5.2乘法公式 课件(人教版八年级上册) (4)
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式教学课件
=a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4) =x8–y8.
课堂检测
能力提升题
先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3， 其中x＝2.
1. 公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
探究新知
(a–b)(a+b)
(1+x)(1–x) (–3+a)(–3–a) (1+a)(–1+a) (0.3x–1)(1+0.3x)
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
探究新知
平方差公式
相同为a
5.2 解一元一次方程课时1-合并同类项 课件(共30张PPT)
420
书．
新课讲解
练一练
2. 某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，
这三年的总产值为550万元.2021年的产值是多少万元？
解：设2021年的产值是x万元，则2022年的产值是1.5x万元，2023年的
13=-x
D. 由 6x-2-4x＋2＝0，得 2x＝0.
当堂小练
2
2. 将方程− = 1的系数化为1时，下列做法正确的是（ C ）
3
A．方程两边同时加上
1
3
C．方程两边同时除以−
B．方程两边同时减去
2
3
2
3
D．方程两边同时乘以−
2
3
当堂小练
3. 解下列方程：
（1）2x + 3x + 4x = 18
解：合并同类项，得
9x = 18
系数化为1，得
x=2
（2）13x - 15x + x = -3
解：合并同类项，得
-x = -3
系数化为1，得
x=3
当堂小练
3. 解下列方程：
（3）2.5y + 10y - 6y = 15 - 21.5
解：合并同类项，得
6.5y = - 6.5
系数化为1，得
y = -1
解：设前年购买计算机x台，则去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台.
列得方程得 + 2 + 4 = 140.
把含有x的项合并同类项，得 7 = 140.
系数化为1，得x=20.
答：前年这所学校购买了20台计算机.
乘法公式的综合运用PPT教学课件(数学人教版八年级上册)
初中数学
初中数学
例题讲解
例 运用乘法公式计算： (1) (x+2)(x2+4)(x−2) ； (2) (x+2y)2(x−2y)2； (3) (x+y)2−(x−y)2．
例题讲解
例 运用乘法公式计算：
解： (1) (x+2)(x2+4)(x−2)
= (x+2)(x−2)(x2+4) = (x2−4)(x2+4)
方法一：
完全平方公式： (a±b)2 = a2±2ab+b2.
平方差公式： (a+b)(a−b) =a2−b2.
a
ba
= (x2+4y2)2−(4xy)2
初中数学
b = x 4− 8 x 2y 2+16y 4；
初中数学
例题讲解
例 运用乘法公式计算：
方法二：
解： (2) (x+2y)2(x−2y)2
初中数学
例题讲解
例 运用乘法公式计算：
解： (1) (x+y+1)(x+y−1)
平方差公式：
= [ ( x + y ) +1 ][ ( x +y )−1 ] (a+b)(a−b) =a2−b2.
ab a
= (x+y)2−1 = x2+2xy+y2−1;
b 两数和的完全平方公式： (a+b)2 = a2+2ab+b2.
a
b
= [(x+y)+(x−y)][(x+y)−(x−y)]
= (x+y+x−y)(x+y−x+y)
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式教学课件
探究新知
归纳总结 对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式.在探究整除性或 倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整 除性或倍数关系．
巩固练习
4. 如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为 正整数)，证明两个连续整数的平方差是8的倍数.
不符合平方差公式运
=10000 – 4
= y2–4–y2–4y+算5 条件的乘法，按乘法法
则进行运算.
=9996；利用通平过方合差理公变式形，，可= – 4y + 1.
以简化运算.
巩固练习
2. 计算:
(1) 51×49; 解: (1) 原式=(50＋1)(50–1)
= 502–12 =2500 – 1 =2499；
(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
人教版 数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新知
观察与思考
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法. 1. 掌握平方差公式的推导及应用.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
人教版数学八年级上册《14.2乘法公式》课件
14.2.1平方差公 式
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)； (3) (3－x)(3+x) ；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)= (-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
（4）51×49= (50+1)(50-1) =502－12 =2500-1 =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)= (9x2－16) - (6x2+5x -6
=3x2－5x+10
活动5 科学探究
(2) (a+2)(a－2)； (4) (2x+1)(2x－1).
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 . 平方差公式:
(a+b)(a－ b)= a2－ b2. 即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方
(－ m+n) (－ m － n) = m2 － n2.
