第57课时：二次函数(1)
人教版数学九年级上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数1
课堂小结
y=ax2 顶点
对称轴 开口方向 图象
y轴左侧 y轴右侧
a＞0
(0,0) y轴 最低点
向上
x增大 y减小
x增大 y增大
a＜0
(0,0) y轴 最高点
y = x2 9
6
3
－3
3
知识点详解
在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2 的图象。 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 2
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
···
y x2
8
···
向下
x增大 y增大
x增大 y减小
什么共同点和不同点。
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 2
-8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
···
－4 －2
24
－2
－4
－6
y x2
－8
y 1 x2 2
知识点详解
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
《二次函数y=ax2的图象与 性质》二次函数1
人教版数学九年级上册
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温故知新
1、二次函数是如何定义的？ 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其 中,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2的图象与性质课件数学湘教版九年级下册
y 1 x2 2
0
0.5
2
4.5 ···
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如图1.
利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线
把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了y=12x²的图象.
如图2.
图1
8
6
8
y 1 x2
6
2
图2
4
4
2
2
-4 -2
24
-4 -2
24
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线 的开口越小.
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
问题1：视察图象，点A和点A'，点B和点B'，…，它们有什么
关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图象还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增
大时，纵坐标怎样变化？
y
y=x2的图象关于y轴对称， y轴就是它的对称轴.
A9
A'
B6
B'
图象在 y 轴右边的部分，函数
(3)若函数有最大值，则抛物线的开口向下， ∴ m+2<0，即m<－2，∴ m=－3. ∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)， ∴当m=－3 时，函数有最大值0， 当x>0 时，y 随x 的增大而减小.
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2 的图象及性质
时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ (3)当m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何
值时，y 随x 的增大而减小？
二次函数1
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数
当b=0时,形式为y=ax2+c 当c=0时,形式为y=ax2+bx
b=c=0时,形式为 y=ax2
学习目标
y=ax2的图象与性质.
最简形式
探究１：二次函数的图象
以0为中
1：画出 y= x2 的图象。 解： （1）列表
试一试：你记了多少
1、函数y=2x2的图象的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点是 (0,0) ；在对称轴的左
侧，y随x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧， 草图
y随x的增大而 增大 ；当x=_0____时,函数y的值 有最_小____值__0_____.
2、函数y=-3x2的图象的开口 向下 ，对称轴 是 y轴 ，顶点是 (0,0) ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 增大 ，在对称轴的右侧，
有最 低点
有最 小值
在对称轴左侧 即x<0时,y随x 增大而减小
当x=0 时,y有 在对称轴右侧 最小值0 即x>0时,y随x
增大而增大
y轴或 者直
(0,0)
有最
线x=0
高点
有最 大值
在对称轴左侧 即x<0时,y随x 增大而增大
当x=0 时,y有 最大值0 在对称轴右侧
即x>0时,y随x 增大而减小
y随x的增大而 减小 ；当x=__0___时,函数y的值 有最_大____值_0______.
草图
3、二次函数y=(a-1)x2开口向上,则a的取值范围是 ___a_>_1______.
4、点A(1，a)、B（2，b)在二次函数y=3x2的图象上 试比较a、b的大小.
