职高解斜三角形单元测试题目
高中数学《解三角形》单元测试题(基础题含答案)
高中数学《解三角形》单元测试题（基础题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53B.54C.55D.562.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10，则BA ·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.323．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 26．在△ABC 中，cos 2 A 2＝b ＋c2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 38．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155 D ．6 39．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.15410．若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π312．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3C ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3D ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝________.14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45. (1)求sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5.(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．高中数学《解三角形》单元测试题（基础题）参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53B.54C.55D.56 答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin Asin B ， ∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10，则BA ·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32 答案 A解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB ·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32. ∴BA ·AC →＝－AB →·AC →＝－32.3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴5＝15＋c2－215×c×3 2.化简得：c2－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0，∴c＝25或c＝ 5.4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是() A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解答案 D解析A中，因asin A＝bsin B，所以sin B＝16×sin 30°8＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，sin C＝20sin 60°18＝539，且c>b，∴C>B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝a2－c2＝25－4＝21，即有解，故A、B、C都不正确．5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为()A.922 B.924C.928D．9 2答案 C解析设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×1 3，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.6．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 答案 A解析 由cos 2A2＝b ＋c 2c ⇒cos A ＝b c ，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A.7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3 答案 A解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°.sin B ＝12. 由正弦定理：b sin B ＝a sin A ＝6＋26＋24＝4.∴b ＝4sin B ＝2.8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( ) A.152 B.15 C.8155 D ．6 3 答案 A解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0. ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝152. 9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ① 在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a 2·cos ∠AMB ② ①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106. 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形答案 C解析 ∵sin A a ＝cos Bb ，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0.∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°.同理C ＝45°，故A ＝90°.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32， 即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.12．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( ) A ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3C ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3D ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3答案 D解析 A ＝π3，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C ＝2R ， 由合分比定理知BCsin A ＝AB ＋BC ＋AC sin A ＋sin B ＋sin C ，即332＝x 32＋sin B ＋sin C.∴23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋sin B ＋sin (A ＋B )＝x ， 即x ＝3＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋12sin B ＋32cos B ＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋32cos B ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫32 sin B ＋12cos B ＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C ＝________.答案 014．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.答案 1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B .∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1. 16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．答案 32≤a <3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋(a ＋1)>a ＋2a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)2<0a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)≥－12.解得32≤a <3.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2.答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45. (1)求sin 2 B ＋C 2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .解 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝5950. (2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值；(2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝AB sin ∠AEB，即AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)， 故AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2. 20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)方法一 由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B .∴sin 2B ＋(1－sin B )2＋sin B (1－sin B )＝34， 即sin 2B －sin B ＋14＝0.解得sin B ＝12.故sin C ＝12.∴B ＝C ＝30°.所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由(1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝sin B ＋32cos B －12sin B ＝12sin B ＋32cos B＝sin(B ＋60°)＝1，∴B ＝30°，C ＝30°.∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．(14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )， n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。
