最新北师大版初中九年级数学上册2.3 第1课时 用公式法求解一元二次方程学案
北师大版-数学-九年级上册-2.3 公式法 学案
2.3 公式法【重点难点】1．能够推导出一元二次方程的求根公式。
2．会用公式法解简单系数的一元二次方程。
【预习导引】方华在学习了一元二次方程及其解法就思考：一个一元二次方程是由其各项的系数确定的，那么它们的解肯定与其系数有关系，于是他写出了二个一元二次方程:（1）x 2－3x －4=0;（2）3x 2－4x+1=0.并分别求出它们的解：方程（1）的解为x 1=4,x 2=－1,方程（2）的解为x 1=31,x 2=1. 通过尝试他发现： 方程（1）中，x 1+x 2=3=)13(-,x 1x 2=－4=14-; 在方程（2）中也有：x 1+x 2=)34(34--=,x 1x 2=3131= 于是他就猜测:对于一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1,x 2,则a b x x -=+21，ac x x =21 你认为方华的对于一元二次方程两个根与方程系数关系的猜测正确吗？能运用前面学习过的有关一元二次方程知识帮助方华证明吗？不妨与同伴交流一下。
点拔 方华同学从两个特殊的方程猜测归纳出一元二次方程根与系数的关系，这种思考问题的方法是数学中一种常见的方法。
至于方华的这种猜想是否正确，通过后面学习，大家自然就知道了。
【知能互动】1．求根公式的推导推导求根公式的过程，实际上就是运用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的过程。
∵a≠0 ∴可以把方程两边同时除以二次项的系数a ，得：02=++ac x a b x 移项得：ac x a b x -=+2配方得：222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 即22244)2(a ac b a b x -=+∵a≠0 ∴4a 2>0∴当b 2－4ac≥0时，两边开方得：22442aac b a b x -±=+ 即aac b a b x 2422-±=+ ∴aac b b x 242-±-= 这样就得到了一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0),当b 2－4ac≥0时，它的根为aac b b x 242-±-=。
北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用物理抛物线运动的例子来演示一元二次方程的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。它是解决许多现实问题的有力工具，尤其在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用公式法解决实际问题中的一元二次方程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-求根公式中各个参数的代入和计算过程，尤其是根号内判别式的计算；
-理解并应用根的判别式Δ来判断根的性质，包括Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况；
-在实际问题中，如何将问题转化为标准的一元二次方程形式，以便应用求根公式；
-对于系数a、b、c为分数或小数时，如何进行精确计算。
举例：在解决一元二次方程2x² - 5x + 3 = 0时，学生可能会在计算判别式Δ时出错，或者在将分数系数化简为整数时遇到困难。教师需要针对性地解释和演示如何进行这些计算，以及如何避免常见的计算错误。
用配方法求解一元二次方程(第1课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章 一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程教学目标1.根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程.2.理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.3.把一元二次方程通过配方转化为(x+m )2＝n (n ≥0)的形式，体会转化的数学思想.教学重难点重点：利用配方法解一元二次方程.难点：把一元二次方程通过配方转化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式.教学过程导入新课试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x 2＝4; (2) x 2＝0; (3) x 2+1＝0.解:根据平方根的意义，得（1）x 1＝2,x 2＝-2 ;（2）x 1＝x 2＝0 ;（3）x 2＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知思考：如果我们把x 2＝4，x 2＝0，x 2+1＝0变形为x 2＝p ，各方程的解会是什么情形？老师总结：一般地，对于方程x 2＝p ：（1）当p >0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个不相等的实数根x 1＝−√p ，x 2＝√p ；（2）当p ＝0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝0； （3）当p <0 时，因为对任何实数x ，都有x 2≥0，所以方程x 2＝p 无实数根. 例1：利用直接开平方法解下列方程: （1）x 2＝25; (2) x 2-900＝0; (3)(x +2)2＝7; (4)2(1−3x)2-18＝0. 解：(1) x 2＝25 直接开平方，得x ＝±5,即x 1＝5，x 2＝-5. （2）x 2-900＝0，移项，得x 2＝900，直接开平方，得x ＝±30，即x 1＝30，x 2＝-30.（3）(x +2)2＝7，直接开平方，得x +2＝±√7，即x 1＝-2+√7，x 2＝-2-√7. （4）2(1−3x)2-18＝0，移项，得2(1−3x)2＝18，则(1−3x)2＝9，直接开平方，得1-3x ＝±3, 即1-3x ＝3或1-3x ＝ -3，解得x 1＝−23，x 2＝43. 