专题十六 直线和圆
初三九年级数学 直线与圆的位置关系(新) ppt课件
.B2
.B1 .B
是是非非
4、若C为⊙O内一点，则过点C的
直线与⊙O相交。（ √ ）
C .
O .
小问题：
能否根据基本概念来判断直线与圆 的位置关系？
直线与圆的公共点的个数
新的问题：
是否还有其它的方法来判断直线与 圆的位置关系？
.O
d
.O
d
r
r .D
l
.B
.A
l
. C
相切
.E
d
.Or
.N .F
l
A N
2.5cm
解：过点M作MN⊥OA于点N ∵在Rt△OMN中，∠AOB=30°,OM=5cm. ∴MN=2.5CM 即圆心M到直线OA的距离d=2.5cm （1）当r=2cm时， ∵d> r， ∴⊙M与直线OA相离。 O （2）当r=4cm时， ∵d< r， ∴⊙M与直线OA相交。 （3）当r=2.5cm时， ∵d = r， ∴⊙M与直线OA相切。
没有
d>r
练习（二）：
1、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d， 若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为…（ C ） A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4
2、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的 距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系 是……………………………………………（ D） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
P 4cm l A
P 4cm A l
例1、在Rt ABC中，∠ C=90°，AC=3cm, BC= 4cm, 则以C为 圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？ (1）r =2cm, (2) r =2.4cm (3) r =3cm
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
最完整的直线和圆知识总结
第七章 直线和圆知识总结一．直线的倾斜角：1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；2．倾斜角的范围[)π,0。
如 二．直线的斜率：1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2．斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；3．直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有4．应用：证明三点共线： AB BC k k =。
三．直线的方程：1．点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
2．斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
3．两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
4．截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5．一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。
如 四．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；2．知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；4．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
直线与圆的复习课件
这个ppt课件将帮助大家复习直线与圆的基本概念、位置关系、方程、解析几 何、应用等知识点。通过生动的图片和精心设计的布局，让你轻松理解和掌 握这些内容。
直线与圆的基本概念
1 直线的定义及表示方法
2 圆的定义及表示方法
直线是由一系列无限延伸的相连点组成， 可以用两点表示或用方程表示。
自测与总结
1 选择题测试
2 总结归纳主要知识点
通过选择题测试来检验对直线与圆的理解 程度。
对直线与圆的复习进行总结，概括掌握的 重要知识点。
2
圆心与半径的推导
通过方程的系数可以求得圆心的坐标(a, b)和半径的长度r。
直线与圆的解析几何
直线与圆的交点坐标的 求解
通过联立直线和圆的方程， 解方程组可以求得交点的坐 标。
直线与圆的切点坐标的 求解
切线是与圆相切的直线，在 求解交点的同时要满足切线 的条件。
判定直线是否与圆相切、 相离或相交
通过计算直线与圆的距离或 计算圆心到直线的距离，可 以判断它们之间的位置关系。
直线与圆的应用
1
利用相似、对称等方法解决几
2
何问题
在解决几何问题时，可以运用相似三 角形、对称性等方法结合直线与圆的
知识进行推导和分析。
圆的切线及其性质
圆的切线是与圆相切且仅与圆有一交 点的直线，切线的性质有切点在切线 上、切线垂直于半径等。
圆是由距离圆心相等的点组成，可以用圆 心坐标和半径长度表示。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的情况
直线可以与圆相交于两个交点、一个交点的点距离圆心更近，圆外的点距离圆心更远，圆上的点与圆心的距离等于圆的半径。
求解圆的方程
1
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。
2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。
d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径：直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。
微专题十六 圆系方程及其应用
微专题十六圆系方程及其应用主备人：施华 审核人：倪红林【温故·习新】一、常见的圆系方程有如下几种：1、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：2、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=【释疑·拓展】例1． 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
变式：求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．例2．求过两圆2225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。
变式：求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝０与圆Ｃ：22y x +＋2x －4y ＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．例3．已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求实数m 的值。
例4 圆系22y x +＋2k x ＋（4k ＋10）y ＋10k ＋20＝０（k ∈Ｒ，k ≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？【反馈·提炼】1．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +7=0的两个交点且过原点的圆的方程。
高中数学直线和圆知识点总结
直线与圆的位置关系判断方法
01 总结词
比较圆心到直线的距离与圆的 半径
02 详细描述
通过比较圆心到直线的距离与 圆的半径，可以判断直线与圆 的位置关系，即相离、相切或 相交。
03
总结词
04
利用直线方程和圆的方程联立求 解
详细描述
将直线方程和圆的方程联立起来 ，消去一个变量后可以得到一个 二次方程。根据二次方程的判别 式来判断直线与圆的位置关系， 判别式大于0时相交，等于0时相 切，小于0时相离。
直线的交点坐标与距离公式
01
两条直线的交点坐标
通过联立两条直线的方程求得。
02
两条平行线之间的距离公式
利用两平行线间的距离公式d = |c2 - c1| / |a|，其中a是直线的斜率，
c1和c2是直线在y轴上的截距。
03
两条垂直线之间的距离公式
利用两垂直线间的距离公式d = h / p，其中h是两垂直线在x轴上的距
高中数学直线和圆知识点总结
汇报人： 202X-01-08
• 直线知识点 • 圆知识点 • 直线与圆的综合应用 • 解题技巧与思路总结
01
直线知识点
直线的方程
01
02
03
04
直线的点斜式方程
通过直线上的一点和直线的斜 率来表示直线方程。
直线的两点式方程
通过直线上的两点来表示直线 方程。
直线的截距式方程
相切
当直线与圆只有一个交点 时，称直线与圆相切。此 时，圆心到直线的距离等 于半径。
相离
当直线与圆没有交点时， 称直线与圆相离。此时， 圆心到直线的距离大于半 径。
03
直线与圆的综合应用
直线与圆相交的弦长问题
第11单元磁场专题十六带电粒子在有界匀强磁场中的运动-2025年物理新高考备考课件
两种思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值
两种方法
物理方法
（1）利用临界条件求极值；（2）利用边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值
长，A错误；由左手定则可判断沿径迹、 运动的粒子均带负电，为电子，B错误；设圆形磁场的半径为，根据几何关系可得沿径迹、 运动的粒子的轨迹半径分别为，，根据可得,则 ，C正确；粒子在磁场中运动的时间之比为偏转角之比，所以 ，D错误.
