解三角形单元测试题(附答案)
2020届 人教A版__解三角形-单元测试
解三角形一、单选题1．在ABC ∆中，B=30︒，C=45︒， c=1，则最短边长为（ ）A C ．12D【答案】B【解析】由题意，易知B C A <<，所以b 最小．由正弦定理，得sin sin c B b C == 2．已知ABC ∆中，2=a ，3=b ， 60=B ，那么=∠A （ ）A ． 45B ． 90C ． 135或 45D ． 150或 30 【答案】A 【解析】试题分析：利用正弦定理，B bA a sin sin =得：22360sin 2sin sin 0===bB a A ，由于b a <，则B A <，于是045=A ，选A. 考点：利用正、余弦定理解三角形.【易错点评】利用正弦定理求三角形的内角，当求出b a <22sin =A 时，容易得出045=A 或 135，这时务必要研究角A 的范围，由于，则B A <，说明角A 为锐角，所以045=A .3．已知ABC ∆满足a b >，则下列结论错误的是（ ）A ．AB > B ．sin sin A B >C ．cos cos A B <D ．sin2sin2A B > 【答案】D【解析】由大边对大角，可知A B >，所以A 正确； 由正弦定理可知， sin sin A B >，所以B 正确；由A B >，且cos y x =在()0,π单调递减，可知cos cos A B <，所以C 正确； 当90,30A B ==时， a b >，但sin2sin2A B <，所以D 错误。
故选D 。
点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用。
本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率。
4．在∆ABC 中，,30,,1=∠==A x b a 则使∆ABC 有两解的x 的范围是（ ）A 、)332,1( B 、),1(+∞ C 、)2,332( D 、)2,1( 【答案】D 【解析】试题分析：结合图形可知，三角形有两解的条件为,sin b x a b A a =><，所以01,sin 301b x x =><，12x <<，故选D 。
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解三角形一、单选题1．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， a =2，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为A B ．2 C ． D ． 【答案】A【解析】由正弦定理得: ()()()2b a b c b c +-=-,即224b c bc +-=,由余弦定理得:2241cos 222b c bc A bc bc +-===, 3A π∴=,又2242b c bc bc bc bc +-=≥-=,4bc ∴≤,当且仅当2b c ==时取等号,此时ABC ∆为正三角形,则ABC ∆的面积的最大值为11sin 422S bc A ==⨯=故选A. 点睛: 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.2．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CB A sin sin sin -=（ ） A53 B 53± C 54 D 54± 【答案】D 【解析】试题分析：根据正弦定理可知C BA sin sin sin -84105BC AC AB ,故选D. 考点：正弦定理，双曲线的定义. 3．如果等腰三角形的顶角的余弦值为35，则底边上的高与底边的比值为 A ．12 B ．45 C ．23D ．1 【答案】D【解析】设等腰三角形的顶角为2α，底边上的高为h ，底边长为2x ，由三角形知识得tan x h α=，∵3cos 25α=，∴222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5ααααααα--===++，∴1tan 2xhα==，∴2h x =，∴底边上的高与底边的比值为1，故选D 4．ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 2a =，b =，45A =︒，则B =（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒ 【答案】A【解析】由正弦定理可得：a bsinA sinB=，1222bsinA sinB a ===. 又因为2a =，b =， a b >，所以A B >，所以30B =︒，故选A.5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b ，a cos C =c （2-cos A ），则cos B =（ ） AB ．14CD【答案】B【解析】∵a cos C =c （2-cos A ），∴a cos C +c cos A =2c ，由正弦定理可得：sin A cos C +sin C cos A =2sin C ， ∴sin B =sin （A +C ）=2sin C ， ∴b =2c ，由a =b ，可得a =b =2c ，∴22221cos 2224a cbc B ac c c +-===⋅．故选：B ．6．在ABC ∆中，已知A=45，2,a b ==B 等于（ ）A ．30B ．60C ．150D ．30或150 【答案】A 【解析】 试题分析：由正弦定理得045,21sin sin sin sin 0>>∴>==⇒=B b a A a b B B b A a 故知B=300,所以选A. 考点：正弦定理.7．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若060=A ，045=B ，6=a 则=b （ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin a bA B=，即006sin 60sin 45b =，得006sin 452sin 60b ==，选B ．考点：正弦定理 8．在中，则等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．150° 【答案】D【解析】试题分析：由已知得b 2+c 2-a 2=−√3bc,根据余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=−√32, ∴∠A =150°.考点：1、余弦定理；2、特殊角的三角函数值.9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边长，b 和c 是关于x 的方程x 2﹣9x+25cosA=0的两个根（b ＞c ），且，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：由已知：（sinB+sinC+sinA ）（sinB+sinC ﹣sinA ）=sinBsinC ，利用正弦定理可得b 2+c 2﹣a 2=bc ，进而利用余弦定理求cosA ，从而可求sinA 的值，由方程x 2﹣9x+25cosA=0，可得x 2﹣9x+20=0，从而b ，c ，利用余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9，可求得a ，直接判断三角形的形状即可．解：由已知：（sinB+sinC+sinA ）（sinB+sinC ﹣sinA ）=sinBsinC ，∴sin 2B+sin 2C ﹣sin 2A=sinBsinC ， 由正弦定理：∴b 2+c 2﹣a 2=bc ，由余弦定理cosA==，∴sinA=，又∵由（1）方程x 2﹣9x+25cosA=0即x 2﹣9x+20=0，则b=5，c=4， ∴a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9，∴a=3， ∴b 2=c 2+a 2，三角形是直角三角形10．在锐角三角形中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，设2B A =，则ab的取值范围是（ ） A ．3232 B ．)2,2 C ．2,3 D ．02（，） 【答案】A 【解析】2,B A =∴由正弦定理sin sin a bA B=得：sin sin sin 1sin sin22sin cos 2cos a A A A b B A A A A ====， B 为锐角，即090B <<，且2,B A A=∴C为锐角，0290{ 0180390A A ︒︒︒<<<-< ,所以233045,cos 22A A <<∴<<22cos 3A <<， 31232cos 2A <<ab 的取值范围是3232，故选A. 11．已知ΔABC 的面积为4，∠A =900，则2AB +AC 的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．8√2 D ．4√2 【答案】A【解析】分析：由题意知ΔABC 的面积为4，且∠A =900，得AB ⋅AC =8，再由均值不等式，即可求解2AB +AC 的最小值.详解：由题意知ΔABC 的面积为4，且∠A =900，所以S =12AB ⋅AC =4，即AB ⋅AC =8，所以2AB +AC ≥2√2AB ⋅AC =2√2×8=8，当且仅当AB =2,AC =4时取得等号， 所以2AB +AC 的最小值为8，故选A.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12．若ΔABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2−c2=4，且C=60∘，则ab的值为（）A．34B．23C．32D．43【答案】D【解析】【分析】：根据题意和余弦定理，直接求解。
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则 c = 7 3．
故选 D．
【点睛】
本题考查余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8．在 ABC 中，已知 AB= 2 AC，∠B=30°，则∠A= ( )
A．45°
B．15°
C．45°或 135°
D．15°或 105°
【答案】D
【解析】
试题分析：由正弦定理可解得 sinC，结合范围 C∈（0，180°），可得 C，利用三角形
A.30 2海里
B.30 3海里
C.45 3海里
D.45 2海里
【答案】B
【解析】略
3．在△
ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知
a
=
5，π
3
<
C
<
π，若 b
2 a−b
=
sin 2C ，
sin A−sin 2C
则 c 等于
A． 5 B． 3 C．3 D．5 【答案】D
【解析】
【分析】
由π < C < π，故利用正弦定理将条件 b = sin 2C 中边化成角，然后变形可得 sinB = sin2C，
试 题 分 析 ：∵ 在 △ABC 中 ， a 2，A 45 ， 且 此 三 角形 有 两 解 ， ∴ 由 正 弦 定 理 a b 2 2 ，∴ b 2 2 sin A ，B C 180 45 135 ，由 B 有两个值，
sin A sin B 得到这两个值互补，若 B 45 ，则和 B 互补的角大于等于135 ，这样 A B 180 ，
∵AD1∥BC1，∴∠AD1P 为 D1P 与 BC1 所在的直线所成的角，在ΔAD1P 中，
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解三角形一、单选题1．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰的直角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 试题分析：由题32cos sin =+αα, 则：()2225sin cos ,sin cos 0318αααα⎛⎫+==-< ⎪⎝⎭因为： sin 0,cos 0αα><，则三角形为钝角三角形。
考点：三角函数的变形及三角形形状的判断. 2．【答案】A【解析】本题考查向量的数量积及其最佳值问题如图示以为A 原点，以CA 和CB 所在直线为x 轴和y 轴建立直角坐标系，则()()()0,0,0,3,4,0A B C -，则()4,3CB = .设(),M x y 则()4,CM x y =+，由//CM CB 得443y x +=，即334y x =+，则()3,34x M x +，所以()()33,3,4,344x x AM x CM x =+=++；又AM CM ⊥，则0AM CM ⋅=，则()()()2223331617,34,34390444252x x x x x x x x x +⋅++=+++=++= 所以2251361440x x ++=解得3625x =-或4x =-（舍）所以()3648,2525M =-，所以()3648,2525AM =-设()()3,3,404a N a a +-≤≤，则()3,34a AN a =+，则()()()3648336348144,,33252542542525a a a AM AN a ⋅=-⋅+=-++⨯=即40a -≤≤时取最大值14425AM AN ⋅=故正确答案为A 3．在，则边的边长为（ ）A ．B ．3C ．D ．7【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，三角形的面积，解得，在中，由余弦定理得，所以．考点：余弦定理及三角形的面积公式的应用．4．已知ABC ∆中，AB=AC=5，BC=6，则ABC ∆的面积为A ．12B ．15C ．20D ．25 【答案】A 【解析】试题分析：因为，ABC ∆中，AB=AC=5，BC=6，所以，BC4=，三角形的面积为12，选A 。