注意：（1）采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x 2＝p 或（mx ＋n ）2＝ p （p ≥0）的形式的方程，可得方程的根为x ＝±√p 或mx ＋n ＝±√p .（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p 为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正”“负”两种情况.做一做：填上适当的数，使下列等式成立.（1）x 2＋12x ＋36＝(x ＋6)2＋6)2＝ x 2+12x ＋36； （2）x 2―4x ＋4＝(x ―2)2 x ―2)2＝ x 2―4x ＋4； （3）x 2＋8x ＋16＝(x ＋4)2 ＋4)2＝x 2＋8x ＋16； （4）a 2+2ab +b 2＝( a +b )2 (a +b )2＝ a 2+2ab +b 2；教学反思（5）a 2-2ab +b 2＝( a -b )2-b )2＝ a 2-2ab +b 2.问题：上面左侧等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？老师总结：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 对于形如 x 2+ax+(a 2)2的式子如何配成完全平方式？老师总结：x 2+ax +(a 2)2＝(x +a 2)2.将不是平方形式的方程，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 例2：用配方法解方程：x 2＋8x ―9＝0. 分析：先把它变成（x +m )2＝n 的形式再用直接开平方法求解. 解：移项，得x 2＋8x ＝9.两边同时加上一次项系数8的一半的平方,得x 2＋8x +42＝9+42，即（x +4)2＝25.两边开平方，得x +4＝±5，即x +4＝5或x +4＝-5，所以x 1＝1，x 2＝−9.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)移 —— 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)配 —— 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x ＋m )2＝n 的形式.(3)开 —— 如果方程的右边是非负数，即n ≥0，就可左右两边开平方得x ＋m ＝±√n ；当n <0时，原方程无解.(4)解 —— 方程的解为x ＝－m ±√n .即用配方法解方程的基本思路:把方程化为（x +n )2＝p 的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解. 问题解决： 上节课梯子底部滑动问题：x 2+12x -15＝0.（让学生仿照例2，独立解决） 解：x 2+12x －15＝0，移项，得x 2+12x ＝15.两边同时加上一次项系数12的一半的平方，得x 2+12x +62＝15+62，即(x +6)2＝51.两边开平方，得x +6＝±√51.所以x 1＝√51―6，x 2＝―√51―6(不合实际).注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性. 课堂练习1.一元二次方程x 2-16＝0的根是( ) A.x ＝2 B.x ＝4 C.x 1＝2,x 2＝2 D.x 1＝4,x 2＝-42.一元二次方程x 2-6x -6＝0配方后为 ( ) A.(x -3)2＝15 B.(x -3)2＝3 C.(x +3)2＝15 D.(x +3)2＝33.用配方法解方程x 2-3x -3＝0时，配方结果正确的是( ) A.(x −3)2＝3 B.(x −32)2＝3 C. (x −3)2＝34 D.(x −32)2＝2144.若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为(x −3)2＝k ，则b ，k 的值分别教学反思为（）A. 6，13B.6，4C.-6，4D.-6，135.用配方法解方程:(1)x2-2x＝4; (2)x2+4x-1＝0.参考答案1.D2.A3.D4.C5.解：(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1＝5,即(x-1)2＝5，所以x-1＝±√5,所以原方程的解是x1＝1+√5，x2＝1-√5.(2)移项，得x2+4x＝1.配方,得x2+4x+4＝1+4，即(x+2)2＝5.开方，得x+2＝±√5.所以x1＝-2+√5,x2＝-2-√5.课堂小结1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：布置作业课本习题2.3 知识技能 1 问题解决2，3板书设计2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2. 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：.教学反思。
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
231公式法课件北师大版数学九年级上册
当堂训练：（15分钟）
1、一元二次方程y2+2y-4=0的根的情况是：
2、用公式法解方程 x2-3x-2=0
3、若一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等 的实数根，求m的值。
变式1、关于x的一元二次方程 x2 2x m 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
2a
2a
b b2 4ac
x
2a
ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的求根公式：
条件：当b2 4ac 0时
b b2 4ac x
2a
a，b，c 是什么？
任何时候都能使用求根公式吗？
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
2a
例一:用公式法解方程 x2 -7x-18=0
1.把方程化为一般形式
ax2 bx c 0 a 0
写出方程的各项系数与常数项a、b、c
2.求出 b2 4ac 的值，看 b2 4ac 是否大
于等于0.