初中二次函数知识点总结
初中二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2；+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）。
顶点式：y=a(x-h)^2；+k[抛物线的顶点P（h，k）]。
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B （x2，0）的抛物线]。
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2；)/4ax1，x2=(-b±√b^2；-4ac)/2a。
三、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c。
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0。
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。
当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象。
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
初中二次函数笔记整理
初中二次函数笔记整理
## 一、二次函数定义
二次函数是指在多项式中比较常见的一类函数，其函数式格式如下：
y = ax^2+bx+c (a≠0，a，b，c为实数)
图象中存在一个中心，其横坐标为：-b/(2a)，纵坐标为：f(-b/(2a))；二次函数也
叫做双曲线，分为凸函数和凹函数。
## 二、平行线判断
对于任意两个函数y=f(x)和y=g(x)，如果满足下列情况：
1. 在相同的x值上，f(x)=g(x);
2. 在不同的x值上，f(x)=g(x)+k(k为常数，不变)；
则两个函数y=f(x)和y=g(x)可以表示一个平行线，其斜率为k/(-1)。
1. 问题的数学解决：利用二次函数可以解决很多问题，诸如最大最小值求解；
2. 工程技术的应用：二次函数在工程技术中的应用也是很多的，比如建筑厂房的施
工计划，游乐园的滑梯设计，汽车的前进方程等；
3. 人工智能的算法设计：在机器学习、自然语言处理等人工智能领域，二次函数也
被被广泛应用，比如支持向量机，神经网络算法等；
4. 生物学模型的建立：二次函数也可以被广泛用在生物学模型的建立、模拟等方面，其中可以模拟很多生物行为，比如蛋白质毒性浓度预测，路径规划研究等。
二次函数浙教版
一、二次函数的解析式1. ^'般式：y = ax 2 + bx + c (a 丰 0)已知图象上三点(x, y )、(x , y )、(x , y )，可用一般式求解二次函数解析式. 11 22 332.顶点式：y = a(x—h)2 + k(a 中 0)已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式.3.两点式：y = a (x—x )(x—x )(a 丰 0)12已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.4.对称式：y = a(x—x )(x—x ) + k (a 丰 0)12已知抛物线经过点(x , k)、(x ,k)时，可以用对称式来求二次函数的解析式. 12注意：(1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；(2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 — 4ac三0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.二、二次函数的几何变换1.二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”.2.二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.(1)关于x轴对称y = ax2 + bx + c关于x轴对称后，得到的解析式是y = —ax2 —bx —c .y = a(x—h)2 + k关于x轴对称后，得到的解析式是y = —a(x—h)2 —k .(2)关于y轴对称y = ax2 + bx + c关于y轴对称后，得到的解析式是y = ax2 —bx + c .y = a(x—h)2 + k关于y轴对称后，得到的解析式是y = a(x + h)2 + k .(3)关于原点对称y=ax 2 + bx + c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax 2 + bx - c .y=a (x - h )2 + k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a (x + h )2 —k .(4)关于顶点对称b2y=ax2 + bx + c关于顶点对称后，得到的解析式是y=—ax2 —bx + c - .2ay=a(x —h)2 + k关于顶点对称后，得到的解析式是y=—a(x—h)2 + k(5)关于点(m, n)对称y=a(x—h)2 + k关于点(m, n)对称后，得到的解析式是y=—a(x + h — 2m)2 + 2n —k 3.二次函数图象的翻折函数y =1 f (x) I的图象可以由函数y = f (x)通过关于x轴的翻折变换得到.具体规则为函数y = f (x)图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方4、.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况)：一元二次方程ax2+ bx + c = 0是二次函数y = ax2+ bx + c当函数值y = 0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：①当' =b2 —4ac >0时，图象与x轴交于两点A(x J0)，B^x2，°) (x i* x2),其中的x i，x 2是一元二次方程ax 2 + bx + c= °(a丰°)的两根.