2021-2022学年新教材高中数学 第9章 解三角形单元测试(含解析)新人教B版必修第四册
第九章第二部分阶段测试第九章单元测试间：90分钟 分数：150分、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) .53B.54C.55D.56．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )．－32B ．－23C.23D.32．△ABC 中，B ＝π3，且a ＋c ＝332，b ＝3，则△ABC 的面积为( ) .5316B.34C.7312D ．23 ．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围是( )．(1,5) B ．(1,7) C ．(7，5) D ．(7，7)．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，△ABC 的面积为2，则三角形外接圆的半径为( )．23B ．42C.522D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ).3π4 B.π3C.π4D.π6．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( ) .1762海里/时B ．346海里/时 .1722海里/时D ．342海里/时 ．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( ).34B.43C ．－34D ．－43、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) ．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B．b ＝45，c ＝48，B ＝60°C．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D．a ＝7，b ＝5，A ＝80°0．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )．2sin B ＝sin A B ．2cos B ＝cos A C ．a ＝2b D ．B ＝2A1．在△ABC 中，已知(a ＋b )：(c ＋a )：(b ＋c )＝6：5：4，给出下列结论中正确结论是( )．由已知条件，这个三角形被唯一确定B ．△ABC 一定是钝角三角形．sin A ：sin B ：sin C ＝7：5：3D ．若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是15322．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是( ) ．若tan A ＋tan B ＋tan C ＞0，则△ABC 是锐角三角形．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 是等腰三角形．若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 是等边三角形 、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)3．在等腰三角形ABC 中，已知sin A ：sin B ＝1：2，底边BC ＝10，则△ABC 的周长是________．4．某人在C 点测得塔在南偏西80°方向，且塔顶A 的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m 到B 点，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则1a ＋1c＝________. 6．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________.、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)7．(10分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.1)求∠A；2)求AC边上的高．8．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2＋c2＝b2＋2ac.1)求角B的大小；2)求2cos A＋cos C的最大值．9．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin A＝3a cos B.1)求B的大小；2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．20.(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积． 21.(12分)如图，已知A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45°方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离．2．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos2A ＋32＝2cos A . 1)求角A 的大小；2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．第九章单元测试．答案：B析：由正弦定理，得a b ＝sin Asin B ，a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.．答案：D析：在△ABC 中，cos∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.．答案：A析：∵B ＝π3∴由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.a ＋c ＝332，b ＝3，∴274－2ac －3＝ac .∴ac ＝54. S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.．答案：C析：∵三角形为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32＋a 2>16，32＋42>a 2，解得7＜a 2<25，a >0，∴7<a <5，∴a 的取值范围是(7，5)．．答案：C析：由三角形的面积公式，得2＝12ac sin B ＝12c ×22， c ＝4 2.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×22＝25，∴b ＝5，又∵b sin B＝2R . R ＝b 2sin B ＝52×22＝522. ．答案：C析：由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为b ＝c ，以a 2＝b 2＋b 2－2b ×b cos A ＝2b 2(1－cos A )．已知a 2＝2b 2(1－sin A )，以sin A ＝cos A ，为A ∈(0，π)，所以A ＝π4. ．答案：A析：由题意知PM ＝68海里，∠MPN ＝120°，∠N ＝45°.由正弦定理，知PM sin 45°＝MN sin 120°，∴MN ＝68×32×2＝346(海里)． 速度为3464＝1762(海里/时)． ．答案：D析：由2S ＝(a ＋b )2－c 2，得2S ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2，2×12ab sin C ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2， 以ab sin C －2ab ＝a 2＋b 2－c 2.余弦定理可知 os C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab sin C －2ab 2ab ＝sin C 2－1， 以cos C ＋1＝sin C 2， 2cos 2C 2＝sin C 2cos C 2，所以tan C 2＝2. 以tan C ＝ 2 tan C 21－tan 2C 2＝2×21－22＝－43. ．答案：BC析：选项B 满足c sin 60°＜b ＜c ，选项C 满足b sin 45°＜a ＜b ，所以B 、C 有两解．对于选项A ，可求得B ＝180°－A －C ＝65°，三角形有一解．对于选项D ，由sin B ＝b sin A a，且b ＜a ，可得B 为锐角，只有一解，三角形只有一解．0．答案：AC析：因为sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C ，又0＜C ＜π2，得2sin B ＝sin A ，从而由正弦定理得2b ＝a . 1．答案：BC析：∵(a ＋b )：(c ＋a )：(b ＋c )＝6：5：4，设a ＋b ＝6k ，c ＋a ＝5k ，b ＋c ＝4k ，(k ＞0)，a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ：b ：c ＝7：5：3， sin A ：sin B ：sin C ＝7：5：3，选项C 正确．于三角形ABC 的边长不确定，所以三角形不确定，选项A 错误．于cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝254k 2＋94k 2－494k 22×52×32k 2＝－12<0所以A 是钝角，即△ABC 是钝角三角形，选项B 正确．b ＋c ＝8，则52k ＋32k ＝4k ＝8，∴k ＝2，∴b ＝5，c ＝3，A ＝120°， △ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝1534.选项D 错误． 2．答案：ACD析：∵tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C ＞0， A ，B ，C 是△ABC 的内角，∴角A ，B ，C 都是锐角，选项A 正确．a cos A ＝b cos B ，则sin A cos A ＝sin B cos B ，2sin A cos A ＝2sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，A ＝B ，或A ＋B ＝90°，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形，选项B 错误．b cos C ＋c cos B ＝b ，sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ＝sin B ，A ＝B ，∴△ABC 是等腰三角形，选项C 正确．a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C ，△ABC 是等边三角形，选项D 正确．3．答案：50析：由正弦定理，得BC ：AC ＝sin A ：sin B ＝1：2，底边BC ＝10，∴AC ＝20，∴AB ＝AC ＝20，△ABC 的周长是10＋20＋20＝50. 4．答案：10析：设塔底为A ′，AA ′＝h m ，则借助于实物模拟图(如图所示)可以求得A ′C ＝h m ，A ′B ＝3h m ，在△A ′BC 中，A ′C ＝h m ，BC ＝10 m ，A ′B ＝3h m ，∠A ′CB ＝120°，∴(3h )2＝h 2＋100－2h ×10×cos 120°，即h 2－5h －50＝0，解得h ＝10(h ＝－5舍)．5．答案：1析：依题意有S △ABC ＝S △BCD ＋S △ABD ，12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°， c ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1. 6．答案：1225 析：如图所示，设CD ＝x ，∠DBC ＝α，则AD ＝5－x ，∠ABD ＝π2－α，在△BDC 中，由正弦定理得3sin π4＝x sin α＝32⇒sin α＝x 32.在△ABD 中，由正弦定理得5－x sin(π2－α)＝4sin 3π4＝42⇒cos α＝5－x 42.由sin 2α＋cos 2α＝x 218＋(5－x )232＝1解得x 1＝－35(舍去)，x 2＝215，在△BDC 中，由正弦定理，得BD ＝BC ·sin∠C sin ∠BDC ＝3×4522＝1225. 7．