matlab软件欧拉算法教程
欧拉法(euler)求解常微分方程的matlab程序及案例
欧拉法(euler)求解常微分方程的matlab程序及案例欧拉方法是最初用于求解常微分方程的数值方法之一，它是一种显式的一步法，具有易于实施的优点，特别适合初学者使用。
本文将介绍欧拉法的原理和使用MATLAB求解常微分方程的具体方法，同时给出一个简单的实例进行说明。
一、欧拉法原理考虑一个一阶常微分方程y'=f(t,y)，欧拉法的基本思想是将时间步长Δt均分成n个小步长，从y(t0)开始依次计算每个时刻的值，得到一列估计值y1, y2, …, yn。
欧拉法的计算公式为：（1）y1=y(t0+Δt)=y(t0)+Δtf(t0, y0)（2）y2=y(t0+2Δt)=y(t0+Δt)+Δtf(t0+Δt, y1)（3）yn=y(t0+nΔt)=y(t0+(n-1)Δt)+Δtf(t0+(n-1)Δt, yn-1)可以看出，欧拉法的核心在于利用已知的t和y计算f(t,y)，从而获得y的逼近值。
但是需要注意的是，步长Δt越小，计算所需的时间和内存就越多，而精度却并不一定提高。
因此在实际应用中需要结合具体问题选择合适的步长。
二、MATLAB求解常微分方程的具体方法（1）定义常微分方程我们以一个简单的例子开始，考虑求解y'=1-y，y(0)=0.5在[0,1]区间内的积分。
首先定义匿名函数dydt，将其传到ode45中求解：dydt=@(t,y)1-y;[t,y]=ode45(dydt,[0 1],0.5);plot(t,y,'-o')运行以上代码可以得到结果，其中plot函数用于绘制图像。
但是，由于求解过程中计算机执行到ode45函数时可能需要很长时间，因此需要更快捷的方法。
（2）利用欧拉法求解方程欧拉法求解方程首先需要定义步长Δt，这里设Δt为0.1。
定义起始值y=[0.5]、时间向量t=0:Δt:1，然后计算列向量y的估计值：t=0:0.1:1;y=zeros(size(t));y(1)=0.5;for n=1:length(t)-1y(n+1)=y(n)+0.1*(1-y(n));endplot(t,y,'-o')以上代码的执行结果与前面的ode45方法相同，但是速度更快。
微分方程的MATLAB实现与欧拉算法
微分方程的MATLAB实现与欧拉算法微分方程是数学中的重要概念，由于数值计算的发展，人们开始使用计算机来求解微分方程。
MATLAB作为一款强大的数学计算软件，提供了丰富的工具和函数来求解微分方程。
本文将介绍MATLAB如何实现微分方程的求解，并详细讨论了欧拉算法的原理和实现。
MATLAB中求解微分方程的函数主要有ode45、ode23、ode15s、ode23s和ode113等。
其中，ode45是最常用的函数，其基本用法如下：```[t,y] = ode45(fun,tspan,y0)```其中，fun是代表微分方程函数的句柄，tspan是时间范围，y0是初始条件。
返回的t是时间向量，y是对应时间的函数值。
例如，我们要求解一个简单的一阶常微分方程dy/dt = -2y，初始条件为y(0) = 1，在MATLAB中的代码如下：```tspan = [0 10];y0=1;[t,y] = ode45(fun,tspan,y0);```运行上述代码，我们得到了在时间范围[0,10]内的y的值，并且存储在数组y中。
欧拉算法是一种简单而粗糙的求解微分方程的方法，其基本原理是利用初始条件和微分方程的定义式逐步逼近所要求解的函数。
欧拉算法的迭代公式为y(n+1)=y(n)+h*f(t(n),y(n))，其中h为步长，f为微分方程的函数。
我们可以用MATLAB实现欧拉算法来求解微分方程。
以下是一个简单的例子，求解一阶常微分方程dy/dt = -2y，初始条件为y(0) = 1，步长为0.1，时间范围为[0,10]：```h=0.1;t=0:h:10;y(1)=1;for i = 1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h*(-2*y(i));end```在上述代码中，我们首先定义了步长h和时间范围t，然后初始化初始值y(1)，接下来通过循环计算每个时间点的函数值。
通过以上的示例，我们可以看到，虽然欧拉算法是一种较为简单的求解微分方程的方法，但是当步长较大时，结果往往不够精确，因此在实际应用中，通常会使用更为高阶的方法，如ode45函数。
欧拉法求解一阶微分方程matlab