注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。
3.代入求根公式 x b b2 4ac
2a
4.写出方程的解： x1、x2
温馨提示
用公式法解一元二次方程时应注意哪些问题呢？
(2).解方程： 4x2 1 4x
一般步骤
解：原方程化为：4x2 4x 1 0
化
∴ a 4, b 4, c 1,
b2 4ac (4)2 4 41 0 验
x b b2 4ac (4) 0 1
代
2a
24 2
x1
x2
1 2
求
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
2.3用公式法求解一元二次方程(第一课时)学历案北师大版数学九年级上册
2023学年九年级数学自主学历案13班级： 年级 班 姓名： 学号：一、学习指南：【课程名称】用公式法求解一元二次方程（1）【知识技能目标】1、推导一元二次方程的求根公式；2、会用求根公式解一元二次方程．3、会用根的判别式判别方程根的情况.【思维发展目标】通过推导求根公式，让学生进一步理解配方法.二、学习任务：1.用配方法解下列方程:（1）01422=++x x（2）)0(02≠=++a c bx ax小结：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是 ， 用求根公式解一元二次方程的方法称为 ．【例题演练】用公式法解下列方程：(1)01872=--x x解：这里a= ，b= ，c= ∵=-ac b 42（2）01692=++x x（3）0322=+-x x小结：用公式法解一元二次方程的一般步骤是：【基础训练】1.一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为______．2.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．230x =B ．(3)(2)0x x -+=C ．22550x x -+=D ．2440x x ++=3.关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【自我检测】4．用公式法解一元二次方程3x 2﹣4x ＝8时，化方程为一般式，当中的a ，b ，c 依次为（ ） A ．3，﹣4，8 B ．3，﹣4，﹣8 C ．3，4，﹣8 D ．3，4，85.关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜26.若一元二次方程2x 2﹣3x+c ＝0无实数根，则c 的取值范围为 ．7.若关于x 的一元二次方程ax 2+4x ﹣2＝0有实数根，则a 的取值范围为 ．8.用公式法解方程：（1）012=--x x（2）()()1532=--x x（3）03322=+-x x【拓展提升】已知关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若m 是整数，且方程总有两个整数根，求m 的值．。
新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT)
解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成 x m2，根据题意
46 000－22 000 46 000－22 000
得：
x
－
1.5x
＝4，解得 x＝2 000，经
检验，x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完
成 2 000 平方米 (2)设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，(20
－3x)(8－2x)＝56，解得 x1＝2 或 x2＝236(不合题意，舍去)．答： 人行道的宽为 2 米
2.3 用公式法求解一元二次方程
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时， －b± b2－4ac
它的根 x＝
2a
，我们把这个式子称为一元二次方程的
求根公式，用求根公式解一元二次方程称为 公式法 ．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，
－1＋ 5
－1－ 5
则方程(x＋2)*5＝0 的解为x1＝ 2 ，x2＝ 2
．
15．用公式法解方程：
(1)7x2－6x＝5
3＋2 11
3－2 11
解：x1＝ 7 ，x2＝ 7
(2)x(2x－4)＝5－8x
－2＋ 14
－2－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
16．解方程 2x2＋4 3x＝2 2.有一位同学解答如下： 这里 a＝ 2，b＝4 3，c＝2 2，∴b2－4ac＝(4 3)2－4× 2
(2)x2－2 3x＋3＝0 解：∵Δ＝12－4×3＝0，∴x1＝x2＝ 3
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
北师大版九年级上册第二章2.3 .1用公式法求解一元二次方程(教案)
2.3 .1用公式法求解一元二次方程教学目的：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，理解公式法的概念，会纯熟应用公式法解一元二次方程．2、复习详细数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0〔a≠0〕•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．教学重难点：重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入惯用配方法解一元二次方程的一般步骤.2＋bx＋c＝0(a≠0)?3.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法〞，比方，方程〔1〕x2=4 (2)(x-2) 2=7提问1 这种解法的〔理论〕根据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？〔只对那种“平方式等于非负数〞的特殊二次方程有效，不能施行于一般形式的二次方程。
〕4．面对这种局限性，怎么办？〔使用配方法，把一般形式的二次方程配方成可以“直接开平方〞的形式。
〕〔学生活动〕用配方法解方程 2x2+3=7x总结用配方法解一元二次方程的步骤：(1)现将方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；〔4〕方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；〔5〕变形为(x+p)2=q的形式，假如q≥0，方程的根是x=-p±q；假如q＜0,方程无实根．二、探究新知用配方法解方程（1）a x2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0(3)假如这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕，试推导它的两个根x 1，x 2(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面详细数字已做得很多，我们如今不妨把a 、b 、c 也当成一个详细数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+x=-配方，得：x 2+x+〔〕2=-+〔〕2即〔x+〕2=∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时≥0 ∴〔x+〕2)2 直接开平方，得：x+=即 ∴x 1，x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：2ba 2ba 2b a 2244b ac a -2244b a c a -2b a 2ba〔1〕解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这表达了公式的统一性与和谐性。
新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案
新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案(总21页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第二章 一元二次方程 认识一元二次方程-（1） 晋公庙中学数学组学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力 3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。
学习重点：一元二次方程的概念学习难点：如何把实际问题转化为数学方程 学习过程：一、导入新课：什么是一元一次方程什么是二元一次方程 二、自学指导：1、自主学习：自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m 。
苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。
你能将方程化成ax 2+bx+c=0的形式吗？阅读课本P48，回答问题： 1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项2、合作交流：1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽?列 方程并化成一般形式。
2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
如果设中间的一个数为x ，列 方程并化成一般形式。
3）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。
如果设梯子底端滑动x m ，列 方程并化成一般形式。
2.知识梳理：1）一元二次方程的概念：强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.8一元二次方程的一般形式： 在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．2）几种不同的表示形式：①ax 2+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ② ___________ (a ≠0,b ≠0,c=0) ③____________ (a ≠0,b=0,c ≠0) ④___________ (a ≠0,b=0,c=0) 三、当堂训练1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》第1课时示范公开课教学课件
解：
(1) 这里a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7)2-4×1×(-18) = 121 > 0，
∴
即 x1 = 9，x2 =-2.