这两点间的距离AB = |x - x | = b2^4a^2 1a|.三、二次函数的面积最值11.铅垂法：S = -x水平宽x铅垂高. 2分三步走：(1)过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点； (2)设出点坐标，表示线段长；(3)利用二次函数配方求最值.2.切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使△ ° .例2、(1)若二次函数y = ax2 + bx + a2 -2 (a, b为常数)图象如图2-1,则a值(2)如图2-2,抛物线①②③④对应的解析式为y = a x2, y = a x2 , y = a x2, y = a x2 ,1234将a、a、a、a从小到大排列为^1234巩固2、(1)已知抛物线经过点4(-2, 7) , B(6,7), C(3,—8), D(m,- 8),则m =.(2)已知抛物线y = x2+ 2x +1 经过点A(m, n), B(m + 6, n)，则n =.(3)已知点A (x,5) , B (x ,5)是函数y = x 2 - mx + 3上两点，则当x = x + x和x = 1 2 12时的函数值相等．巩固5、(2)已知函数y = x2-1x I-12的图象与x轴交于相异两点A、B,另一抛物线y = ax2 + bx + c过A、B，顶点为尸，且△ APB是等腰直角三角形，求a、b、c.例8、(1)已知二次函数y = ax2+ bx + c的图象如图2-1所示，有下列结论：①b2 -4ac〉0 ；② abc > 0 ; @ 2a + b > 0 ; ® 9a + 3b + c < 0 ; @ 8a + c > 0 .正确的是(2)如图2-2,抛物线y=ax2 + bx + c的图象交x轴于A(x , 0)、B(2, 0),交歹轴正半轴于C, 1且OA = OC .下列结论：①a-b- > 0 ；②ac = b -1 ;③a =--;④2b + c = 2，其中结论正c2确的是_______ ．图2-1图2-2例9、(1)已知二次函数y =ax 2 + bx + c + 2的图象如图4-1所示，顶点为(-1,0),下列结论: ①abc <0 ； 0 b 2-4 ac = 0 ； © a >2 ； ® 4 a -2 b + c >0 .其中正确结论的个数是(2)二次函数y = +施+ c 的图象如图4-2所示，给出下列结论：①2a + ~>0；②若b-1 < m < n < 1 ,贝U m + n <——；③31 a I +1 c 1< 21 b I ；④b > a > c ,其中正确的结论有 a(2)如图1-2,二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象经过点(-1,2)和(1,0),给出五个结论：① abc < 0 ;® 2 a + b > 0 ;@ a + c = 1;④ a > 1 ;@ 9 a + 6 b + 4 c > 0 .其中结论正确的是.(3)二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图1-3,小丹观察得出了下面五条信息：①c < 0 :②巩固1：巩固6、(1)如图2-1,二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象经过点(-例题1c不经过第 象限.1,2),下列结论:①4a - 2b + c < 0 ；②2a -b < 0 ；③b <-2 ；④(a + c)2 < b2 ,其中正确的结论有.(填序号)(2)如图2-2,已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象经过点(1,2),下列结论：①2a + b < 0 ；②abc < 0=③a + c <-1 ；© b2 + 8a < 4ac，其中正确结论的有.(填序号)图3-1 图3-2 图3-3(3)(成外半期)二次函数y =依2+ bx + c (a*0)的图象如图2-3所示，有下列5个结论：① abc < 0 :② b < a + c ；③ 4 a + 2b + c > 0 ； @ b 2 - 4 ac > 0 ； @ a + b > m （am + b ）, （ m 丰 1 的实数），其中正确的结论的有.（填序号）图2-1 图2-2 图2-3巩固2：巩固7、(1)已知二次函数y =ax 2 + bx + c (a w 0)的图像如图3-1所示，它与x 轴两1个交点分别为(-1,0)，G ，0).对于下列命题：①b - 2 a = 0 ；②abc < 0 ；③—a —1 b + c < 0 ；2④8a + c > 0 .其中正确的有.(填序号)一.一 ............................. 一 _____ 一、，」1 1 ______ (2)如图3-2,抛物线y =ax 2 + bx + c (a w 0)的对称轴是x = -1,且过点—,0，有下列结 12 ) 论：① abc > 0 ; ® a - 2b + 4c = 0 ; @ 25a -10b + 4c = 0 ; ® 3b + 2c > 0 .其中正确的结论有 .(填序号)(3)如图3-3,已知二次函数y =ax 2 + bx + c (a w 0)的图象与x 轴交于点A (-1,0),对称轴为 直线x = 1,与歹轴的交点B 在(0, 2)和(0,3)之间(包括这两点)，下列结论：①当x > 3时，2y < 0 ；②3a + b < 0 ；③-1 < a < ——；④4ac -b 2 > 8a ；其中正确的结论是 .(填 3 序号)例11、(3)如果将抛物线y = -2%2 + 8向右平移a 个单位后，恰好过点(3,6),那么a 值为例12、已知二次函数y二%2 -2%—1，求：(1)与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为；(2)与此二次函数关于歹轴对称的二次函数解析式为；(3)与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为 ___________________ ．例13、已知二次函数y=a%2 +4a% + 4a -1的图象是C . 