数 f(x)＝32xx，－x1≥，1x，<1， 则满足 f(f(a))＝2f(a)的 a 的取值范围是(
)
A.23，1 B.[0，1] C.23，＋∞ Df(a)得 f(a)≥1.
当 a<1 时，有 3a－1≥1，
ln x，x＞0，
7.已知函数 f(x)＝mx，x<0，
若 f(x)－f(－x)＝0 有四个不同的实根，则 m 的取值范围是( )
A.(0，2e) C.(0，1)
B.(0，e)
D.0，1e
8.已知函数 f(x)＝x(ex－e－x)－cos x 的定义域为[－3，3]，则不等式 f(x2＋1)>f(－2)的解集为( ) A.[－ 2，－1] B.[－ 2， 2] C.[－ 2，－1)∪(1， 2] D.(－ 2，－1)∪(1， 2) 答案 C 解析 因为 f(－x)＝－x(e－x－ex)－cos(－x)＝x(ex－e－x)－cos x＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，令 g(x) ＝xex－e1x，易知 g(x)在[0，3]上为增函数，令 h(x)＝－cos x，易知 h(x)在[0，3]上为增函数，故函数 f(x)＝x(ex－e－x)－cos x 在[0，3]上为增函数，所以 f(x2＋1)>f(－2)可变形为 f(x2＋1)>f(2)，所以 2<x2 ＋1≤3，解得－ 2≤x<－1 或 1<x≤ 2，故不等式 f(x2＋1)>f(－2)的解集为[－ 2，－1)∪(1， 2]. 9.已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a＋b＝________.
解得a＝12， b＝－2，
所以 a＋b＝－32.
10.设
辽宁高考数学考纲
辽宁高考数学考纲
辽宁省高考数学考纲内容如下：
一、数与代数
1. 整式的加减与乘法运算、整式的因式分解与乘法公式；
2. 多项式及其运算、多项式的因式分解；
3. 一元二次方程及其根与系数之间关系、一元二次方程的解法；
4. 一元二次方程与一元二次不等式的应用；
5. 一元三次及以上的整式方程与不等式。
二、函数与计算
1. 二次函数的图像、性质与应用；
2. 指数函数、对数函数的性质与应用；
3. 幂函数、反比例函数的性质与应用；
4. 求函数的零点、单调性与最值；
5. 函数的运算与复合；
6. 函数的应用问题。
三、平面向量与几何证明
1. 平面向量及其运算、向量的数量积；
2. 向量的应用问题；
3. 平面几何基本概念与性质；
4. 相似与全等的判定；
5. 三角形几何关系的证明；
6. 三角形与圆的性质及应用。
四、立体几何与解析几何
1. 空间向量的表示与运算；
2. 立体几何基本概念与计算；
3. 空间几何关系的证明；
4. 空间中的位置关系；
5. 平面方程与直线方程；
6. 圆锥与圆柱的性质与计算。
五、概率与统计
1. 事件与概率的计算；
2. 随机变量的概率分布与期望值；
3. 抽样与统计；
4. 正态分布的性质与应用；
5. 误差分析的基本方法。
以上内容为辽宁省高考数学考纲的大致内容，具体考点和难度以当年的高考真题为准。
新课标高考数学考纲
新课标高考数学考纲一）命题指导思想1.命题应依据教育部《普通高中数学课程标准（实验）》和《2007年普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲》（待发），并结合我省普通高中数学教学实际，体现数学学科的性质和特点。
2.命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想、数学方法、数学能力，体现知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求。
3.命题既要实现平稳过渡，又要体现新课程理念。
4.注重试题的创新性、多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性。
5.命题要坚持公正、公平原则。
试题要切合我省中学数学教学实际，数学问题的难度、问题的情景等要符合考生的实际水平。
应用题要“贴近生活，背景公平，控制难度”。
6.命题要注意必修内容和选修内容的有机联系与适当差异，注重数学学科知识的内在联系。
7.试卷要有较高的信度、效度和必要的区分度以及适当的难度，难度系数控制在0.55—0.65之内。
（二）知识和能力要求1．知识要求对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是感知和了解、理解和掌握、灵活和综合运用，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求。
(1)感知和了解：要求对所学知识的含义有初步的了解和感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中识别、模仿、描述它。