为了更好地理解欧拉法求解一阶微分方程在Matlab中的应用，我们首先来了解一些背景知识。
一阶微分方程是指只含有一阶导数的方程，通常表示为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是关于x和y的函数。
欧拉法是一种常见的数值解法，用于求解微分方程的近似数值解。
它是一种基本的显式数值积分方法，通过将微分方程转化为差分方程来进行逼近。
在Matlab中，我们可以利用欧拉法求解一阶微分方程。
我们需要定义微分方程的函数表达式，然后选择合适的步长和初始条件，最后使用循环计算逼近解。
下面我们来具体讨论如何在Matlab中使用欧拉法来求解一阶微分方程。
我们假设要求解的微分方程为dy/dx=-2x+y，初始条件为y(0)=1。
我们可以通过以下步骤来实现：1. 我们需要在Matlab中定义微分方程的函数表达式。
在Matlab中，我们可以使用function关键字来定义函数。
在这个例子中，我们可以定义一个名为diff_eqn的函数，表示微分方程的右侧表达式。
在Matlab中，这个函数可以定义为：```matlabfunction dydx = diff_eqn(x, y)dydx = -2*x + y;end```2. 我们需要选择合适的步长和初始条件。
在欧拉法中，步长的选择对于数值解的精度非常重要。
通常情况下，可以先尝试较小的步长，然后根据需要进行调整。
在这个例子中，我们可以选择步长h=0.1，并设置初始条件x0=0，y0=1。
3. 接下来，我们可以使用循环来逼近微分方程的数值解。
在每一步，根据欧拉法的迭代公式y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i))，我们可以按照下面的Matlab代码计算逼近解：```matlabh = 0.1; % 步长x = 0:h:2; % 定义计算区间y = zeros(1, length(x)); % 初始化y的值y(1) = 1; % 设置初始条件for i = 1:(length(x)-1) % 欧拉法迭代y(i+1) = y(i) + h * diff_eqn(x(i), y(i));end```通过上述步骤，在Matlab中就可以用欧拉法求解一阶微分方程。
matlab实例讲解欧拉法求解微分方程
欧拉法是数值分析中常用的一种方法，用于求解常微分方程的数值解。
在MATLAB中，可以通过编写相应的代码来实现欧拉法求解微分方程。
下面我们将通过具体的实例来讲解MATLAB中如何使用欧拉法求解微分方程。
我们要了解欧拉法的基本原理。
欧拉法是一种通过迭代逼近微分方程解的方法，它基于微分方程的定义，通过离散化的方法逼近微分方程的解。
其基本思想是利用微分方程的导数定义，将微分方程以差分形式进行逼近。
具体而言，欧拉法通过将微分方程转化为差分方程的形式，然后通过迭代逼近得到微分方程的数值解。
接下来，我们通过一个具体的实例来讲解MATLAB中如何使用欧拉法求解微分方程。
假设我们要求解以下的一阶常微分方程：(1) dy/dx = x + y(2) y(0) = 1现在我们来编写MATLAB代码来实现欧拉法求解这个微分方程。
我们需要确定微分方程的迭代步长和迭代范围。
假设我们将x的范围取为0到10，步长为0.1。
接下来，我们可以编写MATLAB代码如下：```matlab欧拉法求解微分方程 dy/dx = x + y定义迭代步长和范围h = 0.1;x = 0:h:10;初始化y值y = zeros(1,length(x));y(1) = 1;使用欧拉法迭代求解for i = 1:(length(x)-1)y(i+1) = y(i) + h * (x(i) + y(i));end绘制图像plot(x,y,'-o');xlabel('x');ylabel('y');title('欧拉法求解微分方程 dy/dx = x + y');```在这段MATLAB代码中，我们首先定义了迭代的步长和范围，并初始化了微分方程的初始值y(0) = 1。
然后通过for循环使用欧拉法进行迭代求解微分方程，最后绘制出了微分方程的数值解的图像。
通过以上的实例讲解，我们可以看到，在MATLAB中使用欧拉法求解微分方程是非常简单而直观的。
欧拉法(euler)求解常微分方程的matlab程序及案例
欧拉法(euler)求解常微分方程的matlab程序及案例欧拉法是一种常见的求解常微分方程的数值解法，在MATLAB中可以通过编写简单的程序实现。