职高三角函数解三角形练习题
职高三角函数解三角形练习题三角函数（Trigonometric functions）是数学中一个重要的概念，常被用于解决与三角形相关的问题。
在职业高中的数学学习中，解三角形练习题是一项重要的训练内容。
本文将通过几个实例来演示如何运用三角函数来解答这些练习题。
一、已知两边长度求角度假设有一个三角形 ABC，已知边 AC 的长度为 10cm，边 BC 的长度为 12cm，请问∠ABC 的度数是多少？解答：首先，我们可以使用余弦定理来求得∠ABC 的度数。
余弦定理表示：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中，a 和 b 是两个已知边的长度，c 是这两边所夹角的对边的长度，C 是所求的角度。
将已知数据代入公式：12^2 = 10^2 + 12^2 - 2*10*12*cosC化简得：144 = 244 - 240*cosC继续化简：cosC = (244 - 144) / (2*10*12)cosC = 100 / 240cosC = 5/12使用反余弦函数（arccos）可以求得角度 C 的弧度，即：C = arccos(5/12)最后，将弧度转化为度数，可得：C ≈ 69.3°所以，∠ABC 的度数约为 69.3°。
二、已知一个角度求边长假设有一个三角形 PQR，其中∠P = 30°，边 PQ 的长度为 5cm，请问边 PR 的长度是多少？解答：在这个问题中，我们可以运用正弦定理来求边 PR 的长度。
正弦定理表示：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别表示三角形中对应的边的长度，A、B、C 分别表示对应的角度。
将已知数据代入公式：5/sin30° = PR/sin(180°-30°-30°)化简得：5/sin30° = PR/sin120°sin30° = PR/(√3/2)通过计算，可得：PR ≈ (5 * √3) / 2所以，边 PR 的长度约为 4.33cm。
2020届人教A版-解三角形-单元测试 (3)
解三角形一、单选题1．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若3=c ，3C π=，且4=+b a ,则ABC ∆的面积为（ ）C.712【答案】A 【解析】 试题分析：由余弦定理2222cos c a b ab C=+-得()22219231632a b ab a b ab ab =+-⨯=+-=-71sin 32ab S ab C ∴=∴==考点：余弦定理解三角形2．在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于( )A B C D 【答案】A【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可得， 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，把已知2,60AC BC B ===，代入可得217442AB AB =+-⨯，整理可得2230,3AB AB AB --=∴=，作AD BC ⊥垂足为,D Rt ABD ∆中，33602AD AB sin =⨯=，即BC ，故选A.【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 3．在ΔABC 中，若（tanB+tanC ）=tanBtanC −1，则sin2A=（ ）A 、−32 B 32、−12 D 、12【答案】B 【解析】 试题分析：由3(tan tan )tan tan 1B C B C +=-得tan tan 3tan()1tan tan 3B C B C B C ++==-，又因为,B C 为三角形内角，所以150B C +=︒，30,260A A =︒=︒，所以3sin 22A =，故选B. 考点：三角恒等变换.4．已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝4，b ＋c ＝5，tan B ＋tan C ＋√3＝√3tan B tan C ，则△ABC 的面积为 ( ) A ．√34 B ．3√3 C ．3√34D ．34【答案】C 【解析】 【分析】将tan B ＋tan C ＋√3＝√3tan B tan C ，变形为tanB+tanC1−tanBtanC =−√3，然后利用两角和的正切公式和诱导公式可求得A=π3，进而由条件a ＝4，b ＋c ＝5，结合余弦定理，变形可得bc =3，利用三角形面积公式即可求得面积。
解三角形 综合测试题
解三角形综合测试题一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。
若 A ＝60°，a ＝√3，b ＝ 1，则 c ＝（）A 1B 2C √3D √22、在△ABC 中，若 a ＝ 2，b ＝2√3，A ＝ 30°，则 B 为（）A 60°B 60°或 120°C 30°D 30°或 150°3、在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a ＝ 1，c ＝ 2，B ＝ 60°，则 b ＝（）A √3B √5C √7D 14、在△ABC 中，若 sin A ： sin B ： sin C ＝ 3 ： 4 ： 5，则 cos C 的值为（）A 1/5B 1/5C 1/4D 1/45、在△ABC 中，若 a ＝ 5，b ＝ 6，c ＝ 7，则△ABC 的面积为（）A 6√6B 10√3C 15√3D 20√36、在△ABC 中，若 A ＝ 60°，b ＝ 1，S△ABC ＝√3，则 a ＋ b ＋ c ／ sin A ＋ sin B ＋ sin C ＝（）A 2√39 ／3B 26√3 ／3C 8√3 ／3D 2√37、在△ABC 中，若 a ＝ 7，b ＝ 8，cos C ＝ 13 ／ 14，则最大角的余弦值是（）A 1/7B 1/8C 1/9D 1/108、在△ABC 中，若 a ＝ 2，b ＝ 3，C ＝ 60°，则 c ＝（）A √7B √19C √13D 79、在△ABC 中，若 A ＝ 60°，a ＝4√3，b ＝4√2，则 B 等于（）A 45°或 135°B 135°C 45°D 以上答案都不对10、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a cosA ＝ b cos B，则△ABC 的形状为（）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形11、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a ＝1，b ＝√7，c ＝√3，则 B ＝（）A 120°B 60°C 45°D 30°12、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若（a＋ b ＋ c）（a ＋ b c）＝ 3ab，则角 C 的度数为（）A 30°B 45°C 60°D 90°二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13、在△ABC 中，若 A ＝ 30°，B ＝ 45°，a ＝ 2，则 b ＝＿_____。
解斜三角形简单练习
解斜三⾓形简单练习⼀、⾃主梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，其中R 是三⾓形外接圆半径. 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bc a c b 2222-+.3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S --- =Sr(S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=Rabc4(R 为外接圆半径).4.在三⾓形中⼤边对⼤⾓，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三⾓形内⾓的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2B A +,sin2C =cos 2BA +……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC;(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三⾓形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等⽐数列. 7.解三⾓形常见的四种类型(1)已知两⾓A 、B 与⼀边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =Ccsin ，可求出⾓C ，再求出b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹⾓A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出⾓B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出⾓A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中⼀边的对⾓A ，由正弦定理A a sin =Bbsin ，求出另⼀边b 的对⾓B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，⽽通过A a sin =Bbsin 求B 时，8.⽤向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和⽅向.9.三⾓形的分类或形状判断的思路，主要从边或⾓两⽅⾯⼊⼿.1．已知三⾓形的三边之⽐为3∶4∶37，则最⼤内⾓为． 2．已知))((a c b c b a -+++＝3bc ，则∠A ＝．3．已知三⾓形的⼀个内⾓是45，⼀邻边长是3，对边长为2，则另⼀邻边长为．4．已知a ＝4，b ＝6，B sin ＝43，则∠A ＝． 5．在△ABC 中，已知a ＝12，b ＝43，∠A ＝120，则c ＝，?S ＝．6．已知A sin ＝2C B cos sin ，且a c b c b a -+++＝cb3，则三⾓形形状为．7．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，∠A ＝30，则∠B ＝．8．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，如果三⾓形有解，则∠A 的取值范围． 9．在△ABC 中，若A a cos ＝B b cos ，则△ABC 是．10．