三角函数的化归思想学案
三角函数教学设计
三角函数教学设计教学设计思路：新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式把学习的主动权还给学生。
以此为宗旨，我采用自主学习、合作探究方法引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下几个特点（1）苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者”本节课正是抓住学生的这心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学。
（2）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。
当学生接触新知一周期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，伸知识深化。
本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正余弦函数性质的'基础：对函数图像清晰而谁确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具，本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点。
有看求前启后的作用美国华盛顿一所大学有句名言：“我听见了，就忘记了我看见了，就记我做过了，就理解了”要想让学生深刻理解三角函数性质和图像，就生主动去探素，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程学生情况分析：知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质，心具备了一定的分语言表达能力，初步形成了辩证的思想。
一.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。
（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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学案4转化与化归思想
解 原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，
∵x=-2不是原方程的解，∴
a
2x 7 (x 2)2
.
又∵a为正整数，
∴
2x 7 (x 2)2
1 ,即x2+2x-3≤0，
解得-3≤x≤1. 又∵x是整数且x≠-2, ∴x=-3,-1,0,1, 把它们分别代入原方程得 a x 1 3, a x 5 1, a x 0 7 4, a x 1 1, 又因为a为正常数， 故当a=1或a=5时,原方程至少有一个整数根.
变式训练1 已知三实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m
(m是正常数)，求b的取值范围.
解 方法一 设三个实数为 b , b, bx ,
x
由a+b+c=m,得
b (1
x
1) x
m
, 从而
b
1
m x
1
.
x
当 x 0时 , x 1 2;当 x 0时 , x 1 2 ,
则a、c是关于x的方程x2-(m-b)x+b2=0的两个实数根, 所以Δ =［-(m-b)］2-4b2≥0,
解之,得 mbm(m0),又b0, 3
所以 bm,00,
m 3
题型二 正与反的转化与化归
【例2】试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不
能被直线y=m(x-3)垂直平分.
m x1
1 m
x2
6
, 消去
x2得
:
2x1 2m 2x1m 126m10.
因为存在x1∈R使上式恒成立，
(m 2)242(m 126m 1 )0
导学案 (1) 三角函数的图像与性质
课题 三角函数的图像与性质【复习导航】1.目标定位：（1）．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．(2)．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用 2.考题预测：(1). 考查三角函数的图象及其性质在图象变换中的应用．(2).考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．(3).从几年的试题来看，一是以选择题、填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性，二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换，且常与向量结合进行综合考查。
【要点梳理】1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域 [－1,1] [－1,1]R 对称性 对称轴： x ＝k π＋π2(k ∈Z )x ＝k π(k ∈Z )无对称轴对称中心 (k π，0)(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0)(k ∈Z⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )周期2π2ππ单调性单调增区间⎣⎡ 2k π－π2，2k π＋⎦⎤π2(k ∈Z )； 单调减区间⎣⎡2k π＋π2，2k π＋⎦⎤3π2(k ∈Z )单调增区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )；单调减区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 单调增区间⎝⎛k π－π2，k π＋⎭⎫π2(k ∈Z )奇偶性 奇 偶奇3.周期性(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．【基础自测】1．(课本习题改编)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )．A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋π4，k ∈Z 答案 A2．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )．A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x ) ＝f (x )可知f (x )为偶函数，因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，又|φ|＜π2可得φ＝π4，所以f (x )＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减． 答案 A3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，∴令x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k ＝－1，x ＝－34π得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 答案 B4．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为________． 解析 T ＝2π2＝π.答案 π【典例精析】题型一 三角函数的定义域与值域【例1】(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．（2） 【2012湖南】函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为（ ）A ． [ -2 ,2] B.[-3,3] C.[-1,1 ] D.[-32 , 32] 【分析】 (1)由题意知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x 的范围．(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．【解】 (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3≤x ＜－π2，或0＜x ＜π2. （2）【答案】Bf （x ）=sinx-cos(x+6π)31sin cos sin 3sin()226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈- ，()f x ∴值域为[-3,3].【反思】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【变式练习1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . (2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时，f (x )取最大值1；当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.题型二 三角函数的奇偶性与对称性例2、(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性．解析 y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π. 答案 A求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．【训练2】 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．解析 由f (x )＝(sin x －cos x )sin x ＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. ∴最小正周期为π. 答案 π题型三 三角函数的单调性与对称性 【例3】（2011 全国新课标卷）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ）A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【分析】化为形如f (x )＝A sin(x ＋φ)的形式，再求单调区间与最小正周期． 【解】 f (x )＝sin ）（42π+x ＋sin ）（42π+x ＝x x x 2cos 2)22sin 2442sin 2=+=++πππ（）（，由π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ，得： +2πk π≤x ≤+πk π，k ∈Z ，由选项可知，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎪⎭⎫ππ，2,由2k π≤2x ≤π＋2k π，k ∈Z ，得： k π≤x ≤+2πk π，k ∈Z ，由选项可知，f (x )的单调递增区间为 ⎝⎛⎪⎭⎫20π，, 由2x=,πk k ∈Z ，得x=,2πk k ∈Z ，由题意，.2π=x 故答案选D.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．【训练3】（1） 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为______． 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得：k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )【课堂小结】方法与技巧1.利用函数的有界性(－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1)，求三角函数的值域(最值).2.利用函数的单调性求函数的值域或最值.3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号). 失误与防范1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.【巩固深化】（选择紧扣本堂内容的题目10—11道（选择5道，填空3道，解答题2—3道）和拓展提高题1—2道（供学有余力学生使用），供课堂练习或课后作业使用。