解析：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17， 以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2. 以∠A ＝π3. 2)在△ABC 中，为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332. 8．解析： (1)由余弦定理及a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22. 0<B <π，∴B ＝π4. 2)由(1)知，A ＋C ＝π－B ＝3π4，∴2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A 2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又0<A <3π4，∴π4<A ＋π4<π，∴A ＋π4＝π2时，即A ＝π4时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4取得最大值1，2cos A ＋cos C 的最大值为1.9．解析：(1)∵b sin A ＝3a cos B ，∴由正弦定理得，sin B sin A ＝3sin A cos B ，∵A 为△ABC 的内角，∴sin A >0，∴tan B ＝3，∵0<B <π，∴B ＝π3. 2)∵sin C ＝2sin A ，∴c ＝2a .(1)知B ＝π3，∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a 2＋(2a )2－2a ×2a ×12＝9，∴a ＝3，c ＝2 3.0．解析：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，正弦定理，得a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．2)由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.a ＋b ＝ab .余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，(ab )2－3ab －4＝0.ab ＝4(ab ＝－1舍去)，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.1．解析：由题意得∠CMB ＝30°，∠AMB ＝45°，AB ＝BC ＝1，∴S △MAB ＝S △MBC ，12MA ×MB ×sin 45°＝12MC ×MB ×sin 30°，MC ＝2MA ，在△MAC 中，由余弦定理，得C 2＝MA 2＋MC 2－2MA ×MC ×cos 75°，MA 2＝43－22cos 75°，M 到AB 的距离为h ，则由△MAC 的面积得MA ×MC ×sin 75°＝12AC ×h ，h ＝2MA 22×sin 75°＝22×43－22cos 75°×sin 75°7＋5313(km)．塔到直路ABC 的最短距离为7＋5313 km.2．解析：(1)根据二倍角公式及题意得2cos 2A ＋12＝2cos A ，4cos 2A －4cos A ＋1＝0，∴(2cos A －1)2＝0，cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.2)根据正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ，b ＝23sin B ，c ＝23sin C .l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )，∵A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3，l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，0<B <2π3∴π6<B ＋π6<5π6，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，l ∈(2,3]．。
解直角三角形》单元测试卷及答案
《解直角三角形》单元测试卷一、填空题：1、如下图，表示甲、乙两山坡的情况, _____坡更陡。
(填“甲”“乙”)αβ1213 34甲乙2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________。
3、在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB= 。
4、计算：tan 245°－1＝ 。
5、在△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，则tanB=_____。
6、△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=31，则S △ABC=______。
7、菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形较小的内角为______度。
8、如图2是固定电线杆的示意图。
已知：CD ⊥AB ，CD 33=m ，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC 的长是__________m 。
9、升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米。
(用含根号的式子表示)10、如图3，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30，90BCA ∠=，台阶的高BC 为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m ，取2 1.414=，3 1.732=）11、如图4，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos 15°=624+)二、选择题：12、在ABC ∆中，︒=∠90C ，AB=15，sinA=13，则BC 等于（ ） A 、45 B 、5 C 、15 D 、14513、李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（ ） A.40° B.30° C.20° D.10°14、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高 15、在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是一般锐角三角形16、如图5，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8 m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC 为( )A.1.8tan80°mB.1.8cos80°mC.︒80sin 8.1 m D.︒80tan 8.1 m17、如图6，四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ） A.42B.43C.4D.6三、解答题：18、计算：(1)3cos30°+2sin45° (2)6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°19、根据下列条件，求出Rt △ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角. (1)BC=8，∠B=60°; (2)AC=2，AB=2.20、如图7，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，∠A 的平分线AD=3316,求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.21、等腰三角形的底边长20 cm ，面积为33100c m 2，求它的各内角.22、同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC ＝2m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4m 。
2020届人教A版-解三角形__单元测试
解三角形一、单选题1．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝ （ ） A ．2 B．C． D．【答案】D 【解析】如图：AD 是直径，则045D C ∠=∠=在直角三角形ABD 中，42sin sin 45AB R AD D ====R =故选D2．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若b =√11，c =3，且sinC =3√1111，满足题意的ΔABC 有（ ）A ．0个B ．一个C ．2个D ．不能确定 【答案】B【解析】b =√11，c =3，b >c ,C 为锐角，且sinC =3√1111， bsinC =√11×3√1111=3=c ，满足题意的ΔABC 有一个，选B.3．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a =1，b =√3，A =30∘，则c 边的长为（ ）BCA ．2B ．1C ．1或2D ．√3或2 【答案】C【解析】试题分析：；已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理得到角B 的大小，再根据三角形的三角关系，得到三角形的形状，进而求得边长. 详解：根据正弦定理得到asinA =bsinB ⇒sinB =√32，故角B 为60∘或120∘，当角B 为60∘时角C 等于直角，三角形满足勾股定理，得到边c 等于2；当角B 等于120∘，角C 也等于30∘，此时三角形是等腰三角形，得到边c 等于1. 故答案为：C.点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a 2=b 2+c 2−2bc cos A ；（2）cos A =b 2+c 2−a 22bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o ,45o ,60o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 4．已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2bcosC ，且b−ac−a =sinA+sinC sinB，则这个三角形的形状是（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】A【解析】分析：先由正弦定理进行角化边得到a 2+b 2-c 2=ab 再由余弦定理可得C 值，结合a =2bcosC 即可得出结论.详解：由正弦定理化简（a-c ）（sinA+sinC ）=（a-b ）sinB ，得：（a-c ）（a+c ）=b （a-b ）， 整理得：a 2-c 2=ab-b 2，即a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab=12⇒C =π3，再由a =2bcosC ，可得a=b ，结合C=60°，故三角形的形状为等边三角形，选A. 点睛：考查正余弦定理的运用，对b−ac−a =sinA+sinC sinB角化边得到a 2+b 2-c 2=ab 再由余弦定理得出C 值是解题关键，属于中档题.5．在△ABC 中，三边长AB =7，BC =5，AC =6，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ．19 B ．−19 C ．18 D ．−18 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求得cosB ，再利用数量积公式，即可求出结果. 【详解】∵三边长AB=7，BC=5，AC=6，∴cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =72+52−622×7×5=1935AB⋅BC=AB⋅BCcos(π−B)=7×5×(−1935)=−19.故选B.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理，解题关键是明确数量积中两个向量的夹角与三角形内角的关系.6．在ΔABC中，tanA是以−4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tanB是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】A【解析】【分析】首先由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得tanA=2，tanB=3，然后利用两角和的正切公式可求出tan(A+B)=−1，从而求出∠C，再结合题意确定A、B的范围，从而确定△ABC的形状．【详解】解：由题意可得，tanA=4−(−4)7−3=2，(tanB)3=913=27，所以tanB=3故tan(A+B)=2+31−2×3=−1，∵0<A+B<π，∴A+B=3π4，∴∠C=π4；又∵tanA>0，tanB>0，0<A<π，0<B<π，∴0<A<π2，0<B<π2，故△ABC为锐角三角形．故选：A．【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题。