例5 （多选）[2023·全国甲卷] 光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上点开有一个小孔，过的横截面是以 为圆心的圆，如图所示.一带电粒子从点沿 射入，然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反,电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是( )
例6 [2023·浙江丽水模拟] 如图所示，圆形区域内有一垂直于纸面的匀强磁场， 为磁场边界上的一点.现有无数个相同的带电粒子在纸面内沿各个不同方向以相同的速率通过 点进入磁场.这些粒子射出边界的位置均处于磁场边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的.若将磁感应强度的大小从原来的变为 ，相
D
A.2 B. C.3 D.
临界极值问题的四个重要结论（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.（2）当速度 一定时，弧长（或劣弧的弦长）越长，则轨迹对应的圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.（3）当速率 变化时，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.（4）在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大（所有的弦长中直径最长）.
中考复习直线与圆的位置关系ppt课件
2023/10/11
活动2：求圆 请根据下列条件分别计算出⊙O的半径
(1)如图4，在△ABC中， AC是⊙O的直径， ⊙O与BC相切于点C，与AB相交于点D， 且AB=10，BC=8；
(2)如图5,在△ABC中，圆心O在AC上， ⊙O与AB，BC分别切于点D，C， 且AB=10，BC=8；
(3)如图6，△ABC中， ∠C=90° ，⊙O与△ABC三边分别切于点D，E，F,且 AB=10，BC=8；
练习反馈
5.如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相
切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD
C N
证明：由切线长定理得 D
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
M
DN= DP
P
O
AL
B
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
2023/10/11
• 易证EQ=EA, FQ=FB, • PA=PB • ∴ PE+EQ=PA=12cm • PF+FQ=PB=PA=12cm
• ∴周长为24cm
A
EO
Q
P
FB
2023/10/11
练习反馈
• 7. (2018•泰安)如图， ⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3 ，4)，点 P是⊙M上的任意一点， PA⊥PB，且PA 、PB与x轴分别交于A 、B两点， 若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为( )
2023/10/11
图8
练习反馈
• 1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， • CA=CB，求证直线AB是⊙O的切线.
直线和圆课件
圆的参数方程通常表示为 (x, y) = (a, b) + r(cosθ, sinθ)，其中 (a, b) 是圆心， r 是半径，θ 是参数。
参数方程的应用实例
物理学中的应用
在物理学中，许多物理量都是通 过参数方程来描述的，例如简谐 振动的振动曲线、电磁波的传播
等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程被广泛 应用于各种曲线和曲面的描述， 例如机械零件的轮廓曲线、建筑
通过圆的半径和直径，可以计算出圆 的弧长和圆周长。
通过比较两个圆的半圆心角和扇形面积
通过圆心角和半径，可以计算出扇形 的面积。
直线和圆在实际生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直线和圆是非常 重要的元素，它们可以用来确定 建筑物的平面布局、窗户和门的
物的三维模型等。
数学教育中的应用
在数学教育中，参数方程是描述 复杂函数和曲线的重要工具，有 助于学生更好地理解函数的性质
和曲线的几何意义。
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直线和圆 PPT 课件
• 直线和圆的基本概念 • 直线和圆的交点 • 直线和圆的几何应用 • 直线和圆的解析方法 • 直线和圆的参数方程
目录
Part
01
直线和圆的基本概念
直线的定义和性质
直线的定义
直线是无限长的，且在平面内， 可以由两点确定一条直线。
直线的性质
直线具有方向性，可以由斜率表 示；直线是连续的，没有中断； 直线可以无限延伸。
圆的定义和性质
圆的定义
圆是一个平面图形，由一个点（圆心 ）和一段固定长度（半径）决定，所 有点都与圆心保持相同距离。
圆的基本性质
圆是中心对称图形，有固定的周长和 面积；圆内的任意一点到圆心的距离 等于半径。
专题十六 直线与圆(解析版)高中数学
专题十六 直线与圆一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ） A ．(4,0)- B ．(2,2)-- C ．(3,1)- D ．(4,2)--【答案】A 【分析】设(,)C m n ，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于,m n 的方程，最后联立解方程即可. 【详解】设(,)C m n ，由重心坐标公式得， 三角形ABC 的重心为2(3m +，4)3n+， 代入欧拉线方程得：242033m n ++-+=， 整理得：40m n -+=①AB 的中点为(1,2)，40202AB k -==--， AB 的中垂线方程为12(1)2y x -=-，即230x y -+=．联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩．ABC ∴的外心为(1,1)-．则2222(1)(1)3110m n ++-=+=， 整理得：22228m n m n ++-=②联立①②得：4m =-，0n =或0m =，4n =． 当0m =，4n =时B ，C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是(4,0)-．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.2．（2021·全国高一课时练习）坐标原点(0,0)O 在动直线220mx ny m n +--=上的投影为点P ，若点(1,1)Q --，那么||PQ 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先判断直线220mx ny m n +--=所经过的定点，根据圆的性质进行求解即可. 【详解】直线220mx ny m n +--=，可化为(2)(2)0m x n y -+-=， 故直线过定点(2,2)M ，坐标原点(0,0)O 在动直线220mx ny m n +--=上的投影为点P ， 故90OPM ∠=︒，所以P 在以OM 为直径的圆上，圆的圆心为2020(,)22++，即(1,1)=根据点与圆的关系，||OQ||222PQ -+故选：A. 【点睛】关键点睛：根据题意得到P 在以OM 为直径的圆上、动直线过定点是解题的关键.3．（2021·全国高一课时练习）在直角坐标平面内，与点(0,3)A 距离为2，且与点(4,0)B 距离为3的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【分析】根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.当直线不存在斜率时，设为x a =，由题意可知：02a -=且43a -=， 没有实数a 使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：0y kx b kx y b =+⇒-+=，点(0,3)A 到该直线的距离为22(1)=，点(4,0)B 到该直线的距离为33(2)=，由(1)(2)得：89b k =+或985k b -=， 当89b k =+时，代入(1)中，得2152480k k ++=，该方程的判别式2244158960∆=-⨯⨯=>，该方程有两个不相等的实数根， 当985kb -=时，代入(1)中，得2924160k k -+=， 该方程的判别式2(24)49160∆=--⨯⨯=，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是解方程组.4．（2021·全国高一课时练习）平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线3(1)y x x x=+上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是（ ） AB ．