备战2024高考数学二轮复习讲义第一讲-转化与化归思想在三角函数中的应用
第1讲转化与化归思想在三角函数中的应用转化与化归思想:就是把待解决或难解决的问题通过数学方法、数学模型、数学思维、数学运算，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解。
使用化归与转化思想的原则是:化难为易、化异为同、化生为熟、化繁为简、化未知为已知。
在三角函数学习中，从三角函数的概念建立、推理证明、计算化简到实际问题的解决，始终贯穿着转化与化归思想的运用。
如利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用三角函数之间互余关系实现对“正余弦”进行转化，利用同角关系及“1”的妙用可以实现弦切互化。
在有关三角函数的最小正周期、三角函数求值、三角函数的图象及性质、三角函数的值域、三角函数的伸缩平移变换及三角恒等变换的问题中，经常涉及到代换思想、类比思想和转化思想等来解决问题，这些均体现了转化与化归思想在三角函数中的重要性及其重要应用。
在学习和使用转化与化归思想时，一定要明确转化目标，转化方向，有了转化目标和方向后，接下来的重点思想是如何向我们的目标和方向进行转化。
而本文会重点就转化与化归思想在三角函数中的5类应用展开详细讲解。
【应用一】转化与化归思想在三角函数求最小正周期中的应用我们在学习三角函数图象及性质及三角恒等变换时，会直接用公式ωπ2=T 求()hx A y ++=ϕωsin （()h x A y ++=ϕωcos ）的周期，但有时也会遇到这样一类题，给定的函数解析式包含正弦和余弦，或为高次式，此时则无法用周期公式直接求解；需要对函数解析式进行函数名的统一或降次化简，从而转化为()h x A y ++=ϕωsin （()h x A y ++=ϕωcos ）的形式，即可求解，变换过程的实质就是“化归”思想。
例如下面这道例题：在我们熟悉的求解最小正周期的问题中，经常遇见给定的函数解析式是可以直接用周期公式求解的，而本题无法直接通过周期公式求解，那该怎么转化呢？这就需要我们利用相关公式把函数解析式化解为一个函数名，要么是正弦、要么是余弦，首先我们要把24cos 1x -转化为12cos 2x +，则()()sin 12cos 2f x x x =⋅+()2sin 2sin cos 2sin cos 2sin 1cos 2sin cos 22sin cos sin cos 2cos sin 2sin 3x x x x x x x x x x x x x x x x =+=++=+=+=即可计算求解【应用二】转化与化归思想在三角函数给值求值及拼凑角中的应用我们在学习三角函数诱导公式及三角恒等变换时，常见的给值求值会比较好化简，常见的拼凑角可以转化成特殊角处理，但有时也会遇到这样一类题，给定的角为非特殊角，需要多次拼凑才能实现特殊转化，需结合诱导公式和恒等变换求解，这样把角通过拼凑来整体转化，其实质就是“化归”思想。
XX届高考数学备考复习教案：转化与化归思想
XX届高考数学备考复习教案：转化与化归思想本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址专题七：思想方法专题第四讲转化与化归思想【思想方法诠释】数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的最重要的思想方法．在高中数学的学习中，它无个不在，比如：处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．．转化与化归的原则（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化．（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当．（3）具体化原则：即化归言论自由应由抽象到具体．（4）低层次原则：即将高维空间问题化归成低维空间问题．（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．2．转化与化归常用到的方法（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集使原问题得以解决．【核心要点突破】要点考向1：函数、方程、不等式之间的转化例1：已知函数f=x2+2x+alnx．或函数f在区间在区间≥0在在在区间为定义在实数R上的奇函数，且f在[0,+∞)上是增函数．当时，是否存在这样的实数m，使对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．思路精析：由奇偶性及单调性→f单调性→关于的不等式→一元二次不等式恒成立→函数最值→m的范围．解析：由f是R上的奇函数可得f=0．又在[0,+∞)上是增函数，故f在R上为增函数．由题设条件可得又由f为奇函数，可得∵f在R上为增函数，∴即．令于是问题转化为对一切0≤t≤1,不等式t2-mt+2m-2＞0恒成立．又∴存在实数m满足题设的条件，注：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，常见的有：（1）在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式化的“三用”（顺用、逆用、变形用）、角度的转化、函数的转化等．（2）换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要方法．（3）在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数，平面几何、解析几何语言进行转化．（4）在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．（5）在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值（最值）、切线问题，转化为其导函数f’构成的方程、不等问题求解．（6）在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．（7）实际问题与数学模型之间的转化．【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题6分，共36分）．若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则（）A．B．c．D．22．已知是定义在上的增函数，函数的图像关于点对称，若满足，则当时，的取值范围是（）A．B．c．D．3．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于、两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是4．将一个正方体截去四个角得到一个四面体BDA1c1，这个四面体的体积是正方体体积的（）5.对于抛物线y2=4x上任意一点Q，如果点P（a，0）满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是（）（-∞,0)［0,2］6．设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足的值为（）A．2B．c．4D．二、填空题（每小题6分，共18分）7．，当A∩B有且只有一个元素时，a、b满足的关系式是8.当x∈时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是_______.9.如图,三棱锥P—ABc中,各条棱的长都是2,E是侧棱Pc的中点,D是侧棱PB上任一点,则△ADE的最小周长为_____.三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）0．已知向量m=，向量与向量夹角为，且•=-1，求向量；若向量与向量=的夹角为，向量=，其中A、c为ABc的内角，且A、B、c依次成等差数列，试求+的取值范围。
浅谈化归思想在解三角函数问题中的作用
分 析 ：由已 知 条 件 ｃｓａ ｃ ｓｆ ｃ ｓ７ － 我 们 不 难 想 到 ｏ２ ＋ ｏ２ ＋ ｏ２＝ １ ｌ
问题 ，从 而得 出正 确 的解 答 。 在学 习过 程 中有意 识地 总 结 这 种 要 化 简 为 Ｃ Ｓ ｔＣ Ｓ ＋ Ｏ ： ，而 此 式 我 们 又有 似 曾相 识 的 感 Ｏ ＋ Ｏ２ Ｃ Ｓ １ ５ ｌ ｆ ｙ Ｏ ＋ Ｏ２ Ｃ Ｓ １ ６ ｌ ｆ ７ 科学 的思 维 方 法 ，可使 我 们 在 解 决 问题 的 过 程 中思 维 通 畅 ，从 觉 ，不 难 联 想 到 长方 体 中的 关 系 式 Ｃ Ｓ ｔＣ Ｓ ＋ Ｏ ＝ ，尝 试
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浅谈化归思想在解三角函数问题中的作用
张艳 梅
摘要 ： 本文介绍了 化归思想的作用、定义等，通过例题 阐述了 化归思想在解决三角函数问题中的作用和应用。
质 的 目的 。 以下通 过例 题 阐述 化归 思想 在 解 决 三 角 函数 问题 中 的作 用和 应 用。
一 一
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般化归特 殊
Ｂ
在数 学教学 中，我们经常将 一些 问题 转化为 熟悉的特 殊 问题，从而解决原 问题，比如在三 角函数中利用诱导公式把任
Ｄ。 ＾
而达到事半功倍 的效果 。因此，在数学教学 中，只有 充分 向学 转换成长方体 问题来证明原结论。以 Ｃ Ｓ ， Ｏ ｃ ｓ 为三条棱 Ｏ ￣ Ｃ ， ｏｙ Ｘ 生揭示数 学教材 中蕴涵的化归思想内涵，让他们在掌握数学基 的 长作 长方 体 ，如 图 ｌ 示 。 所 本知识的同时，掌握对化归思想的运用，才能达到提高学生素
高考数学专题复习转化与化归思想教案
高考数学专题复习转化与化归思想教案第一章：转化与化归思想概述1.1 转化与化归思想的定义与意义引导学生理解转化与化归思想的含义，认识到它在数学解题中的重要性。
举例说明转化与化归在解决数学问题中的应用。
1.2 转化与化归的方法与技巧介绍常用的转化与化归方法，如代数化、几何化、图像化等。
通过具体例题，引导学生掌握这些方法在解题中的应用。
第二章：代数问题的转化与化归2.1 代数方程的转化与化归讲解如何将代数方程转化为更容易解决的形式，如一次方程、二次方程等。