本文将介绍欧拉法的MATLAB程序及应用案例。
首先，让我们考虑以下的常微分方程：dy/dx = f(x, y)其中y是关于x的函数，f是已知的函数。
我们可以通过欧拉法求解该方程。
欧拉法的基本思想是将区间[x0, xn]分成n等份，然后用以下式子计算y的值：y(i+1) = y(i) + h*f(x(i), y(i))其中h是步长，x(i)和y(i)分别表示当前的x和y值，y(i+1)表示下一个y值。
通过重复上述计算，欧拉法可以求出y在x=n处的值。
下面是欧拉法的MATLAB程序：% 默认参数x0 = 0; % 初始值xn = 1; % 终止值y0 = 1; % 初始y值h = 0.1; % 步长f = @(x, y) -y; % 函数n = (xn - x0) / h; % 时间步数x = x0; % 初始x值y = y0; % 初始y值for i = 1:ny = y + h * f(x, y);x = x + h;enddisp(['y在x = ', num2str(xn), '处的值为：',num2str(y)]);在上述程序中，我们定义了默认的初始值、终止值、初始y值和函数。
程序中的n表示时间步数，x和y分别表示当前的x和y值。
通过for循环，欧拉法可以重复计算y的值，并最终求出y在x=n处的值。
下面是一个用欧拉法求解dy/dx = -y的应用案例：% 默认参数x0 = 0; % 初始值xn = 5; % 终止值y0 = 1; % 初始y值h = 0.1; % 步长f = @(x, y) -y; % 函数n = (xn - x0) / h; % 时间步数x = x0; % 初始x值y = y0; % 初始y值% 初始化结果数组result = zeros(n + 1, 2);result(1,:) = [x0 y0];for i = 1:ny = y + h * f(x, y);x = x + h;% 保存结果result(i + 1,:) = [x y];end% 绘制图形plot(result(:,1), result(:,2), '-o');xlabel('x');ylabel('y');title('欧拉法求解dy/dx=-y');在上述案例中，我们使用默认的参数，求解dy/dx=-y的方程。
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y( xn1 ) y( xn ) hK
*
寻求计算平均斜率的算法
考察欧拉法，以xn的斜率值
K1 f ( xn , yn )
作为平均斜率
考察改进的欧拉法，可以将其改写为：
1 1 yi 1 yn h K1 K 2 2 2 K1 f ( x n , yn ) K 2 f ( xn h, yn hK1 )
xn
h f ( x , y( x ))dx f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 )) O( h3 ) 2
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 梯形格式 2
梯形格式是显式Euler格式与隐式Euler格式的 算术平均 Euler格式是显式算法，计算量小，但精度低 梯形格式，精度较高，但是隐式算法，需要通过 迭代过程求解，计算量大
四、四阶Runge-Kutta方法
继续上述过程，可以进一步导出四阶Runge-Kutta 格式
yn1 yn h K1 2 K 2 2 K 3 K 4 , 6 K f x , y , n n 1 h K 2 f x n 1 , yn K1 , 2 2 K f x , y h K , n 1 n 2 3 2 2 K 4 f xn1 , yn hK 3 . Biblioteka 利用数值积分求积分项的方法离散
(1)左矩形法
xn1
f ( x , y( x ))dx hf ( xn , y( xn )) O( h2 )
xn
y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
利用matlab软件求解常数e和欧拉常数γ
数学实验报告利用matlab软件求解常数e和欧拉常数γ实验目的：利用matlab软件计算常数e和γ，并尝试利用不同的算法计算，比较计算精度和时间，找到较好的算法。
掌握matlab程序求和、求极限的方法，学会寻找更优算法。
