复化simpson法的matlab程序
复合梯形公式、复合辛普森公式matlab
复合梯形公式、复合⾟普森公式matlab 1. ⽤1阶⾄4阶Newton-Cotes公式计算积分程序：function I = NewtonCotes(f,a,b,type)%syms t;t=findsym(sym(f));I=0;switch typecase 1,I=((b-a)/2)*(subs(sym(f),t,a)+subs(sym(f),t,b));case 2,I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...subs(sym(f),t,b));case 3,I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),t,a)+3*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...3*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+subs(sym(f),t,b));case 4,I=((b-a)/90)*(7*subs(sym(f),t,a)+...32*subs(sym(f),t,(3*a+b)/4)+...12*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...32*subs(sym(f),t,(a+3*b)/4)+7*subs(sym(f),t,b));case 5,I=((b-a)/288)*(19*subs(sym(f),t,a)+...75*subs(sym(f),t,(4*a+b)/5)+...50*subs(sym(f),t,(3*a+2*b)/5)+...50*subs(sym(f),t,(2*a+3*b)/5)+...75*subs(sym(f),t,(a+4*b)/5)+19*subs(sym(f),t,b));case 6,I=((b-a)/840)*(41*subs(sym(f),t,a)+...216*subs(sym(f),t,(5*a+b)/6)+...27*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...272*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...27*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+...216*subs(sym(f),t,(a+5*b)/6)+...41*subs(sym(f),t,b));case 7,I=((b-a)/17280)*(751*subs(sym(f),t,a)+...3577*subs(sym(f),t,(6*a+b)/7)+...1323*subs(sym(f),t,(5*a+2*b)/7)+...2989*subs(sym(f),t,(3*a+4*b)/7)+...1323*subs(sym(f),t,(2*a+5*b)/7)+...3577*subs(sym(f),t,(a+6*b)/7)+751*subs(sym(f),t,b));endsyms xf=exp(-x).*sin(x);a=0;b=2*pi;I = NewtonCotes(f,a,b,1)N=1:I =N=2:I =N=3:I =(pi*((3*3^(1/2)*exp(-(2*pi)/3))/2 - (3*3^(1/2)*exp(-(4*pi)/3))/2))/4N=4:I =(pi*(32*exp(-pi/2) - 32*exp(-(3*pi)/2)))/452. 已知，因此可以通过数值积分计算的近似值。
复合辛普森公式matlab例题
文章标题：深度剖析复合辛普森公式在Matlab中的应用1.引言复合辛普森公式是数值分析中常用的积分逼近方法，在工程和科学领域都有广泛的应用。
本文将深入探讨复合辛普森公式的原理和在Matlab中的具体例题应用，以帮助读者全面理解该方法的实际操作和应用场景。
2.复合辛普森公式简介复合辛普森公式是一种数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上使用辛普森公式进行积分逼近，最终得到整个积分区间上的近似值。
其公式表达为：\[ S_n(h) = \frac{h}{3}[f(x_0) + 4\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1}) +2\sum_{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i}) + f(x_n)] \]其中，\(h\)为步长，\(n\)为分割的小区间数。
3. Matlab实例应用假设要对函数\(f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x + 1\)在区间\([a, b]\)上进行积分逼近，可以通过Matlab编程实现复合辛普森公式的应用。
需要确定积分区间的上下限，然后计算步长\(h\)，接着编写Matlab代码进行求解。
```matlabfunction result = simpson(f, a, b, n)h = (b - a) / n;x = a:h:b;y = f(x);result = h/3 * (y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end));end% 调用simpson函数进行积分逼近f = @(x) x.^3 + 2*x.^2 + 4*x + 1;a = 1;b = 2; n = 4;result = simpson(f, a, b, n);disp(result);```在以上Matlab代码中，首先定义了一个名为simpson的函数，用于计算复合辛普森公式的近似积分值。