引导学生运用转化与化归思想解决实际问题。
2.2 不等式的转化与化归介绍如何将不等式转化为标准形式，以及如何利用转化与化归思想解决不等式问题。
通过例题，让学生学会应用这些方法解决实际问题。
第三章：几何问题的转化与化归3.1 几何图形的转化与化归讲解如何将几何图形转化为标准形式，如三角形、四边形等。
引导学生运用转化与化归思想解决几何问题。
3.2 几何关系的转化与化归介绍如何将几何关系转化为更简单的形式，如相似、全等、平行等。
通过例题，让学生学会应用这些方法解决几何问题。
第四章：函数问题的转化与化归4.1 函数方程的转化与化归讲解如何将函数方程转化为更容易解决的形式，如线性函数、二次函数等。
引导学生运用转化与化归思想解决函数问题。
4.2 函数图像的转化与化归介绍如何将函数图像转化为更容易分析的形式，如直线、曲线等。
通过例题，让学生学会应用这些方法解决函数问题。
第五章：应用题的转化与化归5.1 实际问题的转化与化归引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用转化与化归思想解决。
通过例题，让学生学会应用转化与化归思想解决实际问题。
5.2 数学竞赛题的转化与化归讲解如何将数学竞赛题转化为标准形式，并运用转化与化归思想解决。
通过例题，让学生学会应用这些方法解决数学竞赛题。
第六章：数列问题的转化与化归6.1 数列求和的转化与化归讲解如何将数列求和问题转化为等差数列、等比数列等简单形式。
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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转化与化归思想高三数学教案
转化与化归思想高三数学教案教案标题：转化与化归思想高三数学教案教学目标：1. 理解转化与化归思想在高等数学中的重要性和应用。
2. 能够运用转化与化归思想解决高三数学中的问题。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 理解转化与化归思想的概念和原理。
2. 掌握运用转化与化归思想解决高三数学问题的方法和技巧。
3. 培养学生的数学思维和创新能力。
教学难点：1. 运用转化与化归思想解决复杂的高三数学问题。
2. 培养学生的数学思维和创新能力。
教学准备：1. 教师准备教材、教具和多媒体课件。
2. 学生准备教材、笔记本和计算器。
教学过程：Step 1：导入新知教师通过引入一个有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，并引出转化与化归思想的重要性和应用。
Step 2：讲解概念和原理教师结合教材内容，向学生讲解转化与化归思想的概念和原理，并通过例题演示如何运用转化与化归思想解决数学问题。
Step 3：示范演练教师选择一些典型的高三数学问题，通过示范演练的方式，引导学生运用转化与化归思想解决问题，并解释解题过程和思路。
Step 4：合作探究教师组织学生进行小组合作，让学生自主解决一些与转化与化归思想相关的数学问题，并鼓励学生在解题过程中互相讨论和交流，培养学生的合作能力和创新思维。
Step 5：巩固训练教师布置一些练习题，让学生在课后进行巩固训练，以加深对转化与化归思想的理解和运用能力。
Step 6：课堂总结教师对本节课的内容进行总结，并强调转化与化归思想在高三数学中的重要性和应用。
Step 7：作业布置教师布置课后作业，要求学生继续巩固和拓展转化与化归思想的应用。
教学辅助策略：1. 创设情境：通过引入有趣的数学问题，创设情境，激发学生的学习兴趣。
2. 合作学习：通过小组合作的方式，让学生在解题过程中互相讨论和交流，培养学生的合作能力和创新思维。
3. 解题示范：通过示范演练的方式，引导学生运用转化与化归思想解决问题，并解释解题过程和思路。
高中数学教案化归思想
高中数学教案化归思想主题：化归思想教学目标：1. 了解化简与化归的概念及意义。
2. 掌握化归法在解决数学问题中的具体步骤与方法。
3. 能够灵活运用化归思想解决相关数学问题。
教学重点：1. 化简与化归的区别与联系。
2. 化归法的基本步骤和方法。
3. 化归思想在解决实际问题中的应用。
教学难点：1. 如何运用化归思想解决复杂的数学问题。
2. 培养学生的逻辑推理和思维能力。
教学准备：教师：准备相关课件和案例，熟悉化归思想的具体过程。
学生：提前复习化简的基本知识，并做好笔记。
教学过程：一、导入（5分钟）学生通过简单的例子引出化简与化归的概念，并讨论在解决数学问题中的应用意义。
二、讲解与示范（15分钟）1. 结合具体数学问题，介绍化归法的基本步骤和方法。
2. 通过案例演示如何运用化归思想解决问题，引导学生灵活运用化归方法。
三、练习与讨论（20分钟）1. 指导学生在课堂上完成相关练习题，加深对化归思想的理解和掌握。
2. 小组讨论，学生互相交流解题思路和方法，共同提高解决问题的能力。
四、拓展延伸（10分钟）1. 鼓励学生思考更复杂的数学问题和场景，拓展应用化归思想解决问题的能力。
2. 讲解化归思想在数学领域中的重要性和应用价值。
五、总结与作业（5分钟）1. 回顾本节课的重点内容，强调化归思想的重要性。
2. 布置相关作业，巩固学生对化归方法的掌握与运用。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该对化归思想有一个清晰的认识，并能够熟练运用该方法解决数学问题。
在今后的教学中，要不断引导学生加深对化简与化归的理解，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
化归思想教案
解：过D作DE⊥AC交BC的延长线于E，则得AD=CE、AC=DE．所以BE=BC+CE=8．
因为AC⊥BD，所以BD⊥DE．
因为AB=CD，所以AC＝BD．所以GD=DE．
（1） ; (2)
(3) (4)
14．已知
15．如图3－l－9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60○，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长．
16．求直线y=3x＋1与y=1－5x的交点坐标。
提交时间
教研组长审批
教研主任审批
【例2】解方程：
解：令y= x—1，则2 y2—5 y +2=0．
所以y1=2或y2=，即x—1＝2或x—1=．
所以x＝3或x=故原方程的解为x＝3或x=
点拨：很显然，此为解关于x－1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x—1）所以可将设为y，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y的一元二次方程，问题就简单化了．
2、划归思想的思维模式：
客观问题 数学问题 数学模型 得解
3、中学数学中，常见的化归基本形式
数与数之间的转化
形与形之间的转化
数与形之间的转化
实际问题与数学模型之间的转化
化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性。一个数学问题，组成主要元素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，其形式并非唯一，而是多种多样。所以应用数学变换的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循。因此，我们必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，具体问题具体分析，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。
高考数学专题复习转化与化归思想教案
高考数学专题复习——转化与化归思想教案一、教学目标1. 理解转化与化归思想的本质，掌握其在数学解题中的应用方法。
2. 通过典型例题，体会转化与化归思想在解决数学问题中的重要性。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，为高考数学复习打下坚实基础。
二、教学内容1. 转化与化归思想的定义及意义2. 常见转化与化归方法a. 代数化归b. 几何化归c. 物理化归d. 数形结合化归3. 转化与化归思想在高考数学中的应用实例三、教学重点与难点1. 重点：理解转化与化归思想的本质，掌握各类转化与化归方法。
2. 难点：如何在实际问题中灵活运用转化与化归思想。
四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何将问题转化为更易解决的形式，从而引出转化与化归思想。
2. 讲解：详细阐述转化与化归思想的定义、意义及各类方法。
3. 实例分析：分析高考数学中的典型题目，展示转化与化归思想在解决问题中的重要作用。
4. 练习：让学生尝试解决一些转化与化归问题，巩固所学方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调转化与化归思想在数学学习中的重要性。
五、课后作业1. 复习本节课所讲内容，总结转化与化归思想的方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 搜集一些高考数学中的转化与化归问题，进行自主研究。
六、教学策略与方法1. 案例分析：通过分析具体的数学问题，让学生感受转化与化归思想在解题中的重要性。
2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己在解决问题时运用转化与化归思想的心得体会。
3. 练习巩固：布置针对性的课后练习，让学生在实践中运用所学知识，提高解题能力。
4. 反馈评价：及时给予学生反馈，评价他们在解决问题时运用转化与化归思想的准确性及效果。
七、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂讨论、提问等方面的积极性，评价他们对转化与化归思想的理解程度。
2. 课后练习：检查学生完成的课后练习题，评估他们在实际问题中运用转化与化归思想的准确性。
三角函数复习教案 整理