4CD．【答案】D 【分析】由题意得：当斜率为1-的直线与曲线3(1)y x x x=+相切时切点到直线的距离最小，求出切点坐标及距离即可. 【详解】由3(1)y x x x=+，得231y x '=-，设斜率为1-的直线与曲线3(1)y x x x=+切于点0(P x ，003)x x +，由20311x -=-，解得001)x x =； ∴曲线3(1)y x x x=+上，点P到直线0x y +=的距离最小，最小值为|d ==故选：D ． 【点睛】曲线上的动点到直线的距离的最值一般有两种方法：（1）等价转化为平行线与曲线相切时，切点到直线的距离取到最大值或最小值.（2）联立平行线与曲线的方程，通过判别式等于0求出平行线的方程，然后根据平行线间的距离求出最值，这种方法的弊端是要带二次方程求解切点坐标.5．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））若等边三角形一边所在直线的斜率为边所在直线斜率为（ ） A．4-，5 B．4-，2 C．，5D．，4【答案】C 【分析】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为,k m ，且0m k <<，由直线的到角公式即可求出. 【详解】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为,k m ，且0m k <<，则有3tan 60===，解得5k =，m =， 故另两条边所在直线斜率为.故选：C. 【点睛】关键点睛：解题的关键是正确利用直线的夹角公式. 6．（2021·广东广州市·高三一模）已知(1,0),(0,2)A B -，直线:2230l x ay a -++=上存在点P，满足||||PA PB +=l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D 【分析】根据AB =||||PA PB +=p 在线段AB 上，其方程为[]22,1,0y x x =+∈-上，又点在直线l 上，联立其方程，求得2343x a x +=+，然后由143tan 23x a x α+==+求解. 【详解】将(1,0)A -代入2230x ay a -++=得1a =-， 将(0,2)B 代入2230x ay a -++=得1a =， 所以A，B 不在直线l 上，又AB =||||PA PB += 所以点p 在线段AB 上，直线AB 的方程为：[]22,1,0y x x =+∈-，由22223010y x x ay a x =+⎧⎪-++=⎨⎪-≤≤⎩，解得()23232321222143x x x a y x x +++===-+-+， 直线方程2230x ay a -++=，即为132ay x a a+=+， 设直线l 的倾斜角为α， 则1433tan 22323x a x x α+===-++， 因为10x -≤≤， 所以1233x ≤+≤，则31323x ≤≤+， 所以312123x -≤-≤+， 即ta 11n α-≤≤， 因为(0,)απ∈，所以3(0,][,)44ππαπ∈⋃，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P 在线段AB 上，再根据点P 的直线l 上，联立求得()23232321222143x x x a y x x +++===-+-+，再利用斜率与倾斜角的关系而得解. 7．（2021·全国高一课时练习）已知半径为M 与圆225x y +=外切于点()1,2P -，则圆心M 的坐标为（ ） A ．()3,6- B ．()6,3- C ．()3,6-D．()【答案】C 【分析】设(),M a b ，由两圆向外切可知,,M P O三点共线且OM =,a b ，舍去两圆内切的情况即可得到结果. 【详解】由题意知：圆225x y +=圆心为()0,0O，半径r =设所求圆M 的圆心(),M a b ，若圆M 与圆225x y +=外切于点()1,2P -，则必有,,M P O三点共线且OM =即2202001045b a a b ---⎧=⎪--⎨⎪+=⎩，解得：36a b =⎧⎨=-⎩或36a b =-⎧⎨=⎩； 当3a =-，6b =时，圆M 与圆225x y +=相内切，不合题意； 当3a =，6b =-时，圆M 与圆225x y +=相外切，符合题意；()3,6M ∴-.故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数的问题，易错点是在求解出参数值后，忽略两圆内切也有满足三点共线且圆心距为的情况，造成增根.8．（2021·全国高三其他模拟）已知圆C ：()()223216x y -+-=，直线l ：y x t =+与圆C 交于A ，B 两点，且ABC 的面积为8，则直线l 的方程为( ) A ．3y x =-或5y x =- B ．3yx 或5y x =+C ．3yx 或5y x =- D ．3y x =-或5y x =+【答案】C 【分析】由三角形面积定理求出等腰三角形顶角，进而求出其高，再用点到直线距离得解. 【详解】由圆C 的方程可得圆心C 的坐标为()3,2，半径为4．∵ABC 的面积为144sin 82ACB ⨯⨯∠=，∴90ACB ∠=︒，∴⊥CB CA ，∴点C 到直线AB 的距离为由点到直线的距离公式可得点C 到直线AB =∴3t =或5t =-，∴l 的方程为3y x 或5y x =-.故选：C ． 【点睛】给定三角形面积的问题，可用三角形面积定理，也可用公式：12⨯底⨯高，本题用前者定角最佳.9．（2021·全国高三专题练习）已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是（ ）A B ．C D ．【答案】C 【分析】由圆C 的标准方程可得圆心为()1,1C ，半径为1，由于四边形P ACB 面积等于2APCS=，故求解PC 最小值即可，又PC 最小为圆心到直线的距离，即可得出四边形P ACB 面积的最小值.【详解】圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为()1,1C ，半径为r ＝1，圆心()1,1C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离10215d r ===>= 所以圆C 与直线l 相离.根据对称性可知，四边形P ACB 的面积为1222APCSPA r PA =⨯⨯⨯===要使四边形P ACB 的面积最小，则只需PC 最小.又PC 最小值为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离2d =．所以四边形P ACB ==．故选：C ．【点睛】关键点睛：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查圆心与直线上点的距离的最值，解答本题的关键是将四边形P ACB 面积化为2APCS =即解PC 最小值，转化为圆心到直线的距离，属于中档题.10．（2021·辽宁高三二模（理））已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，3OA OB OA OB +=-，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据向量关系可得2OA OB ⋅=，即AOB结果. 【详解】由3OA OB OA OB +=-得：()()223OA OBOA OB +=-，又O 为圆224x y +=的圆心，则2OA OB ==，所以2OA OB ⋅=，所以cos 2OA OB AOB ⋅⋅∠=，即1cos 2AOB ∠=，所以3AOB π∠=，所以AOB 为等边三角形， 则O 到直线xy a +=的距离为：d =即d == a ⇒=故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的相关问题，关键是能够利用向量的关系得到向量间的夹角，从而能将问题转化为点到直线的距离问题.11．（2021·全国高三其他模拟（理））知直线:0l x y m ++=，圆22:40C x y x +-=，若在直线l 上存在一点P ，使得过点P 作圆的切线PA ，PB (点A ，B 为切点)，满足60APB ∠=︒，则m 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B．-⎡⎣C ．[]1,1-D．2⎡⎤-⎣⎦【答案】D 【分析】由圆的标准方程得圆心(2,0)C ，2r ，连接CA ，CB ，||4CP =，再由条件得点C 到直线l 的距离4d ≤，根据点到直线的距离公式可求得范围. 【详解】圆22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，2r ，连接CA ，CB ，则CA PA ⊥，CB PB ⊥，60APB ∠=︒，30APC ∴∠=︒，2r CA ==，||4CP ∴=，要使直线l 上存在一点P ，使其满足条件，只需点C 到直线l 的距离4d ≤，4≤，22m ∴-≤≤. 故选:D. 【点睛】关键点点睛：在解决直线与圆的位置关系相关问题，关键在于利用直线与圆相切、相交、相离时的几何性质，可以较容易地解决问题.12．