(2)理解和掌握：要求对所学知识内容有较为深刻的理论认识，能够准确地刻画或解释、举例说明、简单变形、推导或证明、抽象归纳，并能利用相关知识解决有关问题。
(3)灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能灵活运用所学知识分析和解决较为复杂的或综合性的数学现象与数学问题。
2．能力要求能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力以及实践能力和创新意识。
(1)运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径。
(2)数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能抽取对研究问题有用的信息，并作出正确的判断；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
2024年高考四川数学考纲
2024年高考四川数学考纲摘要：1.2024年四川高考数学考纲概述2.数学试卷结构与题型分布3.考试要求与难度等级4.备考策略与建议正文：一、2024年四川高考数学考纲概述根据教育部颁布的《2024年普通高等学校招生全国统一考试大纲》，四川高考数学试卷分为理科数学和文科数学两个类别。
本文将对2024年四川高考数学考纲进行详细解析，以帮助广大考生更好地备战高考。
二、数学试卷结构与题型分布1.理科数学：（1）选择题：12题，每题6分，共计72分。
（2）填空题：10题，每题6分，共计60分。
（3）解答题：8题，每题20分，共计160分。
2.文科数学：（1）选择题：10题，每题6分，共计60分。
（2）填空题：8题，每题6分，共计48分。
（3）解答题：6题，每题20分，共计120分。
三、考试要求与难度等级1.理科数学：（1）基础知识：掌握数学基础知识，包括代数、几何、三角、概率与统计等内容。
（2）解题能力：能运用数学公式、定理、性质解决题目，具备一定的数学思维能力。
（3）计算能力：熟练掌握各类计算方法，保证计算准确率。
2.文科数学：（1）基础知识：掌握数学基础知识，包括代数、几何、三角、概率与统计等内容。
（2）解题能力：能运用数学公式、定理、性质解决简单题目，具备一定的数学思维能力。
（3）计算能力：熟练掌握基本计算方法，保证计算准确率。
四、备考策略与建议1.制定合理的学习计划，确保复习进度。
2.立足教材，打牢基础知识。
3.针对性地进行题型训练，提高解题速度和准确率。
4.定期进行模拟考试，检验复习成果，调整学习方法。
5.保持良好的心态，积极面对高考挑战。
总之，了解2024年四川高考数学考纲对于考生至关重要。
通过掌握考纲要求，合理制定备考策略，相信广大考生定能取得优异的成绩。
数学目录(文科)-高考考纲范围
（44）椭圆
（45）双曲线
（46）抛物线
（47）直线与圆锥曲线
（48） 随机抽样
（49）用样本估计总体
（50）变量间的相关关系、统计案例
（51） 随机事件的概率
（52）古典概型
（53）几何概型
（54） 合情推理与演绎推理
（55）直接证明与间பைடு நூலகம்证明
（56）算法与程序框图
（57）复数
（58） 选修4-4坐标系与参数方程
（34）基本（均值）不等式及应用
（35） 空间几何体的结构特征、三视图、直视图
（36）空间几何体的表面积、体积
（37）空间点、直线、平面之间的位置关系
（38）直线、平面平行的判定与性质
（39）直线、平面垂直判定与性质
（40） 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
（41）两直线的位置关系
（42）圆的方程
（43）直线与园、圆与圆的位置关系
（1） 集合及其运算
（2）命题及其关系、充分条件与必要条件
（3）简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
（4） 函数及其表示
（5）函数的单调性与最值
（6）函数的奇偶性与周期性
（7）二次函数与幂函数
（8）指数与指数函数
（9）对数与对数函数
（10）函数的图像
（11）函数与方程
（12）函数模型及应用
（13） 变化率与导数、导数的计算
（23）解三角形应用举例
（24） 平面向量的概念及线性运算
（25）平面向量基本定理及坐标表示
（26）平面向量的数量积
（27）平面向量应用举例
（28） 数列的概念与简单表示
（29）等差数列及前n项和
第6章 第1节 数列的概念与简单表示法-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
6．已知数列{an}满足：an＝1－an1＋1，且 a1＝2，则 a2 019 1
＝____2____． 解析 由 an＝1－an1＋1可得 an＋1＝1－1an，结合 a1＝2，得
a2＝1－1 a1＝－1，a3＝1－1a2＝12，a4＝1－1a3＝2＝a1，所以数
列{an}是周期为 3 的周期数列，则 a2 019＝a3＋3×672＝a3＝12.