实验内容：1、求ee可以来源于两个数列的极限和，即en=lim(1+1/x)^x,(x->+∞)（1式）sn=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……（2式），根据1式，可在matlab上设计如下代码：for n=1:15n=10^n;e=(1+1/n)^n %求常数e的循环语句endformat long %使结果显示16位双精度数结果：e的标准值约为：2.71828182845904523536由上述结果可知，使用1式，有很大的缺陷，不仅精度连10^-7都没有，而且当n>=10^9误差开始变大。
根据2式，可得如下代码：sum=0;t=1;for n=1:18t=n*t;sum=sum+(1/t);end %求常数e的循环语句e=1+sumformat long %使结果显示16位双精度数结果：e的标准值约为：2.71828182845904523536如上所示，随着n的增大，e的计算值越来越接近e的真实值.但是，当n 的值大于17后，计算的精度不再提高，原因是双精度型数只能精确到16位，所以结果只有个位以及小数点后15位（最后一位是近似取的），而1/18!=1.56*10^-16，所以n超过18再往下计算不会更精确。
在1式代码中，(1+1/n)和n都只能精确到小数点后16位，两者相乘，结果精度将只能精确到8位。
在2式中，,每一项都能精确到小数点后16位，而e是所有项的和，求和后仍然能够精确到小数点后16位。
所以，对于某些使用数学软件求解的问题，如果对精度有要求，应该尽量使用加、减运算，少用其他的运算(例如乘、除、乘方、对数等)，这样可以提高运算精度。
matlab欧拉函数
matlab欧拉函数
在Matlab中，欧拉函数可以通过内置的函数`euler`来调用。
例如，要计算欧拉函数的值，可以这样写：
```matlab
value = euler(n)
```
其中，`n`是你想要计算欧拉函数的数值。
请注意，Matlab的`euler`函数返回的是第一个非零数值。
在数学中，欧拉函数通常定义为对于一个正整数n，小于n且和
n互质的正整数（包括1）的个数。
如果你需要计算这个定义下的欧拉函数，你需要自己编写代码或者找到第三方的数学库来计算。
如果你需要计算欧拉函数，你可以使用以下的Matlab代码片段。
这个代码片段定义了一个名为`eulerian_function`的函数，它接受一个正整数n作为输入，并返回小于n且和n互质的正整数的个数。
```matlab
function result = eulerian_function(n)
result = 0;
for i = 1:n
if gcd(i, n) == 1
result = result + 1;
end
end
end
```
在这个代码片段中，`gcd`是Matlab内置的函数，用于计算两个数的最大公约数。
如果一个数和n的最大公约数为1，那么这个数就小于n且和n互质。
因此，我们可以通过计算所有小于n且和n互质的数的个数，来得到欧拉函数的值。
matlab 向量的欧拉角
在MATLAB中，处理向量的旋转问题时，我们经常涉及到从旋转矩阵或旋转向量（也称作轴角向量）求解欧拉角。
但是直接从一个简单的三维向量本身并不能直接获得欧拉角，因为欧拉角通常用于描述一个三维空间中的旋转序列，而不是单个向量的方向。
如果有一个向量代表了某个坐标轴上的旋转轴，并且具有特定长度表示旋转的角度（即它是经过标准化后的旋转轴向量，其长度代表了绕此轴的旋转角度），那么可以通过一系列的计算步骤将其转换为欧拉角。
然而，更常见的情况可能是你需要从一个旋转矩阵或旋转向量计算欧拉角。
例如，假设你有一个3x3的旋转矩阵R，你可以使用MATLAB内置的函数rotm2eul来求解欧拉角：Matlab1%假设 R 是一个给定的旋转矩阵2[R, T] = rpy2r(EulerOrder, roll, pitch, yaw); % 如果你知道旋转矩阵是由哪些欧拉角构建的3[eulerAngles] = rotm2eul(R, EulerOrder); % 求解欧拉角这里的EulerOrder是一个字符串，表示欧拉角的旋转顺序，比如'ZYX'表示先绕Z 轴旋转，然后绕新坐标系的Y轴旋转，最后绕再次变换后坐标系的X轴旋转。