（2021·全国高三月考（理））已知曲线y =与直线10kx y k -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】作出曲线y =（上半圆），直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，求出图中两条的斜率可得所求范围． 【详解】解：曲线y 整理得22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k =，所以234k =， 1101112k --==--， 所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论．13．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二期中（理））设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为（ ）A ．2B C 1 D ．2【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，由d r -求出最小值，最大值为(0,2)到直线的距离，确定出a 与b 的值，即可求出-a b 的值． 【详解】将x =22(1)1y x +-=， 所以曲线是圆心(0,1)，半径1r =的右半圆，如图，圆心到直线20x y --=的距离2d =∴圆上的点到直线的最小距离12b =-，最大值为(0,2)到直线的距离，即a ==则12a b -=+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，关键点是到圆上的点的问题转化为到圆心的距离的问题，考查了学生的转化能力和计算能力.14．（2020·绥化市第一中学高二月考（文））直线y x b =+与曲线x =有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ ）A ．||b =B ．11b -<≤或b =C ．11b -<≤D ．11b -≤<或b =【答案】B 【分析】判断得曲线x =1的右半圆，作图像分析，可知当直线y x b =+与半圆相交于一个点或者与半圆相切时满足题意，结合图像求解b 的取值范围. 【详解】曲线x =1的右半圆，作出曲线x =y x b =+与x = 即为直线与半圆相交于一个点或与半圆相切两种情况，当相交于一个交点时可得11b -<≤；直线与半圆相切时可得b =. 故选：B.【点睛】关于直线与圆的位置关系的求解，一般需要数形结合，尤其需要注意变量,x y 的取值范围，然后利用图像分析，求解直线与圆相切的问题时，一般要利用d r =列式求解.15．（2021·湖北高三月考）圆1C ：()()22249x y -+-=与圆2C ：()22516x y -+=的公切线条数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】先找到两个圆的圆心和半径，计算圆心距，判断圆与圆的位置关系，求出公切线的条数. 【详解】依题意，圆1C 的圆心()12,4C ，半径R 1=3, 圆2C 的圆心()25,0C ，半径R 2=4,()1251,7C C ==∈，故圆1C 与2C 相交，有2条公切线.故选:B. 【点睛】圆C 1和圆C 2 的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，圆与圆的位置关系有5种：（1）相离d R r ⇔>+；（2）相外切=d R r ⇔+；（3）相交R r d R r ⇔-<<+；（4）相内切||d R r ⇔=-；（5）相内含||d R r ⇔<-；16．（2021·全国高三专题练习（文））已知过点()0,2的直线l 与圆心为C 的圆()()222110x y -+-=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，直线l 的方程为（ ） A ．220x y -+= B ．220x y -+=或220x y +-= C ．0x = D ．0x =或220x y +-=【答案】A 【分析】分析得出圆心C 到直线l的距离为d =，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线l 的方程. 【详解】圆()()222110x y -+-=的圆心为()2,1C，半径为r =，由CA CB ⊥，且CA CB ==ABC 是以ACB ∠为直角的等腰直角三角形， 所以，点C 到直线l 的距离为cos 455d r ==若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为0x =，此时点C 到直线l 的距离为2，不合乎题意； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，则有d ==()220k -=，解得2k =，所以直线l 的方程为22y x =+. 故选：A. 【点睛】易错点点睛：本题利用直线与圆相交求直线的方程，在求解过定点的直线的方程时，要注意对直线斜率是否存在进行分类讨论，以防漏解.17．（2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））过点()2,2P 的直线1l 与圆()2211x y -+=相切，则直线1l 的方程为（ ） A ．3420x y+=- B ．4320x y --= C ．3420x y+=-或2x = D ．4320x y --=或2x =【答案】C 【分析】当1l 斜率不存在时可知满足题意；当1l 斜率存在时，设其方程为()22y k x -=-，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k ，由此可得切线方程. 【详解】当过()2,2P 的直线1l 斜率不存在时，方程为2x =，与圆()2211x y -+=相切，满足题意；当过()2,2P 的直线1l 斜率存在时，设方程为()22y k x -=-，即220kx y k --+=，∴圆()2211x y -+=的圆心到1l的距离1d ==，解得：34k =，131:042l x y ∴-+=，即3420x y+=-；∴直线1l 的方程为3420x y+=-或2x =.故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，利用圆心到直线距离等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根的情况出现. 18．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线22231x y 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A．⎡⎣B．(C．33⎡-⎢⎣⎦ D．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】先由题意，设直线l 的方程为()34y k x -=-，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得33k -≤≤.故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线的距离d 与圆的半径r 比较，d r =相切；d r 相离；d r <相交，考查学生的运算求解能力，属于一般题.19．（2020·江苏南通市·金沙中学高二月考）已知圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:40C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点(),P a b ，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】求出两圆的公共弦方程，求出点P 的坐标，可得出1m n +=，再利用基本不等式可求得mn 的取值范围. 【详解】将圆1C 与圆2C 的方程相减得公共弦所在直线的方程为()240kx k y +--=，即()()240k x y y +-+=，由2400y x y +=⎧⎨+=⎩，得22x y =⎧⎨=-⎩，即点()2,2P -， 因此，2220m n +-=，1m n ∴+=，由基本不等式可得2124m n mn +⎛⎫≤=⎪⎝⎭， 当且仅当12m n ==时，等号成立， 因此，mn 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】方法点睛：当两圆相交时，把两圆方程（2x 、2y 项系数相同）相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.20．（2020·江苏高一期中）若直线y x b =+与曲线y =b 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B ．2,⎡-⎣C ．-⎡⎣D ．(-【答案】B 【分析】直线y x b =+与曲线y =有公共点，转化为直线y x b =+与半圆()224,0x y y +=≥有交点，分析几何图形得出有交点的临界情况． 