在△ABC 中，∠B ＝45，D 是BC 上⼀点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝． 11．已知三⾓形的三条边之⽐为3∶5∶7，且最⼤边长为14，则三⾓形的⾯积为． 12．在锐⾓三⾓形ABC 中，a ＝8，c ＝12，?S ＝243，则三⾓形中最⼩⾓是，它的正弦值等于．⼆．选择题：13．在△ABC 中，A sin +A cos ＝127，则△ABC 是（）（A ）钝⾓三⾓形；（B ）锐⾓三⾓形；（C ）直⾓三⾓形；（D ）正三⾓形． 14．在△ABC 中，∠A ＝60 ，a ＝7，b ＝8，则三⾓形（）（A ）有⼀解；（B ）有两解；（C ）⽆解；（D ）不确定．15．在△ABC 中，A sin ∶B sin ∶C sin ＝2∶3∶4，则ABC ∠cos ＝（）（A ）1611；（B ）－41；（C ）2421；（D ）43． 16．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，∠B ＝30，则△ABC 的⾯积是（）（A ）23；（B ）43；（C ）23或3；（D ）43或23．三．解答题：17．在△ABC 中，若A a cos ?+B b cos ?＝C c cos ?，判断三⾓形形状．解：18．在△ABC 中，已知ab ＝60，?S ＝15，A sin ＝B cos ，求三⾓形的三内⾓．解：19．已知三⾓形三边是三个连续⾃然数，若最⼤⾓是最⼩⾓的两倍，求三边长．解：20．已知三⾓形两边之和为8，其夹⾓为60 ，求这个三⾓形周长的最⼩值和⾯积的最⼤值，并指出⾯积最⼤时三⾓形的形状．解：1.在△ABC中，A=60°，a=433,b=42，则B等于( )A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对2.△ABC中，a=2bcosC，则此三⾓形⼀定是( )A.等腰三⾓形B.直⾓三⾓形C.等腰直⾓三⾓形D.等腰或直⾓三⾓形3.设A是△ABC最⼩内⾓，则sinA+cosA的取值范围是( )A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］在△ABC 中，cos 22A =ccb 2+(a 、b 、c 分别为⾓A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.正三⾓形B.直⾓三⾓形C.等腰三⾓形或直⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形 5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.△ABC 的三个内⾓A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,如果a 2=b(b+c),求证:A=2B. 剖析：研究三⾓形问题⼀般有两种思路.⼀是边化⾓,⼆是⾓化边.已知锐⾓△ABC 中,sin(A+B)=53,sin(A-B)=51. (1)求证:tanA=2tanB;(2)设AB=3,求AB 边上的⾼.剖析：有两⾓的和与差联想到两⾓和与差的正弦公式,结合图形如图，有两条相交成60°⾓的直路EF 、MN ，交点是O.起初，阿福在OE 上距O 点3千⽶的点A 处；阿⽥在OM 上距O 点1千⽶的点B 处.现在他们同时以4千⽶/时的速度⾏⾛，阿福沿EF 的⽅向，阿⽥沿NM 的⽅向.(1)求起初两⼈的距离；(2)⽤包含t 的式⼦表⽰t ⼩时后两⼈的距离； (3)什么时候他们两⼈的距离最短？1.在△ABC 中，cos （A －B ）＋sin （A ＋B ）=2，则△ABC 的形状是（） A.等边三⾓形 B.等腰钝⾓三⾓形 C.等腰直⾓三⾓形 D.锐⾓三⾓形2.若△ABC 的⾯积为4222c b a -+，则内⾓C 等于（）A.30°B.45°C.60°D.90° 3.△ABC 中，sin 2A =sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A 等于（） A.30° B.60° C.120° D.150°4.如果把直⾓三⾓形的三边都增加同样的长度，则这个新的三⾓形的形状为（） A.锐⾓三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.钝⾓三⾓形 D.由增加的长度决定5.在△ABC 中，A 为锐⾓，lg b +lg （c1）=lgsin A =－lg 2，则△ABC 为（） A.等腰三⾓形B.等边三⾓形C.直⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形6.在△ABC 中，a （sin B －sin C ）＋b （sin C －sin A ）＋c （sin A －sin B ）的值是（） A.21 B.0 C.1 D.π7.R 是△ABC 的外接圆半径，若ab ＜4R 2cos A cos B ，则△ABC 的外⼼位于（） A.三⾓形的外部 B.三⾓形的边上 C.三⾓形的内部 D.三⾓形的内部或外部，但不会在边上 8.若△ABC 的三条边的长分别为3、4、6，则它的较⼤的锐⾓的平分线分三⾓形所成的两个三⾓形的⾯积⽐是（）A.1∶1B.1∶2C.1∶4D.3∶9.如图，D 、C 、B 三点在地⾯同⼀直线上，DC =a ，从C 、D 两点测得A 点的仰⾓分别是β、α（α＜β），则A 点离地⾯的⾼AB 等于（）αβDABCA.)sin(sin sin αββα-aB.)cos(sin sin βαβα-aC.)sin(cos cos βαβα-aD.)cos(cos cos βαβα-a10.在△ABC 中，若cbc B A B A -=+-tan tan tan tan ，这个三⾓形必含有（） A.30°的内⾓ B.45°的内⾓ C.60°的内⾓D.90°的内⾓11.在△ABC 中，tan B =1，tan C =2，b =100，则a =______.12.在△ABC 中，若∠B =30°，AB =23，AC =2，则△ABC 的⾯积为__________. 13.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A 、B 、C 所对的边长，若（a ＋b ＋c ）·（sin A ＋sin B －sin C ）=3a sin B ，则C =______.14.在△ABC 中，S 是它的⾯积，a 、b 是它的两条边的长度，S =)(422b a +，则△ABC为__________三⾓形.15.（本⼩题满分10分）隔河看到两⽬标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3千⽶的C 、D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°（A 、B 、C 、D 在同⼀平⾯内），求A 、B 之间的距离.A BCD16.（本⼩题满分10分）在四边形ABCD 中，BC =a ，DC =2a ，四个⾓A 、B 、C 、D 度数的⽐为3∶7∶4∶10,求AB 的长.17.（本⼩题满分8分）在△ABC 中，已知cbc B A B A -=+-tan tan tan tan ，求∠A . 18.（本⼩题满分12分）在海岸A 处，发现北偏东45°⽅向，距离A 为（13-）海⾥的B 处有⼀艘⾛私船，在A 处北偏西75°⽅向距离A 为2海⾥的C 处有我⽅⼀艘缉私艇奉命以103海⾥/时的速度追截⾛私船，此时⾛私船正以10海⾥/时的速度从B 处向北偏东30°⽅向逃窜，问缉私艇沿什么⽅向，才能最快追上⾛私船？需要多长时间？19.（本⼩题满分14分）在△ABC 中，已知a 2－a =2（b ＋c ），a ＋2b =2c －3. （1）若sin C ∶sin A =4∶13，求a 、b 、c ；（2）求△ABC 的最⼤⾓的弧度数.。
职高解斜三角形单元测试题目
解斜三角形单元测试题班级： 姓名 学号： 成绩：一选择题：（每题4分）1、在ABC ∆中，等于则c b a C B A :: ::sin :sin :sin 432=（ ）A ．4:3:2B 、2:3:4C 、1:2:3D 、1:2:32、在ABC ∆中，060,3==A a 则 ABC ∆的外接圆半径为 （ ）A ．1B 、 2C 、 4D 、 33、在ABC ∆中，已知060,2,6===A b a 则B 为（ ）A ．450B 、600C 、1350D 450 或13504、已知C S b a ABC ∠===则且 ,31268∆的度数是（ ）A 、300B 、600或1200C 、600D 、12005、在ABC ∆中，B a A b cos cos =则这个三角形为 （ ）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 等腰三角形D 等边三角形、6、在ABC ∆中，若222c b a +>则ABC ∆一定为 （ ）A ．直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、无法确定7、在ABC ∆中，已知则 7c , 3,2===b a ABC ∆的面积为 （ ）A 、3B 、 1.5C 、323D 、728、在等腰ABC ∆中，AB=AC ，底边BC 的长为2，且52=B Asin sin ，则ABC ∆的周长为（ ）A 、8B 、10C 、12D 、149、在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300、600、则塔高为 （） A 、m 3400 B 、 m 33400 C 、m 3200 D 、 m 20010、ABC ∆的周长为12+，且C B A sin sin sin 2=+，则边AB 的长为 () A 、1 B 、2 C 、3 D 、 211、已知圆的半径为1，则圆的内接正六边形的面积为( )A 、3B 、23C 、 2D 、 233 12、在ABC ∆中，已知A ca B 则 , ,2450==的度数为( ) A 、900 B 、600 C 、450 D 300二、填空题：（每题4分）13、在ABC ∆中，若,ab c b a =-+222则角C 的度数为14、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成600视角，从B 岛望C 岛和A 岛成750视角，那么B 岛和C 岛间的距离是15、在，则三角形的最大角为中，已知537===c b a ABC , ,∆ 度16、已知锐角三角形的边长分别为1、3、a 则a 的取值范围是17、在△ABC 中，内角2B=A+C ，且AB=8，BC=5，则△ABC 的内切圆的面积为三、解答题：（每题8分、共32分）18、在ABC ∆中，,6,2,450===c a A 解这个斜三角形。
(完整版)解三角形单元测试题(附答案)
解三角形单元测试题6、 A ABC 中，已知ax, b 2, B60°,如果△ ABC 两组解，则 x 的取值范围（）A • x 2B• x 2C • 2 x\3D • 2x \3337、已知△ ABC 的面积为3 2且b 2,c3，则/ A 等于（)A • 30°B • 30° 或 150 °C • 60°D • 60° 或 120°&甲船在岛B 的正南方A 处，AB = 10千米，甲船以每小时 4千米的速度向正北航行, 同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东 60。