1(1)求C关于点R(1,0)中心对称的图象C的解析式；12(2)设曲线C、C与歹轴的交点分别为A, B，当I AB1= 18时，求a的值. 12巩固8、(1)如图6-1所示，已知抛物线C的解析式为y = %2 -2%，则抛物线C的顶点坐00标；将抛物线C每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C、C、0 12C、…、C (n为正整数)，则抛物线C的解析式为.3n n(2)如图6-2,把抛物线y =1%2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-6, 0)和原点0(0, 0), 2巩固9、已知关于x的一元二次方程2%2 + 4% + k -1 = 0有实数根，k为正整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y = 2%2 + 4% + k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1y = -x + b（b < k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围. 21例14、分别求出在下列条件下，函数y = -2 x 2 + 3 x +1的最值:（1）x取任意实数；（2）当-2 W x W 0时；（3）当1W x W3时;（4）当-1W x W 2 时.巩固11、试求y = (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 5 在-3 W x W 3 的最值．例15、已知函数y=x2 -2x + 2在t W x W t +1范围内的最小值为s，写出函数s关于t的函数解析式．11例16、已知函数y = -9 x2- 6 ax - a2+ 2 a在区间一W x W 有最大值-3，求实数a的值.3 3巩固13、设y=x2+ ax + 3-a ,当-2 W x W 2时，y的最小值不小于0,求实数a范围.巩固16、某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？(3)该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程.若除去捐款后，所获利润不低于450万元，请你确定此时销售单价的范围.例19、( 1 )抛物线y=％ 2 + 5 % + a 2与一次函数y = ac + 2a -1有交点，则a的范围(2)已知函数y=mc2 -3% + 2 (m是常数)，若一次函数y = % +1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，则交点坐标为______________ ．例20、(1)二次函数y=ax2 + bx + c的图象如图所示，则关于x的方程ax2 + b% + c + 3 = 0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根 B .无实数根C.有两个同号不相等实数根D.有两个异号实数根(2)若方程1 %2 -4% + 31 = m有两个相异的实数解，则m范围是巩固17、(1)二次函数y = %2 + k + k -1的图像与x轴的交点个数.(2)给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题：①直线y = 0是抛物线y = 4%2的切线；②直线% = -2与抛物线y = - % 2相切于点(-2,1)；4③直线y = % + b与抛物线y = 4%2相切，则相切于点(2,1)；④直线y = k% - 2与抛物线y = —%2相切，则k= ±丫2 .4其中正确的命题是___________ ．(3)若方程I %2 -5% 1= a有四个不相等实根，则a的取值范围是例21、已知二次函数y=％2 -% + c .(1)若点4-1, n )、B (2, 2 n -1)在二次函数y=1 2-% + c的图象上，求此二次函数的最小值;(2 )若D (2, y )、E (% ,2)关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE与抛物线y = % 2 - % + c + 3的交点个数，并说明理由.8巩固18、已知二次函数y=%2 - 2% - 3及一次函数y = % + m . 12(1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标;(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y = % + m有三个不同V m% + m2与x轴两交点间距离的最大值为(2)设二次函数y=a%2 + b% + c经过点4(0,2)、B(1,-1)，且其图象在x轴上所截得的线段长为2<2 .求这个二次函数的解析式.巩固20、已知：y关于x的函数y=(k -1)%2 -2k + k + 2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围；(2 )若%、%是函数图象与x轴两个交点的横坐标(%丰% ),且满 1 2 12(k -1)%2 + 2kx + k + 2=4%%.①求k的值；②当k < % < k + 2时，求y的最大值与最小值.1 2 12巩固21、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a%2 + b% + c过点(2,2),且当% = 0时，y取得最小值1．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点C(1,3)，试探索是否存在满足下列条件的直线/；①直线/过点C(1,3)；②直线l交抛物线于E、F两点且C点恰好是线段EF的中点.若存在，请求出直线l的函数解析式：若不存在，请说明理由．巩固22、已知：抛物线与x轴交于4(-2, 0)、B(4, 0)，与歹轴交于C(0, 4).(1)求抛物线顶点D的坐标；(2)设直线CD交x轴于点E,过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？例22、已知二次函数y=12 + bx + c的图象如图所示点的坐标为(-1,0),与歹轴的交点坐标为(0, - 3).