人教A版必修4 2.5平面向量应用举例练习

合集下载

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.5 平面向量应用举例习题(3)

2012人教A 版高中数学必修四2.5平面向量应用举例练习题（带解析）一、选择题1.一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用，两力大小都为5N ，则两个力的合力的大小为( ) A ．10NB ．0NC ．5ND ．N【答案】C【解析】根据向量加法的平行四边形法则，合力f 的大小为×5＝5(N)．2.河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10m/s B ．2m/s C ．4m/sD ．12m/s 【答案】B【解析】设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1.∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0， ∴|v 2|＝＝＝＝2.3.(2010·山东日照一中)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则的值为( ) A ． B ．－ C ．D ．－【答案】B【解析】因为|a |＝2，|b |＝3，又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos 〈a ，b 〉＝－6，可得cos 〈a ，b 〉＝－1.即a ，b 为共线向量且反向，又|a |＝2，|b |＝3，所以有3(x 1，y 1)＝－2(x 2，y 2)⇒x 1＝－ x 2，y 1＝－ y 2，所以＝＝－，从而选B.4.已知一物体在共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( ) A ．lg2 B ．lg5 C ．1 D ．2 【答案】D【解析】W ＝(F 1＋F 2)·S ＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D. 5.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足＋＋＝，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P 是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.6.点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( ) A ．(－2,4) B ．(－30,25) C ．(10，－5) D ．(5，－10)【答案】C【解析】5秒后点P的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．7.．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则() A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)【答案】C【解析】由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．8.已知||＝1，||＝，⊥，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n，则＝()A．B．3C．3D．【答案】B【解析】∵·＝m||2＋n·＝m，·＝m·＋n·||2＝3n，∴＝S＝1，∴＝3.二、填空题1.已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．【答案】λ>－且λ≠0【解析】∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.当a与a＋λb同向时，a＋λb＝ma(m>0)，即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．∴，得，∴λ>－且λ≠0.2.已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2，则·＝________.【答案】-2【解析】∵|AB|＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°.∴·＝||·||·cos120°＝－2.三、解答题1.已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.【答案】见解析【解析】以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.∴＝，＝.∵·＝－a·a＋·a＝0，∴AD⊥CE.2.△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC.【答案】见解析【解析】如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)设＝λ，则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又＝(－1,2)由题设⊥，∴·＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴＝，∴＝－＝，又＝(1,0)，∴cos∠ADB＝＝，cos∠FDC＝＝，又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.3.(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．【答案】（1）两条对角线长分别为4和2.（2）-【解析】(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4和2.(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.4.一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？【答案】船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时【解析】如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°.∴||＝＝2，sin∠EAD＝，∴∠EAD＝30°，用时0.5h.答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．5.在▱ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．．【答案】见解析【解析】＝－.因为＝，＝＝ (＋)，所以＝＋－，＝－.由于＝－＝－，可知＝3，即∥.又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线6.如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.【答案】见解析【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)．设||＝λ(λ>0)，则F，P，E，所以＝，＝，因为||2＝λ2－aλ＋a2，||2＝λ2－aλ＋a2，所以||＝||，即PA＝EF.7.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE.【答案】见解析【解析】∵AB＝AC，且D是BC的中点，∴⊥，∴·＝0.又⊥，∴·＝0.∵＝，F是DE的中点，∴＝－.∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＋·＝(＋)·＋·＋·＝·＋·＋·＋·＝·－·－·＝·－·＝·(－)＝·＝0.∴⊥，∴AF⊥BE.。

数学人教A版必修4教材习题点拨：2.5平面向量应用举例

教材习题点拨习题2.5A 组1．解：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则RA →＝(1－x 1，－y 1)，AP →＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得(1－x 1，－y 1)＝2(x －1，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x ＋3，y 1＝－2y . 代入直线l 的方程y ＝2x －6，得点P 的轨迹方程为y ＝2x .2．解：(1)证明：在△ABC 中，AE →＝12a ＋12b . 易知AO →＝13a ＋13b ，∴AE →＝32AO →. ∴AE →与AO →共线．又∵AE →与AO →有共同起点，∴A ，O ，E 三点在同一直线上．由AO →＝13a ＋13b ，OE →＝13AE → ＝13×12(a ＋b )＝16a ＋16b ， ∴AO →＝2OE →.∴AO OE＝2. 同理可证，BO OF ＝CO OD＝2，即AO OE ＝BO OF ＝CO OD＝2. (2)AO →＝13a ＋13b . 3．解：(1)s ＝AB →＝(－2，7)；(2)135. 4．解：(1)F 3的大小为3＋1；(2)F 3与F 1的夹角为150°.B 组1．解：铅球上升的最大高度为|v 0|2sin 2θ2g，最大投掷距离为2|v 0|2sin θcos θg. 2．解：船行驶到对岸所需的时间是由船行驶的实际距离与合速度决定的，也是由河的宽度d 与船的速度v 1在垂直对岸方向上的分速度决定的．(1)当船逆流行驶，与水流成钝角α1时，如图(1)，船到对岸所需时间t 1＝500|v 1sin α1|＝50sin α1.(2)当船顺流行驶，与水流成锐角α2时，如图(2)，船到对岸所需时间t 2＝500|v 1sin α2|＝50sin α2.(3)当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，如图(3)，船到对岸所需时间t 3＝500|v 1sin α3|＝50010×1＝50. 当α1与α2分别为锐角和钝角时，t 1＝50sin α1>50，t 2＝50sin α2>50. 综上所述，当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短．3．解：(1)设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y －2)，AB →＝(2，－22)．将AB →绕点A 沿顺时针方向旋转π4到AP →，相当于沿逆时针方向旋转7π4到AP →，于是AP →＝⎝⎛⎭⎫2cos 7π4＋22sin 7π4，2sin 7π4－22cos 7π4 ＝(－1，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－1，y －2＝－3. 解得x ＝0，y ＝－1，即点P 的坐标为(0，－1)．(2)设曲线C 上任一点P 的坐标为(x ，y )，OP →绕O 逆时针旋转π4后，点P 的坐标为(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧x ′＝x cos π4－y sin π4，y ′＝x sin π4＋y cos π4，即⎩⎨⎧x ′＝22（x －y ），y ′＝22（x ＋y ）.又因为x ′2－y ′2＝3，所以12(x －y )2－12(x ＋y )2＝3. 化简得y ＝－32x.。