例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0； (2) 4x2 +1=4x.
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
x2 + (x - 6.8)2 = 102
即 2x2 - 13.6x - 53.76 ＝ 0.
解这个方程，得
x1 ＝ 9.6， x2 ＝ -2.8 (不合题意，舍去).∴ x - 6.8 = 2.8.
答:门的高是 9.6 尺，宽是 2.8 尺.
用公式法求解一元二次方程
当b2 - 4ac ＞ 0 时，
把b2 - 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示.
方程有两个不相等的实数根；
当b2 - 4ac = 0 时，
方程有两个相等的实数根；
当b2 - 4ac ＜ 0 时，
方程没有实数根.
1.不解方程，判断下列方程的根的情况:
(1) 2x2 + 5 = 7x；
分析：
②判断
(1) ①找对应系数： a=1，b= -7，c= -18；
b2 - 4ac≥0；
③代入求根公式即可.
(2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0； ②找对应系数：a=4，b= -4，c=1；
③判断
b2 - 4ac≥0；
④代入求根公式即可.
∵ b2 - 4ac = (-3)2 - 4×1×5 = -11 < 0，
∴ 方程没有实数根.
3.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？(1尺=10寸，1丈=10尺)
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 3用公式法求解一元二次方程(第1课时)习题课件 北师大版
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.方程2x2-3x=1中,b2-4ac=17. ( √ ) 2.方程x2-4x+4=0只有一个实数根. ( × ) 3.一元二次方程有实数根的条件是b2-4ac>0. ( × ) 4.方程x2+bx+c=0的两个实数根是-b± b2 4c .( × ) 5.方程3x2+2x=1中,a,b,c的值分别是a=3,b=2,c=1. ( × ) 6.方程2x2=3x-1的根为 3 1 7 . ( × )
谢谢观赏
You made my day!
【想一想】 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当a,c异号时,方程根的情况 如何?为什么. 提示:方程总有两个不相等的实数根. 若a,c异号,则4ac<0,所以-4ac>0, 即b2-4ac>0,所以方程总有两个不相等的实数根.
【备选例题】当t取什么值时,关于x的一元二次方程2x2+tx+2 =0. (1)有两个不相等的实数根? (2)没有实数根?
3 用公式法求解一元二次方程 第1课时
1.一元二次பைடு நூலகம்程的求根公式:
b b2 4ac
当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x=______2a______.
2.公式法的定义:
用_求__根__公__式__解一元二次方程的方法.
3.一元二次方程根的判别式的定义: 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac,通常 用“_Δ__”表示. 4.一元二次方程的根与根的判别式b2-4ac的关系: (1)当b2-4ac>0时,方程有_两__个__不__相__等__的实数根. (2)当b2-4ac=0时,方程有_两__个__相__等__的实数根. (3)当b2-4ac<0时,方程_没__有__实数根.