的方向驶去，当甲，乙两船相距 最近时，它们所航行的时间是（）15015A-50分钟 B •二分钟 C • 21.5分钟 D • 2.15分钟779、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标 C 得俯角为30°，向前飞行10000 米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为 （ ）A • 5000 米B • 5000、2 米C • 4000 米D • 4000 • 2 米10、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（、填空题11、在厶 ABC 中，若/ A: / B: / C=1:2:3,1、在厶ABC 中， a = 3, b = .. 7 , c = 2，那么 B 等于() D • 120°A • 30 °B• 45°C •60°2、在厶ABC 中， a = 10, B=60 ° ,C=45° ,则 c 等于（ )A . 10 、3B • 10 ,3 1 C• ,3 1 D • 10'.. 33、 在厶ABC 中， a = 2 . 3 ,b = 2 . 2 , B = ：45°,贝U A 等于（)A • 30°B • 60°C • 30 ° 或 120 °D •30° 或150 °4、在厶ABC 中， 已知a 2 2 2b c bc ，则角A 为（ )2亠2 A •B ——CD •或——363335、在厶ABC 中， 已知 2sin AcosB sinC ,那么△ ABC.宀曰疋疋( )、选择题:B •等腰三角形 C •等腰直角三角形A •直角三角形 D •正三角形 C • 0 x -.5 D •. 13 x 5则 a : b: c _______12、在厶ABC 中，a 3、3,C _______ 2, B 150。
解斜三角形测试题
1、 在⊿ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知c b a ,,成等比数列，且c b a <<，53cos =B 。
（1）求证：C A cot cot +;(2)若6.=BC BA ，求c a +和⊿ABC 的面积2、在⊿ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，且ab C =cos（I ）判断⊿ABC 的形状；(II)设⊿ABC 的最大边长是24，最小角的正弦值是41，求⊿ABC 的面积3、（08江西）在A B C ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，a =，tantan4,22A B C ++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c4、（08辽宁理）在A B C △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若A B C △，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A B C △的面积．5、（08辽宁文）在A B C △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若A B C △，求a b ，；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求A B C △的面积．6、（08全国I ）设A B C △的内角A BC ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3c o s c o s 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．7、（08全国文）设A B C △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =．（Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若A B C △的面积10S =，求A B C △的周长l ． 8、（08全国II 理）在A B C △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设A B C △的面积332A B C S =△，求B C 的长．9、（08重庆理）设A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60 ，c =3b.求： （Ⅰ）a c的值；（Ⅱ）cot B +cot C 的值.10、（08重庆文）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知222b c a +=+，求：（Ⅰ）A 的大小;（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值.11、（07福建理）在A B C △中，1tan 4A =，tanB =（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若A B C △，求最小边的边长12、（07广东理）已知A B C △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，（1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围13、（07湖北理）已知A B C △的面积为3，且满足0≤AC AB .≤6，设AB和A C 的夹角为θ（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值14、（07全国I 理）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A = （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围 15、（07全国I 文）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =5c =，求b16、（07全国II 理）在A B C △中，已知内角A π=3，边BC =设内角B x =，周长为y（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值17、（07天津文）在A B C △中，已知2A C =，3B C =，4cos 5A =-（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值 必修五 第一章解斜三角形测试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．在△ABC 中，︒=∠︒=︒=70,50sin 2,10sin 4C b a ，则S △ABC = （ ）A ．81B ．41 C ．21 D ．1 2．若cC bB aA cos cos sin ==则△ABC 为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形 3．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的 （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°4．△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC（ ） A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定5．已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32-D ．326．锐角△ABC 中，R B A Q B A P B A =+=+=+cos cos ,sin sin ,)sin(，则 （ ）A ．Q>R>PB ．P>Q>RC ．R>Q>PD ．Q>P>R7．△ABC 的内角A 满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且则A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π）B ．（4π，2π）C ．（2π，π43）D ．（4π，π43）8．关于x 的方程02coscos cos 22=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．在△ABC 中，)13(:6:2sin :sin :sin +=C B A ，则三角形最小的内角是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．以上都错10．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 （ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 二、填空题（每小题5分，共20分）11．在△ABC 中，a +c=2b ，A －C=60°，则sinB= .12．在△ABC 中，已知AB=l ，∠C=50°，当∠B= 时，BC 的长取得最大值. 13．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，那么BC= .14．△ABC 的三个角A<B<C ，且成等差数列，最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 . 三、解答题（本大题共80分）15．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a +c=2b ，A －C=3π，求sinB 的值.16．（13分）设三角形各角的余切成等差数列，求证：相应各边的平方也成等差数列. 17．（13分）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且ba b a B A +-=-2tan ，试判断△ABC 的形状.18．（14分）设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，求证：CB A cb a sin )sin(222-=-.19．（14分）已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan2tan 32tan2tan C A C A ⋅++的值.参考答案（12）一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.A 9.B 10.A二、11．839 12．40° 13．9 14．1:2:3三、15．∵B R C R A R sin 22sin 2sin 2⨯=+， ∴2cos2sin22cos2cosB BC A B ⋅⋅=-⋅，故432sin=B ， ∴839sin =B ．16．∵22cot cot cot ,2cos sin /sin sin ,B A C B B A C =+∴=⋅ 故2222()2()2,222ba cb R ac acR R+-=⋅ ∴a 2+b 2=2b 2 ，故得证． 17．△ABC 是等腰三角形或直角三角形18．CB A CB AC CAB CBA cb a sin )sin(sin)sin(sin sin22cos 2cos sinsin sin22222222-=-⋅=-=-=-．19．∵A+B+C=π， A+C=2B ， ∴A+C=π32， 32t a n=+C A ，)2tan 2tan 1(32tan 2tanC A C A ⋅-=+， 故有32tan2tan32tan 2tan =⋅++C A C A ．20．如图：设接球点为B ，O 为守垒，A 为游击手出发点︒=∠15sin sin AB OABOB ，sin 15sin 1,44O B O AB AB vt vt ⋅︒∠=≥=>故不能接着球．。