人教A版高中数学必修四课后训练{2.5平面向量应用举例}.docx

课后训练1．若向量1OF ＝(3,3)，2OF ＝(－3,2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|＝( )A ．5B ．25C ．22D ．52．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为0°时，合力大小为202N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．102NC ．202ND ．103N3．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )A ．(8,0)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)4．已知非零向量a ，b 满足a ⊥b ，则函数f (x )＝(a x ＋b )2是( )A ．既是奇函数又是偶函数B ．非奇非偶函数C ．奇函数D ．偶函数5．设O 为△ABC 内部的一点，且OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A ．32B ．53C ．2D ．3 6．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BO ＋OC )·(OC －OA )＝0，则△ABC 一定是________三角形．7．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA ·OB ＝__________．8．飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度是__________km/h ．9．如图所示，已知四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线．求证：AC ⊥BD ．F．求证：AF＝AE．参考答案1答案：D解析：|F1＋F2|＝|(3,3)＋(－3,2)|＝|(0,5)|＝5．2答案：B3答案：B解析：由已知可得F＝(8,0)，设终点坐标为(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8,0)，∴18,10,xy-=⎧⎨-=⎩∴9,1.xy=⎧⎨=⎩∴终点坐标为(9,1)．4答案：D解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝(a x＋b)2＝|a|2x2＋|b|2，∴f(x)为偶函数．5答案：C解析：设AC的中点为D，BC的中点为E，则(OA＋OC)＋(2OB＋2OC)＝2OD＋4OE＝0，∴OD＝－2OE，即O，D，E三点共线．∴S△OCD＝2S△OCE，∴S△AOC＝2S△BOC．6答案：直角解析：由已知得BC·AC＝0，即BC⊥AC，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．7答案：12-解析：如图，∵AB=3，取D为AB的中点，又OA=1，∴∠AOD=π3．∴∠AOB=2π3．∴OA·OB=1×1×2πcos3=12-．8答案：1503解析：由速度的分解可知水平方向的分速度为300×cos 30°＝1503km/h．9答案：证明：方法一：因为AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，所以AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0，所以AC⊥BD，即AC⊥BD．方法二：如图，以B为原点，以BC所在直线为x轴，建立直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2．因为AC＝BC－BA＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，所以AC·BD＝c2－a2－b2＝0，所以AC⊥BD，即AC⊥BD．20答案：证明：如图所示．建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A (－1,1)，B (0,1)，设E (x ，y )，则BE ＝(x ，y －1)，AC ＝(1，－1)．又AC ∥BE ，∴x ·(－1)－1×(y －1)＝0，∴x ＋y －1＝0．又|CE |＝|AC |，∴x 2＋y 2－2＝0．由2220,10,x y x y ⎧+--⎨+-=⎩ 得13,2132x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或13,2132x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩(舍去)．即E 1313,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭．又设F (x ′，1)，由CF ＝(x ′，1)和CE ＝1313,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭共线得1313'022x -+-=，解得x ′＝23--，∴F (23--，1)，∴AF ＝(13--，0)，AE ＝3313,22⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，∴|AE |＝22331322⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1+3＝|AF |，∴AF ＝AE ．。

【金版学案】高中数学人教A版必修四练习：2.5平面向量应用举例(含答案解析)