北师大版数学九年级上册2.2用配方法解一元二次方程优秀教学案例
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生纠正错误，提高学生的学习效果。
4.针对学生在作业中出现的问题，调整教学策略，确保教学内容和方法的适应性。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：本案例通过现实生活中的图片和问题情境引入新课，使学生能够直观地感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
（四）总结归纳
1.引导学生对所学知识进行总结和反思，提高学生的归纳总结能力。
2.总结配方法解一元二次方程的步骤和技巧，强调重点、难点。
3.引导学生发现配方法与其它解题方法的联系和区别，培养学生灵活运用解题方法的能力。
（五）作业小结
1.设计具有层次性和实际意义的作业，让学生在完成作业的过程中，巩固所学知识，提高解题能力。
4.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的社会责任感和使命感，引导学生为国家的繁荣发展贡献自己的力量。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，设计具有挑战性和启发性的问题，引发学生的思考，激发学生学习兴趣。
2.通过动画、图片、实物等Multimedia手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生形象地理解一元二次方程和配方法。
2.组织学生进行自我评价、同伴评价，让学生了解自己的优点和不足，激发学生的学习动力。
3.注重评价的多元化，关注学生的全面发展，让学生在评价中感受到自己的成长和进步。
4.定期对教学过程进行反思，调整教学策略，以确保教学效果的最大化。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示现实生活中的图片，如：跳绳、抛物线等，引导学生发现其中隐藏的一元二次方程。
二、教学目标
（一）知识与技能
北师大版数学九年级上册《用公式法求解一元二次方程》教案1
北师大版数学九年级上册《用公式法求解一元二次方程》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级上册《用公式法求解一元二次方程》是学生在学习了一元二次方程的解法基础上，进一步学习用公式法求解一元二次方程。
通过本节课的学习，学生能够掌握一元二次方程的公式法解法，并能够灵活运用解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元二次方程的解法，对于解一元二次方程有一定的基础。
但是，对于公式法解一元二次方程可能还不太熟悉，需要通过本节课的学习来进一步掌握和运用。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的公式法解法。
2.让学生能够灵活运用公式法解一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握一元二次方程的公式法解法。
2.教学难点：让学生能够灵活运用公式法解一元二次方程解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和解决问题，让学生主动探索和发现一元二次方程的公式法解法，从而达到掌握和运用的目的。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的解法，引导学生思考如何用公式法解一元二次方程。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的公式法解法，让学生理解并掌握公式法解一元二次方程的步骤和原理。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用公式法解一元二次方程，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生通过黑板上的练习题，运用公式法解一元二次方程，教师进行点评和讲解，巩固学生对公式法解法的掌握。
5.拓展（10分钟）让学生思考和解决实际问题，运用公式法解一元二次方程，培养学生的解决问题的能力。
6.小结（5分钟）总结本节课的学习内容，让学生明确一元二次方程的公式法解法及其应用。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，让学生课后巩固和提高一元二次方程的公式法解法。
8.板书（5分钟）板书一元二次方程的公式法解法及其步骤。
用公式法求解一元二次方程优质课教学设计省级一等奖及点评
有其他方式可以较便捷 程求根计算器，说明求根具有运算
激
如果让你用配方法来 地求解这类方程呢？ 规律，也自然过渡到接下来对求根
发 解，你会选择哪一个？
于是学生带着问题 规律的探索．
兴
有两位同学也遇到了 观看引入视频．
趣 这样的问题，让我们来看
一看．
师：探索公式法之前， 学生在教师引导下
公式法是配方法的程式化．但
的，因此教材在安排上先提出用配方法求解方程 ax2 bx c 0(a 0) 的问题，在推导过程
中，通过对 b2 4ac 取值范围的讨论，得出根的判别式，进而获得求根公式，并运用公式求 解一元二次方程．
2、内容分析
在推导求根公式的过程中，从 ax2 bx c 0(a 0) 到 x n2 p ，是配方法求解一元二
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教学目标和目标解析 1、教学目标
①探究一元二次方程求根公式的推导过程，积累数学活动经验； ②在探究中，体会从特殊到一般的转化思想，在合作交流中发展逻辑推理能力； ③掌握求根公式特征，会运用公式求解一元二次方程． 2、教学目标解析 《义务教育数学课程标准（2011 版）》中明确指出：“有效的数学教学活动是教师教与 学生学的统一，应体现‘以人为本’的理念，促进学生的全面发展．”依据《课程标准》，遵 循我校九年级学生的认知特征和规律，结合教材确定本节课的教学目标．
《用公式法求解一元二次方程》教学设计
课题 预计课时数
教材
用公式法求解一元二次方程
共 2 课时，本节为第 1 课时
课型
新知识学习
北师大版九年级数学上册；第二章第 3 节《用公式法求解一元二次方程》．
教材Байду номын сангаас容和内容分析
北师大版九年级数学上册教案《用公式法解一元二次方程》
《用公式法一元二次方程》教学设计第1课时用公式法解一元二次方程教材分析:能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理。