【详解】由y =()224,0x y y +=≥，表示圆心 (0,0),2r =的半圆，当y x b =+经过(2,0)时，此时2b =-；当y x b =+与此半圆相切时，2r b ==⇒=，作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线y x b =+与曲线y =有公共点，则b ⎡∈-⎣.故选：B 【点睛】关键点点睛：由y =变形可知其图象为半圆，找出直线y x b =+与其有公共点的临界情况，是解决问题的关键.21．（2021·内蒙古包头市·高二期末（文））已知()1,0A -，()1,0B ，圆C ：()2224x y R +-=（0R >），若圆C 上存在点M ，使90AMB ∠=︒，则圆C 的半径R 的范围是（ ）A ．35R ≤≤B ．34R ≤≤C ．45R ≤≤D．2R ≤≤【答案】A 【分析】设00(,)M x y ，由90AMB ∠=︒得0MA MB ⋅=，即可知M 的轨迹为22001x y +=，要使圆C 上存在点M ，即圆C 与22001x y +=有交点，进而可得半径R 的范围.【详解】设00(,)M x y ，则00(1,)MA x y =---，00(1,)MB x y =--， ∵90AMB ∠=︒，即0MA MB ⋅=，∴22001x y +=，即M 在以原点为圆心，半径为1的圆上，而圆C 的圆心为(0,4)，半径为R ，∴圆C 上存在点M ，即圆C 与22001x y +=有交点，∴[]11,141,3,5R OC R R R R -≤≤+-≤≤+∈. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由90AMB ∠=︒及向量垂直的数量积公式即可确定M 的轨迹，要使圆C 上存在点M ，只需保证圆C 与M 的轨迹有交点即可.22．（2020·江苏苏州市·星海实验中学高一期中）已知方程23-+=kx k 则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．53,124C ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．53,124⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【分析】如图，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+，当直线和半圆相切时，由半径22=解得k 值，即得实数k 的取值范围．【详解】由题意得，半圆y =与直线32y kx k =+-有两个交点，又直线323(2)y kx k y k x =+-⇒-=-过定点C (2,3)，如图所示，又点(2,0),(2,0)A B -，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+.当直线和半圆相切时，由半径2=解得512k =， 故实数k 的取值范围为53(,]124故选：B 【点睛】关键点点睛：由函数解析式转化为直线与半圆有两个公共点，根据直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC 位置时的斜率k 值及切线CD 的斜率，是解题的关键． 23．（2021·全国高二课时练习）已知2，2m n +，6-成等差数列，则圆C：(()2214x y -++=上的点到点(),M m n 距离的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．5D．【答案】C 【分析】圆C的标准方程为：(()2214x y -++=，CM的最大值就是圆心()1-到直线220x y ++=的距离与半径的和. 【详解】因为2，2m n +，6-成等差数列，所以()2226m n +=-，可得220m n ++=，所以点M 的轨迹方程为220x y ++=，圆心()1-，则圆C 上的点到点M 的最大值为max 2325d =+=+=.故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查圆上点到直线的距离的最值，圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题，有时也可利用三角换元把最值问题转化为三角函数式的最值问题来处理，考查学的转化与化归思想与数形结合思想，属于一般题.24．（2021·铅山县第一中学高二月考（文））在平面直角坐标系中，直线10x y -+=与圆22:28130C x y x y +--+=相交于A 、B 两点，P 为圆C 上的动点，则PAB △面积的最大值为（ ）A ．2+B ．2C ．1+D ．2+【答案】A 【分析】计算出AB 以及点P 到直线AB 距离的最大值，由此可求得PAB △面积的最大值. 【详解】圆C 的标准方程为()()22144x y -+-=，圆心为()1,4C ，半径为2r，圆心C 到直线AB 的距离为d ==，AB ∴==，由于P 为圆C 上的动点，则点P 到直线AB 距离的最大值为2d r +=，因此，PAB △面积的最大值())112222AB d r ⋅+=⨯=+故选：A. 【点睛】结论点睛：若点P 为圆C 上任意一点，圆心C 到直线l 的距离为d ，圆C 的半径为r ，则点P 到直线l 的距离的最大值为d r +.二、多选题25．（2021·全国高三专题练习）（多选题）光线自点()2,4射入，经倾斜角为135的直线:1l y kx =+反射后经过点()5,0，则反射光线还经过下列哪个点（ ） A ．()14,2 B ．914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()13,2D ．()13,1【答案】BD 【分析】求出点()2,4关于直线l 的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项. 【详解】因为直线l 的倾斜角为135，所以直线l 的斜率为1k =-， 设点()2,4关于直线:1l y x =-+的对称点为(),m n ，则41242122n m n m -⎧=⎪⎪-⎨++⎪=-+⎪⎩，解得31m n =-⎧⎨=-⎩，所以，反射光线经过点()3,1--和点()5,0，反射光线所在直线的斜率为101358--=--，则反射光线所在直线的方程为()158y x =-， 当14x =时，98y =；当13x =时，1y =. 故选：BD. 【点睛】结论点睛：若点()11,P x y 与点()222,P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，由方程组121222210221x x y y A B C y y A x x B ++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩可得到点1P 关于直线l 的对称点2P 的坐标()22,x y （其中0B ≠，12x x ≠）.26．（2020·江苏苏州市·高一期中）在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为()()1122,,,P x y Q x y 两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ）A ．若点C 在线段AB 上，则有()()(),,,d AC d C B d A B +=B ．若、、A BC 是三角形的三个顶点，则有()()(),,,d A C d C B d A B +> C ．到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线0x = D．若O 为坐标原点，点B 在直线+0x y -上，则(),d O B 的最小值为2 【答案】AC 【分析】对A ，根据“折线距离”的定义化简可得；对B ，由绝对值不等式可判断；对C ，设出点的坐标，根据定义列出方程即可求解；对D ，由(),d O B x y x x =+=+≥. 【详解】对A ，若点C 在线段AB 上，设()()()001122,,,,,C x y A x y B x y ， 则0x 在12,x x 之间，0y 在12,y y 之间，则()()01012020,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()1212,x x y y d A B =-+-=，故A 正确；对B ，在ABC 中，()()01012020,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()()()()01200120x x x x y y y y ≥-+-+-+-()1212,x x y y d A B =-+-=，故B 错误；对C ，设到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”相等的点的坐标为(),x y ， 则11x y x y ++=-+，解得0x =，故C 正确；对D ，设(),B x y ，则(),d O B x y x x =+=+≥，即(),d O B 的最小值为D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查“折线距离”的应用，属于新定义问题，解题的关键是正确理解定义，并结合绝对值不等式进行化简判断.27．（2020·江苏苏州市·星海实验中学高一期中）下列结论正确的是（ ）A ．若直线1l 和2l 的斜率相等，则12l l //B ．