必修5解三角形第一单元测试题 (含答案)
数学必修5解三角形单元测试题（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1.在△ABC 中，若BA sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ） A. B A > B. B A < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 2. 在△ABC 中，b=3，c=3，B=300，则a 等于（ ）A ．3B ．123C ．3或23D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=2，b=4，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（ ）A ．41-B ．41 C ．32-D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392C ．338D ．2396．（2013年高考湖南卷）在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b 若2sin 3,a B b A =则角等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 7.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()8,10 C ． ()10,8D ．()10,88.在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°或120° B.60° C. 45° D.120° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60°11. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．15C ． 142D ．15212.（2013年高考陕西卷）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D) 不确定 二、填空题（每小题5分，满分20分）13.（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=______. 14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的 周长是 .15. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的 度数等于________.16. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4222c b a S -+=，则角C=_______．三、解答题（70分）17. (本题满分10分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及三角形面积．18. （本题满分12分）在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长.19. （本题满分12分）在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-。
解直角三角形测试题及答案
《解直角三角形》整章测试【1】一、选择题（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ）（A ）154(B)14(C)15 (D)４2.计算：2)130(tan -︒＝（ ）(Ａ)331-(B)13- (Ｃ)133-（D ）１－3 3.在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定4.如图，在Rt ABC △中，3tan 2B =，23BC =，则AC 等于（ ）（A ）3（B ）4（C ）43（D ）65.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的 眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） (A)（53332+）m (B)（3532+）m (C)533m (D)4m 6．因为1sin 302=，1sin 2102=-， 所以sin 210sin(18030)sin 30=+=-；因为2sin 452=，2sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）（A ）12-(B)22-(C)32- (D)3-7．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得 灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航 行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（ ）(A)156km(B)152km (C)15(62)+km(D)5(632)+km北东ABC8.如图，在Rt ABC △中，906cm A AC ∠==，，8cm AB =，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin DBE ∠的值为（）(A)13(B)310(C)37373(D)1010二、填空题（每小题3分，共24分） 9．计算sin 60tan 45cos30-的值是．10. 用“>”或“<”号填空：1sin 50cos 402-0．（可用计算器计算） 11.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A =． 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为米．13.如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁， 如果不改变航向，轮船（填“有”或“没有”）触暗礁 的危险．（可使用科学计算器）14. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，3sin 5A =，则菱形ABCD 的面积是__________2cm ． 15.根据指令[s,A]（s ≥0,0°≤A ＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（－3，3），应下的指令是．16. 有古诗“葭生池中”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问： 水深、葭长各几何？（1丈=10尺）回答：水深，葭长. 17.（本题8分）计算：242(2cos 45sin 60)4︒-︒+． 18.（本题10分）某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a b c ，，表示长度，β表示角度．请你分别求出AB 的长度（用含有a b c β，，，字母的式子表示）．（1）______AB = （2）______AB = （3）______AB =19.（本题10分）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）． 20.（本题12分）海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． （1A C B a b（2AC B a β （3AC B aD Ec b A BCD EA BC21.（本题12分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．四、附加题（本题20分）22.现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）．（2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．在装卸纱窗的过程中，如图所示α∠的值不得小于81，否则纱窗受损．现将高96cm的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm，高96cm（上、下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时α∠的sin810.987=0.990=sin830.993=0.995=cos90.987=0.990=0.993=0.995=章《解直角三角形》整章测试答案：～8 BABA ACDD三、17.解：2=原式2=-2=18.解：（1）AB=（2）tanAB aβ=（3）acABb=．19．解：分两种情况：（1）当ACB∠为钝角时，BD是高，90ADB∴∠=．在Rt BCD△中，40BC=，30BD=∴CD==．在Rt ABD△中，50AB=，ABC中山路文化路D和平路45°15°30°环城路EF 图1 2 图3∴40AD ==．40AC AD CD ∴=-=-，新课标第一网∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==-⨯=-△． （2）当ACB ∠为锐角时， BD 是高，90ADB BDC ∴∠=∠=，在Rt ABD △中，5030AB BD ==，，40AD ∴==．同理CD ==∴(40AC AD CD =+=+，∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==+⨯=+△．综上所述：2(600)ABC S =±△.20．解：有触礁危险．理由： 过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD ＝PD ＝x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴x ．xAD 330tan =︒=∵BD ，AB AD +=∴x ．x +=123 ∴)13(61312+=-=x ．∵，＜18)13(6+∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．21. 解：（1）由题意得，∠EA D =45°，∠FBD=30°． ∴∠EAC=∠EA D +∠DA C =45°+15°=60°． ∵ AE∥BF∥CD，∴ ∠FBC=∠EAC =60°． ∴ ∠DBC=30°．又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB， ∴ ∠ADB=15°．∴∠DAB=∠ADB．∴ BD=AB=2． 即B ，D 之间的距离为2km ．（2）过B 作BO⊥DC，交其延长线于点O ， 在Rt△DBO 中，BD=2，∠DBO=60°． ∴ DO=2×sin60°=2×323=,BO=2×cos60°=1． 在Rt△CBO 中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=33， ∴ CD=DO－CO=332333=-（km ）． 即C ，D 之间的距离为332km ． 22. 解：能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：960.995.1-=（cm ） 能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin α∠或96cos(90)α-∠·°当81α∠=°时，纱窗高：96sin81960.98794.75295.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去，当82α∠=°时，纱窗高：96sin82960.99095.0495.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去．当83α∠=°时，纱窗高：96sin83960.99395.32895.1=⨯=>° ∴此时纱窗装不进去．因此能合理装上纱窗时α∠的最大值是82°.。
2020届人教A版-解三角形-单元测试(4)