第二章平面向量2.5平面向量应用举例A 级基础稳固一、选择题1．已知三个力F1＝ (－ 2，－ 1)，F2＝ (－ 3，2)，F3＝ (4，－ 3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持均衡，现加上一个力F4，则 F4等于 ()A． (－ 1，－ 2) B ． (1，－ 2)C． ( －1， 2)D． (1， 2)分析：为使物体均衡，即合外力为零，即 4 个向量相加等于零向量，所以F4＝ (0－ ( －2)－ ( －3)－ 4， 0－ (－1)－2－ (－ 3))＝ (1， 2)．答案： D→→→→2．平面内四边形 ABCD 和点 O，若 OA ＝ a，OB＝ b，OC＝ c，OD＝ d，且 a＋ c＝ b＋ d，则四边形 ABCD 为 ()A．菱形 B ．梯形C．矩形D．平行四边形分析：由题意知a－ b＝ d－ c，→→所以 BA ＝ CD，所以四边形ABCD 为平行四边形．答案： D3．如下图，一力作用在小车上，此中力 F 的大小为10 牛，方向与水平面成 60°角，当小车向前运动10 米，则力 F 做的功为 ()A． 100 焦耳 B ．50 焦耳C． 50 3焦耳D． 200 焦耳分析：设小车位移为s，则 |s|＝10 米W F＝ F·s＝ |F||s| cos·60°＝10× 10×12＝ 50 (焦耳 )．答案： B4．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的协力大小为10 N，协力与F1的夹角为60°，那么 F 1 的大小为 ()A ．53NB ．5 NC ．10 ND ．5 2N分析：依据题意作出表示图，如下图，有|F 1|＝1 |F| cos · 60°＝ 10× ＝ 5(N) ．2答案： B→ → → →5．在 △ABC 所在的平面内有一点 P ，知足 PA ＋PB ＋ PC ＝ AB ，则△ PBC 与 △ABC 的面积之比是 ()1B. 1C. 2D. 3A. 32 34→ → → →分析：由 PA ＋PB ＋PC ＝AB ，→ → → →得 PA ＋ PB ＋ BA ＋ PC ＝ 0，→ →即 PC ＝ 2AP ，所以点 P 是 CA 边上的三平分点，如下图．S △ PBC PC 2 故 S △ABC ＝ AC ＝ 3. 答案： C二、填空题6．一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实质航行方向与水流的方向成 30°角，则水流速度为 ________km/h.分析：如下图，船速 | υ，1|＝ 5(km/h)水速为 υ，实质速度 | υ|＝10(km/h) ，所以 |υ100－ 25＝ 75＝ 5 3(km/h) ． 22|＝答案：5 3→ → → →7．在 △ ABC 中，已知 |AB |＝ |AC|＝ 4，且 AB ·AC ＝ 8，则这个三角形的形状是 ________． → →分析：因为 AB ·AC ＝ 4×4·cos A ＝ 8，π所以 cos A ＝1，所以∠ A ＝，23所以 △ABC 是正三角形．答案：正三角形8．已知力 F 1，F 2，F 3 知足 |F 1|＝ |F 2|＝ |F 3|＝ 1，且 F 1＋ F 2 ＋ F 3＝ 0，则 |F 1－ F 2|＝ ________．分析：由 F 1＋ F 2＋ F 3＝ 0，可得 F 1＋ F 2＝－ F 3，所以 (－ F 3 ) 2＝ (F 1＋ F 2) 2，化简可得： F 32＝F 12＋ F 22＋ 2F 1·F 2，因为 |F 1 |＝ |F 2|＝ |F 3|＝ 1，所以 2F 1 ·F 2 ＝－ 1，所以 |F 1－ F 2|＝（ F 1－ F 2） 2＝ F 12－ 2F 1· F 2＋ F 22＝1－（－ 1）＋ 1＝ 3.答案： 3三、解答题9．已知 △ ABC 是直角三角形， CA ＝ CB ， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上的一点，且AE＝ 2EB. 求证： AD ⊥ CE.证明：以 C 为原点， CA 所在直线为x 轴，成立平面直角坐标系．设 AC ＝ a ，则 A(a ， 0)， B(0 ，a)，a12D 0， 2 ，C(0，0)，E3a ， 3a .→因为 AD ＝－ a ， a，2 → 1 2CE ＝ .a ， a3 3→→1 a 2所以 AD · CE ＝－ a ··3a ＝ 0，3a ＋2→ →所以 AD ⊥ CE ，即 AD ⊥ CE.10．已知力 F 与水平方向的夹角为30° (斜向上 )，大小为 50 N ，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ＝ 0.02 的水平平面上运动了 20 m ．力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少 (取重力加快度大小为10 m/s 2)?解：如下图，设木块的位移为 s ，则： F ·s ＝ |F| |s|cos · 30°＝50× 20× 3＝ 500 3(J)．2将力 F 分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力 f 2.1则|f1|＝ |F|sin 30°＝ 50×＝ 25(N) ．2所以 |f|＝μ(|G|－ |f1|)＝ 0.02×(8 ×10－ 25)＝1.1(N) ．所以 f ·s＝ |f| |s|cos· 180°＝ 1.1 ×20×(－1)＝－ 22(J)．故力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为 500 3J和－ 22 J.B 级能力提高→→→→1． O 是平面 ABC 内的必定点， P 是平面 ABC 内的一动点，若 (PB －PC) ·(OB ＋ OC)＝→ → →→(PC－ PA) ·(OA ＋ OC)＝ 0，则 O 为△ ABC 的 ()A．心里 B ．外心C．重心D．垂心→ → →→分析：因为 (PB－ PC) ·(OB ＋ OC)＝ 0，→→→→则 (OB － OC) ·(OB ＋ OC)＝ 0，→→所以 OB2－OC2＝0，→→所以 |OB|＝ |OC|.→→同理可得 |OA |＝ |OC|，→→→即 |OA|＝ |OB |＝ |OC|.所以 O 为△ ABC 的外心．答案： B2．有一两岸平行的河流，水速大小为1，小船的速度大小为2，为使所走行程最短，小船应朝 ________________的方向行驶．分析：如下图，为使小船所走行程最短，那么v 水＋ v 船应与河岸垂直．→又 |v 水 |＝ |AB |＝ 1，→|v 船|＝|AC|＝2，∠ ADC ＝ 90°，所以∠CAD＝ 45°.答案：与水速成135°角3.如下图，ABCD是正方形，M 是BC的中点，将正方形折起使点 A 与M 重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△ AEM的面积．则N 解：如下图，成立直角坐标系，明显是 AM 的中点，又正方形边长为8，所以 M(8 ， 4)， N(4 ，2)．EF 是AM的中垂线，设AM与 EF交于点N，→→设点 E(e， 0)，则 AM ＝ (8， 4)， AN ＝→→(4， 2)， AE ＝ (e， 0)， EN＝ (4－ e， 2)，→→→→由AM ⊥EN得AM ·EN＝0，→即 (8， 4) ·(4－ e， 2)＝ 0，解得 e＝5，即 |AE |＝ 5.1→ →1× 5× 4＝ 10.所以 S△AEM＝|AE ||BM |＝22。