《三角函数》复习教案【知识网络】学法：1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．第1课三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．掌握终边相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．知识典例：1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y=x上D．在直线y=－x上．3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα} ，tanα= ．4．tan(－3)cot5cos8的符号为．5．若cosθtanθ＞0，则θ是( ) A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P （－ 3 ，m ），且sin θ=24m ，求cos θ与tan θ的值． 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程．解 由题意知r= 3＋m 2 ，则sin θ= m r = m3＋m 2．又∵sin θ=2 4m ， ∴ m 3＋m 2= 24 m ． ∴m=0，m=±5 ． 当m=0时，cos θ= －1 ， tan θ=0 ； 当m= 5 时，cos θ= －6 4， tan θ= － 153； 当m= － 5 时，cos θ= －6 4，tan θ=153． 点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决．例2 已知集合E=｛θ｜cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tan θ＜sin θ}，求集合E ∩F ．分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之．解 E=｛θ｜π4 ＜θ＜5π4}， F =｛θ｜ π2＜θ＜π，或3π2＜θ＜2π}，∴E ∩F=｛θ｜π2＜θ＜π}．例3 设θ是第二象限角，且满足｜sin θ2|= －sin θ2 ，θ2是哪个象限的角?解 ∵θ是第二象限角， ∴2k π+π2＜θ＜2k π+3π2，k ∈Z ． ∴k π+π4＜θ2＜k π+ 3π4，k ∈Z ． ∴θ2是第一象限或第三象限角． ① 又∵｜sin θ2|= －sin θ2 ， ∴sin θ2＜0. ∴ θ2是第三、第四象限的角． ②由①、②知，θ2是第三象限角． 点评 已知θ所在的象限，求θ2或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错． 【知能集成】注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式． 【训练反馈】1． 已知α是钝角，那么α2是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一与第二象限角D ．不小于直角的正角2． 角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cos α的值是 （ ）A ．3 5 B ． 45 C ．－ 35 D ．－ 453．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4)B ．( π4， π2)∪(π， 5π4)C ．(π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2) D ．( π4， π2 )∪(3π4，π) 4．若sinx= － 35，cosx =45 ，则角2x 的终边位置在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－ 2π3终边相同，则α= ．6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为 ． 8．如果θ是第三象限角，则cos(sin θ)·sin(sin θ)的符号为什么？9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．第2课 同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin αcos α=tan α，tan αcot α=1， 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ． 【知识在线】1．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( ) A ． 14 B ． 34 C ． 114 D ． 942．已知sin(π+α)=－35，则 ( )A ．cos α= 45B ．tan α= 34C ．cos α= －45D ．sin(π－α)= 353．已tan α=3，4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值为 ．4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ= 59，那么sin2θ等于 ( )A ．2 23 B ．－2 2 3 C ．23 D ．－ 23【讲练平台】例1 化简sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α)．分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α)(-cos α)(-tan α)= sin α·cos αsin αcos α=1 ．点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．分析 已知式为sin θ、cos θ的二次式，欲求式为sin θ、cos θ的一次式，为了运用条件，须将cos θ－sin θ进行平方．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34．∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ．∴cos θ－sin θ= －32． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值． 变式2 已知cos θ－sin θ= －32， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 点评 sin θcos θ，cos θ+sin θ，cos θ－sin θ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．分析 因为cos 2θ+sin θcos θ是关于sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成tan θ的式子．解 原式=cos 2θ+sin θcos θ= cos 2θ+sin θcos θ cos 2θ+sin 2θ = 1+tan θ 1+tan 2θ = 25 ．点评 1．关于cos θ、sin θ的齐次式可转化成tan θ的式子．2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos 2θ等．【知能集成】1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos 2θ．3．要注意观察式子特征，关于sin θ、cos θ的齐次式可转化成关于tan θ的式子． 4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题 ． 【训练反馈】1．sin600°的值是 （ ） A ．12 B ．－ 12 C ． 3 2 D ．－ 3 22． sin(π4+α)sin （π4－α）的化简结果为 （ ）A ．cos2αB ．12cos2αC ．sin2αD ． 12sin2α3．已知sinx+cosx=15，x ∈［0，π］，则tanx 的值是 （ ）A ．－34B ．－ 43C ．±43D ．－34或－434．已知tan α=－13，则12sin αcos α+cos 2α = ．5．1－2sin10°cos10° cos10°－1－cos 2170°的值为 ．6．证明1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α1－tan α．7．已知2sin θ+cos θsin θ－3cos θ=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知锐角α、β、γ满足sin α+sin γ=sin β，cos α－cos γ=cos β，求α－β的值．第3课 两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题． 【知识在线】1．cos105°的值为 （ ） A ．6 ＋ 2 4 B ． 6 － 2 4 C ． 2 － 6 4 D ． － 6 － 242．对于任何α、β∈（0，π2），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是 （ ） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin β C ．sin(α+β)=sin α+sin β D ．要以α、β的具体值而定 3．已知π＜θ＜3π2，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于 （ ）A ． a+1B ．－ a+1C ． a 2+1D ．±a 2+1 4．已知tan α=13，tan β=13，则cot(α+2β)= ．5．已知tanx=12，则cos2x= ．【讲练平台】例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12，求cos(α－β)的值 ．分析 由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cosβ的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 12， ②①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= 1336． ∴cos(α－β)=7259． 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．例2 求 2cos10°-sin20°cos20° 的值 ．分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解 ∵10°=30°－20°，∴原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30°cos20°= 3 ．点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例3 已知：sin(α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，∴sin ［(α+β)+α］=－2sin ［(α+β)－α］．∴sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=－2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α． 若cos(α+β)≠0 ，cos α≠0，则3tan(α+β)=tan α．点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体 【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想． 【训练反馈】1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45，则sin β等于 （ ）A ．0B ．0或2425C ． 2425D ．0或－24252．sin7°+cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8° 的值等于 （ ）A ．2+ 3B ．2+ 32 C ．2－3 D ． 2－ 3 23． △ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 （ ）A ．π6 B ． 