解斜三角形测试
7、下列四个结论中，不正确的是 A.满足 sin A sin B 的 ABC 一定是等腰三角形 B. ABC 中，若 tan C.满足
A B sin C ，则 1 sin A sin B 2 2
a b c 的三角形一定是直角三角形 sin A sin B
2 2 2
D.满足 sin A sin B sin C 2 的 ABC 是锐角三角形 8、 △ ABC 的三条边长分别为 3,4,6,则它的较大锐角的平分线分三角形所成的 两个三角形的面积比为 A.1:1 B.1:2 C.1:4 D.3:4
的取值范围是 A. 0, 3
B. 3,
C. 0,
3 3
D.
3 , 3
二、填空题（每题 5 分，共计 20 分。请把答案填写在下页横线上） 11、在 ABC 中， A 60, 且
AB 4 , 则 sin C _________ 。 AC 3
A. b ac
B. a b c
C. c ab
D. b ac
2
4 、 设 △ ABC 的 内 角 A，B，C 所 对 的 边 长 分 别 为 a，b，c ， 且
3 a cos B b cos A c ． 5 则 tan A cot B 的值为
A． 4 B． 4 C．
1 4
重 点 分 析 难 点 分 析 学法 教具 板 书 设 计
利用正余弦定理解决实际问题
实际问题的抽象，概括
图片、多媒体
一、选择题（每题 6 分，共计 60 分。将正确的答案填在下页的表格内）
C 所对的边分别为 a 、 b、 1、 已知 ABC 的三个内角 A 、B 、 且A c，
高一下数学同步训练：解斜三角形测试(B卷)(附答案) (1)
高一数学同步检测二十 解斜三角形测试(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)1．如下图，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据A ．α、a 、bB ．α、β、aC ．a 、b 、γD ．α、β、b 答案：C解析：根据实际情况，α、β都是不易测量的数据，而C 中的a 、b 、γ很易测量到，并且根据余弦定理能直接求出AB 的长．2．若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则内角C 等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：B解析：∵S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24＝12absinC ，∴有a 2＋b 2－2absinC ＝c 2＝a 2＋b 2－2abcosC. ∴sinC ＝cosC.∴C ＝45°.3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sinBsinC ＋sin 2C ，则A 等于 A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 答案：C解析：由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cosA ＝a 2＋b 2－c 2 2bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°.4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定 答案：A解析：设原直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边长，增加的长度为x ，新的三角形的最大角为C ，∵cosC ＞0，∴C 为锐角． ∴新的三角形为锐角三角形．5．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cosB 等于A.53 B.54 C.55 D.56 答案：B6．在△ABC 中，若sinA a ＝cosBb，则角B 的 值为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：B∴cosB ＝sinB.从而tanB ＝1. 又0°<B<180°，∴B ＝45°.7．R 是△ABC 的外接圆半径，若ab ＜4R 2cosAcosB ，则△ABC 的外心位于 A ．三角形的外部 B ．三角形的边上C ．三角形的内部D ．三角形的内部或外部，但不会在边上 答案：A解析：由ab ＜4R 2cosAcosB ， 得4R 2sinAsinB ＜4R 2cosAcosB ， ∴cos(A ＋B)＞0.∴A ＋B ＜π2.∴C ＞π2，△ABC 为钝角三角形．故三角形的外心位于三角形的外部．8．已知△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinBsinC的值为A.85B.58C.53D.35答案：D解析：由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA ，∴72＝52＋AC 2＋2×5×12AC.∴AC ＝3或AC ＝－8(舍去)． 由正弦定理，得9．如图，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于A.asinαsinβsin(β－α)B.asinαsinβcos(α－β)C.acosαcosβsin(α－β)D.acosαcosβcos(α－β) 答案：A解析：在△ADC 中，DC ＝a ， ∠DAC ＝β－α，∠ACD ＝180°－β，10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120° 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．在锐角△ABC 中，已知||＝4，||＝1，△ABC 的面积为3，则·的值为__________．答案：212．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为__________． 答案：23或313．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a ＋b ＋c)·(sinA ＋sinB －sinC)＝3asinB ，则C ＝______.答案：60°解析：由正弦定理，得(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，展开整理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 2 2bc ＝－ab 2ab ＝12，∴C ＝60°.14．在△ABC 中，tanB ＝1，tanC ＝2，b ＝100，则a ＝______. 答案：605解析：∵tanB ＝1，∴B ＝45°，sinB ＝22.三、解答题(本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分8分)隔河看到两目标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求A 、B 之间的距离．答案：解：∵∠ACD ＝75°＋45°＝120°，∠ADC ＝30°， ∴∠CAD ＝30°.∴AC ＝CD ＝ 3. 在△ACD 中，∴A 、B 间的距离为5千米．16.(本小题满分8分)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sinC ＝2sinA. (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．答案：17．(本小题满分9分)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2bsinA. (1)求角B 的大小；(2)求cosA ＋sinC 的取值范围．答案：解：(1)由a ＝2bsinA ，根据正弦定理，得sinA ＝2sinBsinA ，所以sinB ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)cosA ＋sinC ＝cosA ＋sin(π－π6－A)＝cosA ＋sin(π6＋A)＝cosA ＋12cosA ＋32sinA18．(本小题满分9分)在△ABC 中，已知a(bcosB －ccosC)＝(b 2－c 2)cosA ，试判断△ABC 的形状．答案：解法一：根据余弦定理，得去分母，得b2(a2＋c2－b2)－c2(a2＋b2－c2)＝(b2－c2)(b2＋c2－a2)．整理，得(b2－c2)(b2＋c2－a2)＝0，因此b＝c或b2＋c2＝a2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：根据正弦定理，得sinA(sinBcosB－sinCcosC)＝(sin2B－sin2C)cosA⇒sinAsin2B－sinAsin2C＝[(1－cos2B)－(1－cos2C)]cosA⇒cos2BcosA＋sin2BsinA＝cos2CcosA＋sin2CsinA⇒cos(2B－A)＝cos(2C－A)．∵－π<2B－A<π，－π<2C－A<π，∴2B－A＝2C－A或2B－A＝A－2C.整理，得B＝C或B＋C＝A.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．19．(本小题满分10分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．答案：解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1(km)．又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝AB.。
解斜三角形(含答案)
考点一、利用正余弦定理求多边形的边或角例1.如下图所示，在四边形ABCD 中，已知,10,14,60AD CD AD AB BDA ⊥==∠=，135BCD ∠=，求BD BC 及的长.题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。
.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==13tan tan(4560)2313A +∴=+==---, .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==A S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。
