数学实验matlab4

2. 优 化 函 数 的 输 入 变 量 变量 f 描 述 线 性 规 划 的 目 标 函 数 f*X 或 二 次 规 划 的 目 标 函 数 X ’*H *X +f*X 中 线 性 项 的 系 数 向 量 调用函数 linprog,quadprog
fun
H A ,b A eq, beq
fm inbnd,fm insearch,fm i nunc, 非 线 性 优 化 的 目 标 函 数 .fun必 须 为 行 命 令 对 象 或 必 fm incon,lsqcurvefit,lsqno M 文 件 、 嵌 入 函 数 、 或 M EX文 件 的 名 称 nlin, fgoalattain,fm inim ax 二 次 规 划 的 目 标 函 数 X ’*H *X +f*X 中 二 次 项 的 quadprog 系数矩阵 A 矩 阵 和 b 向 量 分 别 为 线 性 不 等 式 约 束 ： linprog,quadprog,fgoalat
所有优化函数
2 min f ( x) = (4 x12 + 2 x2 + 4 x1 x2 + 2 x2 + 1) *exp( x1 ) 例4 求
1、编写M-文件 fun1.m: 、编写 文件 function f = fun1 (x) f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、输入 文件 文件yh01.m如下 如下: 、输入M文件 如下 >> x0=[-1,1]; x=fminunc('fun1',x0) y=fun1(x) 3、运行结果 、运行结果: x= 0.5000 -1.0000 y= 1.0983e-015
其中
i = 1,2,...,m; j = 1,2,..., l.
f , gi , hj
X = ( x1, x2 ,..., xn )T
，函数
至少有一个是非线性函数。 至少有一个是非线性函数。
(三)Matlab优化工具箱简介 )Matlab优化工具箱简介
1 .M AT L A B 求 解 优 化 问 题 的 主 要 函 数 类 型 模 型 一元函数 M in F （ x ） s.t.x 1 < x < x 2 极小 无约束极 M in F (X ) 小 M in c X s.t.A X < = b 线性规划 A eq X =B eq L<=X <=U 1 M in 2 x T H x + cT x 二次规划 s.t. A x < = b 约束极小 M in F (X ) （非线性 s.t. G (X )< = 0 规划） 达到目标 M in r s.t. F (x )-w r < = g o a l 问题 M in m a x {F i(x )} 极小极大 X {F i(x )} 问题 s.t. G (x )< = 0
(一)求解无约束最优化问题的基本思想 一 求解无约束最优化问题的基本思想
minn f ( X )
，其中
标准形式
X ∈E
f : E n → E1
无约束优化问题的基本算法(具体原理步骤见附录 无约束优化问题的基本算法 具体原理步骤见附录) 具体原理步骤见附录 1．最速下降法（共轭梯度法）算法； ．最速下降法（共轭梯度法）算法； 2．牛顿法算法； ．牛顿法算法； 3．拟牛顿法 ．
c=[-400; -1000; -300; 200] A=[0 –2 1 1; 2 3 0 0 ;3 4 0 0] b=[0;16;24] xLB=zeros(4,1) xUB=inf*ones(4,1) xUB(3)=5; x0=0*ones(4,1) nEq=1 x=lp(c,A,b,xLB,xUB,x0,nEq);
∂2 z 例 1：已知 z = sin xy ，求 ∂x2 ：
在命令窗口的提示符>>后输入 %回车运行 在命令窗口的提示符 后输入 syms x y 回车运行 diff(sin(x*y),x,2) %回车运行 回车运行 计算机返回结果： ans= 计算机返回结果： -sin(x*y)*y^2 中没有直接求隐函数导数的命令， 在 Matlab 中没有直接求隐函数导数的命令， 但是我们可以根 据数学中求多元函数隐函数导数的方法， 据数学中求多元函数隐函数导数的方法， Matlab 中一步一步地 在 进行推导； 进行推导；
（二）约束优化问题
一般形式： 一般形式：
max cT x s.t. Ax = b(b ≥ 0) x≥0 其中x ∈ R n (n维向量 A ∈ R m×n (m × n维距阵 b ∈ R m , c ∈ R n ), ),
2. 非线性规划 一般形式: 一般形式
min f ( X ) gi ( X ) ≥ 0 s.t. hj ( X ) = 0
T