数学人教a版高一必修4_2.5_平面向量应用举例_作业

[A.基础达标]1．一个人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度的大小为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：选C.根据速度的合成可知．2．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形解析：选D.由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．故选D.3．平行四边形ABCD 的三个顶点分别是A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则顶点D 的坐标是( ) A ．(12,5) B ．(－2,9) C ．(3,7) D ．(－4，－1)解析：选D.设D (x ，y )，由AB →＝DC →，知(1,5)＝(－3－x,4－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧－3－x ＝1，4－y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1.故选D.4．在平面直角坐标系中，O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)解析：选A.将向量OP →＝(6,8)，按逆时针旋转3π2后，得OM →＝(8，－6)，OQ →＝－12(OP →＋OM →)＝(－72，－2)，所以点Q 的坐标是(－72，－2)．5．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52C ．0 D.532解析：选A.由已知得△ABC 为正三角形，向量AC →与CB →的夹角为120°.所以AC →·CB →＝5·5cos 120°＝－52. 6. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳．解析：设小车位移为s ，则|s |＝10米， W F ＝F·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．答案：507．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是________．解析：∵AB →·AC →＝4×4·cos A ＝8，∴cos A ＝12，∴∠A ＝π3，∴△ABC 是正三角形．答案：正三角形8．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m ，若纤绳与行进的方向夹角为π6，此人的拉力的大小为50 N ，则纤夫对船所做的功为________．解析：由题意可知，纤夫拉力|F |＝50 N ，位移|s |＝60 m ，拉力F 与位移s 的夹角为π6，所以纤夫对船所做的功W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos π6＝1 5003(J)．答案：1 500 3 J9．如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，求证：CQ →＝2CP →.证明：∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →＝0， ∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →＝0.又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线，故可设AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →，∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →＝0，∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →＝0. 而BQ →，QP →为不共线向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1，∴CP →＝－QP →＝PQ →.故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →. 10．已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ．力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(取重力加速度大小为10 m/s 2)解：如图所示，设木块的位移为s ，则：F·s ＝|F |·|s |cos 30°＝50×20×32＝5003(J)．将力F 分解成竖直向上的分力f 1和水平方向的分力f 2.则|f 1|＝|F |sin 30°＝50×12＝25(N)．所以|f |＝μ(|G |－|f 1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)．因此f·s ＝|f |·|s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．故力F 和摩擦力f 所做的功分别为500 3 J 和－22 J.[B.能力提升]1．水平面上的物体受到力F 1，F 2的作用，F 1水平向右，F 2与水平向右方向的夹角为θ，物体在运动过程中，力F 1与F 2的合力所做的功为W ，若物体一直沿水平地面运动，则力F 2对物体做功的大小为( )A.|F 2||F 1|＋|F 2|WB.|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|W C.|F 2||F 1|cos θ＋|F 2|W D.|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|cos θW 解析：选D.设物体的位移是s ，根据题意有(|F 1|＋|F 2|cos θ)|s |＝W ，即|s |＝W |F 1|＋|F 2|cos θ，所以力F 2对物体做功的大小为|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|cos θW .2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得(BC →＋BA →)·AC →－AC →2＝0，所以AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，所以AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，即AC →·(BC →＋CA →＋BA →)＝0，所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥BA →，所以∠A ＝90°，所以△ABC 是直角三角形．3．已知P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP →＝15AC →＋25AB →，则△APB 的面积与△APC 的面积之比为________．解析：5AP →＝AC →＋2AB →， 2AP →－2AB →＝AC →－AP →－2AP →，－2(P A →＋PB →)＝PC →，如图所示，以P A ，PB 为邻边作▱P AEB ，则C ，P ，E 三点共线，连接PE 交AB 于点O ，则PC →＝2EP →＝4OP →，∴S △APB S △APC ＝2S △APO S △APC＝2|OP ||PC |＝12.答案：1∶2 4．有一两岸平行的河流，水速大小为1，小船的速度大小为2，为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶．解析：如图，为使小船所走路程最短，那么v 水＋v 船应与河岸垂直．又|v 水|＝|AB →|＝1，|v 船|＝|AC →|＝2，∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＝45°.答案：与水速成135°角5. 如图，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE ∥BC ；(2)D ，M ，B 三点共线．证明：以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系．令|AD →|＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形． ∴可求得各点坐标分别为：E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)，A (－1,0)．(1)∵ED →＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， BC →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ∴ED →＝BC →，∴ED →∥BC →，即DE ∥BC .(2)连接MD ，MB ，∵M 为EC 的中点，∴M (0，12)，∴MD →＝(－1,1)－(0，12)＝(－1，12)，MB →＝(1,0)－(0，12)＝(1，－12)．∵MD →＝－MB →，∴MD →∥MB →. 又MD 与MB 有公共点M ， ∴D ，M ，B 三点共线．6．(选做题)如图，在直角三角形ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ →与BC→的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大，并求出这个最大值．解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝c ，AC ＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )，且PQ ＝2a ，BC ＝a .设点P (x ，y )，则Q (－x ，－y )，所以BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )，所以BP →·CQ →＝(x －c )(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by .所以cos θ＝PQ →·BC →|PQ →||BC →|＝cx －bya 2，所以cx －by ＝a 2cos θ，所以BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ，故当cos θ＝1，即θ＝0(BP →与CQ →的方向相同)时， BP →·CQ →最大，其最大值为0.。