(1)求二次函数的解析式；并求图象与x轴的另(2)根据图象回答：当x取何值时，-3 <y < 0 .例23、(1)已知关于x的方程x2 + (m-5)x + m-2=0有实根，且方程的两根都大于0,则实数m的取值范围是.(2)已知方程ax2 + (a + 2)x + 9a=0的两个实根x和x，且x < 1 < x，求实数a取值范围. 12 1 2巩固23、(1)方程x2 -11 x + (30 + a) = 0有两实根，两根都大于5,则实数a范围(3)方程7 x 2 - (p +13) x + p 2 - p— 2 = 0 的两根a、p 满足0 <a< 1 < p < 2，求实数p范围巩固24、(1)已知关于x的方程x2 - (2 - a)x + 5 - a=0的一个根大于0而小于2,另一个根大于4而小于6,则实数a的取值范围是.(2)若关于x的方程4x2 -2mx + n = 0的解都位于0 < x < 1的范围中，求正整数m, n的值.例24、已知抛物线y=ax2 +例+1经过点A(1, 3)和点B(2,1).(1)求此抛物线解析式； (2)点C、D分别是x轴和歹轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值.k例25、如图，已知抛物线y = k(x + 2)(x-4)(k为常数，且k >0)与x轴从左至右依次交83 ................... .....于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y =-『x + b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF, 一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?例26、已知抛物线y = ax2 + bx +1经过点A(1, 3)和点B(2,1).(1)求此抛物线解析式；(2)点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；(3)过点B作x轴的垂线，垂足为E点.点尸从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若尸点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的“2倍，试确定点F的位置，使得点尸按照上述要求到达E点所用的时间最短.(要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明)例27、如图，已知抛物线y=ax 2-4 x + c经过点A(0, - 6)和B (3,- 9).(1)求出抛物线的解析式；(2)点P(m, m)与点Q均在抛物线上(其中m > 0 )，且这两点关于抛物线对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；(3)在满足(2)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点X，使得△QMA的周长最小.巩固25、如图，已知二次函数y = -2x2 + bx + c(c < 0)的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点。
人教版九年级数学上册 (二次函数y=ax2的图象与性质)二次函数教育教学课件
a>0
y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0
yx O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
知识探究
第二十二章 二次函数
填一填
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y=-x2
知识探究
第二十二章 二次函数
二次函数y=ax2的图象性质
1. 顶点都在原点（0,0）;
2. 图像关于y轴对称; 3. 当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
知识探究
第二十二章 二次函数
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的
ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象
上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
巩固练习
第二十二章 二次函数
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，
且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空
课堂练习
观察两个函数的图像，从中可以得出什么结论
02
二次函数的性质
温故知新
图象
y=kx（k≠0）
性质
k＞0 k＜0
当k>0时，y的值随x值的增 大而增大
当k<0时，y的值随x值的增 大而减小
观察一次函数y=kx（k≠0）图象 思考二次函数y=ax²（a≠0）图象有哪些性质？
中学数学二次函数知识点总结教案
中学数学二次函数知识点总结教案中学数学二次函数知识点总结教案英才教育初中数学试题二次函数知识点总结二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b、c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二次函数的基本形式ya(xh)2k的性质：总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴xh性质时，y随x的增大而增大；xh时，y随a0向上h，kX=hx的增大而减小；xh时，y有最小值k．时，y随x的增大而减小；xh 时，y随xha0向下h，kX=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式ya(xh)k，确定其顶点坐标(h,k)；⑵保持抛物线yax的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k英才教育初中数学试题二次函数yaxbxc的性质对称轴为x2b2a，顶点坐标为(b2a,4acb4ab2ab2a2) 1.