解三角形一、单选题1．在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABC S ∆=A 、2B 、22C 、13+D 、()1321+【答案】C 【解析】 试题分析：2221051sin sin 22a c cc B A C =∴=∴==()11sin 260453122S ac B ∴==⨯⨯+=+ 考点：正弦定理及三角形面积公式2．△ABC 中，角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ， S 表示三角形的面积，若sin sin sin a A b B c C +=， ()22214S a c b =+-，则对△ABC 的形状的精确描述是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】D【解析】试题分析：因为sin sin sin a A b B c C +=，由正弦定理可知222a b c +=，所以ABC ∆为直角三角形，又由三角形的面积公式，可知()22211sin 24ac B a c b =+-，即222sin cos 2a c b B B ac +-==，解得4B π∠=，综上所述，可得ABC ∆为等腰直角三角形，故选D ．考点：三角形的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了三角形的综合问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等知识点综合问题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中根据正弦定理，得出ABC ∆为直角三角形，在利用三角形的面积公式和余弦定理，得出4B π∠=是解答关键．3．在△ABC 中,内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2a =,b+c=7,cosB=14-,则c =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【解析】由题意结合余弦定理222cos 2a c b B ac +-=可得： 224144c b c +-=-，①由7b c +=可知： 7b c =-，② 代入①式可得：()2247144c c c+--=-，求解关于边长的方程可得： 3c =. 本题选择A 选项.4．已知在ΔABC 中, sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为 A ．14-B ．14C ．23-D ．23【答案】A【解析】因为sin :sin :sin 3:2:4A B C =， 所以::3:2:4a b c =.所以2223241cosC .2324+-==-⨯⨯本题选择A 选项.5．在△ABC 中，周长为7．5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论： ①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A其中成立的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3 【答案】C 【解析】 试题分析：令sin sin sin a b ck A B C===,sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ∴===． ::sin :sin :sin sin :sin :sin 4:5:6a b c k A k B k C A B C ∴===． 7.5a b c ++=,4567.52,7.5 2.5,7.53151515a cmb cmc cm ∴=⨯==⨯==⨯=．所以①③正确．故C 正确．考点：正弦定理． 6．的三内角A,B,C 所对边长分别是，若sinB−sinA sinC=√3a+ca+b，则角的大小为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得sinB−sinA sinC=√3a+c a+b⇒b−a c=√3a+c a+b⇒c 2+a 2−b 2=−√3ac ⇒cosB =c 2+a 2−b 22ac=−√32∵0<B <π∴B =5π6，选B考点：正弦定理，余弦定理7．设ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c .若2a =， c =，1sin 2A =，且b c <，则B =（ ） A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π3【答案】A【解析】因b c <， a c <,故由1sin 2A =可得30A =，由正弦定理可得：sin sin sin sin a c c A C A C a =⇒==，解之得120C =，即23C π=，则2366B ππππ=--=，应选答案A 。
高二数学解三角形测试题(附答案)
解三角形测试题一、选择题：1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于〔〕A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、符合以下条件的三角形有且只有一个的是〔〕A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC中，有〔〕A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA<sinB且cosB<sinAC．cosA>sinB且cosB<sinA D．cosA<sinB且cosB>sinA4、假设(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是〔〕A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B 〔〕A．B>60°B．B≥60°C．B<60°D．B ≤60°6、满足A=45,c=6,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为〔〕A．4 B．2 C．1 D．不定7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,ABα(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 〔 〕A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 〔 〕A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km)二、填空题：9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.11、在ΔABC 中，假设S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题：13、在ΔABC 中,求分别满足以下条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).D Cα β14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B,A cos 1+ C cos 1 =－B cos 2 , 求2cosCA 的值.15、二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长.①证明方程有两个不等实根； ②证明两个实根α,β都是正数； ③假设a=c,试求|α－β|的变化范围.16、海岛O 上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在岛北60°东C 处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B 处,俯角60°.①这船的速度每小时多少千米？②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？一、BDBBD AAC 二、〔9〕钝角 〔10〕3314 〔11〕4π 〔12〕81三、〔13〕分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ，c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由AAb B a A b cos sin tan tan 222⇒=,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A AB a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或A+B=90°，∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③BA B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a acb c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯22222222∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为2222)sin()sin(ba b a B A B A +-=+-︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A BA B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △. 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.〔14〕分析：︒=+︒=∴=+120,60,2C A B B C A 再代入三角式解得A 或 C. 解：︒=+︒=∴=-︒∴=+120.60,2180,2C A B B B B C A .∴由已知条件化为：22cos )120cos(.22)120cos(1cos 1-=+-︒∴-=-︒+A A A A),120cos(cos A A -︒设ααα-︒=+︒==-60,60,2C A CA 则.代入上式得：)60cos(α-︒ )60cos()60cos(22)60cos(ααα-︒+︒-=+︒+.化简整理得023cos 2cos 242=-+αα222cos ,22cos ,0)3cos 22)(2cos 2(=+=∴=+-⇒C A 即ααα. 注：此题有多种解法. 即可以从上式中消去B 、C 求出cosA ，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试.〔15〕分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0即可.要证α，β为正数，只要证明αβ＞0，α+β＞0即可. 解：①在钝角△ABC 中，b 边最长.ac b ac b B ac c a b B 424)2(,cos 20cos 122222-=--=∆-+=<<-∴且.0cos 4)(24)cos 2(2222>--=--+=B ac c a ac B ac c a 〔其中0cos 40)(22>-≥-B ac c a 且∴方程有两个不相等的实根. ②,0,02>=>=+aca b αββα ∴两实根α、β都是正数. ③a=c 时，=-=-+=-+=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+424)(2)(,12222222a b a a c a bαββααβββααββα2||0,4cos 40,0cos 1,cos 44)cos 2(22222<-<<-<∴<<--=--+βα因此B B B aa B ac c a . 〔16〕分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.解：①如图：所示. OB=OA 3330tan =(千米)，3=OC 〔千米〕 则313120cos 222=︒⋅-+=OC OB OC OB BC 〔千米〕3926010313=÷=∴v 船速〔千米/小时〕 ②由余弦定理得：=∠=∠∴=⨯-+=∠OBC EBO BC OB OC BC OB OBC sin sin ,261352cos 222 =︒+∠-︒=∠-=∠=-)]30(180sin[sin ,26135cos ,26393)26135(12EBO OEB EBO .131330sin cos 30cos sin )30sin(=︒⨯∠+︒⨯∠=︒+∠EBO EBO EBO 再由正弦定理，得OE=1.5〔千米〕，5),(639==vBEBE 千米〔分钟〕. 答：船的速度为392千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E 离岛1.5千米.。
2020届人教A版-解三角形-单元测试 (3)