5π6 C ． π6或5π6 D ． π3或2π34．若α是锐角，且sin(α－π6)= 13，则cos α的值是 ． 5．cos π7cos 2π7cos 3π7= ．6．已知tan θ=12，tan φ=13，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．7．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．8． 已知sin(α+β)= 12，且sin(π+α－β)= 13，求tan αtan β．第4课 两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题． 【知识在线】 求下列各式的值1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 2．12（cos15°+ 3 sin15°）= ． 3．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ． 5．11－tan θ－ 11＋tan θ= ． 【讲练平台】例1 求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；(2) （ 3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2．(1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+ 3 tan10°tan50°= 3 ． （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．解 原式= （ 3 ·sin12°cos12°－3）1 sin12°2 cos24° =︒︒-︒24cos 212sin 312cos 3=︒︒-︒=︒︒︒︒-︒48sin 21)12cos 2312sin 21(3224cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3=.3448sin )6012sin(34-=︒︒-︒点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB ），asinx+bsinx=22b a +sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．例2 求证1+sin4θ-cos4θ2 tan θ = 1+sin4θ+cos4θ1-tan 2θ．分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4θ-cos4θ 1+sin4θ+cos4θ =2tan θ1-tan 2θ ，此式的右边等于tan2θ，而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．证略点评 注意倍角公式cos2α=2cos 2α－1，cos2α=1－2sin 2α的变形公式：①升幂公式1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin 2α，②降幂公式sin 2α= 1-cos2α2 ，cos 2α= 1＋cos2α2的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．例3 已知cos(π4+x)= 35，17π12＜x ＜ 7π4，求sin2x ＋sin2xtanx 1-tanx的值．解 原式= sin2x （1＋tanx ） 1-tanx =sin2x ×tan π4＋tanx 1-tan π4tanx=sin2xtan （π4+x ）= －cos ［2(x+π4)］tan(x+π4)= －［2cos 2(x+ )－1］tan （π4+x ）∵17π12＜x ＜ 7π4， ∴ 5π3＜x+π4＜2π． ∴sin(π4+x) = －45 ，∴tan （π4+x ）=－ 43．∴原式 = －2875． 点评 （1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan π4等；（3）注意化同角，将所求式中的角x 转化成已知条件中的角x+π4．【知能集成】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB ］；asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用． 【训练反馈】1．cos75°+cos15°的值等于 （ ） A ． 6 2 B － 6 2 C ． － 2 2 D ． 2 22．a=2 2（sin17°+cos17°），b=2cos 213°－1，c= 2 2，则 （ ） A ．c ＜a ＜b B ． b ＜c ＜a C ． a ＜b ＜c D ． b ＜a ＜c 3．化简1+sin2θ-cos2θ 1+sin2θ+cos2θ= ．4．化简sin(2α+β)－2sin αcos(α+β)= ．5．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2+tan C 2+ 3 tan A 2tan C2的值为 ．6．化简sin 2A+sin 2B+2sinAsinBcos(A+B)．7 化简sin50°(1+ 3 tan10°)．8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．第5课 三角函数的图象与性质（一）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质． 【知识在线】1．若 3 +2cosx ＜0，则x 的范围是 ． 2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是 （ ）A ．[π2，π]B ． ［0，π4］C ． ［－π，0］D ． [π4，π2]3．下列函数中，周期为π2的偶函数是 （ ）A ．y=sin4xB ． y=cos 22x －sin 22xC ． y=tan2xD ． y=cos2x 4．判断下列函数的奇偶性（1）y=xsinx+x 2cos2x 是 函数；（2）y=｜sin2x ｜－xcotx 是 函数；（3）y=sin(7π2+3x)是 函数．5．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为 ． 【讲练平台】 例1 （1）函数y=xx sin 21)tan 1lg(--的定义域为(2)若α、β为锐角，sin α＜cos β，则α、β满足 （C ）A ．α＞βB ．α＜βC ．α+β＜π2D ． α+β＞π2分析 （1）函数的定义域为⎩⎨⎧>>0.2sinx -10,tanx -1 (*) 的解集，由于y=tanx 的最小正周期为π，y=sinx 的最小正周期为2π， 所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx 和y=sinx 的图象先求出(－π2， 3π2)上满足（*）的x 的范围，再据周期性易得所求定义域为{x ｜2k π－π2＜x ＜2k π+π6 ，或2k π+ 5π6＜ x ＜2k π+5π4 ，k ∈Z} ．分析（2）sin α、cos β不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos β转化成sin(π2－β)，运用y=sinx 在［0，π2］的单调性，便知答案为C ． 点评 （1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．例2 判断下列函数的奇偶性：(1)y=x x x cos 1cos sin +-； (2)y=.cos sin 1cos sin 1xx xx +--+分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)是否等于f(x)或－f(x) ．解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos 2 x2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数．（2）定义域不关于原点对称（如x=－π2，但x ≠π2），故不是奇函数，也不是偶函数．点评 将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．例3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π3) ；(2)y=.)32cos(2cos )32sin(2sin ππ++++x x x x分析 对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．解 （1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π2－π6)= 12sin(4x －π3)， 所以最小正周期为2π4 = π2． （2）y=23)2(sin 21)2(cos 2cos 23)2(cos 21)2(sin 2sin ⨯-⨯+⨯+⨯+x x x x x x =x x x x 2sin 232cos 232cos 232sin 23-+ =).62tan(2tan 331332tan 2tan 312tan 3π+=-+=-+x x x x x ∴是小正周期为π2． 点评 求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k 或y=Acos(ωx+φ) ＋k 或y=Atan(ωx+φ) ＋k 的形式（其中A 、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．例4 已知函数f(x)=5sinxcosx －53cos 2x+235 (x ∈R) ． (1)求f(x)的单调增区间；（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．分析 函数表达式较复杂，需先化简．解 f(x)= 52sin2x －53×1+cos2x 2＋235 =5sin(2x －π3)． （1）由2k π－π2≤2x －π3≤2k π+π2，得［k π－π12 ，k π+5π12］（k ∈Z ）为f(x)的单调增区间．（2）令2x － π3=k π+π2，得x= k 2π+5π12 （k ∈Z ），则x= k 2π+5π12（k ∈Z ）为函数y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x －π3 =k π，得x=k 2π+π6（k ∈Z ），∴ y=f(x)图象的对称中心为点（k 2π+π6，0）（k ∈Z ）． 点评 研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t ，从而归结为讨论y=Asint 的单调性．【知能集成】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决．【训练反馈】1．函数y=lg(2cosx －1)的定义域为 （ ）A ．{x ｜－π3＜x ＜π3}B ．{x ｜－π6＜x ＜π6｝ C ．{x ｜2k π－π3＜x ＜2k π+π3，k ∈Z} D ．{x ｜2k π－π6＜x ＜2k π+π6，k ∈Z} 2．