当a0时，抛物线开口向上，．当xb2ab2a时，y随x的增大而减小；当xb2ab 时，y随x的增大而增大；当x时，ymin4acb4a2．2.当a0时，抛物线开口向下，当x时，y随x的增大而增大；当x2a时，y随x 的增大而减小；当xy时，ymax4acb4a2．六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc(a,b,c为常数，a0)；2.顶点式：ya(xh)k(a,h,k为常数，a0)，其中h2b2a4a3.两根式：ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.，k4acb2；注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当b24ac0时，图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)，其中的x1,x2是一元二次方程axbxc0(a0)的两根．这两点间的距离AB|x1x2|2b4ac|a|2.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1”当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2”当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．22.抛物线yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.扩展阅读：中学数学二次函数知识点总结教案二次函数知识点总结二次函数知识点：2b，c是常数，a0）的函数，叫做1．二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc （a，c可二次函数。
4二次函数
高一《二次函数》二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.二次函数的解析式，⑴标准式：c bx ax x f ++=2)((a ≠0)；⑵顶点式：k m x a x f +-=2)()((a ≠0)⑶零点式：))(()(21x x x x a x f --=(a ≠0)应用：一、求二次函数的解析式：例1：（1）二次函数f (x )满足：f (x )＋ f (x －1)=-2x 2＋6x ＋3，求此函数的解析式.（2）已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,并且f(x)的最大值是8，求此二次函数。
变式：1、设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且图象在y 轴上的截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求f (x )的表达式二．二次函数的图象与性质例2．已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+---，当(3,2)x ∈-时，()0f x >；当(,3)(2,)x ∈-∞-+∞时，()0f x <。
（1）求f(x)在[0，1]内的值域。
（2）C 为何值时，20ax bx c ++≤的解集为R ？三、二次函数的最值问题例3，已知函数2()3f x x ax =++。
（1）若a=-2时，求[]1,2x ∈-上的最大值和最小值。
（2）求[]3,5x ∈上的最大值和最小值（3）若a=-2时，求[],1x t t ∈+的最大值和最小值。
变式：1. 函数)(x f =－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a 的值.2、已知2()3f x x ax a =++-， （1）若()0f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围， （2）若()0f x ≥对[]2,2x ∈-都成立，求a 的取值范围， （3）若()0f x ≤对[]2,2x ∈-都成立，求a 的取值范围，3.函数2()(21)1f x ax a x =+-+在3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求实数a 的值.四．实根分布问题例4.、关于x 的方程：3x 2－5x ＋a =0的一根在(－2，0)内，另一根在(1，3)内，求实数k 的取值范围.变式、1.、设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．求实数a 的取值范围，2.、二次函数2()2(,)f x x bx c b c R =++∈满足(1)0f =，并且关于X 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，（1）求b 的取值范围 （2）若函数()F x =㏒()b f x 在区间(1,1)c c ---上具有单调性，求C 的取值范围五，综合应用；1.、设0,1a a >≠，如果函数221x x y aa =+-在[]1,1-上的最大值为4，求实数a 的值.2、设()f x =㏒1243x x a ++，其中a R ∈,如果(,1]x ∈-∞时，()f x 有意义，求a 的值。
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3
22--=
x x y 第57
课时：二次函数（1）
主备：王静 雍亚波 班级 姓名 学号
一、 中考考点：
1.了解二次函数的意义；
2.会画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3.会求抛物线的顶点、开口方向和对称轴及与坐标轴的交点坐标；
4.根据已知条件确定二次函数表达式. 二、问题探索： (一)基础问题探索： 1、已知函数x x m y m
3)1(1
2
--=+的图象是一条抛物线，则m= .
2、抛物线4)3(2
++-=x y 的对称轴是_____ ___，顶点坐标是_____.