教材拓展
求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即 用aann≥ ≥aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)或aann≤ ≤aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)求解， 也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．
基础自测
◇疑误辨析
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1) 相 同 的 一 组 数 按 不 同 顺 序 排 列 时 都 表 示 同 一 个 数
① ②
显然当 n＝1 时不满足上式．
2，n＝1， ∴an＝ 2n－1，n≥2.
n
►规律方法 数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an ＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2. (1)当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－Sn－1，则 n＝1 的情况可并 入 n≥2 时的通项 an； (2)当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的 形式表示．
n2＋n＋2 [例 2] 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝____2____．
[ 解析] 由条件知 an＋1－an＝n＋1． 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋ 3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋n＋2．
周期性
数学高考大纲详细讲解2024年版
数学高考大纲详细讲解2024年版2024年版数学高考大纲在内容和难度上有一些微调和更新，旨在更好地评估学生数学素养的全面发展。
本文将详细讲解2024年版数学高考大纲的内容，并提供一些备考建议。
一、考试结构2024年版数学高考分为两个版本：必修版和选修版。
必修版适用于所有考生，而选修版仅适用于选择了相应选修课程的考生。
各个版本的考试结构如下：1. 必修版考试结构- 第一部分: 选择题，共20个题目。
每个题目有4个选项，其中只有一个是正确的。
每题4分，总分80分。
- 第二部分：解答题，共10个题目。
其中选择8个题目作答，每题10分，总分80分。
- 第三部分：综合应用题，共2个题目。
每题20分，总分40分。
总分：200分。
2. 选修版考试结构- 第一部分: 选择题，共20个题目。
每个题目有4个选项，其中只有一个是正确的。
每题4分，总分80分。
- 第二部分：解答题，共12个题目。
其中选择10个题目作答，每题10分，总分100分。
- 第三部分：综合应用题，共3个题目。
每题20分，总分60分。
总分：240分。
二、考试内容1. 必修版考试内容必修版考试内容包括以下三个模块：- 初等数学：包括数与式、函数与方程、图形与变换、三角函数、概率与统计等内容。
- 高等数学：包括数列与极限、导数与微分、函数与积分、常微分方程等内容。
- 应用数学：包括空间解析几何、矩阵与变换、概率与统计、数理逻辑等内容。
2. 选修版考试内容选修版考试内容基于必修版内容，增加了以下两个选修模块：- 数学与实践：重点关注数学的实际应用场景，包括金融数学、数据分析、运筹学等内容。
- 数学研究：通过引导学生进行数学研究，培养学生的数学思维和创新能力。
学生需要选择一个研究方向，并完成一份研究报告。
三、备考建议1. 掌握基础知识：核心内容仍然是必修版的数学知识点，考生需要充分掌握基础知识，并深入理解概念和原理。
2. 高效备考：根据自己的实际情况，制定合理的备考计划。
2024新高考数学考纲
2024年新高考数学考纲一、数学基础知识数学基础知识是高考数学考试的重要内容，涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面。
考生需要掌握以下内容：1. 代数部分：（1）函数：包括函数的定义、函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数的应用等。
（2）数列：包括等差数列、等比数列的通项公式、求和公式等。
（3）不等式：包括不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明等。
（4）解析几何：包括直线、圆、椭圆、双曲线的方程和性质等。
2. 几何部分：（1）平面几何：包括三角形、四边形、圆等图形的性质和判定等。
（2）立体几何：包括空间点、线、面的关系，空间几何体的性质和判定等。
3. 概率与统计部分：（1）概率：包括事件的概率、独立事件的概率、条件概率等。
（2）统计：包括数据的收集、整理、分析、描述等。
二、几何与空间几何与空间部分主要考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力，考生需要掌握以下内容：1. 平面几何：包括三角形的重心坐标、四边形的对角线长度相等、圆的半径相等等基本性质。
2. 立体几何：包括空间点、线、面的关系，空间几何体的性质和判定等。
在解题过程中，考生需要能够将几何问题转化为代数问题，运用方程的思想解决几何问题。
3. 解析几何：包括直线与圆的位置关系，椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质等。
在解题过程中，考生需要能够将几何问题转化为代数问题，运用方程的思想解决几何问题。
4. 空间向量：包括空间向量的加减运算、数乘运算、数量积运算等基本运算规则。
在解题过程中，考生需要能够运用空间向量的运算规则解决空间位置关系问题。
5. 图形变换：包括平移变换、旋转变换等基本变换规则。
在解题过程中，考生需要能够运用图形变换的规则解决几何作图和判断问题。
6. 圆的性质：包括圆的标准方程、一般方程和参数方程的求法，直线与圆的位置关系等。
在解题过程中，考生需要能够运用圆的性质解决直线与圆的位置关系问题。
高考文科数学考纲——新课标
