全等三角形复习课件(讲用)

4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C， D在一条直线上求证：BE=AD E
证明：
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° B ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA 在△ACD和△BCE中 AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS) A
B
E
D
C
根据全等三角形对应边相等 ∴AB＝EC 在△AEC中:AC＋EC＞AE 又∵AE＝2AD ∴AB＋AC＞2AD
小结：对于三角形的中线， 我们可以通过延长中线的1 倍，来构造全等三角形。 联想：对于三角形的角平分 线，有时我们也可进行翻折 构造全等三角形。
15、已知在△ABC中，AD是角平分线，且
D A' E' C A B E
8、如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D， BE⊥AC，垂足为E，AD、BE相交于点F。如果 BF＝AC，那么∠ABC的度数是 （ B ） A、400 B、450 C、500 D、600 A
E
C
F
B D
9、如图，Rt△ABE≌Rt△ECD,则结论： ①AE＝DE；②AE⊥DE；③BC＝AB＋CD； ④AB∥DC。成立的是 （ D ） A、仅① B、仅①② C、①②③ D、①②③④
A 2 1
D
E 3 B 4 （第18题） C F
11.如图，在R△ABC中，∠ACB=45°， ∠ BAC=90 ° ， AB=AC ，点 D 是 AB 的中 点，AF⊥CD于 H 交 BC 于 F ，BE∥AC交 AF的延长线于E，求证：BC垂直且平 分DE.
12. 已知：如图：在△ ABC中，BE 、CF 分别是 AC 、 AB 两边上的高，在 BE 上 截取 BD=AC ，在 CF 的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
C F D AC＝AD ∠CAF＝∠DAF AF＝AF（公共边） ∴△CAF≌△DAF (SAS)
∴∠BAF－∠BAC＝∠EAF－∠EAD
∴∠CFA＝∠DFA
而∠CFA＋∠DFA＝1800 ∴∠CFA＝∠DFA＝900
即：∠CAF＝∠DAF 在△CAF与△DAF中
即：AF⊥CD
17、△ ABC中， AC＝ BC，∠ C＝ 900，将一块三角板的直 角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕 P 点旋转， 三角形的两直角边分别交 AC 、 CB 于 D 、 E 两点，如图 所示： （1）问PD与PE有何大小关系？并以图②为例加以说明
C
D
变式：以上条件不变，将
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于60度）， 以上的结论还成立吗？
∴ BE=AD
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C 3 A E 4 D 1 2 B
解：AC=AD
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4
EB=EB
16 、如图，已知 AB ＝ AE ， BC ＝ ED ，∠ B ＝ ∠ E ，∠ BAF ＝∠ EAF ，试说明AF⊥CD。
解答：连结AC、AD
在△ABC与△AED中 ∵AB＝AE
A
∴△ABC≌△AED (SAS)
∴AC＝AD ∠BAC＝∠EAD 又∵∠BAF＝∠EAF
∠B＝∠E BC＝ED
B
E
(3):已知两角---
是否存在这样的直角三角形，它可以分割成 2 个全等的直 角三角形？分割成 3 个、 4 个、 5 个全等的直角三角形？ 试画说明。
（1）等腰直角三角形 （2）有一个角为300的直角三角形 （3）任意直角三角形 （4）一条直角边是另一条直角边的2倍的直角三角形
C
A E B D E C C P D
P Q N R
因为P是MN的中点， 所以MP=PN， 又因为MQ=PR，PQ=NR， 根据SSS可以知道， △MPQ ≌ △PNR。
5.点A，B，E在同一直线上，∠ DBE=∠ CBE， BC=BD，找出图中所有全等的三角形，并说明 理由。你能说出两组相等的角吗？
C A
B
解：△CBE≌ △DBE
E
求证:BC∥EF
F E D
A B C
9.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 （割）
A G F D H C E
B
13.已知：如图21，AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC， 求证：EB=FC

14、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，试说明AB＋AC与2AD 之间的大小关系。 A 解：延长AD至E，使DE＝AD 在△ABD与△ECD中 ∵BD＝DC（中线的定义） ∠ADB＝∠EDC（对顶角相等） AD＝DE ∴△ABD≌△ECD（SAS）