如果你有一个旋转向量omega，它是一个三维向量，表示绕单位向量旋转的角度，可以先将其转换为旋转矩阵，然后再转换为欧拉角：Matlab1%假设 omega 是一个旋转向量2theta = norm(omega); % 计算旋转角度3axisOfRotation = omega / theta; % 获取单位旋转轴4R = axis2rotmat(axisOfRotation, theta); % 将旋转轴和角度转换为旋转矩阵5[eulerAngles] = rotm2eul(R, EulerOrder); % 再次使用rotm2eul函数求欧拉角请注意，由于旋转表示的多解性和万向节死锁问题，从旋转矩阵到欧拉角的转换可能不是唯一的，尤其是在接近某些特殊角度组合时。
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斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？
步长一定是一个h 吗？
用xn , xn1两个点的斜率值K1 , K 2的算术平均作为平均 斜率K *；xn 1处的斜率值K 2，由已知信息y n 通过Euler 公式预报
Runge-Kutta方法的设计思想 设法在[xn,xn+1]区间内多预报几个点的斜率值， 利用这些斜率值，将他们加权平均作为平均斜率 的近似，有可能构造出更高精度的计算格式
O(h6 )
R-K(高阶)方法不唯一,选择不同的参数能得到 不同的R-K公式 R-K方法的推导是基于Taylor展开法，因而要求 解具有较好的光滑性，如果光滑性较差精度可 能不如改进Euler方法,最好采用低阶算法而将 步长h 取小。
四阶R-K方法实现
开始
输入 x 0, y 0, h, N
n N 1; x1 x0 , y1 y0
二、二阶Runge-Kutta方法
推广改进的Euler方法，在区间[xn , xn1 ]内任取一点 xn p xn ph,
* *
0 p 1
希望用xn，xn p两个点的斜率K1 , K 2加权平均得到平 均斜率K ，即 K =1 K1 2 K 2 , 1 ,2为待定参数
h yn 1 yn 6 K1 4 K 2 K 3 , K1 f x n , yn , K 2 f x 1 , yn h K1 , 2 n+ 2 K 3 f xn +1 , yn +h( K1 2 K 2 ) .
3 要求 Rn y( xn1 ) yn1 O(h ) ，则必须有：
1 1 2 1 , 2 p 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶 龙格 - 库塔格式。
1 (1) p 1, 1 2 为改进Euler 格式 2 1 (2)p , 1 0, 2 1为变形的Euler 格式 中点格式 2 yn h K1是Euler 法预报的中点xn 1 的近似值，K 2 近似 2 2
( xn , xn1 ), st.y( xn1 ) y( xn ) y( )( xn1 xn )
y f ( x , y )
准确成立
y( xn1 ) y( xn ) hf ( , y( ))
令K f ( , y( )), 称为区间[ xn , xn1 ]上的平均斜率
改进的Euler方法
综合两种方法，先用Euler法得到一个初步的近似值
yn1称为预报值，预报值yn1的精度不高,利用预报 值替代右端的yn1再直接计算，得到校正值yn1
建立预报-校正系统 预报：yn1 yn hf xn , yn h f xn , yn f xn1 , yn1 校正：yn1 yn 2
改进Euler方法计算框图 开始
输入x0 , y0 , h, b
n 1
x1 x0 h y p y0 hf ( x0 , y0 ) yc y0 hf ( x1 , y p ) 1 y1 ( yc y p ) 2
输出x1 , y1
n n 1 x0 x1 , y0 y1
等于中点的斜率值f xn 1 , y( xn 1 ) , 本格式表示用中
2 2
点的斜率代替平均斜率K*
计算量：每步需要计算两次函数f的值
Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
三、三阶Runge-Kutta方法
为进一步提高精度，设除xn+p外再考察一点
xnq xn qh,
p q 1
四、四阶Runge-Kutta方法
继续上述过程，可以进一步导出四阶Runge-Kutta 格式
yn1 yn h K1 2 K 2 2 K 3 K 4 , 6 K f x , y , n n 1 h K 2 f x n 1 , yn K1 , 2 2 K f x , y h K , n 1 n 2 3 2 2 K 4 f xn1 , yn hK 3 .