如果α、β∈（π2，π），且tan α＜cot β，那么必有 （ ） A ．α＜β B ． β＜α C ． α+β＜3π2 D ． α+β＞3π23．若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 （ ）A ．sinxB ． cosxC ． sin2xD ． cos2x4．下列命题中正确的是 （ ）A ．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sin α＞sin βB ．函数y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k π－π2，2k π+π2），k ∈Z C ．函数y=1－cos2x sin2x的最小正周期是2π D ．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y 轴对称，则φ=k π2＋π4，k ∈Z 5．函数y=sin x 2+cos x 2在（－2π，2π）内的递增区间是 ． 6．y=sin 6x+cos 6x 的周期为 ．7．比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4；(2)cos 2θ，sin 2θ，tan 2θ（π4＜θ＜π2）．8．设f(x)=sin(k 5x+π3) (k ≠0) ． (1)写出f(x)的最大值M ，最小值m ，以及最小正周期T ；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M 与m ．第6课 三角函数的图象与性质（二）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．【知识在线】1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ ）A ．y=cosx+1B ．y=cosx －1C ．y=－cosx+1D ．y=－cosx －12．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 （ ）A ． (12k π，0)， k ∈ZB ．（13k π，0）， k ∈Z C ．（14k π，0）， k ∈Z D ．（k π，0），k ∈Z 3．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为 （ ）A ．x=－－π2B ．x=－ π4C ．x= π8D ．x=π 4．为了得到函数y=4sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin(x+π4)的图象上所有点（ ） A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变． 5．要得到y=sin(2x － π3)的图象，只需将y=sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移π3个单位B ． 向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ． 向右平移π6个单位 【讲练平台】例1 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．分析 求函数的解析式，即求A 、ω、φ的值．A 与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即T 2=3π．得 T=6π，所以ω=13．所以y=2sin(x 3+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(x 3 ＋π6）． 解略点评 y=Asin(ωx+φ)中的A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 解：（1）T= 13π3－ π3 =4π．∴ω=2πT = 12 ．又A=3，由图象可知 所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π3而得到的． ∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)． (2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）． 点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例3 已知函数y=12cos 2x+ 3 2sinxcosx+1 (x ∈R)． (1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解 (1)y= 12·1+cos2x 2 + 3 2·12 sin2x +1= 12sin(2x+π6)+ 54． 当2x+π6 =2k π+π2 ，即x=k π+π6，k ∈Z 时，y max = 74． (2）由y=sinx 图象左移π6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移 54个单位即可．思考 还有其他变换途径吗？若有，请叙述．点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．【知能集成】已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A 、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sin ωx 和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．【训练反馈】1．函数y= 12sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是 （ ） A ．θ=2k π+π2 B ．θ=k π+π2C ．θ=2k π+πD ．θ=k π+π(k ∈Z) 2．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ）A ．y=sin(－2x+π3 )B ．y=sin(－2x －π3) C ．y=sin(－2x+ 2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π3)3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成 （ ）A ．sin(1+x)B ． sin(－1－x)C ．sin(x －1)D ． sin(1－x)4．y=tan(12x －π3)在一个周期内的图象是 （ ）5．已知函数y=2cosx(0≤x ≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是 ．6．将y=sin(3x － π6)的图象向（左、右） 平移 个单位可得y=sin(3x+π3）的图像． 7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值12，当x=4π9时取得最小值－ 12，若A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2，求该函数的解析表达式．8．已知函数y= 3 sinx+cosx ，x ∈R ．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b ．（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式． -B A C D第7课 三角函数的最值【考点指津】掌握基本三角函数y=sinx 和y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题．【知识在线】1．已知（1）cos 2x=1.5 ；(2)sinx －cosx=2．5 ；(3)tanx+1tanx =2 ；(4)sin 3x =－ π4．上述四个等式成立的是 （ ）A ．（1）（2）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（1）（3）2．当x ∈R 时，函数y=2sin(2x+π12)的最大值为 ，最小值为 ，当x ∈〔－5π24， π24〕时函数y 的最大值为 ，最小值为 . 3．函数y=sinx － 3 cosx 的最大值为 ，最小值为 ．4．函数y=cos 2x+sinx+1的值域为 ．【讲练平台】例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值． 分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2 当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π8 (k ∈Z)时，y max = 2 +2 ．点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=a 2+b 2 sin （x+φ）．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值． 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2(θ+π4)－1］ =－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1=－2［cos(θ+π4)－14］2+98． ∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π3］． ∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2， ∴y 最小值 = 3 －12 ． 点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题．解 令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2+1=(t+12)2+34，且t ∈［－ 2 ， 2 ］， ∴y min =34 ，y max =3+ 2 ．点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12． 【训练反馈】1．函数y =12+sinx+cosx 的最大值是 （ ） A ． 2 2 －1 B ． 2 2 ＋1 C ． 1－ 2 2 D ． －1－ 2 22．若2α+β=π，则y=cos β－6sin α的最大值和最小值分别为 （ ）A ．7，5B ． 7，－112 C ． 5，－112D ． 7，－5 3．当0≤x ≤π2时，函数f(x)= sinx+1 cosx+1的 （ ） A ．最大值为2，最小值为12 B ．最大值为2，最小值为0 C ．最大值为2，最小值不存在 D ．最大值不存在，最小值为04．已知关于x 的方程cos 2x －sinx+a=0，若0＜x ＜π2时方程有解，则a 的取值范围是（ ） A ．［－1，1］ B ．（－1，1） C ．［－1，0］ D ．（－∞，－54）5．要使sin α－ 3 cos α= 4m －6 4－m有意义，则m 的取值范围是 ． 6．若f(x)=2sin ωx(0＜ω＜1），在区间［0，π3］上的最大值为 2 ，则ω= ．