高中数学必修四 2.5平面向量应用举例课时作业新人教A版必修4

高中数学 2.5平面向量应用举例课时作业基础巩固一、选择题1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1→、F 2→，则|F 1→＋F 2→|为( ) A ．(5,0) B ．(－5,0) C ． 5 D ．－ 5[答案] C[解析] ∵OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)， ∴|F 1→＋F 2→|＝－2＋－2＝5，故选C ．2．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则( ) A ．BD →＝CE → B ．BD →与CE →共线 C ．BE →＝BC → D ．DE →与BC →共线[答案] D[解析] ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，即DE →与BC →共线．3．已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．y 2＝2x D ．y 2＝－2x[答案] D[解析] PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(－x ，－y ) 则PA →·PB →＝(－2－x )(－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝－2x .4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．32 D ．－32[答案] A[解析] 由题意，得BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)． ∵∠C ＝90°，∴AC →⊥BC →.∴AC →·BC →＝0. ∴2(2－k )＋3×2＝0.∴k ＝5.5．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点 [答案] D[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0. ∴OB →⊥CA →.同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →.∴OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的三条高线的交点．6．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．102NC ．202ND ．402N[答案] B[解析] 如图，以F 1、F 2为邻边作平行四边形，F 为这两个力的合力．由题意，易知|F |＝2|F 1|， |F |＝20 N ，∴|F 1|＝|F 2|＝102N.当它们的夹角为120°时，以F 1、F 2为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，此时|F 合|＝|F 1|＝102N. 二、填空题7．力F →＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s →＝(3,4)，则力F →对质点P 做功的是________．[答案] －11[解析] ∵W ＝F →·s →＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F →对质点P 做的功是－11. 8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是____________．[答案] [π6，56π][解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈[π6，56π]．三、解答题9．在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，用向量法证明CD ＝12AB ．[证明] 如图，设CA →＝a ，CB →＝b ，则a 与b 的夹角为90°， ∴a ·b ＝0.又AB →＝b －a ，CD →＝12(a ＋b )，∴|CD →|＝12|a ＋b |＝12a ＋b2＝12|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝12|a |2＋|b |2， |AB →|＝|b －a |＝b －a2＝|b |2－2a ·b ＋|a |2＝|a |2＋|b |2. ∴|CD →|＝12|AB →|.∴CD ＝12AB ．10．已知在静水中船速为5 m/s ，且知船速大于水速，河宽为20 m ，船从A 点垂直到达对岸的B 点用的时间为5 s ，试用向量法求水流的速度大小．[解析] 设水流的速度为v 水，船在静水中的速度为v 0，船的实际行驶速度|v |＝205＝4(m/s)，则v 水＋v 0＝v ，v 0＝v －v 水，且v 与v 水垂直， v ·v 水＝0，∴25＝|v －v 水|2＝|v |2＋|v 水|2＝|v 水|2＋16 ∴|v 水|＝3，即水流速度为3m/s.能力提升一、选择题1．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 由(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，可知CB →·(AB →＋AC →)＝0，设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，故CB →·AD →＝0，所以CB →⊥AD →.又D 为BC 中点，故△ABC 为等腰三角形．2．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．10[答案] C[解析] 本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．由题意知AC ，BD 为四边形对角线，而AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0 ∴AC ⊥BD ．∴S 四边形ABCD ＝12×|AC →|×|BD →|＝12×12＋22×－2＋22＝12×5×20＝5. 3．已知点O 、N 、P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的( )A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心[答案] C[解析] 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，已知点O 为△ABC 的外心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，知点N 为△ABC 的重心；由PA →·PB →＝PB →·PC →，得(PA →－PC →)·PB →＝0，即CA →·PB →＝0，故CA →⊥PB →.同理，AP ⊥BC ，故P 为△ABC 的垂心，选C ．4．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10[答案] D[解析] 将△ABC 各边及PA ，PB ，PC 均用向量表示，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝PA →2＋PB →2PC→2＝PC →＋CA→2＋PC →＋CB →2PC→2＝2|PC →|2＋2PC→CA →＋CB →＋AB →2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10. 二、填空题5．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走303m 到达点B ，则此人的位移的大小是________m ，方向是东偏北________．[答案] 60 60°[解析] 如图所示，此人的位移是OB →＝OA →＋AB →，且OA →⊥AB →，则|OB →|＝|OA ―→|2＋|AB ―→|2＝60(m)，tan ∠BOA ＝|AB →||OA →|＝ 3.∴∠BOA ＝60°.6．(2015·广东韶关模拟)作用于同一点的两个力F 1、F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为____________．[答案]19[解析] |F 1＋F 2|2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝32＋2×3×5×cos 2π3＋52＝19，所以|F 1＋F 2|＝19.三、解答题7．如图所示，已知▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ，则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC ―→2＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7. ∴AC ＝13，DB ＝7.8．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．[解析] 如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)，于是AD →＝(－2,1)，AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0，即(x ，y )·(－2,1)＝0， ∴－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x,2－y )，因此2(－x )－(－2)(2－y )＝0，即x ＋y ＝2，②由①、②式解得x ＝23，y ＝43，∴F (23，43)，DF →＝(23，13)，DC →＝(0,1)，DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ，∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55，又cos ∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55，∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC ．。