已知直线1111:0l A x B yC ++=，2222:0l A x B y C ++=（1A 、1B 、1C 、2A 、2B 、2C 为常数），若直线12l l ⊥，则12120A A B B +=C ．点()00,P x y 到直线y kx b =+D ．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 【答案】BD 【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A 选项的正误；利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B 选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C 选项的正误；利用点到直线距离的定义可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若直线1l 和2l 的斜率相等，则1l 与2l 平行或重合，A 选项错误；对于B 选项，已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=（1A 、1B 、1C 、2A 、2B 、2C 为常数）.当直线1l 和2l 的斜率都存在时，则10B ≠，20B ≠， 直线1l 的斜率为111A k B =-，直线2l 的斜率为222A k B =-，若12l l ⊥，则1212121A A k k B B ==-，可得12120A A B B +=；当直线1l 和2l 分别与两坐标轴垂直，设1l x ⊥轴，则2l y ⊥轴，则10B =，20A =，满足12120A A B B +=. 综上所述，若直线12l l ⊥，则12120A A B B +=，B 选项正确； 对于C 选项，直线y kx b =+的一般方程为0kx y b -+=， 所以，点()00,P x y 到直线y kx b =+，C 选项错误；对于D 选项，由点到直线的距离的定义可知，直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，D 选项正确. 故选：BD.【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=. （1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠； （2）2112210A A l B B l +⇔=⊥.28．（2021·全国高二课时练习）(多选)已知圆A 、圆B 相切，圆心距为10 cm ，其中圆A 的半径为4 cm ，则圆B 的半径为（ ） A ．6 cm B ．10 cm C ．14 cm D ．18 cm【答案】AC 【分析】由两圆外切和内切分别求得结论． 【详解】令圆A 、圆B 的半径分别为r 1，r 2， 当两圆外切时，r 1＋r 2＝10， 所以r 2＝10－r 1＝10－4＝6； 当两圆内切时，|r 1－r 2|＝10， 即|4－r 2|＝10，r 2＝14或r 2＝－6(舍)， 即圆B 的半径为6 cm 或14 cm. 故选：AC ． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，解题关键是把问题转化为两圆相交．圆与圆的位置关系：两圆圆心距离为d ，半径分别为,r R ，则相离d R r ⇔>+，外切d R r ⇔=+，相交R r d R r ⇔-<<+，内切d R r ⇔=-，内含d R r ⇔<-．29．（2021·全国高三专题练习）设a ，b 为正数，若直线10ax by -+=被圆224210x y x y ++-+=截得弦长为4，则（ ） A ．1a b +=B ．21a b +=C ．18ab ≤D ．29a bab+≥ 【答案】BCD 【分析】根据直线与圆的位置关系可得21a b +=排除A ，再由均值不等式判断CD 即可. 【详解】由224210x y x y ++-+=可得22(2)(1)4x y ++-=，故圆的直径是4，所以直线过圆心()2,1-，即21a b +=，故B 正确； 又a ，b 均为正数，所以由均值不等式18ab ≤，当且仅当11,42a b 时等号成立；故C 正确；又2212a b a b ab ab ab b a +=+=+()1222214a b a b b a b a ⎫⎛=++=+++ ⎪⎝⎭59≥+=， 当且仅当22a b b a=，即a b =，即13a b ==时，等号成立，故D 正确.故选：BCD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.30．（2021·全国高三专题练习）设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过()0,3，且与圆C 交于A 、B 两点，且AB =，则直线l 的方程是（ ）A ．4390x y -+=B ．34120x y +-=C ．0x =D ．4390x y +-=【答案】BC 【分析】求出圆C 的圆心坐标与半径，利用勾股定理求出圆心C 到直线l 的距离d ，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线l 的方程. 【详解】圆C 的标准方程为()()22114x y -+-=，圆心为()1,1C ，半径为2r，AB =，所以，圆心C 到直线l的距离为1d ==.①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时圆心C 到直线l 的距离为1d =，合乎题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=， 圆心C 到直线l的距离为1d ==，解得34k =-，此时，直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=.综上所述，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=. 故选：BC. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用直线截圆所得弦长求直线的方程，在求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.31．（2020·江苏南京市·南京一中高三月考）以下四个命题表述正确的是（ ） A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,2 【答案】BCD 【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A ；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B ；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求m 得值，即可判断选项C ；设出点P 坐标，求出以线段PC 为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线AB 的方程，即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：由()()34330m x y m m R ++-+=∈可得：()33430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()3,3-，故选项A 不正确；对于选项B ：圆心()0,0到直线:0l x y -+=的距离等于1，圆的半径2r ，平行于:0l x y -=且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B 正确；对于选项C ：由22120C :x y x ++=可得()2211x y ++=，圆心()11,0C -，11r =，由 222480C :x y x y m +--+=可得()()2224200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，2r =1212C C r r =+，1=4m =，故选项C 正确；对于选项D ：设点P 坐标为(),m n ，所以142m n+=，即24m n +=， 因为PA 、PB 分别为过点P 所作的圆的两条切线，所以CA PA ⊥，CB PB ⊥，所以点,A B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为22222m n x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得：220x y mx ny +--=，与已知圆22:4C x y +=相减可得4mx ny，消去m 可得：()424n x ny -+=即()2440n y x x -+-=，由20440y x x -=⎧⎨-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线AB 经过定点()1,2，故选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】 结论点睛：（1）圆221111:0C x y D x E y F ++++=和圆222222:0C x y D x E y F ++++=的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.