A D
D O A
B 图1
C
C 图2
E
3、已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂 足分别为D、E，BE、CD相交于O点， ∠1=∠2，图中全等的三角形共有(D)
A ． 1对 B． 2 对 C ． 3 对 D ． 4 对
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4.如图，P是MN的中点，MQ=PR,PQ=NR， △MPQ与△PNR全等吗？为什么？ M 解： △MPQ ≌ △PNR
E D B
A
C
11、如图为人民公园中的荷花池，现在测量荷花池两旁A、 B两棵大树间的距离（不得直接量得）。请你根据图形全 等的知识，用一根足够长的绳子及标杆为工具，设计两 种不同的测量方案。 要求（1）画出设计的测量示意图； （2）写出测量方案的理由。
A
B
A
B
·C E·
·D
二.角的平分线： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
全等三角形的对应边上的对应中线、角 平分线、高线分别相等。
判定：
一 般 三 角 形
SAS
ASA
AAS
SSS
不包括其它形 状的三角形
直角三角形 HL
包 括 直 角 三 角 形
拓 展 延 伸
总 结
满足下列条件的三角形是全等三角形： (1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； (2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； (3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等； (4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等； (5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角 )三角形 全等； (6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角 )三角形 全等 判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相 等，且其中最少要有一组对应边相等
A
B
2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）
10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并 延长 AE 交 BC 的延长线于点 F ，给出下列 5 个关系式：： ① AD∥BC ， ② ， DE=EC③∠1=∠2 ， ④ ∠ 3=∠4 ， ⑤ AD+BC=AB 。将其中三个关系式作为已知，另外两个作 为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的 命 题 ： （ 书 写 形 式 ： 如 果 …… 那 么 …… ） （1） ；（2） ；
△ABC ≌ △ABD
△AEC ≌ △AED
D
6.如图所示：ＡＢ＝ＤＥ,∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ，ＢＥ＝ＣＦ ①△ＡＢＣ与△ＤＥＦ全等吗？ ②ＡＣ与ＤＦ有怎样的位置关系？ ③若题中∠ＡＢＣ＝ ∠ＤＥＦ的条件去掉， 你能判断当ＡＢ，ＤＥ满足什么位置关 系时，仍能得到②的结论？
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｆ
7、将一长方形纸片按如图方式折叠，BC、 BD为折痕，则∠CBD的度数为（ C ） A、600 B、750 C、900 D、950
D
A
B
E
C
10、如图. ∠ ACB=90°，AC=BC，BE ⊥ CE， AD⊥ CE，垂足分别为E，D，图中有哪条线段与 B AD相等，并说明理由。
E
D
A
C
解：AD=CE因为BE ⊥CE，AD ⊥CE，
所以∠ BEC= ∠ CDA= 90°又因∠ACB=90°，
即∠ BCE+ ∠ ACE=90°∠ DAC+ ∠ ACD=90° 所以∠ BCE= ∠ DAC， 又因为AC=BC 根据AAS，可以知道△BEC≌△CDA 所以AD=CE
AC＝AB＋BD,试说明：∠B＝2∠C
解：在AC上截取AE＝AB，连结DE
A
E 在△AED与△ABD中 ∵AE＝AB B ∠EAD＝∠BAD（角平分线的定义） D AD＝AD（公共边） C ∴△AED≌△ABD(SAS) 又∵∠AED＝∠C＋∠EDC 根据全等三角形对应边、对应角相等 ∴∠AED＝2∠C ∴ED＝BD，∠AED＝∠B ∴∠B＝2∠C 又∵AC=AB+BD ∴CE=DE 根据等腰三角形的两个底角相等 ∴∠C＝∠EDC
1.角平分线的性质：
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。 c