DSP第二章Z变换与拉氏变换傅氏变换的关系

信号的频谱
若已知抽样序列x(n),如何求出输入 信号xa(t)的频谱？ （1）先通过s→z的映射关系，去找 抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号 xa(t)的拉普拉斯Xa(s)的关系。
X(z) z=esT
1 ∞ ˆ Xa (s) = ∑Xa (s − jkΩs ) T k=−∞ ∞ ∞ 1 1 2π = ∑Xa (s − jkΩs ) = ∑ Xa (s − j k) T k=−∞ T k=−∞ T
(2)其次，讨论x(n)的z变换X(z)和xa(t) 的付里叶变换Xa(jΩ)的关系。
X(z) z=esT = X（ e
jΩT

ˆ ) = Xa ( jΩ)
说明：抽样序列在单位圆上的z变换，就等 于其理想抽样信号的付里叶变换。
X(z) z=e jΩT
1 ∞ 2π jΩ T = X(e ) = ∑ Xa ( jΩ− j k) T k=−∞ T
数字频率和模拟频率的关系
z =e
jω
在以后的讨论中，我们用数字频率 ω 来作为z平面上单位圆的参数，即
数字频率w表示z平面的辐角，它 和模拟角频率Ω的关系为
Ω f ω = ΩT = = 2π fs fs
看出：数字频率是模拟角频率对抽样频率的 归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对 比值乘以2π.
单位圆上的序列的z变换即为序 列的付里叶变换
∞ −∞ n=−∞ ∞
∞
∑x (nT)δ(t −nT)e
a −nsT
∞
−∞
−st
dt
= ∑xa (nT)e
n=−∞
理想抽样后的信号的 Z变换与L变换的关系
令 样 列 ： x(n) = xa (nT) 抽 序 为
其 换 ： X(z) = ∑ x(n)z z变 为
n=−∞
sT
∞
−n
由 看 ： z = e 时 抽 序 的变 此 出 当 ， 样 列 z 换 等 其 想 样 号 拉 变 。 于 理 抽 信 的 氏 换
X(z) z=e jw 1 ∞ w− 2πk jw ) = X(e ) = ∑ Xa ( j T k=−∞ T
序列的付里叶变换（即离散序列的频谱）为：
D TFT[x(n)] = X(e ) =
jw
−1 jw
1 π jw jwn D TFT [X(e )] = x(n) = ∫ X(e )e dw 2π −π
n=−∞
∑x(n)e
∞
− jw n
σT jΩT
r与σ的关系
r =e
σT
（1）σ=0(s平面虚轴)，对应于r=1(z平面 单位圆上)。 （2） σ<0(s的左半平面)，对应于r<1(z平 面单位圆内)。 （3） σ>0(s的右半平面)，对应于r>1(z平 面单位圆外)。
数字频率ω与模拟频率Ω之间关系
ω = ΩT
（1）Ω=0(s平面实轴),对应于ω=0(z平面正实轴)。 （2）Ω= Ω0(常数)(s平面平行于实轴的直线),对应于 ω=Ω0T(z平面始于原点辐角为ω的辐射线)。 （3）Ω由-π⁄T增长到π⁄T，对应于ω由-π增长到π，即s 平面为2π⁄T的一个水平条带相当于z平面辐角转了一 周，也就是覆盖了整个z平面。 （4） 是ω一个周期函数，2π一个周期 。即s平面到z 平面的映射是多值映射。
引言
上节我们讨论了连续信号的理想抽样， 这节我们利用它来讨论离散信号的z变换 与连续信号的拉普拉斯变换、付里叶变 换的关系。
理想抽样后的信号的拉氏变换
设 续 号 a (t),理 抽 后 抽 信 xa (t)， 连 信 x 想 样 的 样 号ˆ 它 的 氏 换 ： 们 拉 变 为
ˆ (s) = x (t)e−st dt ˆa Xa ∫ =∫
ˆ X(z) z=esT = X(e ) = Xa (s)
sT
Z平面与S平面的映射关系
z平面与s平面的映射关系 z = e z平面用极坐标表示： 则可得 因而
jw (σ+ jΩ)T
sT
s平面用直角坐标表示： = σ + jΩ s
z = re
jw
z = re = e =e e σT r =e w= Ω T