解三角形一、单选题1．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若3=c ，3C π=，且4=+b a ,则ABC ∆的面积为（ ）C.712【答案】A 【解析】 试题分析：由余弦定理2222cos c a b ab C=+-得()22219231632a b ab a b ab ab =+-⨯=+-=-71sin 32ab S ab C ∴=∴==考点：余弦定理解三角形2．在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于( )A B C D 【答案】A【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可得， 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，把已知2,60AC BC B ===，代入可得217442AB AB =+-⨯，整理可得2230,3AB AB AB --=∴=，作AD BC ⊥垂足为,D Rt ABD ∆中，33602AD AB sin =⨯=，即BC ，故选A.【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 3．在ΔABC 中，若（tanB+tanC ）=tanBtanC −1，则sin2A=（ ）A 、−32 B 32、−12 D 、12【答案】B 【解析】 试题分析：由3(tan tan )tan tan 1B C B C +=-得tan tan 3tan()1tan tan 3B C B C B C ++==-，又因为,B C 为三角形内角，所以150B C +=︒，30,260A A =︒=︒，所以3sin 22A =，故选B. 考点：三角恒等变换.4．已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝4，b ＋c ＝5，tan B ＋tan C ＋√3＝√3tan B tan C ，则△ABC 的面积为 ( ) A ．√34 B ．3√3 C ．3√34D ．34【答案】C 【解析】 【分析】将tan B ＋tan C ＋√3＝√3tan B tan C ，变形为tanB+tanC1−tanBtanC =−√3，然后利用两角和的正切公式和诱导公式可求得A=π3，进而由条件a ＝4，b ＋c ＝5，结合余弦定理，变形可得bc =3，利用三角形面积公式即可求得面积。
第24章 解直角三角形单元测试卷及参考答案
图（1）图（2）第24章 解直角三角形单元测试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 如图（1）所示,在△ABC 中,︒=∠90B ,AB BC 2=,则A cos 等于 【 】 （A ）25 （B ）21 （C ）552 （D ）552. 如图（2）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90BAC ,BC AD ⊥于点D ,如果α=∠ABC ,那么下列结论 错误的是 【 】 （A ）αsin ACBC =（B ）αtan ⋅=AD CD （C ）αcos ⋅=AB BD （D ）αcos ⋅=AD AC3. 如图（3）所示,在菱形ABCD 中,AB DE ⊥,2,53cos ==BE A ,则DBE ∠tan 的值是 【 】图（3）（A ）21（B ）2 （C ）25 （D ）554. 在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,已知54sin =A ,则A cos 的值为 【 】 （A ）54（B ）1 （C ）53 （D ）525. 如图（4）所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则A sin 的值为 【 】图（4）CBA（A ）21（B ）55 （C ）1010 （D ）5526. 如图（5）所示,已知︒=∠60AOB ,点P 在边OA 上,,12=OP 点M 、N 在边OB 上,PN PM =,若2=MN ,则OM 等于 【 】A B图（5）N OPM（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67. 如图（6）所示,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD ,使点B 落在AD 边上的点F 处,若,5,4==BC AB 则AFE ∠tan 的值为 【 】图（6）D（A ）54 （B ）53 （C ）43 （D ）358. 如图（7）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,︒=∠30A ,E 为AB 上一点,且1:4:=EB AE ,AC EF ⊥于点F ,连结FB ,则CFB ∠tan 的值等于【 】（A ）33 （B ）332 （C ）335 （D ）35 图（7）图（8）9. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度,如图（8）所示,旗杆P A 的高度与拉绳PB 的长度相等.小明将PB 拉到PB′的位置,测得α=∠C PB '（C B '为水平线）,测角仪D B '的高度为1米,则旗杆P A 的高度为 【 】（A ）αsin 11-米 （B ）αsin 11+米（C ）αcos 11-米 （D ）αcos 11+米10. 如图（9）所示,要在宽为22米的九州大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD 长2米,且与灯柱BC 成︒120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直,当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳,此时,路灯的灯柱BC 的高度应该设计为 【 】A图（9）O DBC（A ）()2211-米 （B ）()22311-米 （C ）()3211-米 （D ）()4311-米二、填空题（每小题3分,共15分）11. 如图（10）所示,在△ABC 中,12,==BC AC AB ,BD 为高,M 为AB 的中点,且5=DM ,则△ABC 的面积为_________.图（10）图（11）MNBCAD12. 在△ABC 中,如果B A ∠∠、满足021cos 1tan 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+-B A ,那么=∠C _________.13. 如图（11）所示,正方形ABCD 的边长为4,N 是DC 的中点,M 是AD 上异于D 的点,且MBC NMB ∠=∠,则=∠ABM tan _________.14. 一般地,当βα,为任意角时,()βα+sin 与()βα-sin 的值可以用下面的公式求得:()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+,()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-.例如:()4622223222145sin 30cos 45cos 30sin 4530sin 75sin +=⨯+⨯=︒︒+︒︒=︒+︒=︒类似地,可以求得=︒15sin __________.15. 如图（12）所示,已知点()0,35A ,直线b x y +=)0(>b 与y 轴交于点B ,连结AB ,若︒=75α,则=b _________.图（12）三、解答题（共75分）16. 计算:（每小题5分,共20分）（1）︒+︒45cos 360sin 2; （2）130sin 560cos 3-︒︒;（3）︒-︒-︒45tan 230cos 1245sin 22; （4）︒-︒-︒︒60cos 2345tan 60sin 230sin 2.17.（8分）先化简,再求值:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中︒=30sin x .18.（11分）如图（13）所示,在△ABC 中,AC BE BC AD ⊥⊥,,垂足分别为D 、E ,AD与BE相交于点F.（1）求证:△ACD∽△BFD;（2）当1=AC时,求BF的长.tan=∠ABD,3 Array图（13）19.（12分）如图（14）所示,在矩形ABCD中,点E是BC边上的点,AEAE⊥=,,垂足为点F,连结DE.BCDF（1）求证:DFAB=;（2）若,6=ABAD求EDF10=,tan的值.∠Array图（14）20.（12分）如图（15）所示,小强从自己家的阳台上看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高?图（15）21.（12分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题: （1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值.图 1BCA图 2BAC图 3C第24章 解直角三角形单元测试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 48 12. ︒75 13.3114. 426- 15. 5 三、解答题（共75分）16. 计算:（每小题5分,共20分） （1）︒+︒45cos 360sin 2;解:原式223232⨯+⨯= 62626=+=（2）130sin 560cos 3-︒︒;解:原式1215213-⨯⨯=1= （3）︒-︒-︒45tan 230cos 1245sin 22; 解:原式223322222-⨯-⨯=292321-=--=（4）︒-︒-︒︒60cos 2345tan 60sin 230sin 2.解:原式21231232212⨯--⨯⨯=41324321343131-=-+=--=17.（8分）先化简,再求值:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中︒=30sin x .解:1211222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x()()()()1111122-=-++⋅+=x x x x x x x x ……………………………………6分当2130sin =︒=x 时……………………………………7分 原式112121-=-=. ……………………………………8分 18.（11分）如图（13）所示,在△ABC 中,AC BE BC AD ⊥⊥,,垂足分别为D 、E ,AD 与BE 相交于点F . （1）求证:△ACD ∽△BFD ;（2）当1tan =∠ABD ,3=AC 时,求BF 的长.图（13）（1）证明:∵AC BE BC AD ⊥⊥, ∴︒=∠+∠︒=∠+∠902,901C C ……………………………………1分 ∴21∠=∠……………………………………2分 ∵︒=∠=∠90BDF ADC ,21∠=∠∴△ACD ∽△BFD ;……………………………………5分 （2）在Rt △ABD 中 ∵1tan =∠ABD ∴1=BDAD……………………………………7分 ∵△ACD ∽△BFD∴13,1===BFBD AD BF AC ∴3=BF .……………………………………9分 19.（12分）如图（14）所示,在矩形ABCD 中,点E是BC边上的点,AE DF BC AE ⊥=,,垂足为点F ,连结DE .（1）求证:DF AB =;（2）若,6,10==AB AD 求EDF ∠tan 的值.图（14）（1）证明:∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC AD BC AD ABE =︒=∠,//,90 ……………………………………1分 ∴AEB DAF ∠=∠ ∵AE DF ⊥∴︒=∠=∠90ABE DFA ∵BC AE = ∴DA BC AE == 在△ABE 和△DF A 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DA AE DAF AEB DFA ABE ∴△ABE ≌△DF A （AAS ）……………………………………5分 ∴DF AB =;（2）由（1）可知:△ABE ≌△DF A ∴6==DF AB……………………………………6分 ∵10=AD ∴10=AE在Rt △ABE 中,由勾股定理得:86102222=-=-=AB AE BE……………………………………9分 ∴8=FA∴2=-=FA AE EF……………………………………10分 ∴3162tan ===∠DF EF EDF . ……………………………………12分 20.（12分）如图（15）所示,小强从自己家的阳台上看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42 m,这栋楼有多高?解:由题意可知:42,=⊥AD BC AD m……………………………………1分 在Rt △ABD 中 ∵ADBDBAD =∠tan ∴3342=BD ∴314=BD m……………………………………6分 在Rt △ACD 中 ∵ADCDCAD =∠tan ∴360tan 42=︒=CD∴342=CD m……………………………………11分 ∴356=+=CD BD BC m……………………………………12分 答:这栋楼的高度为356m.21.（12分）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad ）.如图1,在△ABC 中,AC AB =,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A ABBC==腰底边.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题:（1）sad =︒60_________;（2）如图2,在△ABC 中,CA CB =,若sad C 56=,求B tan 的值; （3）如图3,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若54sin =A ,试求sad A 的值. 解:（1）1;……………………………………3分 （2）作AB CD ⊥.图 2∵CA CB =,AB CD ⊥ ∴AB BD 21=……………………………………4分∵sad C 56=∴56=BC AB 设x AB 6=,则x BC 5=∴x BD 3=在Rt △BCD 中,由勾股定理得:()()xx x BD BC CD 4352222=-=-=……………………………………5分 ∴3434tan ===x x BD CD B . ……………………………………6分 （3）延长AC 至E ,使AE AB =. ……………………………………8分图 3∵54sin =A ∴54=AB BC 设x AB x BC 5,4== ∴x AE 5=在Rt △ABC 中,由勾股定理得:()()xx x BC AB AC 3452222=-=-=……………………………………9分 ∴x AC AE CE 2=-= 在Rt △BCE 中,由勾股定理得:()()xx x CE BC BE 52242222=+=+=∴sad A 552552===x x AB BE .（12分）图 2 mm。