（2）已知()11,A x y ，()22,B x y ，以线段AB 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.第II 卷（非选择题）三、解答题32．（2021·全国高一课时练习）已知直线1l 经过点(0,1)，直线2l 过点(5,0)，且12l l //． （1）若1l 与2l 距离为5，求两直线的方程；（2）若1l 与2l 之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．【答案】（1）1:12550l x y -+=，2:125600l x y --=或1l ：0x =，2l ：5x =；（2，1:510l x y -+=，2:5250l x y --=． 【分析】（1）根据两直线平行，斜率存在一定相等或都不存在两种情况，写出直线方程求解即可； （2）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，求出此时直线的方程即可. 【详解】（1）①若1l ，2l 的斜率都存在时，设直线的斜率为k ，由斜截式得1l 的方程1y kx =+，即10kx y -+=． 由点斜式可得2l 的方程(5)y k x =-，即50kx y k --=． 在直线1l 上取点(0,1)A ， 则点A 到直线2l 的距离5d ==，22251012525k k k ∴++=+， 125k ∴=． 1:12550l x y ∴-+=，2:125600l x y --=．②若1l 、2l 的斜率不存在，则1l 的方程为0x =，2l 的方程为5x =，它们之间的距离为5．同样满足条件． （2）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，此时斜率5k =，1:510l x y-+=，2:5250l x y--=．【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．33．（2021·全国高二课时练习）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？【答案】水电站建在P(90，0)处电线用料最省．【分析】如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，再求出点B的坐标，利用对称性求解. 【详解】解：如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，则点A(0，300)，B(x，700)．设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|300，故点B(300，700)．设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的斜率k＝103，直线A′B的方程为y＝103x－300.令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：想到利用解析法来求解；其二是，能够利用数形结合利用对称性找到满足题意的位置.34．（2020·全国高二课时练习）已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围.。
九年级数学直线与圆
目 录
• 直线的基本性质 • 圆的性质与方程 • 直线与圆的交点 • 直线与圆的综合问题
01 直线的基本性质
直线的定义与表示
定义
直线是无限长的，没有端点，可以向两个方向无限延伸。在平面直角坐标系中，直线可以用方程来表 示。
表示方法
直线的表示方法有两种，一种是点斜式，一种是两点式。点斜式方程为 $y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为直线上的一点，$m$ 为直线的斜率。两点式方程为 $frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x x_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 为直线上的两点。
1 2
直线与圆相切的条件
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。 此时，圆心到直线的距离等于圆的半径。
直线与圆相交的条件
当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交。 此时，圆心到直线的距离小于圆的半径。
3
直线与圆相离的条件
当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。此 时，圆心到直线的距离大于圆的半径。
04
圆具有对称性，即关于 任意一条直线对称的两 条线段都是等长的。
03 直线与圆的交点
直线与圆的位置关系
相交
01
直线与圆有两个交点
相切
02
直线与圆有一个交点
相离
03
直线与圆没有交点
直线与圆的交点求解
代数法
通过解方程组求得交点坐标
几何法
通过观察直线和圆的相对位置，利用几何性质求得交点
直线与圆的实际应用
02 圆的性质）的 距离等于给定长度（半径）的点的集 合。
中考数学专题测试十六图形变换(含答案)
专题十六 图形的变换（时间：90分钟 满分：100分）一、选择题（每小题4分，共48分）1．（20XX 年重庆市）下列图形中，是中心对称图形的是 ( )2．（20XX 年宜昌市）如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案， 它的一种数学美体现在蝴蝶图案的 ( ) A ．轴对称性 B ．用字母表示数 C ．随机性 D ．数形结合3．（20XX 年潍坊市）如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是 ( )4．（20XX 年铜仁市）将如图所示的直角三角形绕直线∠旋转一周，得到的立体图形是( )5．（20XX 年无锡市）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是 ( )6．（20XX 年广东省）将图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是 ( )7．（20XX 年天津）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 ( )8．（20XX 年北京）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) A ．等边三角形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．矩形 9．（20XX 年黄石）有如下图形：①函数y ＝x ＋1的图象；②函数y ＝1x图象；③一段弧；④平行四边形．其中一定是轴对称图形的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（20XX 年扬州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到△EDC ，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A ．30，2B ．60，2C ．60，32D ．60，311．（20XX 年菏泽）如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC ＝3，AB ＝6，∠BCA ＝90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为 ( )A ．6B ．3C ．23D ．312．（20XX 年乐山）直角三角板ABC 的斜边AB ＝12 cm ，∠A ＝30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A'B'C'的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B'落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A'B'C'平移的距离为 ( ) A ．6 cm B ．4 cm C ．（6－23）cm D ．（43－6）cm 二、填空题（每小题4分，共20分）13．（20XX 年德州）长为1，宽为a 的矩形纸片(12<a <1）， 如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形 （称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作），如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止，当n ＝3时，a 的值为______．14．（20XX 年荆州）如图，长方体的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，高为5 cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______．15．