基本函数名 x = fm in b n d (‘F ’,x 1 ,x 2 ) X = fm in u n c(‘F ’,X 0 ) X = fm in sea rc h (‘F ’,X 0 ) X = lin p ro g (c ,A ,b ,A eq , B eq ,L ,U ) X = q u a d p ro g (H ,c ,A ,b ) X = fm in co n (‘F G ’,X 0 ) X = fg o a la tta in (‘F ’,x ,g o a l,w ) X = fm in im a x (‘F G ’,x 0 )
例7
min f = − x1 − 2 x2 + 0.5x12 0.5x22
2 x1 + 3 x2 ≤ 6 st x1 + 4 x2 ≤ 5 x , x ≥ 0 1 2
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ dx∫
a D
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x, y)dy
命令： 命令： int(int(f(x,y),y,y1(x),y2(x)),x,a,b) 例 3，求积分 D ，
∫∫ xydxdy
y = x2 和 y = x 围成。 ，D 由曲线 围成。
∫∫ xydxdy = ∫ dx∫ 2 xydy
MATLAB 程序
％ ％
min − ( 400 x1 + 1000 x 2 + 300 x 3 − 200 x 4 s.t.
改为求极小值
% % % % %
2 x1 3 x1
− 2 x2 + 3x2 + 4 x2

+ x3 + x 4 = 0 <= 16 <= 24
5 <= x3 x1, x 2, x3, x 4 <= 0
0 x 1 x D
首先把重积分化成累次积分 口输入命令执行 >> int(int(x*y,y,x^2,x),x,0,1) ans= 1/24
，然后在命令窗
三．多元函数优化问题
• 许多较为复杂的函数直接用教材上的方 法不能求出极值， 法不能求出极值 ， 所以我们来看看各种 求极值的搜索算法及其命令函数。 求极值的搜索算法及其命令函数。 • 优化问题分为无约束优化和有约束优化 即数学规划）。 （即数学规划）。
第八节 多元微积分的计算
• 一．求多元函数的偏导数 • 二．求多元函数的积分。 求多元函数的积分。 • 三．多元函数优化问题。 多元函数优化问题。
一．求多元函数的偏导数
命令： %确定符号函数的变量为 和y. 确定符号函数的变量为x和 命令： syms x y 确定符号函数的变量为 diff(f(x,y),x,n) 意义：对多元函数求对变量的阶偏导。 意义：对多元函数求对变量的阶偏导。
函数（香蕉函数） 例 5 求 Rosenbrock 函数（香蕉函数）
f ( x1 , x2 ) = 100( x2 − x12 ) 2 + (1 − x1 ) 2
的最优解（极小） 的最优解（极小） 。
输入命令： 输入命令： f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f, [-1.2 2]) 运行结果: 运行结果 x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1 output = iterations: 108 funcCount: 202 algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'
• 注意：函数字符串不用加单引号（‘’） 注意：函数字符串不用加单引号（‘’）
二．求多元函数的积分
中没有直接求重积分的命令， 在 Matlab中没有直接求重积分的命令 ， 但是我们可以根 中没有直接求重积分的命令 据数学中重积分化成累次积分的方法， 据数学中重积分化成累次积分的方法，在Matlab中先后 中先后 多次求定积分来求解。 多次求定积分来求解。
示例
∂z x 2 + y 2 + sin( xz ) + z = 0 ，求 ∂x 例 2：已知 ： syms x y z (-1)*diff(x^2+y^2+sin(x*z)+z,x)/diff(x^2+y^2+sin(x*z)+z,z) ans= (-2*x-cos(x*z)*z)/(cos(x*z)*x+1) 也可以自己编一个求隐函数导数的小程序；不过， 也可以自己编一个求隐函数导数的小程序；不过，最简便的方法是调 中求隐函数导数的命令，调用格式如下： 用 Maple 中求隐函数导数的命令，调用格式如下： maple('implicitdiff(f(x,y,z)=0,z,x)') 即：maple('implicitdiff(x^2+y^2+sin(x*z)+z=0,z,x)')