湖南省怀化市高三数学上学期期末考试试题 理 湘教版

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．i 是虚数单位，复数131ii--为 A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i -- 2．若{ }M =直线, { }N =抛物线, 则M N 的元素个数是A ．0B ．1C ．2D ．不能确定 3．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为A ．+1πB ．1+2πC ．+2πD ．2+1π4．高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有 A ．16种 B ．18种 C ．20种 D ．22种5.若在区域200x y x y ⎧+-≤⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点P 恰好在单位圆221x y +=内的概率为 A ．4πB ．6π C ．8πD ．12π6.设直线l 的方程为：sin 20130x y θ+-= (R θ∈)，则直线l 的倾斜角α的范围是A ．[)0,πB ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦7．下列命题正确的有①用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好；②命题p ：“05,R 0200>--∈∃x x x ”的否定p ⌝：“05,R 2≤--∈∀x x x ”； ③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N , 若p P =>)1(ξ，则p P -=<<-21)01(ξ； ④回归直线一定过样本中心（y x ,）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“理想距离”为：(,)d P Q = 1212x x y y -+-；若()y x C ,到点()3,2A 、()8,8B 的“理想距离”相等，其中实数x 、y 满足80≤≤x 、80≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和是 A ． 52B ．152C ．10D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题．．卡．中对应号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．计算1213x dx -⎰的值等于 ．10．如右图，点,,A B C 是圆O 上的点，且32=BC ，32π=∠BAC ，则圆O 的面积等于 ． 11．若曲线C 的极坐标方程为 θθρsin 2cos 2=，则曲线C 的普通方程为 .（二）必做题（12～16题）12．看右边程序运行后的输出结果s = ．13．已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：βα//， 则p 是q 的 条件． 14．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下过程： 现在加密密钥为2log (2)y x =+(>0a 且1a ≠)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问接受方接到密文“4”，则解密后得到明文为 ．15．已知a ,b ,c 成等差数列且公差不为零，则直线0ax by c -+=被圆2220x y x y +--=截得的弦长的最小值为_______．16．已知,*x y N ∈，且2112341999x y -+++++=+++++，当2x =时,y = ；若把y 表示成x 的函数，其解析式是y = .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知(),f x m n =⋅ 设0>ω， )cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离等于2π． （1）求ω的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，33,2ABC a S ∆==．当()1f A =时，求,b c 的值．18．（本小题满分12分）在一次数学考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有5道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜. (1) 求该考生8道题全答对的概率； (2) 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列. 19．（本小题满分12分）正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长是3，侧棱长是3，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ． （1）求证：A 1C ⊥面AEF ；（2）求截面AEF 与底面ABCD 所成二面角θ的正切值． 20．（本小题满分13分）)京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，808G 次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程()S t (单位：m )和时间t (单位：s )的关系为：2315165()ln(1)422S t t t t =-+++. （1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值. 21．（本小题满分13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． （1）求这三条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，求a 的取值范围．22．（本小题满分13分）已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立． 设数列{}n a 的前n 项和()n f S n =， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，令1,15,22n nn b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，n T =1231232222nn b b b b +++⋅⋅⋅+，求n T ；（3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数。

令nn a ac -=1（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数．怀化市2012年下学期期末教学质量统一检测试卷高三数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（//4085=⨯）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A CBACCD二、填空题（//3575=⨯）9. 2； 10. π4； 11.y x 22=； 12. 21； 13. 必要非充分；14. 14； 15. 2； 16. 4； 213-=x y .16提示：由()119219x y y +-=-得：()()()2223131x xy y +=+-又 ,*x y N ∈ 因此 2231,231xxy y +=+=-213-=⇒x y 三、解答题17解：（1）22()cos sin cos f x x x x x ωωωω=-+ --------------2分cos 22x x ωω=+2sin(2)6x πω=+ ------------4分又 22T π= ∴ 22ππω= -------5分解得 1ω= -------------6分（2）因()1f A =， 2sin(2)16A π∴+=-----------7分因 A π0<<得 3A π=-----------8分又2222cos 1sin 2ABC a b c bc A S bc A ∆⎧=+-⎪⎨=⎪⎩-------------------10分 2232cos 31sin 23b c bc bc ππ⎧=+-⎪⎪∴= 解得21b c =⎧⎨=⎩ 或12b c =⎧⎨=⎩ ------------12分 18解：(1)说明另三道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：111122416⨯⨯=--------5分 (2)答对题随机变量ξ的个数为5，6，7，8. ----------6分其概率分别为：()1133522416P ξ==⨯⨯= ()11311176222422416P ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯=()1111822416P ξ==⨯⨯=()()()()71568P P P P ξξξξ==-=-=-=11511616=-=-----------10分 令：得分随机变量为ξ=η5分布列为： ----12分 19证明：（1）连接1A C正四棱柱⇒ 11CB ABB A ⊥平面⇒CB AE ⊥-------2分又1AE A B ⊥∴ 1AE A BC ⊥平面⇒1AE A C ⊥-------4分同理可得：1AF A C ⊥∴1A C AEF ⊥平面--------------------6分D 1C 1B 1A 1DCF E（2）1AE A B ⊥⇒1Rt ABA ∆∽Rt ABE ∆⇒1ABA BEA ∠=∠-------8分 又 底面边长是3，侧棱长是3∴1tan ABA ∠= 13ABA π∠=--------9分得 6EAB π∠=，1BE =同理 1DF =-----------（10分）又AC =，∴tan 12BE AC θ===--------------12分 证法二 建立空间直角坐标系（略） 20解：（1）紧急刹车后列车的速度()()V t S t '=----------- 1分315165()222(1)V t t t ∴=-+++-------------- 3分当列车完全停止时()0V t = m s24600t t ∴--=，解得10t =或6t =-（舍去) ------- 5分即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10s .-----------6分（2）由（1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10 s, 又由列车的速度315165()222(1)V t t t =-+++-----------7分 ∴火车正常行驶的速度当0t =时，(0)90m V s=---------9分 （3）紧急刹车后列车运行的加速度()()a t V t '=∴23165()22(1)a t t =--+--------------11分 ()a t 2316522(1)t =++ ∴(0)a 最大 max ()a t 284m s= ------------------------13分21解：（1）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: -------------------2分由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1----------------3分 对于椭圆，1222a MF MF =+=+223212+=⇒+=∴a a ， 222222+=-=c a b所以椭圆方程为122222322=+++y x ----------------5分对于双曲线，1222a MF MF '=-=223122//-=⇒-=∴a a ， 2222/2/2/-=-=a c b所以双曲线方程为122222322=-+-y x ----------------7分 （2）设2(,)4t Q t ------------（8分）由PQ a ≥得222222(),(168)0,4t a t a t t a -+≥+-≥---------------（9分）221680,816t a t a +-≥≥-恒成立------------------（10分）则8160,2a a -≤≤----------------（12分）∴(],2a ∈-∞-----------（13分）22解：（1）∵()0≤x f 的解集有且只有一个元素，∴40042==⇒=-=∆a a a a 或，当0=a 时，函数()2x x f =在()+∞,0上递增，故不存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立----------------2分当4=a 时，函数()442+-=x x x f 在()2,0上递减，故存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。