Ⅲ．考核目标与要求一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是知道（了解、模仿）、理解（独立操作）、掌握（运用、迁移），且高一级的层次要求包括低一级的层次要求．1．知道（了解、模仿）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.2．理解（独立操作）：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等.3．掌握（运用、迁移）：要求能够对所列的知识内容能够推导证明，利用所学知识对问题能够进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.二、能力要求能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.1．空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.2．抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.3．推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.4．运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.5．数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.6．应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.7．创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.三、个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.四、考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构．对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活．因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主题．对能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料．对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．对能力的考查，以思维能力为核心．全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合学生实际．运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是对算理合逻辑推理的考查，以含字母的式的运算为主．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，考查时注意与推理相结合．实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决．命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要结合中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考试自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识．创新意识和创造能力是理想思维的高层次表现．在数学的学习和研究过程中，知识的迁移、组合、融会的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创造意识也就越强．命题时要注意试题的多样性，涉及考查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，探究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现创新意识、发挥创造能力创设广阔的空间．Ⅳ、考试范围与要求（一）必考内容与要求1．集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.2．函数概念与基本初等函数Ⅰ（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.④理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.⑤会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10,1/2，1/3的指数函数的图像.④体会指数函数是一类重要的函数模型.（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，1/2的对数函数的图像.③体会对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数与对数函数（a＞0，且a≠1）互为反函数.（4）幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数的图像，了解它们的变化情况.（5）函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.3．立体几何初步（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（2）点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.4．平面解析几何初步（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（2）圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.（3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.②会推导空间两点间的距离公式.5．算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想.②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6．统计（1）随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差（不要求记忆公式）.③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）.7．概率（1）事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.8．基本初等函数Ⅱ（三角函数）（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念.②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.②能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性.③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大和最小值以及与轴交点等）.理解正切函数在区间（）的单调性.④理解同角三角函数的基本关系式：⑤了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响.⑥会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.9．平面向量（1）平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.③理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义.②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（4）平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（5）向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.10．