本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案教学目标：【知识与技能】1．一元二次方程的求根公式的推导2．会用求根公式解一元二次方程【过程与方法】1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．【情感态度与价值观】1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．2．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
教学重难点：【教学重点】重点：掌握用公式法解一元二次方程【教学难点】难点：对公式法中求根公式的推导过程的理解．关键：运用配方法推导出一元二次方程的求根公式。
课前准备：多媒体教学过程：一、复习引入活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？【设计意图】帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
二、 讲授新课问题：你能用配方法解方程02=++c bx ax 吗？ 通过推导得出答案：aac b b x 242+±-=）（042≥-ac b 【设计意图】这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解.三、典例精析例1：解方程（1） 01872=--x x（2） x x 4142=+解：（1）.这里 a =1 , b =-7 , c = -18.∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,∴.2117121217±=⨯±=x即 x1 = 9 x2 = -2.例2 解方程：02342=+-x x要点归纳：公式法解方程的步骤：1.变形: 化已知方程为一般形式;2.确定系数:用a,b,c 写出各项系数;3.计算: ac b 42-的值;4.判断：若ac b 42- ≥0，则利用求根公式求出;若ac b 42-<0，则方程没有实数根.【设计意图】规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用公式法解一元二次方程的基本思路四、拓展延伸活动1：问题：对于一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0),如何来判断根的情况？对一元二次方程：02=++c bx ax (a ≠0)ac b 42->0时,方程有两个不相等的实数根.ac b 42-= 0时,方程有两个相等的实数根.ac b 42- < 0时,方程无实数根.我们把ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 根的判别式，用符号“Δ”来表示. 练一练：不解方程判别下列方程的根的情况.(1)016-2=+x x ;(2)02-22=+x x ; (3)0412-92=+x x要点归纳：根的判别式使用方法：1、化为一般式，确定a,b,c 的值.2、计算 ∆的值，确定∆的符号3、判别根的情况，得出结论.活动2：例3 若关于x 的一元二次方程()01412=++-x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. k ＜5B.k ＜5且k ≠1C. k ≤5且k ≠1D. k ＞5【设计意图】不解方程判别下列方程的根的情况，是中考新增加的一部分内容，因此拓展延伸需详细讲解和加以巩固。
北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》教案及教学反思
北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》教案及教学反思一、教学目标知识目标1.掌握一元二次方程的常规解法。
2.了解因式分解法求解一元二次方程的思路和方法。
3.掌握利用因式分解法求解一元二次方程的技能。
能力目标1.能够运用因式分解法解决实际问题。
2.能够应用因式分解法求解一元二次方程的考试题目。
情感目标1.学生积极参与课堂活动，主动与同学讨论。
2.培养学生自学、自觉的精神。
二、教学过程A. 导入（5min）在上一课中，我们学习了一元二次方程的常规解法，你们还记得吗？今天，我们将介绍一种新的方法：因式分解法。
请大家注意听讲，一起来探索这种方法吧！B. 讲解（10min）1.了解因式分解法的思路和方法2.以实例讲解因式分解法求解一元二次方程的步骤1. 了解因式分解法的思路和方法因式分解法是指将一元二次方程转化为两个一次方程，进而解得一元二次方程。
其思路和方法如下：1.首先将二次项系数和常数项提取出公因数，使一元二次方程化为：a(x+b)(x+c)=02.利用乘积为零的性质，求得方程的两个解分别是x=−b和x=−c2. 以实例讲解因式分解法求解一元二次方程的步骤以x2+5x+6=0为例：1.提取公因数，得到(x+2)(x+3)=02.求解，得到x=−2和x=−3C. 案例演练（15min）1.自主完成10道练习题2.老师巡回指导和答疑D. 拓展（10min）1.老师出示一个拓展例子，并指导学生利用因式分解法解决2.学生自由探究因式分解法求解其他类型的一元二次方程E. 总结（5min）1.老师对整堂课进行总结2.学生互相交流汇报三、教学反思本节课采用了因式分解法求解一元二次方程，这种方法可以让学生在解题中思维更加灵活，同时也可以在考试中获得更高的分数。
课堂上，我采用了讲解、案例演练、拓展和总结的方法组合，力求让学生在感受到知识魅力的同时，能够进行自学、自觉的学习，不断完善个人知识结构。
在课堂设计上，我尽可能地结合实际生活例子，从而让学生更容易理解和掌握知识点。
2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时九年级上册数学北师大版
3.用公式法解方程时应注意的问题是什么？
4.你在解方程的过程中有哪些小技巧？
（3）3x2+2x+2=0 ；
（4）9x2+6x+1=0；
（5）16x2+8x=3；
（6）2x2–9x+8=0.
答案：（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根；
（3）没有实数根； （4）有两个相等的实数根；
（5）没有实数根； （6）有两个不相等的实数根.
1.一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 的求根公式是什么？
2
因为 ﹣ ＜0 ，所以原方程无解.