利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分
1、运用复化梯形公式、复化simpson公式计算积分
2、比较计算误差与实际误差
实验原理(算法流程图或者含注释旳源代码）
取ｎ=2,3,…,10分别运用复化梯形公式、复化sｉｍpｓon公式计算积分 ,并与真值进行比较，并画出计算误差与实际误差之间旳曲线。
运用复化梯形公式旳程序代码如下:
fｕnction f=ｆx(x)
fｕnctｉonf=ｆｘ1（x)
f=x.^４;
a=0;%积分下线
b＝1;%积分上线
T＝[];％用来装不同n值所计算出旳成果
forn=2：10
h=（ｂ-a)／（2*n）；％步长
x=zeros(1,2*n+1)；%给节点定初值
foｒ ｉ=1:2*n＋1
x（ｉ）＝a+(i－1)＊h；％给节点赋值
eｎｄ
y=x．^4;%给相应节点处旳函数值赋值
实
验
结
果
分
析
及
心
得
体
会
上图是运用复化梯形公式所画出旳误差。其中：红线是计算误差,‘＊’号是实际误差。-0．０017是计算误差。0．041７、０.0185、0．01０4、0.00670.０046、0.0034、0.0０26、0.0021、0.0０1７是n值分别为2到10旳实际误差。
上图是运用复化sｉmpson公式所画出旳误差。其中:红线是计算误差,‘＊’号是实际误差。
t＝０;
ｆor i=1:ｎ
ｔ=ｔ+h／３*（ｙ（２*i－1）+4*ｙ（2*i)+y(2*i＋１));%运用复化sｉmpｓoｎ公式求值
end
T=[T,t];％把不同n值所计算出旳成果装入T中
end
数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序
数值分析第五次程序作业PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分：取节点并分析误差；简单分析你得到的数据。
【复化Simpson积分公式】Simpson法则：使用偶数个子区间上的复合Simpson法则：设n是偶数，则有将Simpson法则应用于每一个区间，得到复合Simpson法则：公式的误差项为：其中δ【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：如果划分区间[a,b]为：那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：对等间距h=(b-a)/n及节点，复合梯形法则具有形式：误差项为：【算法分析】复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。
【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：1.利用复化Simpson积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。
2.利用复化梯形积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。
【分析】通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。
matlab编程积分复合辛普森公式
matlab编程积分复合辛普森公式编程求解复合辛普森公式是一种常用的数值积分方法，在MATLAB中可以通过编写相应的代码实现。
本文将详细介绍如何使用MATLAB编程计算复合辛普森公式，并给出具体的代码实现。
我们需要了解什么是复合辛普森公式。
复合辛普森公式是一种数值积分方法，用于近似计算函数的定积分。
它是在区间[a, b]上使用多个小区间进行逼近，而不是直接在整个区间上进行逼近。
这种方法的优势在于可以提高计算精度，并且对于复杂的函数也能够得到较好的近似结果。
我们需要将整个区间[a, b]划分为n个小区间。
每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
然后，我们可以使用复合辛普森公式来近似计算每个小区间上的定积分。
复合辛普森公式的表达式为：I = (h/6)*(f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b))其中，f(x)是要求解的函数。
根据复合辛普森公式的定义，我们需要对每个小区间应用该公式进行求解，并将结果累加得到最终的积分值。
在MATLAB中，我们可以通过编写以下代码来实现复合辛普森公式的求解：```matlabfunction I = composite_simpson(f, a, b, n)h = (b-a)/n;x = a:h:b;y = f(x);I = 0;for i = 1:nI = I + h/6*(y(i) + 4*y(i+1) + y(i+2));endend```上述代码中，函数composite_simpson接受四个参数：函数f、积分区间的起点a、终点b和划分的小区间数n。
其中，函数f是一个函数句柄，表示要求解的函数。
在代码中，我们首先计算出每个小区间的长度h，并生成对应的x值。
然后，通过调用函数f计算出对应的y值。
接下来，我们使用循环对每个小区间应用复合辛普森公式，并将结果累加到变量I中。
最后，我们将得到的积分值I作为函数的输出。
在使用该函数时，我们需要先定义要求解的函数，并将其作为参数传递给composite_simpson函数。
MATLAB实现复化梯形公式复化SIMPSON公式以及ROMBERG积分
MATLAB实现复化梯形公式复化SIMPSON公式以及ROMBERG积分复化梯形公式、复化SIMPSON公式和ROMBERG积分是常用的数值积分方法，用于对定积分进行数值近似计算。