解直角三角形单元测试题含答案
解直角三角形单元测试题一、选择题：1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( )A. B. C. D.2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（）°≤A≤60°°≤A ＜90°°＜A ≤30°°≤A≤90°3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（）B. C. D.4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A． B． C． D．5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A．45° B．1 C． D．无法确定6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A． B． C． D．7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：98、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为 m,则这棵树的高度约为(结果精确到 m,≈( )A． m B． m C． m D． m9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里10、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )米米米 D． 24米12、如图，在高度是90米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD是（）（结果可以保留根号）A．30（3+）米 B．45（2+）米C．30（1+3）米 D．45（1+）米二、填空题:13、求值：sin60°•tan30°= ．14、如图，∠1的正切值等于．15、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.16、如图，一人乘雪橇沿坡比1:的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米.17、如图，小岛在港口的南偏东45°方向、距离港口81海里处.甲船从出发，沿方向以9海里/h的速度驶向港口;乙船从港口出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口.现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为h.(结果保留根号)18、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．三、计算题:19、.20、计算：21、已知顶点为A(2，一1)的抛物线与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，点C坐标(1，O)；(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB、BD、DA，求cos∠ABD的大小；(3)点P在x轴正半轴上位于点D的右侧，如果∠APB=45°，求点P的坐标．22、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=，将△ABC沿直线l翻折，恰好使点A与点B重合，直线l分别交边AB、AC于点D、E；（1）求△ABC的面积；（2）求sin∠CBE的值．23、如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=.求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．24、先化简，再求代数式的值÷（﹣），其中a=2cos30°﹣tan45°，b=2sin30°．25、如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到）（参考数据：≈，≈）26、南沙群岛是我国的固有领土，现在我南海渔民要在南沙群岛某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1＋）海里的C处，为防止某国的巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．27、如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：，AB 的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到米）．（参考数据：sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）参考答案1、C2、C3、A4、A5、C6、B7、B8、D9、D10、A11、B12、A13、答案为：．14、答案为：．15、答案为：216、答案为：3617、答案为：18、答案为：2，19、.20、=1+2-（+1）-+2=221、解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点C（1，0），∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（1，0）代入可得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，∴C（1，0），D（3，0），令x=0，y=3, ∴B（0,3）∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，∵A（2，﹣1），D（3，0），∴∠ADO=45°，∴∠BD A=90°，∴（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD，∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB∽△ADP，∴PD2=BD•AD=3=6，∴PD=，∴OP=3+，∴点P（3+，0）．22、解：（1）∵∠ACB=90°，tanA=，∴=，∴AC=2BC，在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，即BC2+4BC2=25，解得BC=，所以，AC=2，△ABC的面积=AC•BC=××2=5；（2）设CE=x，则AE=AC﹣CE=2﹣x，∵△ABC沿直线l翻折点A与点B重合，∴BE=AE=2﹣x，在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，即2+x2=（2﹣x）2，解得x=，所以，CE=，BE=2﹣x=2﹣=，所以，sin∠CBE===．23、(1)过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC＝，∴∠C＝45°.∴在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1.∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝4.(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°.∴sin∠ADC＝.24、解：原式=÷=×=，当a=2cos30°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1，b=2sin30°=2×=1时，原式===．25、解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣≈（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为．∠ACB＝45°，在Rt△ADC中，CD＝AD＝x，在Rt△ADB中∵＝tan30°，∴BD＝AD＝x，∵BC＝CD＋BD＝x＋x＝20（1＋），即x＋x＝20（1＋），解之得x＝20，∴AC＝AD＝20．∴A、C之间的距离为20海里．27、解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：，∴．设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．∵AB=13米，∴k=1，∴BD=5米，AD=12米．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×≈米，∴BC≈米．答：二楼的层高BC约为米．。
第一章 解直角三角形单元测试卷(标准难度 含答案)
浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（标准难度）（含答案解析）考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( )A. sinA=√32B. tanA=12C. cosB=√32D. tanB=√32. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为( )A. 8B. 10C. 12D. 163. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tan B=53，则tan∠CAD的值为( )A. √33B. √35C. 13D. 154. 在实数π，13，√2，sin30°中，无理数的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，下列三角函数值错误的是( )A. sinB=35B. cosB=45C. tanB=34D. tanA=436. 如图，CD是平面镜，光线从点A出发，经CD上点E反射后照射到点B.若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为( )A. 113B. 311C. 911D. 1197. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=√32，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD=16，则BC的长为( )A. 6B. 8C. 8√3D. 128. 如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D中，正确的结论为( )A. ①②；B. ②③；C. ①②③；D. ①③；9. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为( )A. 95sinα米B. 95cosα米C. 59sinα米D. 59cosα米10. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=√3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )A. √33B. √32C. 1D. √6211. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=α，则点A到OC的距离等于( )A. a⋅sinα+b⋅sinαB. a⋅cosα+b⋅cosαC. a⋅sinα+b⋅cosαD. a⋅cosα+b⋅sinα12. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45∘方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60∘方向，则这段河的宽度为( )A. 80(√3+1)米B. 40(√3+1)米C. (120−40√3)米D. 40(√3−1)米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．14. 在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sin A=3，则菱形ABCD的周长是．515. 若锐角α满足cosα<√2且tanα<√3，则α的范围是．216. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=3.如果⊙O的半径为√10cm，且经过点B，5C，那么线段AO=cm．三、解答题（本大题共9小题，共72分。