9
7
5
1
则 x = ，所以 x1 =3 ，x2 = .
4
4
2
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，因为二次
项系数 a≠0，所以方程两边同除以 a，得
b
c
x x 0.
a
a
2
2
2
配方，得 x 2 b x b b c 0 ,
a
2 a 2a a
b b2 4ac
0.
x+
2
4a
2a
2
移项，得
b b 2 4ac
.
x+ =
2
4a
2a
2
因为 a≠0，所以 4a2＞0. 当 b2-4ac≥0
两边开平方，得
即
b
b2 4ac
x+ =
,
2
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最新北师大版九年级数学上册2.2_用配方法求解一元二次方程教案(教学设计)
2.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程1．能根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．(重点)3．会用转化的数学思想解决有关问题．(难点)阅读教材P36～37，完成下列问题：(一)知识探究1．解一元二次方程的思路是将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个________，另一边是一个________，当n________时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可得到方程的根是x1＝________，x2＝________.2．通过配成____________的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．3．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为________；(2)配——________，方程两边都加上________________的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式；(3)开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得________；(4)解——方程的解为x＝________.(二)自学反馈1．填上适当的数，使下列等式成立：(1)x2＋12x＋________＝(x＋6)2；(2)x2－4x＋________＝(x－________)2；(3)x2＋8x＋________＝(x＋________)2.2．(1)若x2＝4，则x＝________.(2)若(x＋1)2＝4，则x＝________.(3)若x2＋2x＋1＝4，则x＝________.(4)若x2＋2x＝3，则x＝________.3．解方程：x2－36x＋70＝0.活动1 小组讨论例1解下列方程：(1)x2＝5; (2)2x2＋3＝5；(3)x2＋2x＋1＝5; (4)(x＋6)2＋72＝102.解：(1)方程两边同时开平方，得x1＝5，x2＝－ 5.(2)移项，得2x2＝2，即x2＝1.方程两边同时开平方，得x1＝1，x2＝－1.(3)配方，得(x＋1)2＝5.方程两边同时开平方，得x＋1＝± 5.∴x1＝－1＋5，x2＝－1－ 5.(4)移项，得(x ＋6)2＝102－72，即(x ＋6)2＝51.方程两边同时开平方，得x ＋6＝±51.∴x 1＝－6＋51，x 2＝－6－51.例2 解方程：x 2＋8x －9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得x 2＋8x ＝9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x 2＋8x ＋42＝9＋42，即(x ＋4)2＝25.两边开平方，得x ＋4＝±5，即x ＋4＝5，或x ＋4＝－5.所以x 1＝1，x 2＝－9.活动2 跟踪训练1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝22．填空：(1)x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2；(2)x 2－12x ＋________＝(x －________)2；(3)x 2＋5x ＋________＝(x ＋________)2；(4)x 2－23x ＋________＝(x －________)2. 3．用直接开平方法解下列方程：(1)4x 2＝81; (2)36x 2－1＝0；(3)(x ＋5)2＝25; (4)x 2＋2x ＋1＝4.4．用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2＋2x －35＝0; (2)x 2－8x ＋7＝0；(3)x 2＋4x ＋1＝0; (4)x 2＋6x ＋5＝0.活动3 课堂小结1．用直接开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程可以达到降次转化的目的．2．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤．3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的注意事项．【预习导学】(一)知识探究1．完全平方式 常数 ≥0 －m ＋n －m －n 2.完全平方式 3.(1)常数项 (2)配方 一次项系数一半 (3)x ＋m ＝±n (4)－m ±n(二)自学反馈1．(1)36 (2)4 2 (3)16 42．(1)2，－2 (2)1，－3 (3)1，－3 (4)1，－33．可以把常数项移到方程的右边，得x 2－36x ＝－70.两边都加上(－18)2(一次项系数－36的一半的平方)，得x 2－36x ＋(－18)2＝－70＋(－18)2，即(x －18)2＝254.两边开平方，得x －18＝±254，即x －18＝254，或x －18＝－254.所以x 1＝18＋254，x 2＝18－254.【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.(1)25 5 (2)36 6 (3)254 52 (4)19 133．(1)x 1＝92，x 2＝－92.(2)x 1＝16，x 2＝－16.(3)x 1＝0，x 2＝－10.(4)x 1＝1，x 2＝－3. 4.(1)x 1＝5，x 2＝－7.(2)x 1＝1，x 2＝7.(3)x 1＝－2＋3，x 2＝－2－ 3.(4)x 1＝－1，x 2＝－5.第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程1．会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)2．会用转化的数学思想解决有关问题．(难点)阅读教材P38～39，完成下列问题：(一)知识探究1．用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)化——化二次项系数为________；(2)配——________，使原方程变为(x ＋m)2－n ＝0的形式；(3)移——移项，使方程变为(x ＋m)2＝n 的形式；(4)开——如果n ≥0，就可左右两边开平方得________；(5)解——方程的解为x ＝________.