请从这个正方形纸板上，
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021 •7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021 •8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
人教版初二数学上册：乘法公式(基础)知识讲解
乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】【高清课堂396590 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++； (3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-； (5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -．(3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -．(4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -．(5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式222(2)4x x =--=-．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-．2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99 (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002-＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三： 【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算： （1）1232﹣124×122 （2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ） 【答案】解：（1）1232﹣124×122 =1232﹣（123+1）（123﹣1） =1232﹣（1232﹣1） =1232﹣1232+1 =1； （2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ） =（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2） =（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2） =（4a 2）2﹣（b 2）2 =16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()223x y --．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) ()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++．(2) ()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+．(3) ()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．(4) ()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22a b a b --=+之间的转化．4、（2015春•吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【答案与解析】 解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ； （2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；方法②：（m+n ）2﹣4mn ；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ； （4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，∵a+b=7，ab=5， ∴（a ﹣b ）2=72﹣4×5 =49﹣20 =29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、（2016春•常州期末）已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20． （1）求xy 的值；（2）求x 2+y 2+4xy 的值． 【思路点拨】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x +y=3代入，即可求出答案； （2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可． 【答案与解析】 解：（1）∵x +y=3，（x +3）（y +3）=xy +3（x +y ）+9=20，∴xy +3×3+9=20， ∴xy=2；（2）∵x +y=3，xy=2，∴x 2+y 2+4xy=（x +y ）2+2xy=32+2×2=13． 【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键． 举一反三：【变式】已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．【答案】解：由2()7a b +=，得2227a ab b ++=； ①由2()4a b -=，得2224a ab b -+=． ②①＋②得222()11a b +=，∴ 22112a b +=． ①－②得43ab =，∴ 34ab =．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°． 【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质． 【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
人教版八年级上册数学142乘法公式课件
活动2 探究新知
1．在括号内填上适当的项，使等式成立： (1) a＋b＋c＝a＋( )； (2) a－b－c＝a－( )． 提出问题： (1)你知道怎么添加括号吗？添括号后每一项的符号有 什么变化？ (2)添括号有什么规则吗？ (3)怎么验证你添的括号是正确的？
活动3 知识归纳
1．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各 项都__不__改__变__符号；如果括号前面是负号，括到括号 里的各项都_改__变__符号． 2．可以用去括号来检验所添括号是否正确．
102×98 . 解: 102×98
= (100＋2)(100－2) = 1002-22 = 10000 – 4 = 9996
例3 计算：
(1) 10.1×9.9；
(2) 2 018×2 020－2 0192.
解：(1) 原式＝(10＋0.1)(10－0.1)
＝102－0.12＝99.99；
(2) 原式＝(2 019－1)×(2 019＋1)－2 0192
＝40401；
(2) 99.82＝(100－0.2)2
＝1002－2×100×0.2＋0.22
＝9960.04.
例4 已知a＋b＝3，ab＝1，求(a－b)2的值．
解：(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－4×1＝5.
练习
1．教材P110 练习第1，2题． 2．计算(－a－b)2的结果是( C )
活动4 例题与练习 例1 运用平方差公式计算： (1) ( 3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) ( -x+2y )(－x －2y).
分析：在（1）中，可以把3x 看成a，2看成b，即 (3x＋2)(3x－2) =(3x)2－22
(a ＋ b)(a － b) ＝a2 － b2
人教版八年级数学上册《乘法公式1完整》ppt课件
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)= (9x2－16) - (6x2+5x -6)
=3x2－5x+10
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活动5 科学探究
给出下列算式:
32－12=8 =8×1；
52－32=16=8×2；
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二、探求新知
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符号怎么表述呢？
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
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二、探求新知
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
解：（1）(3x＋2)(3x－2) =(3x)2－22 =9x2－4；
(3) (-x+2y)(-x-2y)
（2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2 =4a2－b2.
=(-x)2－(2y)2
= x2－4y2
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例2 计算
(1) 102×98 (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
72－52=24=8×3；
92－72=32=8×4.
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ 连续两个奇数的平方差是8的倍数.
（2）用含n的式子表示出来（2n+1)2－ (2n－1)2=8n （n为正整数）.