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（ ） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（ ）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-， 则角B 的大小是（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（ ）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（ ） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=． （1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =． （1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在． 故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°． 故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=， 即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<． 故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<． 【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B =． 因为sin A ≠0，所以sin 30B B =． 又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=． （2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =． 【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=． （2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2， 故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =． 【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =． 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=． （2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△． 【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)． 【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°． 在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（ ）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（ ）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（ ）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（ ）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ ）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（ ）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=， 则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =． （1）求2sin cos22B CA ++的值； （2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值； （2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =． （1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==． 在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时， 则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =． 答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠， 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =． 【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==． 由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=， 即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。
(完整版)解三角形经典练习题集锦(附答案)
解三角形一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。
三、解答题1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
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解三角形单元测试题班级： ____ 姓名 成绩：______________一、选择题：1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（）A ．3π B ．6π C ．32π D ． 3π或32π6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,108、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( )A ．2>xB ．2<xC ．3342<<x D ． 3342≤<x 10、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 11、在△ABC 中，3=AB,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）33333ACB 0150 30米 20米 12、已知△ABC 的面积为23，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°13、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．142C ．15D ．15214、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ） A ． 450a 元 B ．225a 元 C ． 150a 元 D ． 300a 元15、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A ．7150分钟 B ．715分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟16、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ）A ． 5000米B ．50002 米C ．4000米D ．24000米17、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为（ ） A ．641B ．321 C ．161 D ．81 18、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．819、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．51<<xB ．135<<xC ．50<<xD ．513<<x20、在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形 二、填空题21、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 22、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝24、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是 25、已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 .26、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是 三、解答题27、在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
28、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。
求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。
29、在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-。
30、在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322=--x x 的一个根，求△ABC 周长的最小值。
31、在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+.(1)判断△ABC 的形状；(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。
解三角形单元测试 (D 卷)答案一、选择题二、填空题21、2:3:1 22、7 23、61236-,24612- 24、无解 25、1 26、120°三、解答题27、解：由正弦定理得BC BC A AB C 10sin sin == （1）当BC ＝20时，sinC ＝21；AB BC >Θ C A >∴ 30=∴C °（2）当BC ＝3320时， sinC ＝23； AB BC AB <<︒•45sin Θ C ∴ 有两解 ︒=∴60C 或120°（3）当BC ＝5时，sinC ＝2>1； C ∴不存在28、解：（1）()[]()21cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120°（2）由题设：⎩⎨⎧=+=322b a ab︒-+=•-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB()()102322222=-=-+=++=ab b a ab b a10=∴AB29、证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---=-222222222222sin sin 211sin 21sin 212cos 2cos b B a A b a b B a A b B a A 由正弦定理得：2222sin sin bBa A = 2222112cos 2cos ba b B a A -=-∴30、解：02322=--x x Θ 21,221-==∴x x 又C cos Θ是方程02322=--x x 的一个根 21cos -=∴C 由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•-+=2222212 则：()()7551010022+-=--=a a a c当5=a 时，c 最小且3575==c 此时3510+=++c b a∴△ABC 周长的最小值为3510+ 31、解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+ 可得12sin22=C0cos =∴C 即C ＝90° ∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径 ()c b a r -+=21()1sin sin 21-+=B A212214sin 22-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA ∴内切圆半径的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-212,0。