数学必修IV人教A版2-5平面向量应用举例作业

所以 ·( ＋＋ )＝0，
即 ·( ＋＋ )＝0，
所以2 · ＝0，
所以 ⊥ ，所以∠A＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
3．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
解析：5 ＝＋2 ，
2 －2 ＝－－2 ，
－2( ＋ )＝，
解得故选D.
4．在平面直角坐标系中，O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针旋转后得向量，则点Q的坐标是()
A．(－7 ，－ )B．(－7 ， )
C．(－4 ，－2)，按逆时针旋转后，得＝(8，－6)，＝－ ( ＋ )＝(－7 ，－ )，所以点Q的坐标是(－7 ，－ )．
如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则＝2 ＝4 ，
∴ ＝＝＝ .
答案：1∶2
4．有一两岸平行的河流，水速大小为1，小船的速度大小为，为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶．
解析：如图，为使小船所走路程最短，那么v水＋v船应与河岸垂直．
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，
WF＝F·s＝|F||s|·cos60°
＝10×10× ＝50(焦耳)．
答案：50
7．在△ABC中，已知| |＝| |＝4，且 · ＝8，则这个三角形的形状是________．
解析：∵ · ＝4×4·cosA＝8，
∴cosA＝，∴∠A＝，
∴△ABC是正三角形．
答案：正三角形
8．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60m，若纤绳与行进的方向夹角为，此人的拉力的大小为50N，则纤夫对船所做的功为________．