（20XX年泰州）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网络（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置，且点A'、C'仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是______平方单位（结果保留π）．16．（20XX年绍兴）取一张矩形纸片按照图(1)、图(2)中的方法对折，并沿图(3)中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，将剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为______．17．（20XX年泉州）等边三角形、平行四边形、矩形、圆，四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是______．三、解答题（共32分）18．（10分）（20XX年孝感）如图，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图(1)中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：(1)这三个图案都具有以下共同特征：都是_______对称图形，都不是_______对称图形；(2)请在图(2)中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图(1)中给出的图案相同．19．（10分）（20XX年呼和浩特市）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF＝90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．(1)求证：EG＝CF；(2)将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．20．（12分）（20XX年杭州市）在平面上，七个边长均为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形．(1)你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；(2)将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面上，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于52？请说明理由．参考答案1.B2.A3.D4.B5.D6.A7.A8.D9.C 10.C 11.C 12.C 13.35或3414.13cm 15.13416.317.圆、矩形18.(1)中心轴(2)答案不唯一19.(1)略(2)平行图略20.(1)⑦；向上平移一个单位(2)可以。
直线和圆课件
一般式方程表示法
圆可以使用一般式方程来表示， 例如x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。
直线和圆的交点
1 直线和圆的交点数量
2 直线和圆的交点位置
直线和圆可以有0、1或2个交点，具体取决于 直线与圆的相对可能在圆上、圆内或圆外。
例题解析
直线和圆的例题解析
通过解析一些实际问题的例题，帮助你更好地理解直线和圆的相关概念和性质。
直线和圆ppt课件
一份精美的ppt课件，旨在帮助你了解直线和圆的基本概念和性质，以及它们 在平面直角坐标系中的表示方法和交点等重要知识。
什么是直线？
1 直线的定义
直线是由无限多个点组成的，它有相同的方向和长度。
2 直线的符号
用一条横线和两个箭头表示直线，例如AB。
3 直线的性质
直线上的任意两点可以直接相连，直线没有弯曲或拐角。
直线的表示方法
平面直角坐标系中的 表示方法
直线可以使用斜率和截距的形 式来表示，例如y = mx + b。
参数方程式表示法
直线可以使用参数方程来表示， 例如x = a + t, y = b + mt。
一般式方程表示法
直线可以使用一般式方程来表 示，例如Ax + By + C = 0。
什么是圆？
1 圆的定义
圆是由一条曲线组成的，它的每个点到圆心的距离相等。
2 圆的性质
圆上的任意两点与圆心的距离相等，圆没有角度和边界。
圆的表示方法
平面直角坐标系中的 表示方法
圆可以使用圆心和半径的形式 来表示，例如(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
直线与圆知识点总结及例题
直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ）； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13-） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =.（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
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专题十六 直线和圆
一．课前热身
1. 已知实数x 、y 满足1)1()2(22=-+-y x ，则x
y z 1+=
的最大值与最小值分别为
2.过点P （-8，0），引22C x +y -2x+10y+4=0 ：的割线，求被此圆截得的弦的中点M 的轨迹方程是
3
截圆22x +y =4得的劣弧所对的圆心角为 4.已知实数22x y x +y -4x+1=0，满足方程，则
y-2x
的最大值和最小值分别为
4y -x 的最小值为 ，22x +y 的值域为
5.2222x +y -2x-6y-1=0x +y -10x-12y+m =0已知两圆，相切，则m 的值为 二．例题讲解
1.如图，矩形A B C D 的两条对角线相交于点(20)M ，，A B 边所在直线的方程为
360x y --=, 点(11)T -，
在A D 边所在直线上． （I ）求A D 边所在直线的方程；
（II ）求矩形A B C D 外接圆的方程；
（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形A B C D 的外接圆外
切，求动圆P 的圆心的方程．
2.如图，在矩形ABCD 中，
AB=BC=1，以A 为圆心，1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）
（1） 在圆弧 DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线L 平分矩形ABCD 的面积； （2） 若动圆M 与满足题（1）的切线L 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使 M
为矩形内部面积最大的圆。
{}{}2
2
2
2
n 1n n+1212
2n 113.a x +y -2a x-2a y-1=0C :x +y +2x-2y-2=0C ,1a 2a =-3C C A B C C 1已知数列与：和，若与交于两点且这两点平分的周长 （）求证：数列是等差数列；
（）若，则当的半径最小时，求C 的方程
A B 三．课后强化
1. 已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线A B 的方程是 ．
2. 已知O 的方程是2220x y +-=，'O 的方程是228100x y x +-+=，由动点P 向O 和'O 所引的切线长相等，则运点P 的轨迹方程是__________________
3. 如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB A B
，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ． 4. 与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
5. 设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）
6. 由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为
7. 如果点P 在平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-+≥+-012020
22y y x y x 上,点O 在曲线的
那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为
8.已知直线:40l x y -+=与圆()()22
:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为____________。
9. 已知圆的方程()2
2
11x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）。
直线O P 的倾斜角
为θ弧度，OP d =，则()d f θ
=-----------------------------
10.已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．。