(二)自学反馈1．某学生解方程3x 2－x －2＝0的步骤如下：解：3x 2－x －2＝0→x 2－13x －23＝0，①→x 2－13x ＝23，②→(x －23)2＝23＋49，③→x －34＝±103，④→x 1＝2＋103，x 2＝2－103，上述解题过程中，最先发生错误的是( ) A ．第①步 B ．第②步C ．第③步D ．第④步2．解方程：2x 2＋5x ＋3＝0.活动1 小组讨论例 解方程：3x 2＋8x －3＝0.解：两边同除以3，得x 2＋83x －1＝0. 配方，得x 2＋83x ＋(43)2－(43)2－1＝0，即 (x ＋43)2－259＝0. 移项，得(x ＋43)2＝259. 两边开平方，得x ＋43＝±53，即 x ＋43＝53，或x ＋43＝－53. 所以x 1＝13，x 2＝－3. 活动2 跟踪训练1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A ．x 2－4x －1＝0可化为(x －2)2＝5B ．x 2＋6x ＋8＝0可化为(x ＋3)2＝1C ．2x 2－7x －6＝0可化为(x －74)2＝9716D ．9x 2＋4x ＋2＝0可化为(3x ＋2)2＝22．将方程2x 2－4x －6＝0化为a(x ＋m)2＝k 的形式为____________．3．用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0.①方程两边同时除以2，得________；②移项，得________；③配方，得________；④方程两边开方，得________；⑤x 1＝________，x 2＝________.4．解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0；(2)9y 2－18y －4＝0.活动3 课堂小结1．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤．2．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的注意事项．【预习导学】(一)知识探究1．(1)1 (2)配方 (4)x ＋m ＝±n (5)－m ±n(二)自学反馈1．B 2.两边同除以2，得x 2＋52x ＋32＝0.配方，得x 2＋52x ＋(54)2－(54)2＋32＝0，即(x ＋54)2－116＝0.移项，得(x ＋54)2＝116.两边开平方，得x ＋54＝±14，即x ＋54＝14或x ＋54＝－14.所以x 1＝－1，x 2＝－32. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.2(x －1)2＝8 3.①x 2－2x －12＝0 ②x 2－2x ＝12 ③(x －1)2＝32 ④x －1＝62或x －1＝－62 ⑤1＋621－62 4.(1)x 1＝263－1，x 2＝－263－1.(2)y 1＝1＋133，y 2＝1－133.。
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2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时用公式法求解一元二次方程
学习目标：
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式法的推导
【预习案】
学前准备
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
【探究案】
探究点1：如何用公式法来解一元二次方程.
1 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
我们来讨论一般形式的一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
因为a ≠0，方程两边都除以a ，得
x 2＋ x ＋ ＝0
移项，得 x 2＋ x ＝－
a c 配方，得 x 2＋2·x ·a
b 2＋( )2＝( )2－a
c 即 (x ＋ ) 2＝2244a
ac b - ∵a ≠0，∴4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得
x ＋ ＝±a
ac b 242- ∴ x ＝-a b 2±a
ac b 242-, 即 x ＝a
ac b b 242-±-. 由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：
即x=242b b ac a
-±- 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
探究点2：公式法中根与判别式之间的关系.
一元二次方程根的情况与一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？有什么关系？通过 解下列方程你有什么发现？
（1） x 2+x-1=0 （2）x 2-2x+3=0 （3）2x 2-2x+1=0
小结
（1）当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.
（2）当b 2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
（3）当b 2－4ac<0时，方程没有实数根.
把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式
注：（1）当b 2－4ac ≥0时，方程的根的情况如何叙述？
（2）上述的叙述：反过来也成立.
例1.不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x 2+3x －4 = 0； （2）1.6y 2+0.9 = 2.4y ； （3）5（x 2+1）－7x = 0.
例2:解下列方程
(1) 2 x 2＋x －6＝0 (2)4x 2＋4x ＋10＝1－8x
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【训练案】
1用适当的方法解下列方程：
(1) 4x 2－3x －1＝x －2 (2) 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1)
2一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
3当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
4关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
5方程x 2—5x —1=0( )
A ．有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D 。
无法确定
6当a 取什么值时, 关于的方程2410ax x +-=有两个相等的实数根? 当a 取什么值时, 关于的方程2410ax x +-=有两个不相等的实数根? 当a 取什么值时, 关于的方程2410ax x +-=没有实数根?。