3、用配方法将二次函数242--=x x y 写成形如n m x a y ++=2)(的形式为 .
4、抛物线
与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 ,当x 取 时函数取最 值是 . 5、已知二次函数的图象开口向下且经过原点,请写出一个符合条件的二次函数的解析式 . 6、将抛物线23y x =向上平移2个单位再向右平移3个单位，得到抛物线的解析式是 .
7、已知二次函数k x y +-=2)1(3的图象上有三个点A(1,2y )，B(2, 2y )，
C(3,5y -)，则321,,y y y 的大小关系为
.
8、如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．
10、如上图,抛物线的函数表达式是 ( )
A 、22+-=x x y
B 、22+--=x x y
C 、22++=x x y
D 、22
++-=x x y 112＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表,则m 的值为__________．
12、如图，已知二次函数y=ax 2
+bx+c(a≠0)图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m,0)和点B ，且m ＞4，那么AB 的长是 .
13、下列图形中阴影部分的面积相等的是 .
（二）典型例题： 问题一、（1）开口向上的抛物线y=x2+2mx+1的对称轴经过点（－1,5），则m ＝______.
(2)已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x 1=2且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2则抛物线的顶点坐标为 .
（3）已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),其中a 、b 、c 满足a+b+c=0和9a-3b+c=0则该二次函数图象的对称轴是 .
（4）请写出一个与y 轴交点纵坐标为-1，经过点（1，3）且有最大值的抛物线解析式 . （5）将二次函数762+-=x x y 的图象绕原点旋转180°后所得二次函数图象关系式为________. 将二次函数1162++=x x y 的图象沿y 轴翻折180°后所得二次函数图象关系式为 .
问题二、已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，
． （1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；
（2）说明：对任意实数m ，点2
()M m m -，都不在这个二次函数的图象上．
问题三、(1)已知抛物线y=ax 2-2x+c 经过两点(1,0),(-2,3)①求抛物线的解析式②写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(2)已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）. ①求该抛物线的解析式；②求该抛物线的顶点坐标，并画出此函数的草图。
③将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标． ④将该二次函数图象怎样一次平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？
初三数学一轮复习 A B C
6)
2(22--=x
y
三、课后作业： 1、请写出一个开口向上，与y 轴交点的纵坐标为－1,且经过点（1,3）的抛物线的解析式__________. 2、已知抛物线)0(2>++=a c bx ax y 与x 轴分别交于（－1,0）、（5,0）两点，当自变量1=x 时，函数值为1y ；当x ＝3时，函数值为2y .则1y 与关系2y 的是 .
3、有3个二次函数，甲：y=x 2－1；乙：y=－x 2+1；丙：y=x 2+2x －1，则下列叙述中正确的是（ ） A ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合; B ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合; C ．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合; D ．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合
4、二次函数y=ax 2+bx+c 的部分对应值如下表
的图象的对称轴为 ,x=2对应的函数值y= . 5、（1）将二次函数762++=x x y 的图象绕顶点旋转180°后所得二次函数图象关系式为________. （2）将二次函数1162
+-=x x y
的图象沿
x 轴翻折180°后所得二次函数图象关系式为 .
6、抛物线 的顶点为C ，已知3+-=kx y 的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为 .
7、（1）已知一个二次函数的图象经过点（0，0）（1，-3）（2，-8）①求这个二次函数的解析式 ②写出它的对称轴和顶点坐标。
（2）已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象经过点（－1,0）、（5,0），顶点纵坐标为2
9，求这个二次
函数的解析式以及与y 轴的交点坐标. .
8、如图直线22+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕着O 顺时针旋转90°得到△
A 1O
B 1.（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）求经过A 、A 1
、B 1
9、抛物线y = －x 2+（m 一l ）x+m 与y 轴交于（0 ，3）点。
（1）求出m 的值并画出这条抛物线； （2）求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ （4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？
10、在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线2y m x x n =++经过P ，5）A （0，2）两点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的
对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线OB ，OC ，BC 距离相等的点的坐标。