三、解答题7．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0， π3］时函数y 的最大值．8．已知函数f(x)=－sin 2x －asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a ＞0，求a ，b的值．9．已知函数f(x)=2cos 2x+ 3 sin2x+a ，若x ∈［0，π2］，且｜f(x)｜＜2，求a 的取值范围．第8课 解斜三角形【考点指津】掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题．【知识在线】1．△ABC 中，若sinAsinB ＜cosAcosB ，则△ABC 的形状为 ．2．在△ABC 中，已知c=10，A=45°，C=30°，则b= ．3．在△ABC 中，已知a= 2 ，b=2，∠B=45°，则∠A 等于 （ ）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°4．若三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为 （ ）A ．60°B ． 90°C ． 120°D ． 150°5．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有灯塔，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测灯塔A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是 （ ）A ．10 6 kmB ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10（ 6 ＋ 2 ）km【讲练平台】例1 在△ABC 中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×12 3 = 3 2， ∴∠C=60°，或∠C=120°． ∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6．当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析 欲判断△ABC 的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．解 方法一：由余弦定理，得 a ·（b 2+c 2—a 22bc ）=b ·（a 2+c 2—b 22ac ），∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ．∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ．∴a 2－b 2=0，或c 2－a 2－b 2=0．∴a=b ，或c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或2A=π－2B ．∴A=B ，或A+B=π2． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．例3 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程．解 连结BD ，则有四边形ABCD 的面积 S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ． ∵A+C=180°， ∴sinA=sinC ．故S=12（2×4+6×4）sinA=16sinA ． 在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB 中，由余弦定理，得BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cosC=52－48cosC ．∴20－16cosA=52－48cosC ．∵cosC=－cosA ， ∴64cosA=－32，cosA=－ 12． 又∵0°＜A ＜180°，∴A=120°． 故S=16sin120°=8 3 ． 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用． 例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b · A B CD O下端距水平视线a 米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析 如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB 的目标函数．由于已知有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解 设观察者距墙壁x 米的P 处观察，PC ⊥AB ，AC=b ，BC=a(0＜a ＜b)，则∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xa xb x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x ≤b —a 2ab ， 当且仅当x= ab x, 即x=ab 时，y 最大． 由θ∈（0，π2）且y=tan θ在（0，π2）上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大． 点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题．【知能集成】运用正弦定理或余弦定理，有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子，然后进行代数或三角恒等变形，问题往往可以得解．在解决较复杂的几何问题时，要注意两个三角形公用边的运用． 【训练反馈】1．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 3 4，则该三角形是 （ ） A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或直角三角形2．在△ABC 中，已知（b+c ）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为 （ ）A ．120°B ．150°C ．60°D ．90°3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cosB －sinA ，sinB －cosA ）在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．5．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 ．6．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．7．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小．8．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC ，问点在什么位置时，四边形OACB 大面积．【单元检测】单元练习（三角函数）（总分100分，测试时间100分钟）一、选择题：本大题共12小时，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α满足sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若f(x)sinx 是周期为π的偶函数，则f(x)可以是 （ ） A ．sin2x B ． cosx C ． sinx D ． cox2x3．若sinx=m －3m+5，cosx=4－2 m m+5，且x ∈［π2，π］，则m 的取值范围为 （ ）A ．3＜m ＜9B ． m=8C ． m=0D ． m=0或m=8 4．函数f(x)=log 13(sin2x+cos2x)的单调递减区间是 （ ）A ．（k π－π4，k π+π8）(k ∈Z)B ．（k π－π8，k π+π8）(k ∈Z)C ．（k π+π8，k π+3π8）(k ∈Z)D ．（k π+π8，k π+ 5π8）(k ∈Z)5．在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是 （ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 6．△ABC 中，∠A=60°，b=1，其面积为 3 ，则a+b+csinA+sinB+sinC 等于 （ ）A ．3 3B ．239 3C ．26 3 3D ．3927．已知函数y= 2 cos(ωx+φ)(0＜φ＜π2）在一个周期内的函数图象如图，则 （ ）A ．T=6π5，φ= π4B ．T=3π2，φ=π4C ．T=3π，φ=－ π4D ．T=3π，φ= π48．将函数y=f(x)sinx 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则f(x)可以是（ ） A ．cosx B ．2cosx C ．sinx D ．2sinx9．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a ，b ］上是增函数，且f(a)=－M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在区间［a ，b ］上 （ ） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M10．在△ABC 中，∠C ＞90°，则tanA ·tanB 与1的关系适合 （ ）A ．tanA ·tanB ＞1 B ．anA ·tanB ＜1C ．tanA ·tanB=1D ．不确定 11．设θ是第二象限角，则必有 （ A ）A ．cot θ2＜tan θ2B ．tan θ2＜cot θ2C ．sin θ2＞cos θ2D ．sin θ2＜cos θ212．若sin α＞tan α＞cot α(－π2＜α＜π2}，则α∈ （ ）A ．（－π2，－ π4 ）B ．（－π4，0）C ．（0，π4）D ．（π4，π2）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上．13．sin390°+cos120°+sin225°的值是 ． 14．sin39°－sin21°cos39°－cos21°= ．15．已知sin θ+cos θ= 15，θ∈（０，π），cot θ的值是 ．16．关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x ∈R)，有下列命题：（1）y=f(x)的表达式可改写为y=4·cos(2x －π6)；(2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点（－π6，0）对称； （4）y=f(x)的图象关于直线x=－π6对称． 其中正确的命题序号是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题8分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P （－1，2），求sin(2α+2π3)的值．18．（本小题8分）已知sin 22α+sin2αcos α－cos2α=1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．19．(本小题9分)设f(x)=sin 2x －asin 2x2，求f(x)的最大值m ．20．(本小题9分)已知α、β∈（0，π4），且3sin β=sin(2α+β)，4tan α2 =1－tan 2α2，求α+β的值．21．（本小题9分）某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作y=f(t)，下面是某日水深的数据：。