下面将介绍MATLAB实现这三种方法的具体步骤。
复化梯形公式使用多个等距的子区间进行近似计算，然后将子区间上的梯形面积求和。
MATLAB代码如下：```matlabh=(b-a)/n;%子区间宽度x=a:h:b;%子区间节点y=f(x);%子区间节点对应的函数值result = h * (sum(y) - (y(1) + y(end)) / 2); % 计算近似积分值end```复化SIMPSON公式同样使用多个等距的子区间进行近似计算，但是每个子区间上使用二次多项式拟合。
MATLAB代码如下：```matlabh=(b-a)/n;%子区间宽度x=a:h:b;%子区间节点y=f(x);%子区间节点对应的函数值result = (h / 3) * (y(1) + y(end) + 4 * sum(y(2:2:end-1)) + 2 * sum(y(3:2:end-2))); % 计算近似积分值end```3. ROMBERG积分（Romberg Integration）ROMBERG积分是一种逐次精化的数值积分方法，通过不断提高梯形法则的阶数进行近似计算。
MATLAB代码如下：```matlabfunction result = romberg_integration(f, a, b, n)R = zeros(n, n); % 创建一个n*n的矩阵用于存储结果h=b-a;%子区间宽度R(1,1)=(h/2)*(f(a)+f(b));%计算初始近似积分值for j = 2:nh=h/2;%缩小子区间宽度sum = 0;for i = 1:2^(j-2)sum = sum + f(a + (2 * i - 1) * h);endR(j, 1) = 0.5 * R(j-1, 1) + (h * sum); % 使用梯形法则计算积分值for k = 2:jR(j, k) = R(j, k-1) + (R(j, k-1) - R(j-1, k-1)) / ((4^k) - 1); % 使用Romberg公式计算积分值endendresult = R(n, n); % 返回最终近似积分值end```以上是MATLAB实现复化梯形公式、复化SIMPSON公式以及ROMBERG积分的代码。
复合辛普森 matlab 二重积分
复合辛普森matlab 二重积分在Matlab中，可以使用复合辛普森法（Composite Simpson's rule）进行二重积分的近似计算。
复合辛普森法是将二重积分区域分割成多个小矩形，然后在每个小矩形上应用辛普森法进行积分计算。
下面是在Matlab中使用复合辛普森法进行二重积分的示例代码：```matlabfunction result = composite_simpsons_2D(f, a, b, c, d, m, n)h = (b - a) / m; % 横向分割步长k = (d - c) / n; % 纵向分割步长% 计算积分结果result = 0;for i = 0:mfor j = 0:nx = a + i * h;y = c + j * k;% 处理边界if i == 0 || i == msx = 1;elseif mod(i, 2) == 1sx = 4;elsesx = 2;endif j == 0 || j == nsy = 1;elseif mod(j, 2) == 1sy = 4;elsesy = 2;end% 计算二重积分result = result + (sx * sy / 9) * f(x, y);endendresult = (h * k / 9) * result;end```上述示例代码中，输入参数f是二重积分函数，a、b、c、d是积分区间的边界，m和n是横向和纵向的分割数。
函数会输出近似的二重积分结果。
请注意，这只是复合辛普森法的一种实现方式，你也可以根据具体需求进行修改和优化。
需要根据具体的二重积分函数进行调用和计算。
matlab复合辛普森求定积分
matlab复合辛普森求定积分介绍在数学和工程领域，求定积分是一个重要的问题。
定积分是计算函数曲线下某一段区间内的面积。
而求定积分的方法有很多种，其中辛普森积分方法是常用且有效的一种方法。
在本文中，我们将介绍辛普森积分的基本原理，并利用Matlab编写一个求定积分的程序。
辛普森积分原理辛普森积分是一种基于插值的数值积分方法。
它的原理基于以下思想：对于一个函数f(x)，我们可以将其在一个小区间[a, b]上进行二次插值，通过拟合出的二次多项式来近似替代原函数。
然后，我们可以根据这个多项式来计算定积分。
辛普森积分公式辛普森积分公式可以表示为：Matlab实现下面是一个在Matlab中实现辛普森积分的函数：function result = simpson_integral(fun, a, b, n)h = (b - a) / n;x = a:h:b;y = fun(x);result = (h / 3) * (y(1) + y(end) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)));end函数的参数包括： - fun：要计算定积分的函数句柄 - a：积分下界 - b：积分上界 - n：区间的数量，即将[a, b]区间均匀划分为n个小区间函数内部使用了辛普森积分公式来计算定积分的近似值，最终返回结果。
示例为了演示如何使用上述的辛普森积分函数，我们将计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, pi]上的定积分。
fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;n = 100;result = simpson_integral(fun, a, b, n);disp(['定积分的近似值为：', num2str(result)]);运行上述代码，输出结果为：定积分的近似值为：2.0000这个结果非常接近真实值2，这说明辛普森积分方法在计算定积分时是相当准确的。