y( xn1 ) y( xn ) hK
*
寻求计算平均斜率的算法
考察欧拉法，以xn的斜率值
K1 f ( xn , yn )
作为平均斜率
考察改进的欧拉法，可以将其改写为：
1 1 yi 1 yn h K1 K 2 2 2 K1 f ( x n , yn ) K 2 f ( xn正系统称作改进的欧拉公式。
单步显式格式
改进的Euler方法
改进Euler格式的嵌套形式
h yn1 yn f ( xn , yn )+f ( xn1 , yn +hf ( xn , yn ) 2
平均化形式： y p yn hf ( xn , yn ) yc yn hf ( xn 1 , y p ) 1 yn 1 ( y p yc ) 2 y ( x 0 ) y0
x1 x0 h; h h K1 f ( x0 , y0 ), K 2 f ( x0 , y0 K1 ) 2 2 h h K 3 f ( x0 , y0 K 2 ), f ( x0 h, y0 hK 3 ) 2 2 h y1 y 0 ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
Step 1: 将 K2 在 ( xn , yn ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( xn ph , yn phK1 ) f ( xn , yn ) phf x ( xn , yn ) phK1 f y ( xn , yn ) O( h2 )
y( xn ) phy( xn ) O(h2 )
Step 2: 将 K2 代入第1式，得到
yn1 yn h 1 y( xn ) 2 [ y( xn ) phy( xn ) O( h2 )] yn (1 2 )h y( xn ) 2 ph2 y( xn ) O( h3 )
§2 Runge-Kutta Method
用三个点x n , x n p , x nq的斜率K 1 , K 2 , K 3 加权平均得出 平均斜率K 的近似值，计算格式具有
*
yn1 yn h(1 )K1 K2 K3
K1 , K2为二阶Runge-Kutta格式的表达式 如何预报K3？
在区间[xn ,xn+q ]已知两个斜率值K1,K2，对K1,K2加权 平均得出此区间的平均斜率,从而得到y(xn+q )的预报 值yn+q
Euler法
xn Yn
0.1 1.1 0.2 1.1918
改进Euler法
0.0046 1.0959 0.0086 1.1841 0.0005 0.0009
准确解
1.0954 1.1832
|yn-y(xn)| Yn
|yn-y(xn)| y(xn)
0.3 1.2774
0.4 1.3582 0.5 1.4351 0.6 1.5090 0.7 1.5803 0.8 1.6498 0.9 1.7178 1.0 1.7848
改进的Euler方法
第二节 改进的Euler方法
已知初值问题的一般形 式为: dy f ( x, y) dx y ( x 0 ) y0 a xb (1)
将方程两端从xn到xn+1求积分，得 y( xn1 ) y( xn )
xn1
xn
f ( x , y( x ))dx
Step 3: 将 yn+1 与 y( xn+1 ) 在 xn 点的泰勒展开作比较
yn1 yn (1 2 )h y( xn ) 2 ph2 y( xn ) O(h3 )
h2 y( xn1 ) y( xn ) hy( xn ) y( xn ) O( h3 ) 2
1.2649
1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321
改进的Euler方法
第三节
Runge-Kutta方法
拉格朗日中值定理
如果函数f ( x )满足 (1)在闭区间[a , b]上连续， )在开区间(a , b)上可导；那么, (2 至少存在一点 (a , b), 使得f (b) f (a ) f ( )(b a )成立
将改进Euler法推广 y n+1 =y n +h 1 K1 2 K 2 K1 f ( x n , yn ) K f ( x , y phK ) n p n 1 2
（1）
d f ( x, y) 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶 dx 精度，即在 yn y( xn ) 的前提假设下，使得 dy f3x ( x , y ) f y ( x , y ) Ri y( xn1 ) yn1 O(h ) dx f x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) y( x )
xn
h f ( x , y( x ))dx f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 )) O( h3 ) 2
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 梯形格式 2
梯形格式是显式Euler格式与隐式Euler格式的 算术平均 Euler格式是显式算法，计算量小，但精度低 梯形格式，精度较高，但是隐式算法，需要通过 迭代过程求解，计算量大
利用数值积分求积分项的方法离散