数学人教A版必修4自主训练：2.5平面向量应用举例含解析精品

自主广场我夯基我达标1.已知A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),则△ABC 的形状是（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形思路解析：∵A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),∴AB =(1,1),BC=(-4,2),AC =(-3,3). ∵·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥,即∠A=90°.∴△ABC 为直角三角形. 答案：A2.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,则向量AB 的坐标为_____________.思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解. 设=(x,y),则=(x-4,y-2).由已知⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-+-=+=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⊥3,1)2()4(0)2()4(||||2222y x y x y x y y x x AB OB ABOB 或⎩⎨⎧-==.1,3y x 故B(1,3)或B(3,-1).∴ =(-3,1)或(-1,-3).答案：(-3,1)或(-1,-3)3.已知两恒力F 1(3,4)、F 1(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求： (1)F 1、F 2分别对质点所做的功； (2)F 1、F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：设物体在力F 作用下位移为S ,则所做的功为W=F ·S . 解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). (1)W 1=F 1·AB =(3,4)·(-13,-15)=-99(焦耳). W 2=F 2·AB =(6,-5)(-13,-15)=-3（焦耳）.（2）W=F ·=(F 1+F 2)·=［(3,4)+(6,-5)］·(-13,-15)=(9,-1)·(-13.-15)=-102（焦耳）. 4.如图2-5-9，在△ABC 中,D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,G 是它的重心,已知D 点的坐标是(1,2),E 点坐标是(3,5),F 点坐标是(2,7),求A 、B 、C 、G 的坐标.图2-5-9思路分析：根据D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,得=.从而求出A 点坐标,B 、C 、G 点的坐标求法与此类似.解：设A(x 1,y 1),由已知得EF 平行且等于AD. ∴DA =EF ,∴(x 1-1,y 1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2),∴⎩⎨⎧=--=-,22,1111y x 解得⎩⎨⎧==.4,011y x∴A(0,4).同理，可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE 过点G. 设G(x 2,y 2),由=2,得(x 2,y 2-4)=2(3-x 2,5-y 2).∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=--=.314,2,2104,26222222y x y y x x ∴G(2,314). 5.设a 、b 、c 是两两不共线的三个向量.(1)如果a +b +c =0,求证以a 、b 、c 的模为边,必构成一个三角形； (2)如果向量a 、b 、c 能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系? 思路分析：运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答. 解：(1)如下图,作=a ,=b ,=c .按向量加法的多边形法则有BD =BC +CA +AD =a +b +c =0.∴B 与D 重合,故向量a 、b 、c 能构成一个三角形.(2)设向量a 、b 、c 能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则,有AB +BC =AC ,即AB +BC +CA =0. ∵a =-,b =-,c =-，∴a 、b 、c 有下列四种关系之一即可：①a +b -c =0;②a +b +c =0;③a -b -c =0;④a -b +c =0.6.如图2-5-10所示，△ABC 三边长为a 、b 、c ,以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径,试判断P 、Q 在什么位置时, BP ·有最大值?图2-5-10思路分析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积a ·b ≤|a ||b |求解.解：∵AB +BP =AP ,AC +CQ =AQ =-AP ,∴BP ·=(AP -AB )·(-AP -)=-2AP +AB ·AP +AB ·-AP ·-r 2+AB ·+AP ·(AB -AC )=AB ·AC +AP ·CB -r 2 =cbcos ∠BCA+AP ·CB -r 2.∵r 、a 、b 、c,∠BAC 均为定值,故当且仅当AP ·CB 有最大值时，BP ·有最大值. 而当与同向共线时，其夹角为0°，有·=ra.∴当∥,且与反向时,·有最大值bccos ∠BAC+ar-r 2.我综合我发展7.在四边形ABCD 中,·=0,且=,则四边形ABCD 是（） A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形思路解析：由·=0,得AB ⊥BC,又=,∴AB 与DC 平行且相等.从而四边形ABCD 是矩形. 答案：C8.平面上有两个向量e 1=(1,0),e 2=(0,1),今有动点P 从P 0(-1,2)开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|e 1+e 2|.另一点Q 从Q 0(-2,1)出发，沿着与向量3e 1+2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e 1+2e 2|.设P 、Q 在t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当PQ ⊥P 0Q 0时，t=____________.思路解析：应用垂直的条件列方程即可.∵P 0(-1,2),Q 0(-2,1), ∴00Q P =(-1,-3).又∵e 1+e 2=(1,1),∴|e 1+e 2|=2.∵3e 1+2e 2=(3,2), ∴|3e 1+2e 2|=13.∴当t 时刻时,点P 的位置为(-1+t,2+t),点Q 的位置为(-2+3t,-1+2t).∴=(-1+2t,-3+t),∵PQ ⊥P 0Q 0, ∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.∴t=2. 答案：29.如图2-5-11,已知A 、B 、C 是不共线的三点,O 是△ABC 内的一点,若++=0,求证：O 是△ABC 的重心.图2-5-11思路分析：以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-,从而得||=2||，即O 为△ABC 的重心. 证明：由于OA +OB +OC =0, ∴=-（+）,即+是的相反向量,以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD 中,设与交于E 点,则=，=,∴AE 是△ABC 的中线,且|OA |=2|OE |,故O 是△ABC 的重心.10.在△ABC 内求一点P,使2AP +22CP BP +的值最小.思路分析：根据已知条件,可设CA =a , CB =b ,再把2AP +22CP BP +表示成关于向量CP=x 的函数,进而求出该函数的最小值.解：如下图,设CA =a , CB =b ,CP=x ，则AP =x -a , BP =x -b ,∴2AP +22CP BP +=(x-a )2f(x-b )2+x 2=3x 2-2(a +b )x+b 2=3［x-31 (a +b )］2+a 2+b 2-31(a +b )2. 根据向量运算的意义知,当x=31(a +b )时,2AP +22CP BP +有最小值.设M 为AB 的中点,易知a +b =2CM . 当x=31(a +b )时,=32,也即P 为△ABC 的重心时, 222CP BP AP ++的值最小,为a 2+b 2-31(a +b )2.11.如图2-5-12(1),有两条相交成60°的直线xx 1、yy 1,交点为O.甲,乙分别在Ox 、Oy 1上,起初甲位于离O 点3 km 的A 处,乙位于离O 点1 km 的B 处.后来两个人同时用每小时4 km 的速度,甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动.图2-5-12(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?［如图2-5-12(2),在三角形中有如下结论：b 2=a 2+c 2-2accosB ］. 思路分析：以甲、乙两人t 时刻的位置和O 三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解：(1)起初两人分别在A 、B 两点,则|OA |=3,|OB |=1. ∴|AB |=||2+||2-2||||cos60°=9+1-2×3×1×21=7. ∴|AB |=7km,即起初两人相距7公里.(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q 则|AP |=4t,|BQ |=4t, 又∵甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动. ∴当0≤t≤43时, |PQ |2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t 2-24t+7;当t ＞43时,||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t 2-24t+7(t ＞0). 综上||2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4,t ∈［0,+∞),∴当t=41时,即在第15分钟末时,PQ 最短,两人最近,最近距离为2 km.12.在静水中划船的速度是每分钟40米,水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O 处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,试问小船的行进方向应指向哪里?思路分析：速度是向量,根据本题的已知和所求,可以用向量加法运算予以解决.解：用向量OA 的长度和方向分别表示水流的速度和方向,用OB 表示船行进的方向,它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB,连结OC.依题意OC ⊥OA,BC=OA=20,OB=40, ∴∠BOC=30°,船应沿上游与河岸夹角为30°的方向行进.13.不顾国际社会的强烈反对,美国于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v |=10nmk/h.令v =λ1e 1+λ2e 2,基底e 1、e 2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30°,e 1方向正东,e 2方向为北偏东60°,试求λ1、λ2的值. 思路分析：本题实质就是利用平面内的一组基底表示向量v. 解：建立如图所示的直角坐标系,则e 1=(1,0),e 2=(23,21),v =(5n,35n).∵e 1、e 2不共线, ∴v=λ1e 1+λ2e 2=λ1(1,0)+λ2(23,21). (5n,35n)=(λ1+23λ2,21λ2). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.352,523221n n λλλ ∴λ1=-10n,λ2=103n.。