三角函数的图像和性质(说课案)
三角函数的图像和性质(第一课时说课案) 下面我将从四个方面说明本节课的教学设计。
一、教材分析二、教学方法分析三、教学流程四、教学说明一、教材分析1、地位与作用：本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正、余弦函数性质的基础。
对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。
2、学情分析：（1）知识与技能：学生已掌握了一些初等基本函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。
（2）心理与生理：高一上学期的学生已经对高中数学体系中函数问题的处理方法和过程有了初步认识，且具有了较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的交流沟通能力。
3、教学目标（1）知识与技能目标：通过研究掌握正弦函数图像及其画法；掌握余弦函数图像；深刻理解五点作图法中五点（零点、最高点、最低点）的本质即：图像中走向趋势发生变化的点。
（2）过程与方法：通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使对正弦函数单调、对称、“周而复始”等性质的认知更为深刻。
（3）情感态度与价值观：用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。
4、重、难点分析：（1）重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数在]2,0[π的图象、“五点法”作图；（2）难点：如何由正弦函数在]2,0[π上的图象得到正弦函数在R上的图象；如何在正弦函数的图像上找出“五点”。
二、教学方法教学方法：演示法、示范教学法、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价。
学习方法：观察发现、合作交流、归纳总结、反馈模仿。
教学手段：运用多媒体网络教学平台，构建学生自主探究的教学环境。
三、教学流程1、复习、引入：复习内容有：描点作函数图像的一般步骤；弧度定义；正、余弦函数定义；正弦线、余弦线；诱导公式。
设置的目的是让学生再次回顾弧度的定义（强调弧度与实数一一对应的关系）与正弦线（实质是函数值），为利用正弦线作出正弦函数的图像做准备。
数学思想方法之转化与化归学案
数学之化归与转化学案2007年12月5日星期三引言：所谓化归与转化的思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略。
一般情况下，总是将复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题转化为较容易的求解的问题，将未解决的问题化归为已解决的问题，等等。
化归与转化的思想是解决数学问题时经常使用的基本思想方法，它的主要特点是灵活性与多样性。
一个数学问题，我们可以视其为一个数学系统或数学结构，组成其要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，但其变形并不唯一，而是多种多样的。
所以，应用数学变换的方法去有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循。
在此正需要我们依据问题本身所提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻找有利于问题的途径和方法，并从中进行选择。
高考十分重视对化归和转化思想的考查。
要求考生熟悉数学变换的思想，有意识地运用变换的方法去灵活解决有关的数学问题。
高考中重点考查一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化，等等。
课题化归与转化的思想关键词化归转化一、从曹冲称象谈起三国时候，魏王曹操有个小儿子，名字叫作曹冲。
曹冲自幼聪明伶俐、智慧过人，深得曹操的宠爱。
曹冲做事爱开动脑筋、勤于思考，才只有五六岁的年纪，就可以想出办法来解决一些连大人都束手无策的问题。
有一天，吴王孙权派人给曹操送来了一头大象作为礼物。
北方是没有大象的，曹操第一次见到这样的庞然大物，心下很是好奇，就问送大象来的人说：“这头大象究竟有多重呢？”来人回答：“鄙国从来没有称过大象，也没有办法称，所以不知道大象有多重。
早就听说魏王才略过人，手下谋士众多，个个都智慧超群，请您想个办法称称大象的重量，也让我等领教一下北方大国的风范。
”曹操顿时明白这是孙权给他出的一道难题，他可绝对不能丢这个面子，让国威受损。
于是他召集群臣，传令下去：能称出大象的重量的人，重重有赏。
大家都绞尽了脑汁，苦苦思索。
人教新版化归与转化的思想方法(教案)
化归与转化的思想方法（教案）课题：化归与转化的思想方法专题延寿一中吴东鹏一、教学目标：1、知识目标：⑴理解并掌握化归与转化的思想方法；⑵用哲学观点认识化归与转化的思想方法。
2、能力目标：⑴能运用“化归与转化的思想方法”解决具体条件下的数学问题；⑵培养学生观察、分析、处理问题的能力，提高思维品质；⑶形成运动变化，对立统一的观点。
3、情感目标：在解题中，让学生体会熟悉化,简单化,和谐化,直观化,正难则反的数学妙味.二、教学重点、难点教学重点：对“化归与转化的思想方法”的理解及运用教学难点：“化归与转化的思想方法”的运用三、教法、学法指导教法：四环递进教学法学法指导：⑴培养敏锐的洞察能力，类比能力；⑵找准目标模型，将待解决问题转化为目标模型；⑶学会用化归与转化的思想方法处理高中数学的问题；四、教学过程1、知识整理提出问题：结合以前解有关化归与转化题目方面的经验或体会，能否谈谈化归与转化的思想方法：⑴、在运用已学知识解答一类问题时，不同问题要求运用不同知识，这就要求人们运用类比法，找准某一数学模型为目标模型，通过恰当的手段把问题化归为目标模型，再运用目标模型的内在数学规律，使问题获解，其思维程序是客观问题经抽象数学化→数学问题，经类比化归，找准目标模型把问题转化成模型→数学模型，经求解，运用模型→得解。
⑵、实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式，从宏观上可以实现学科间的化归，也可以调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，在解题中可以多次使用化归，使问题逐次达到规范化、模式化。
⑶、解题的过程就是化归的过程，不断地改变你的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些能用的东西，解决问题为止。
2、范例选讲例1：设4()42xx f x =+，求122006()()()200720072007f f f +++L 解：1144()(1)4242a aa a f a f a --+-=+++Q 4442424a a a =+++⨯4214242a a a =+=++ 122006()()()200720072007f f f ∴+++L 120062************[()()][(()[(()]200720072007200720072007f f f f f f =+++++L 10031111003=+++=L 14243点评：1。
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三角函数的化归思想学案
（水平测试专题）
班别： 姓名：
确立该专题背景：回顾近几年的水平测试真题，每年都会有三角函数的化归思想的选择题或者综合大题，题目难度中等，总结此类题目的解法思路，以帮助同学们提高三角函数的解题能力。
归纳起来，主要有以下两种题型：
类型一：直接运用sin cos y a x b x =+思路与方法，将含有sin x 与cos x 的三角函数式子转化为只与sin x 或cos x 有关的函数式，再根据三角函数的性质解决相关问题。
sin cos sin ______cos ______sin ______cos ______)
b a y a x b x
x x x x x ϕ==+===+ϕϕ n ）
+ ）
+ ）
（其中为辅助角，ta
往年题目回顾：
例1、（08年·第4题）函数sin cos y x x =+的最大值为（ ）
A.2
B.
C.
D. 2-
例2、（06年·第16题）已知函数()sin 2cos 2()x x x x R ƒ=-∈
(1)求函数()x ƒ的最小正周期。
（2）求函数()x ƒ的最大值，并写出此时自变量x 的集合。
变式训练1：
1、函数sin cos y x x =-的最小正周期是：
2、函数sin 2y x x =的最大值是： 最小正周期： ，
单调增区间是： 。
3、已知函数12cos 22
y x x =+， （1）若将函数化为 sin
2_______y A x ϕϕ=+=（）的形式,则A=______ ，。
（2）函数12cos 22
y x x =+的图像可由函数sin 2y x =的图像怎样平移得到？（ ）。
A.向右平移
6
π B. 向右平移12π C. 向左平移6π D.向左平移12π
4、（P76，第16题）已知()cos ()x x x x R ƒ+∈，
（1）求()x ƒ的最大值；
（2）该函数的图像可由函数sin y x =的图像经过怎样的平移和伸缩得到？
类型二（降幂运算）：常见的题型运用以下公式：22cos sin ______cos2_______________________________________sin2_____________θθθθ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
+===== 将三角函数式进行恒等变换，变为符合sin cos y a x b x =+的形式，再用类型一的方法解答。
例3、（P76 第17题）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,.x x x x x x R ƒ=++∈
(1)求函数()x ƒ的最小正周期；
（2）求函数()x ƒ的单调递增区间.
变式训练2：
1、（05年·16题）已知函数22()cos 2sin cos sin x x x x x ƒ=+-
（1）将()x ƒ化简成()sin(x A x A ƒ=ω+ϕ)(>0,ω>0)的形式。
（2）利用“五点法”画函数()x ƒ在一个周期内的简图。
课外作业：
1、函数sin 2cos 2y x x =-的最大值是： 最小正周期： ，
2、已知函数2()2sin 2sin cos 1,.x x x x x R ƒ=+-∈
（1） 求函数()x ƒ最小正周期；
（2） 求函数()x ƒ的单调减区间.。