解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。
sin cos A A +=22① 21(sin cos )212sin cos 20180,sin 0,cos 0.1(sin 2)2A A A A A A A A ∴+=∴=-<<∴><=-另解23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A , ∴-=sin cos A A 62② ①+②得sin A =+264。
①－②得cos A =-264。
从而sin tan 2cos 4A A A ===- 以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。
两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 题型3：三角形中的三角恒等变换问题例3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值。
新人教B版2012届高三单元测试12必修5第一章《解斜三角形》
新人教B 版2012届高三单元测试12必修5第一章《解斜三角形》(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝60°，则b 等于( )A.32B.12C. 3D ．2解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝1·sin60°sin30°＝ 3.2．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解 解析：选B.由a sin A ＝bsin B 得sin B ＝100×sin45°80＝528＜1，又∵a ＜b ， ∴B 有两解．故三角形有两解．3．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.c 2＝72＋82－2×7×8×1314＝9，∴c ＝3，∴B 最大．cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析：选A.由余弦定理cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠BAC ＝2π3.5．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60°C ．75°D ．90°解析：选C.设最大角为∠A ，最小角为∠C .由∠B ＝60°得∠A ＋∠C ＝120°.根据正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝sin 120°－C sin C ＝3＋12，所以2sin(120°－C )＝(3＋1)·sin C ，即3cos C ＋sin C ＝3sin C ＋sin C ，所以tan C ＝1，又0°＜∠C ＜180°，所以∠C ＝45°，所以∠A ＝75°.6．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形解析：选B.由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin 60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0， 即a ＝2b 或b ＝2a .当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2；当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2. 故△ABC 为直角三角形．7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 mB.1523 m C ．15 3 m D ．45 m 解析：选B.在△AB C 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝152＋102－51922×15×10＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝180°－120°＝60°.∴AD ＝AC ·sin60°＝1532(m)．8．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152 B.15 C ．2 D ．3解析：选A.∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c .∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152.9．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定 解析：选C.因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，所以b 2＋c 2－a 2＞0，a 2＋c 2－b 2＞0， a 2＋b 2－c 2＞0，所以1＋4－a 2＞0， a 2＋4－1＞0，a 2＋1－4＞0，即3＜a 2＜5，所以3＜a ＜ 5. 又c －b ＜a ＜b ＋c ，即1＜a ＜3. 由⎩⎨⎧3＜a ＜5，1＜a ＜3.得3＜a ＜ 5.10．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3解析：选C.2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33.11．在△ABC 中，下列结论： ①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选 A.①a 2＞b 2＋c 2⇒b 2＋c 2－a 2＜0⇒b 2＋c 2－a 22bc＜0⇒cos A ＜0⇒A 为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ⇒b 2＋c 2－a 2＝－bc ⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝－12⇒cos A ＝－12⇒A ＝120°；③与①同理知cos C ＞0，∴C 是锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．④A ∶B ∶C ＝1∶2∶3⇒A ＝30°，B ＝60°，C ＝90° ⇒a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.12．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则b a的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A＝2cos A ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A ＜90°A ＋2A ＞90°，∴30°＜A ＜45°，则b a＝2cos A ∈(2，3)．二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝cos120°＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ，即25＋AC 2－492×5×AC ＝－12. 解得AC ＝－8(舍去)或AC ＝3. 答案：314．△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C＝________.解析：因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以a sin A －bsin B＝0，a sin A －c sin C ＝0，即2a sin A －b sin B －c sin C ＝0. 答案：015．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．解析：设另两边长分别为8t,5t (t ＞0)，由余弦定理，得cos60°＝64t 2＋25t 2－19680t2， 解得t ＝2.则另两边长分别为16和10，则这个三角形的面积为12×16×10sin60°＝40 3.答案：40 316．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是________．解析：由已知得O 是三角形△ABC 的外心， |OA →|＝|OB →|＝|OC →|，又OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，故∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝2π3，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝ 2. 在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos 2π3＝6，AB ＝6，故△ABC 的周长是3 6. 答案：3 6三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC . 解：在△ABC 中，由正弦定理asin A ＝bsin B得，∴sin B ＝b a si n A ＝623·12＝32.又A ＝30°，且a ＜b ，∴B ＞A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形，S △AB C ＝12ab ＝6 3.②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形，S △ABC ＝12ab sin C ＝3 3.18．已知△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，满足a ＋c ＝2b 且2cos2B －8cos B ＋5＝0，求∠B 的大小并判断△ABC 的形状．解：∵2cos2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0， 即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)，∴cos B ＝12，∴∠B ＝π3，又∵a ＋c ＝2b ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－a ＋c 222ac ＝12.化简得a 2＋c 2－2ac ＝0，解得a ＝c . 又a ＋c ＝2b ，∴a ＝b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形．19．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且3a ＝2c sin A . (1)确定∠C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，a c ＝2sin A 3＝sin Asin C .∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴∠C ＝π3.