杭州电子科技大学学生期末试卷(A)

杭州电子科技大学学生期末试卷(A)
考试课程 数学分析
考试日期
05年1月20日成绩
课程号 教师号 任课教师姓名
考生姓名
学号
年级
专业
题号 一 二 三 四 五 六 七 得分
一选择题（每小题2分，共20分）
1 设，其中3
)]([)('x x f ϕ=)(x ϕ在),(+∞−∞上连续，可导且0)('>x ϕ，则必有（ ）。

(A) 在上单调增； (B) )(x f ),(+∞−∞)(x f y =在),(+∞−∞上是向上凹的；
(C) 在)(x f ),(+∞−∞上单调减； (D) )(x f y =在),(+∞−∞上是向上凸的。

2 设在上连续，在内可导。

以下构造的辅助函数在上不满足
Rolle 定理的条件的是（ ）。

)(x f ],[b a ),(b a )(x F ],[b a (A) x a b a f b f x f x F −−−
=)()()()(； (B) )()
()()()(a x a
b a f b f x f x F −−−−=；
(C) )
(1)(1)
(1)(b f b
a f a
x f x
x F =； (D) )()
()()()()(a x a
b a f b f a f x f x F −−−+−= 。

3设在)(x f 0x x =的邻域内四阶连续可导，且0)(''')('')(000===x f x f x f ，
，则有结论（ ）。

0)(0)4(>x f (A) 在处有极大值； (B) )(x f y =0x x =)(x f y =在0x x =处有极小值；
(C) 在处有拐点； (D) )(x f y =0x x =)(x f y =在0x x =处无极值也无拐点。

4 若
，则∫+=C x F dx x f )()(∫=+xdx b ax
f )(2
（ ）。

(A) ； (B)
C b ax F ++)(2
)(21
2b ax F a
+； (C)
C b ax F a
++)(21
2； (D) 。

C b ax aF ++)(225 ∫
（ ）。

=+dx x x x
)1(ln (A) ； (B) ； (C) ； (D) c x x
+c x x x
+ln )ln 2(c x x x
++c x x
x x
++)ln 1
(。

6 设连续，，则等于（ ）。

)(x f ∫
=
2
2)()(x dt t f x F )('x F (A) ； (B) ； (C) ； (D)
)(4
x f )(4
2
x f x )(24
x xf )(22
x xf 7 设函数有连续的导函数，则下列五个命题 （1） 如果，则)()('x g x f =∫
=dx x g x f )()(； （2） 如果
∫=)()(x g dx x f ，则)(')(x g x f =；
（3） ； ∫
=)()')((x f dx x f （4）
；
∫=)())'((x f dx x f （5）
∫
=])([)(dx x f d dx x f 中错误的一共有（ ）。

(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个。

8 若方程有正根，
011
10=+⋅⋅⋅++−−x a x
a x a n n n
0x 则对方程有下列结论（ ）。

0)1(12110=+⋅⋅⋅+−+−−−n n n a x n a nx
a (A) 方程没有正根； (B) 方程有大于的正根； 0x (C) 方程有小于的正根； (D) 以上均不正确。

0x 9 设1)
()
()(lim
2
−=−−→a x a f x f a
x ，则在点a x =处（ ）。

(A) 的导数存在，且)(x f 0)('≠a f ； (B) 取得极大值； )(x f (C) 取得极小值； (D) 的导数不存在。

)(x f )(x f 10 下列条件不能使函数在区间上应用Lagrange 中值定理的是（ ）。

)(x f ],[b a (A) 在上连续，在内可导； ],[b a ),(b a (B) 在上可导；
],[b a (C) 在内可导，且在点右连续，在点左连续； ),(b a a b (D) 在内有连续的导数。

),(b a
二 （每小题7分，共21分）求极限。

（1）]31
221121[
lim n
n n n +⋅⋅⋅++++∞
→ ； （2）)(lim x x x x −++∞→；
（3）x
e
x x
x −+→1
0)1(lim。

三 计算积分（每小题8分，共16分）。

（1）； （2）∫xdx xe x
sin dx x x ∫++1
0421
1。

四 （10分） 作函数x x y arctan =的图形。

五 （10分）将函数按照1)(−=x
x x f )1(−x 的正整数乘幂展开到含的项，并给
出两种形式的余项。

3
)1(−x 六 （10分）设函数满足：
)(x f （1）在闭区间上有定义且有2阶连续导函数；
],[30x x )()
2(x f （2）于区间内有3阶导函数；
),(30x x )()
3(x f
（3）有下面的等式成立)()()()(3210x f x f x f x f ===， )(3210x x x x <<<； 证明：在区间内最少有一点),(30x x ξ使得。

0)()
3(=ξf
七 （13分）（1）设函数在闭区间上连续，于闭区间上Riemann 可积，且当时)(x f ],[b a )(x g ],[d c d x c ≤≤b x g a ≤≤)(，证明函数于闭区间上Riemann 可积。

))((x g f ],[d c （2）若函数和在有限区间上Riemann 可积，则函数是否也必定Riemann 可积 ？ )(x f )(x g ))((x g f。