（3）计算 20052－20032= 8016
14.2乘法公式培优练习人教版2024—2025八年级上册
14.2乘法公式培优练习人教版2024—2025八年级上册一、夯实基础1．下列各式不能用平方差公式计算的是（）A．（y+2x）（2x﹣y）B．（﹣x﹣3y）（x+3y）C．（2x2﹣y2）（2x2+y2）D．（4a+b）（4a﹣b）2．在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（）A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3]B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3]C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）]D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 3．已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（）A．10B．15C．20D．254．若a﹣b＝2，则式子a2﹣b2﹣4a的值等于．5．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为6．若多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，则k的值为（）A．21B．19C．21或﹣19D．﹣21或19 7．已知实数a，b满足，则3a2+4b2+1012a﹣2024b+1的值是（）A．65B．105C．115D．20258．已知关于x的整式9x2+（2k﹣1）x+4是某个关于x的整式的平方，求k的值．二、能力提升（一）利用乘法公式计算1．计算：（a+2b﹣3c）（a﹣2b﹣3c）．2．计算：（x+2y﹣3z）（2y+3z+x）．3．求不等式（3x﹣4）（3x+4）＜9（x+2）2+21的负整数解．4．计算：（a+1）2（a﹣1）2（a2+1）2．5．计算．6．用简便算法计算．（1）20242﹣2025×2023；（2）4+4×196+982．（二）乘法公式的变形1．已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．（1）a2+b2；（2）a4+b4．2．若m﹣2n＝﹣1，求代数式m2﹣4n2+4n的值．3．已知a2﹣4a﹣1＝0．（1）求的值；（2）求的值．4．已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求：（1）a2+3ab+b2的值；（2）（a+b）2的值．5．已知，求xy的值．6．已知：m，n为非负整数，且m2﹣n2＝11，求m，n的值．7．已知x2﹣4y+y2+8x+20＝0，求xy的值．8．已知a+b＝2，b+c＝17，求2a2+3b2+3c2+2ab+4bc﹣2ac＝．9．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若a﹣b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2＝．（2）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13求a2+b2的值．（3）已知x2+3x﹣1＝0，求的值．10．我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．根据你所学的知识解决下列问题：①若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；②若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值．三、乘法公式与几何图形结合1．我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：（1）如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD的面积．可以得到代数恒等式：（a+b+c）2＝．（2）若n、t满足：（n﹣2024）2+（2026﹣12n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，（n ﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，求t 的值．2．现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，A、D、E三点在一条直线上，（1）如图①，AE＝m，CG＝n，这两个正方形的面积之和是．（用m、n的代数式表示）（2）如图②，如果大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求（mn）2是多少？（3）如图③，大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是25，AE的长度等于7，图中阴影部分的面积是．（4）如图④，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b（a＞b），如果a+b＝8，ab＝6，求图中阴影部分面积之和是多少？3．在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．（1）【理解探究】①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到（a+b）2，2ab，a2+b2之间的等量关系式：．②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式：．（2）【类比应用】根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn 和（m﹣n）2的值．（3）【拓展升华】如图4，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC 上取一点M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE 外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和：．4．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．5．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．（1）图1中空白面积为S1，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S1；（2）图3中空白面积为S3，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S3；（3）图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68，求ab值．6．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为．【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝．（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．7．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值；（2）若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝；（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC +S△BOD＝60，求一块三角板的面积．。
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2
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2 2
2
2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式 我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
2 x 2 2 x 3 y 3 y 2 x 3 y
2 2
2 2 4x +12xy+9y
2
2 2 2 =( 首±尾 ) 首 2首尾 尾
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
5、把
1 2 2 x 3 xy 9 y分解因式得 4 B （ ）
2
1 A、 x 3 y 4
6、把
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2 4 2 x y xy 分解因式得 ） 9 3 （ A
2
1 B、 x 3 y 2
2
A、 2 x y
3
B、 4
2
10、计算 100 2 100 99 99 A 结果是（ ） A、 1 B、-1 C、 2 D、-2
2
2
的
思考题: 1、多项式:
2 2 2 2 (x+y) -2(x -y )+(x-y) 能
用完全平方公式分解吗? 2、在括号内补上一项，使多项 式成为完全平方式：
4 2 X +4x +(
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-( 2a –1)(2a –1-(2a +1)(2a+1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b²
2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分 解因式即： 2 2
a -b =(a+b)(a-b)
例如： 2 2 4a -9b = (2a+3b)(2a-3b)
回忆完全平方公式 2 2 2 ab a 2ab b
ab
2
a 2ab b
2
2
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2 2
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现在我们把这个公式反过来
运用完全平方公式
课前小测：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)²
C. -4 X² -y³
D
D. - X² + y²
）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ A. -(4a+1)(4a-1) D. -(2a+1) (2a-1) B.
3、下列各式中，能用完全平方公式 分解的是（ D ） A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、1 x 2 -2xy+y 2 D、 1 x 2 -xy+y 2
4 4
4、下列各式中，不能用完全平方公 式分解的是（ D ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
2 2
判别下列各式是不是 完全平方式
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
完全平方式的特点
：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2 倍
2 2 首 2首尾 尾
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
下列各式是不是完全平方式
x y 3
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ） A、20 B、-20 C、10 D、-10 8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， B） 那么m的值为（ A、6 B、±6 C 、3 D、±3
9、把 a b 4 a b 4 分解因式得 C （ ） 2 2 a b 1 A、 a b 1 B、 2 2 C 、 a b 2 D、 a b 2
2
2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式 “头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
1x 2 xy y 是 2 2 是 2A 2 AB B 2 2是 3甲 2 甲乙 乙 2 2 是 4 2
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
2 2 2 2
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
2
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请补上一项，使下列多项 式成为完全平方式 2 2 2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
)
完全平方式具有：
小结：
1、是一个二次三项式 2、有两个“项”平方,而且有这 两“项”的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公 式来进行因式分解
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
2
2
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式 D 分解的是（ ） A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2 2、下列各式中，不能用完全平方公 C 式分解的是（ ） A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2