(2)∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2，∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3＝23sin(A ＋π6)＋3，∵△ABC 是锐角三角形， ∴π6＜∠A ＜π2， 故32＜sin(A ＋π6)≤1. 所以△ABC 周长的取值范围是(3＋3，33]．20．△ABC 的周长为20，BC 边的长为7，∠A ＝60°，求它的内切圆半径． 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，内切圆的半径为r . 由题意a ＋b ＋c ＝20，a ＝7，所以b ＋c ＝13.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，所以72＝132－3bc ，于是bc ＝40，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×40×sin60°＝10 3.由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝2S △ABC a ＋b ＋c ＝20320＝3，即△ABC 的内切圆的半径为 3.21．如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结A 1B 2，则A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝10 2.又∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°，所以△A 1A 2B 2是等边三角形， 则∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°. 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝102，10220×60＝30 2. 则乙船每小时航行302海里．22．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足b 2＝ac ，cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求三边a 、b 、c 的长度．解：(1)由cos B ＝34可得，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵b 2＝ac ，∴根据正弦定理可得 sin 2B ＝sin A sinC .又∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋cos C sin A sin A sin C＝sinA ＋C sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得|BA →|·|BC →|cos B ＝ac cos B ＝32，又∵cos B ＝34，∴b 2＝ac ＝2，又由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2.得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3ac ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，又∵b 2＝ac ＝2，∴b ＝ 2.∴三边a ，b ，c 的长度分别为1，2，2或2，2，1.。
新课标必修5解斜三角形、不等式测试题
人教A 新课标必修5（解斜三角形、不等式测试题） 高二（ ）班 姓名 学号 成绩一、选择题（每题5分，共50分）一、△ABC 中,已知a=25,c=10,A=30o ,则B 等于( )（A ）105o （B ）60o （C ）.15o （D ）105o 或 15o 二、在△ABC 中,若sinA>sinB,则有( )（A ）a>b （B ）a ≥b （C ）a<b （D ）a,b 的大小关系无法肯定 3、在△ABC 中,a 2+b 2-c 2=ab,则C 为 ( )（A ）60o （B ）45o 或 135o （C ）90o （D ）120o 4、在△ABC 中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC 上的高为( )(A)223 (B) 233 (C) 23(D) 33 五、在△ABC 中,若sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC 的值为( ) (A) 41-(B) 41 (C) 32- (D) 32 六、在200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角别离为30o 和60o ,则塔高为( ) （A ）m 3400 （B ） m 33400 （C ） m 33200 （D ） m 32007若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ） （A ）a b c d <<< （B ）d b c a <<< （C ）d c b a <<< （D ）c d a b <<< 八、若0>>b a ，则下列不等关系中不必然成立的是（ ）（A ）c b c a +>+ （B ）bc ac > （C ）22b a > （D ）b a >九、不等式-x 2+3x -5≥0的解集是（ ）（A ）R （B ）Φ （C ）R + （D ）R -10、不等式ax 2+bx+c>0(a,b,c ∈Z)的解集为（31,21-），则a+b 的值可能为（ ） （A ）10 （B ）-10 （C ）14 （D ）-14二、填空题（每题5分，共20分）1一、在△ABC 中,A 、B 、C 成等差数列,且b=2,则外接圆的半径R= .1二、已知a,b,c 是△ABC 中A,B,C 的对边,S 是△ABC 的面积,若a=4,b=5,S=35,则c 的长度为13、不等式 x 10)1x (32≤+ 的正整数解集是14、不等式组⎩⎨⎧>+>-+040)3)(2(x x x 的解集是三、解答题（每题10分，共30分）1五、(1)解不等式：)1(212)x (52--≥+x (2)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<--≤-015720422x x x1六、若a,b,c 是△ABC 中A,B,C 的对边,A 、B 、C 成等差数列, a,b,c 成等比数列，试判断△ABC 的形状。
解斜三角形习题精选
解斜三角形习题精选1.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.2在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.3在△ABC 中，若∠C =60°，则ca b c b a +++=_______.4.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.5已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.6在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cB b sin 的值.7在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB B cos sin 2sin 1++的取值范围.8.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2.（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.答案：1解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π. 2解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜5.3解析：c a b c b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22=222c bc ac ab bc ac b a ++++++.（*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab .∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：1 4解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45°5剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B .（2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CD tan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.6、剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cB b sin 的值. 解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .在△ABC 中，由余弦定理得 cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aA b sin ， ∵b 2=ac ，∠A =60°， ∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中， 由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cB b sin =sin A =23.7、解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21. ∴0＜B ≤3π， y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7， ∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2. 8、解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb 2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C =ab c b a 2222-+=21. 又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ）=3sin A cos A +3sin 2A=23sin2A －23sin2A cos2A +23 =3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233.。
解斜三角形(含答案)
S ABC
1 2
AC
AB sin
A
1 2
23
解法二：由 sin A cos A 计算它的对偶关系式 sin A cos A 的值。
sin A 2 1 2
2sin Acos A 1 2
0 A 180,sin A 0,cos A 0.
45 )
1 .