自适应Simpson积分算法(MATLAB及C++实现代码)
自适应Simpson积分算法（MATLAB及C++实现代码）(计算数学课用)在CSDN论坛中找到了却要金币，无奈之下自己写了一份。
对于类似问题，改一下积分函数和区间即可。
针对问题：数学上已经证明了成立，所以可以通过数值积分来求的近似值。
试利用自适应Simpson算法计算积分近似值。
C++版：(直接复制粘贴在VC++6.0即可运行)/*用自适应Simpson积分方法计算积分值*/#include<iostream>#include<cmath>int n=0;//设置全局变量n,用来记录最高迭代次数，避免递归一直进行下去。
double pi=3.141592653589793238462643;//设置近似精确值，用以比较double e1=0.00001;//设置误差容限为10^-5double f(double);//要积分的函数double Simpson(double,double,double,double);//迭代函数using namespace std;//主函数int main(){double a=0,b=1,t,h,S;//积分区间h=(b-a)/2;S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2));//第一次Simpson公式积分值t=Simpson(a,b,e1,S);cout<<"积分值为："<<t<<endl;cout<<"最大迭代次数为："<<n<<endl;cout<<"设置误差容限为"<<e1<<"\n误差为:"<<pi-t<<endl;return0;}//子函数1（积分函数）double f(double x){return4/(1+x*x);}//子函数2（迭代函数）double Simpson(double A,double B,double e,double S){double h,S1,S2;h=(B-A)/2;n++;//统计迭代次数if(n>500){cout<<"方法有误，跳出递归"<<endl;return0;}S1=h/6*(f(A)+f(A+h)+4*f(A+h/2));//在[A,(A+B)/2]区间上计算Simpson积分值S2=h/6*(f(A+h)+f(B)+4*f(A+3/2*h));//在[(A+B)/2，B]区间上计算Simpson积分值if(fabs(S-S1-S2)<15*e)return S1+S2;//如果满足误差容限要求，就以S1+S2作为此时对应区间上的函数的近似值elsereturn Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2);//递归调用}MATLAB版：（两个函数文件加一个脚本文件）1.编写积分函数文件：function y=f(x)y=4./(1+x.^2);end2.编写Simpson迭代函数文件function y=Simpson(A,B,e,S)h=(B-A)/2;S1=h/6*(f(A)+f(A+h/2)+4*f(A+h/2));S2=h/6*(f(A+h)+4*af(A+3/2*h)+f(B));if abs(S-S1-S2)<10*e y=S1+S2;else y=Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2);endend3.编写脚本调用文件ticclear;a=0;b=1;%积分区间e=0.0000001;%误差容限h=(b-a)/2;S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f(1/2*(a+b)));%第一次Simpson积分值t=Simpson(a,b,e,S)%最终自适应方法积分值abs(pi-t)%实际误差e%设置的误差容限toc%返回所用时间亲测可用。
matlab newton raphson 复合函数 梯度
在MATLAB中使用牛顿-拉夫森方法（Newton-Raphson method）进行复合函数的迭代，需要首先定义目标函数和它的梯度。
假设我们有一个复合函数f(x) = h(g(x))，其中h和g都是可微函数，我们希望找到一个函数x = f(x)的根。
牛顿-拉夫森方法的基本步骤如下：1. 选择一个初始点x0。
2. 计算目标函数在初始点处的值f(x0)。
3. 计算目标函数在初始点处的梯度∇f(x0)。
4. 使用牛顿-拉夫森公式更新x0：x1 = x0 - f(x0)/∇f(x0)。
5. 重复步骤2-4，直到达到所需的精度或达到最大迭代次数。
在MATLAB中，可以编写一个函数来实现这个过程。
下面是一个示例：```matlabfunction [x, iterations] = newton_raphson(f, df, x0, tol, max_iterations) f: 目标函数df: 目标函数的梯度x0: 初始点tol: 允许的误差范围max_iterations: 最大迭代次数x = x0;iterations = 0;while abs(f(x)) > tol && iterations < max_iterationsx = x - f(x) / df(x); 牛顿-拉夫森更新公式iterations = iterations + 1;endend```这个函数接受目标函数f和它的梯度df，初始点x0，允许的误差范围tol，以及最大迭代次数max_iterations。
它会返回最终的近似解x，以及迭代次数iterations。
注意，这个函数假设f和df都是向量函数，即它们都可以接收向量输入并返回向量输出。
如果f和df不能接受向量输入或返回向量输出，那么需要对这个函数进行相应的修改。