三角恒等变换（1）两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.11．解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(2) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.12．数列（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.13．不等式（1）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）基本不等式：①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.14．常用逻辑用语①理解命题的概念.②了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.④了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.⑤理解全称量词与存在量词的意义.⑥能正确地对含有一个量词的命题进行否定.15．圆锥曲线与方程①掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.③了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.④理解数形结合的思想.⑤了解圆锥曲线的简单应用.16．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景.②通过函数图像直观理解导数的几何意义.③能根据导数定义，求函数y=C(C为常数)，的导数.④能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.常见基本初等函数的导数公式：(C为常数)；, n∈N+；；;;;.（a>0,且a≠1）常用的导数运算法则：法则1法则2法则3⑤了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.⑥了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.⑦会利用导数解决实际问题.17．统计案例①通过典型案例了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题.②通过典型案例了解独立性检验的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题.18．合情推理与演绎推理①了解合情推理的含义，能利用简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.②了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单推理.③了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.④了解反证法的思考过程和特点.19．数系的扩充与复数的引入①理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.②了解复数的代数表示法及其几何意义.③能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.20．框图①通过具体实例进一步认识程序框图.②通过实例了解工序流程图.。
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2019年湖北省技能高考数学考纲解读
陈红春
一、考试要求数学科目考试的宗旨是：测试考生的中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查考生的中学数学基本运算能力、逻辑思维能力、运用所学知识分析和解决简单问题的能力．考试要求按照知识要求从低到高分为如下三个层次：
1．了解：初步知道知识的含义及其简单运用．
2．理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等），以及与其他相关知识的联系．3．掌握：能够运用知识的概念和规律去解决一些问题．
二、考试内容与考核要求
第 1 章集合与充要条件
1．理解集合，元素，数集，空集，有限集，无限集，子集，真子集，集合相等，交集，并集，全集，补集，充分条件，必要条件，充要条件的概念.
2．了解元素与集合的字母表示及其关系符号.
3．掌握常用数集（自然数集、正整数集、负整数集、整数集、正有理数集、负有理数集、有理数集、正实数集、负实数集、实数集），空集，全集的字母表示.
4．掌握集合的列举法和描述法的运用.
5．了解平面内点集的列举法和描述法的表示.
6．掌握非空集合所含子集，真子集，非空真子集的表示及其个数.
7．了解子集，真子集，集合相等的表示及其关系符号.
8．掌握交集，并集，补集的运算.
9．掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断.
第2 章不等式
1．掌握比较实数大小的方法.
2．了解不等式加法，乘法，传递的基本性质.
3．理解区间，区间端点，开区间，闭区间，左半开区间，右半开区间，有限区间，无限区间的概念.
4．了解开区间，闭区间，左半开区间，右半开区间，有限区间，无限区间的表示.
5．掌握一元一次不等式，一元二次不等式，含绝对值的不等式的求解及其区间表示.
第3 章函数
1．理解函数，自变量，定义域，函数值，值域，解析法，单调性，增函数，减函数，单调区间，增区间，减区间，对称轴，对称中心，奇偶性，奇函数，偶函数，非奇非偶函数，分段函数的概念.
2．掌握函数定义域的求解及其区间表示.
3．了解函数概念中两个要素的运用.
4．了解平面内任意点的对称点的坐标特征.
5．掌握函数的单调性与奇偶性的判断.
6．掌握分段函数的函数值的确定.
第4 章指数函数与对数函数
1．掌握实数指数幂的运算法则.
2．理解幂函数，指数函数，对数，对数的底，真数，常用对数，自然对数，对数函数的概念.
3．了解幂函数的图像与性质.
4．了解指数函数的图像与性质.
5．掌握对数的基本性质的运用.
6．了解指数式与对数式的互换.
7．了解常用对数与自然对数的简记.
8．掌握积，商，幂的对数运算法则.
9．了解对数函数的图像与性质.
第5 章三角函数
1．理解角，正角，负角，零角，任意角，象限角，界限角，终边相同的角，弧度角，角度制，弧度制，任意角的正弦函数，任意角的余弦函数，任意角的正切函数的概念.
2．了解象限角，界限角，终边相同的角的集合表示.
3．掌握角度与弧度的互化.
4．掌握各象限角的正弦函数值，余弦函数值，正切函数值的正负号的判断.
5．掌握界限角和特殊角的正弦函数值，余弦函数值，正切函数值的确定.
6．掌握同角正弦函数，余弦函数，正切函数的基本关系式的运用.
7．掌握任意角的正弦函数，余弦函数，正切函数的诱导公式（偶不变，符号看象限）的运用．
8．掌握含有正弦函数，余弦函数，正切函数的式子的化简与求值．
9．了解正弦函数，余弦函数的图像和性质．
10．掌握已知正弦函数值，余弦函数值，正切函数值求指定范围内特殊角的方法.