2
又 0 A 180 , A 45 60 , A 105.
tan A tan(45 60 ) 1 3 2 3 , 1 3
sin A sin105 sin(45 60 ) sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 2 6 . 4
题型 2：三角形面积
例 2．在 ABC 中， sin A cos A 2 ， AC 2 ， AB 3 ，求 tan A 的值和 ABC 的面积。
2 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。
sin A cos A 2 cos( A 45 ) 2 , 2
cos(A
2bc 2
让鄂州的学子享受黄冈名师的教育（初高中数学、物理、化学、生物、英语） 才子内部讲义★严禁翻印
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴ b sin B =sinA= 3 。
c
2
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型 4：正、余弦定理判断三角形形状
例 3．在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且
b sin B a2－c2=ac－bc，求∠A 的大小及 c 的值。
数学三角函数与解三角形多选题单元测试及答案
数学三角函数与解三角形多选题单元测试及答案一、三角函数与解三角形多选题1．知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+，所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.3．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3sin 3sin()23S D D D π=-+=-+. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()22232S D D D π=-+=-+， 因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++⎪⎝⎭，k Z ∈， ()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误； 若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 2ABC S bc A ∆==，D 选项正确 故选：ABD【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题6．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.7．已知2π-＜θ2π＜，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ ） A ．﹣3 B ．13C ．13-D ．12-【答案】CD 【分析】先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θθθ-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】∵sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），∴两边平方得：1+22sin cos =a θθ，∴21sin cos =02a θθ-<，∵22ππθ-<＜，∴可得cos 0θ>，sin 0θ<，∴sin tan 0cos θθθ=<， 又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θθθ=>- 所以sin 1tan 0cos θθθ-<=<， 所以tan θ的值可能是13-，12-．故选：CD 【点睛】关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键．8．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①.2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.9．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f xC ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度，得到的函数解析式为()()2g x x =【答案】BD 【分析】首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-的范围，再判断函数的单调性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】()12cos 2sin 222f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭132cos 2cos 22cos 22222x x x x x =--=-23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的周期22T ππ==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D. ()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到()52221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.10．设函数()()1sin 022f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【分析】 化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误.【详解】 ()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确；对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误；对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD.【点睛】 关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
职高解斜三角形单元测试题目
2
解斜三角形单元测试题 班级： 姓名 学号： 成绩：
一选择题：（每题4分）
1、在ABC ∆中，等于则c b a C B A :: ::sin :sin :sin 432=（ ）
A ．4:3:2
B 、2:3:4
C 、1:2:3
D 、1:2:3
2、在ABC ∆中，060,3==
A a 则 ABC ∆的外接圆半径为 （ ）
A ．1
B 、 2
C 、 4
D 、
3 3、在ABC ∆中，已知060,2,6===
A b a 则
B 为（ ） A ．450 B 、600
C 、1350
D 450 或1350
4、已知C S b a ABC ∠===则且 ,31268∆的度数是（ ）
A 、300
B 、600或1200
C 、
600 D 、1200
5、在ABC ∆中，B a A b cos cos =则这个三角形为 （ ）
A 、直角三角形
B 、锐角三角形 C
3 等腰三角形 D 等边三角形、
6、在ABC ∆中，若222c b a
+>则ABC ∆一定为 （ ）
A ．直角三角形
B 、锐角三角形
C 、
钝角三角形 D 、无法确定
7、在ABC ∆中，已知则 7c , 3,2===b a ABC ∆的面积为
（ ）
A 、3
B 、 1.5
C 、32
3 D 、72 8、在等腰ABC ∆中，AB=AC ，底边BC 的长为2，且5
2=B A sin sin ， 则ABC ∆的周长为（ ）
A 、8
B 、10
C 、12
D 、14
9、在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔
底的俯角分别为300、600、则塔高为 （ ）
A 、m 3400
B 、 m 33400
C 、m 3200
D 、
m 200 10、ABC ∆的周长为12+，且C B A sin sin sin 2=+，则边
4 AB 的长为 ( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、 2
11、已知圆的半径为1，则圆的内接正六边形的面积为( )
A 、3
B 、23
C 、 2
D 、
233 12、在ABC ∆中，已知A c a B 则 , ,2450==的度数为
( )
A 、900
B 、600
C 、450
D 300
二、填空题：（每题4分）
13、在ABC ∆中，若,ab c b a =-+222则角C 的度数为
14、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成600视角，从B 岛望C 岛和
A 岛成750视角，那么
B 岛和
C 岛间的距离是
15、在，则三角形的最大角为中，已知537===c b a ABC , ,∆ 度
16、已知锐角三角形的边长分别为1、3、a 则
5
a 的取值范围是
17、在△ABC 中，内角2B=A+C ，且AB=8，BC=5，
则△ABC 的内切圆的面积为
三、解答题：（每题8分、共32分）
18、在ABC ∆中，
,6,2,450===c a A 解这个斜三角形。
，AC=1，△ABC 19、在△ABC中，已知A=
3
的面积为3，求BC边的长
20、如图，河塘两侧有两物A、B，不能直接量
6
得它们间的距离，但可以测量算出它们的距离，为此，在河边选取C、D两点，
并测得0
090
∠
=
=
ACB，
∠
BCD
ADC
∠ADB
∠
=
,
,
30
45
75=
,
CD=试求A、B两物间的距离。
,
80m
7
21、我缉私巡逻艇在一小岛南偏西500的方向，距小岛A处12海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向小岛的北偏西100的方向行驶，测得速度为每小时10海里，问我巡逻艇须用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两小时后截获该走私船
C
A
B
8。