欢迎各位同学来到数学分析课堂!

牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的。时 牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的。 代的需要与个人的才识， 代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分 创立中最后也是最关键的一步。 创立中最后也是最关键的一步。 微积分的出现具有划时代意义，时至今日，它 微积分的出现具有划时代意义，时至今日， 不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基 础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程 技术的必备工具。 技术的必备工具。
第五阶段 现代数学时期（20世纪40年代 现代数学时期（20世纪 年代 世纪40 以来）：（原子能的应用，电子计算机的发明， ）：（原子能的应用 以来）：（原子能的应用，电子计算机的发明， 空间技术的兴起）广义函数论、整体微分几何、 空间技术的兴起）广义函数论、整体微分几何、 非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、 非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、 同调代数、模糊数学、计算数学、 同调代数、模糊数学、计算数学、分形几 何……
3）变量数学的产生，使辩证法进入数学。 ）变量数学的产生，使辩证法进入数学。 辩证法把世界现象看作是普遍联系和永恒 变化着的， 变化着的，把世界的发展看作是自身所固 有的各种矛盾发展的结果。变量数学的许 有的各种矛盾发展的结果。 多概念如函数极限导数积分等， 多概念如函数极限导数积分等，从哲学上 就是辩证法在数学中的应用， 讲，就是辩证法在数学中的应用，而微积 分的完善就是自身矛盾发展的结果。 分的完善就是自身矛盾发展的结果。 因此，变量数学的产生，为辩证法进入数 因此，变量数学的产生， 学提供了契机， 学提供了契机，并且为辩证法具有普遍性 的论断，在数学上提供了有力的证明。 的论断，在数学上提供了有力的证明。
变量数学产生的过程 变量数学产生的过程 数学基础是解析几何，标志为微积分。 数学基础是解析几何，标志为微积分。 1）解析几何的产生
解析几何学是借助坐标系，用代数方法研究 解析几何学是借助坐标系，用代数 是借助坐标系 几何对象之间的关系和性质的一门几何学分 的一门几何学 几何对象之间的关系和性质的一门几何学分 也叫坐标几何 坐标几何。 法国数学家笛卡儿和 支，也叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和 费尔马等人创建（1637年 等人创建 费尔马等人创建（1637年）。
学问， 19世纪 恩格斯提出这样的定义） 世纪， 学问， 19世纪，恩格斯提出这样的定义）
在今天的数学中， 在今天的数学中，“数”和“形”的概念 已发展到很高的境地。比如，非数之“ 已发展到很高的境地。比如，非数之“数”的 众多代数结构，像群、 众多代数结构，像群、环、域等；无形之形的 域等； 一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、 一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、流形 等。 “空间形式”必须理解为一切类似于空间形 空间形式” 式的形式：射影空间、非欧几里得空间、拓扑 式的形式：射影空间、非欧几里得空间、 空间、无穷维空间的空间、微分流形…… 空间、无穷维空间的空间、微分流形…… “数量关系”也要理解为一切类似于数量 数量关系” 关系的关系：逻辑关系、语法关系……数学 关系的关系：逻辑关系、语法关系……数学 研究的是各种抽象的“ 研究的是各种抽象的“数”和“形”的模式 结构。 结构。
欢迎各位同学来 到数学分析课堂！ 课堂！
绪
一、什么是数学
论
世界上任何客观存在都有其“数”与“形” 世界上任何客观存在都有其“ 的属性特征，并且一切事物都发生变化， 的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵 循量变到质变的规律。 循量变到质变的规律。
数学是研究现实世界的空间形式与数量关 系的科学。 系的科学。 牛顿、 （ 牛顿 、 莱布尼兹认为数学成为研究运动与变化的
二、数学发展简史：
第一阶段 数学萌芽时期（远古-----公元前5 数学萌芽时期（远古-----公元前 公元前5 世纪）：算术几何形成时期，但它们还未分开， ）：算术几何形成时期 世纪）：算术几何形成时期，但它们还未分开，彼 此交织在一起，没有形成完整、严格的体系， 此交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏 逻辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。 逻辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。 第二阶段 常量（初等）数学时期（公元前5 常量（初等）数学时期（公元前5 世纪------17世纪中叶）：数学逐步形成了一门独 世纪------17世纪中叶）：数学逐步形成了一门独 世纪中叶）： 立的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、 立的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、 三角学都已成为独立的分支。 三角学都已成为独立的分支。 两大巨著： 几何原本》《九章算术》 》《九章算术 两大巨著：《几何原本》《九章算术》 ——东西辉映，渊源流长。 ——东西辉映，渊源流长。 东西辉映