第6 章数列
1．理解数列，项，首项，项数，有穷数列，无穷数列，通项或一般项，通项公式，等差数列，公差，等比数列，公比的概念.
2．了解数列通项公式的确定.
3．了解公差，公比，通项或一般项，前n 项和的字母表示.
4．掌握等差数列，等比数列的通项公式和前n 项和公式的运用.
第7 章平面向量
1．理解数量，向量，向量的模，零向量，单位向量，平行（共线）向量，相等向量，自由向量，负向量，向量的加法，和向量，向量的减法，差向量，向量的数乘，向量的线性运算，向量的坐标，两个向量的夹角，向量的内积的概念.
2．了解向量，平行（共线）向量，垂直向量，向量的内积的坐标表示.
3．掌握向量的模的计算.
4．掌握向量的线性运算.
5．了解两个向量夹角的取值范围.
第8 章直线和圆的方程
1．掌握任意两点间的距离公式和线段中点的坐标公式的运用.
2．理解直线的倾斜角，斜率，横截距，纵截距，点斜式方程，斜截式方程，一般式方程，两条直线平行，两条直线重合，两条直线相交，两条直线垂直，两条直线夹角的概念.
3．了解直线的倾斜角的取值范围.
4．掌握经过任意两点的直线的斜率公式的运用.
5．掌握两条直线相交的交点坐标的计算.
6．掌握两条直线平行和两条直线垂直所满足的条件及其运用.
7．掌握两条直线位置关系的判断.
8．了解两条直线夹角的取值范围.
9．掌握点到直线的距离公式的运用.
10．掌握直线的点斜式方程，斜截式方程，一般式方程的确定.
11．理解圆，圆心，半径，圆的标准方程，圆的一般方程的概念.
12．了解确定圆的条件.
13．掌握圆的标准方程和圆的一般方程的确定.
14．掌握直线与圆的位置关系的判断.
三、考试形式与试卷结构
1．答题方式：闭卷，笔试，不允许使用计算器．
2．考试时间：约60 分钟．
3．试卷题型：选择题和非选择题. 全卷满分90 分，试卷结构如下：单项选择题30 分；填空题24分；解答题36分，合计90分。
四、对比2018年大纲的变化
1．对于非空集合子集，真子集，非空真子集的定义原要求掌握关系，现要求掌握表示及其个数.
2. 对于一元一次不等式，一元二次不等式，含绝对值的不等式原要求求解，现要求用区间表示.
3. 函数定义域要求用区间表示.
4. 对于分段函数原要求理解定义，现要求掌握函数值的确定.
5. 对于各象限角的正弦函数值，余弦函数值，正切函数值的正负号原要求了解，现要求掌握.
6. 原要求掌握界限角的正弦函数值，余弦函数值，正切函数值的确定，现要求掌握界限角和特殊角的正弦函数值，余弦函数值，正切函数值的确定.
7.原要求理解直线与圆的位置关系的判断，现要求掌握直线与圆的位置关系的判断.
五、复习备考对策及措施
1.在集合子集，真子集，非空真子集的定义的教学中要求掌握三个定义，会表示两个集合的关系，能求出个数；会判断元素与集合之间的关系。
2. 在一元一次不等式，一元二次不等式，含绝对值的不等式的教学中，会用正确思路求解，并把解集用区间表示。
3. 在函数定义域的教学中会求交集，结果用区间表示。
4. 在分段函数的教学中要求理解定义，会求定义域、值域、作图、掌握函数值的确定。
5.在各象限角的正弦函数值，余弦函数值，正切函数值的正负号的教学中，要求掌握定义、判断符号。
6.在界限角和特殊角的正弦函数值，余弦函数值，正切函数值的教学中，要求掌握定义、熟记结果，并能加以应用。
7.在直线与圆的位置关系的教学中，要求掌握判断方法，能在实际问题中加以应用。