变量数学产生的意义 1）变量数学的产生，为自然科学更精确 ）变量数学的产生， 工具。 地描述物质世界提供了有效的 工具。 2）变量数学的产生，促进数学自身的 ）变量数学的产生， 发展与严密。 发展与严密。 产生新的数学分支，如解析数论，微分 产生新的数学分支，如解析数论， 几何等。 几何等。 解决了第一次，第二次数学危机，建立 解决了第一次，第二次数学危机， 了极限理论，完成了实数的定义等， 了极限理论，完成了实数的定义等，使 数学更加严密。 数学更加严密。
著名数学家柯朗说：“微积 著名数学家柯朗说： 分学，或者数学分析，是人类思 分学，或者数学分析， 维的伟大成果之一。它处于自然 维的伟大成果之一。 科学和人文科学之间的地位，使 科学和人文科学之间的地位， 它成为高等教育的一种特别有效 的工具，……这门学科乃是一种 的工具，……这门学科乃是一种 憾人心灵的智力奋斗的结晶； 憾人心灵的智力奋斗的结晶； 这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎 这种奋斗已经经历了两千五百多年之久， 根于人类活动的许多领域，并且， 根于人类活动的许多领域，并且，只要人们认识自 己和认识自然的努力一日不止， 己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续 不已。 不已。”
从常量数学到变量数学
常量数学应用的局限性 建立了日心学理论之后，17世纪的人们面临如 建立了日心学理论之后， 世纪的人们面临如
何改进计算行星位置，如何解释地球上静止的 何改进计算行星位置， 物体保持不动， 物体保持不动，下降的物体还落在地球上等问 这类问题的核心是物体的运动。 题，这类问题的核心是物体的运动。带有运动 特征的问题，初等数学（算术，初等代数， 特征的问题，初等数学（算术，初等代数，初 等几何，三角）无能为力。 等几何，三角）无能为力。
在 17世纪探索微积分的至少有十几位 世纪探索微积分的至少有十几位 大数学家和几十位小数学家。 大数学家和几十位小数学家 。 这些前驱 者对于求解各类微积分问题确实作出了 宝贵的贡献， 宝贵的贡献 ， 但他们的方法仍然缺乏足 够的一般性。 求切线， 求变化率、 够的一般性 。 求切线 ， 求变化率 、 求极 大极小值以及求面积、 体积等基本问题， 大极小值以及求面积 、 体积等基本问题 ， 在当时是被作为不同类型处理的。 在当时是被作为不同类型处理的。
恩格斯指出： 恩格斯指出：“在一切理 论成就中， 论成就中，未必再有什么象 17世纪下半叶微积分学的发 17世纪下半叶微积分学的发 明那样被看作人类精神的最 高胜利了。 他还说： 高胜利了。”他还说：“只 有微积分学才能使自然科学有可能用数学来 不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。 不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。”
微积分的创立，与其说是数学史上， 微积分的创立，与其说是数学史上， 不如说是科学史上的一个创举。 不如说是科学史上的一个创举。 微积分对科学技术的重要性就象望远镜 之于天文学，显微镜之于生物学。 之于天文学，显微镜之于生物学。 微积分是学好其他理工课程的基础， 微积分是学好其他理工课程的基础，也 是学好专业课的工具，不掌握好微积分， 是学好专业课的工具，不掌握好微积分， 在科学技术的征途中将困难重重。 在科学技术的征途中将困难重重。
第三阶段 变量（高等）数学时期（17世 变量（高等）数学时期（17世 纪中叶------19世纪中叶）：变量与函数的概念 世纪中叶）： 纪中叶------19世纪中叶）：变量与函数的概念 进入数学。解析几何、微积分、概率论、 进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影 几何形成。 几何形成。 第四阶段 近代数学时期（19世纪中叶--近代数学时期（19世纪中叶 世纪中叶-----二次大战）：非欧几里得几何、抽象代数、 ---二次大战）：非欧几里得几何 抽象代数、 二次大战）：非欧几里得几何、 复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、 复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、 积分方程论、点集拓扑、组合拓扑……。 积分方程论、点集拓扑、组合拓扑……。
Hale Waihona Puke 3）微积分的创立 ）与微积分创立密切相关的科学技术问题，从数学角 与微积分创立密切相关的科学技术问题， 度归纳起来有四类： 度归纳起来有四类： 1．已知变速运动的路程（为时间的函数）时，求瞬时 已知变速运动的路程（为时间的函数） 速度和加速度； 速度和加速度； 2．求已知曲线的切线； 求已知曲线的切线； 3．求给定函数的最大值与最小值； 求给定函数的最大值与最小值； 4．求给定曲线长度；求平面曲线围成的面积；求已知 求给定曲线长度；求平面曲线围成的面积； 曲面围成的体积；求物体的重心；已知变速运动物体 曲面围成的体积；求物体的重心； 的速度、加速度，求物体运动的路程与时间的关系。 的速度、加速度，求物体运动的路程与时间的关系。
初等数学主要采用形式逻辑法， 初等数学主要采用形式逻辑法，静止 孤立地、 进行研究； 地、孤立地、一个一个地 进行研究；高等 数学则是以运动的、 数学则是以运动的、变化的观点去研究问 题。 数学分析是一门非常重要的基础理论课， 数学分析是一门非常重要的基础理论课， 它对后续课程有直接影响， 它对后续课程有直接影响，关系到整个专业 基础课学习的成败、 基础课学习的成败、关系到同学们的素质培 养，对同学将来从事专业科学研究起着非凡 的作用，其核心内容是微积分。 的作用，其核心内容是微积分。