人教A版必修四 2.5平面向量应用举例作业

§2.5 平面向量应用举例基础过关1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N解析 |F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102，当θ＝120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ．答案 B2．已知点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 AB →＝(21,7)，AC →＝(1，－3)，∴AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，则∠A ＝90°，所以△ABC 是直角三角形．答案 C3．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0． ∴OB →·CA →＝0．∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为三条高的交点．答案 D4．飞机以300 km/h 的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h ．解析如图所示，|v 1|＝|v |cos 30°＝300×32＝1503(km/h)．答案 150 35．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________．解析 ∵|OA →|＝1，|OB →|＝5，设OC 与AB 交于D (x ，y )点，则AD ∶BD ＝1∶5.即D 分有向线段AB 所成的比为15.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3×151＋15＝－12，y ＝1＋4×151＋15＝32，∴OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.又∵|OC →|＝2，∴|OC →|＝2OD →|OD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105 6．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J ．(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J ．7．已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF ．(2)设点P 坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)， FC →＝(2,1)，∵FP →∥FC →，∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2，同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为(65，85)．∴|AP →|＝ 652＋852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ．能力提升8．如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，点E 为AB 的中点，且DE →⊥AC →，则|DE →|＝( )A ．52B ．2 3C ．3D ．2 2解析建立如图所示的直角坐标系．设|AD →|＝a (a >0)，则A (0,0)，C (4，a )，D (0，a )，E (2,0)，所以DE →＝(2，－a )，AC →＝(4，a )．因为DE →⊥AC →，所以DE →·AC →＝0，所以2×4＋(－a )·a ＝0，即a 2＝8．所以a ＝22，所以DE →＝(2，－22)，所以|DE →|＝22＋－222＝23．答案 B9．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P 的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)解析设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5ν．即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5.答案 C10．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．。

高中数学 2.5 平面向量应用举例习题2 新人教A版必修4

2.5平面向量应用举例1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s ＞|a |B ．s ＜|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比大小解析：s ＝200＋300＝500(km)，|a |＝2002＋3002＝10013(km)，∴s ＞|a |.答案：A2．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70解析：F 做的功为F ·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×12＝70. 答案：D3．在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|得|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，即AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →.∴∠A ＝90°，即△ABC 为直角三角形．答案：B4．一条河宽40 km ，一船从A 出发垂直到达正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________．解析：合速度v 合＝202－122＝16(km/h)，∴t ＝4016＝2.5 h. 答案：2.5 h5．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.证明：连接OP ，设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且PA →＝OA →－OP →＝a－b ，PB →＝OB →－OP →＝－a －b ，∴PA →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0.∴PA →⊥PB →，即∠APB ＝90°.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2.5平面向量应用举例(数学人教A版必修4)

2.5 平面向量应用举例〔数学人教A版必修4〕建议用时实际用时总分值实际得分45分钟100分一、选择题〔每题5分，共20分〕△ABC所在平面内的一点，| OA|2+ | BC|2=|OB|2+| CA|2=| OC|2+| AB|2，那么O为△ABC的〔〕2. O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，假设(PB-PC)·(OB+OC)=(PC-PA)·(OA+OC)=0，那么O为△ABC的〔〕△ABC中，OA·OB=OB·OC=OC·OA，那么O为△ABC的〔〕△ABC内一点，且满足(OA+OB)⊥(OA-OB),(OB+OC)⊥(OB-OC),那么O为△ABC的〔〕二、填空题〔每题5分，共10分〕5. 有以下四个关系式：①|a·b|=|a||b|;②|a·b|≤|a||b|;③|a·b|≥|a||b|;④|a·b|≠|a||b|.其中正确的关系式是 .6. 设OA=(3，1)，OB=(-1，2)，OC⊥OB,BC∥OA,又OD+OA=OC，那么OD的坐标是.三、解答题(共70分)7.〔15分〕如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边、BC的中点，且AD=2AB.求证：四边形PMQN 为矩形. 8.〔20分〕力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块在力F的作用下在动摩擦系数 20 m,问力F和摩擦力f做的功分别是多少？9. 〔15分〕一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？QPB N CA M D10. 〔20分〕以原点O和A(4，2)为两个顶点作等腰Rt△OAB，∠OBA=90°,求点B的坐标和向量AB.2.5 平面向量应用举例〔数学人教A版必修4〕答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.5 平面向量应用举例〔数学人教A版必修4〕答案一、选择题1. D 解析：由| OA|2+| BC|2=| OB|2+| CA|2，得OA2-OB2=CA2-BC2，即(OA-OB)·(OA+OB)=(CA-BC)·(CA+BC)，所以BA·(OA+OB-CA+BC)=0，BA·2OC=0，即O在AB的垂线上.同理，O在AC的垂线上.所以O为△ABC的垂心.故应选D.2.B 解析：由(PB-PC)·(OB+OC)=0知CB·2OD=0(其中D为CB的中点)，所以O在BC的中垂线上.同理，O在AC的中垂线上，故O为△ABC的外心.3. C 解析：由OA·OB=OB·OC，知OA·OB-OB·OC=0.那么OB·(OA-OC)= OB·CA=0.故OB⊥CA,即OB⊥⊥AB,OA⊥BC.故O为△ABC的垂心.4. A 解析：由(OA+OB)⊥(OA-OB)得(OA+OB)·(OA-OB)=0.故OA2-OB2=0，即|OA|=|OB|.同理，由(OB+OC)⊥(OB-OC),可得|OB|=|OC|.故A、B、C三点分别与点O的距离相等，故O为△ABC外接圆的圆心，即O为△ABC的外心.应选A.二、填空题5.○2解析：|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|,其中θ为a与b的夹角.6. (11，6) 解析：设OC=(x,y),由OC⊥OB,得-x+2y=0.①由BC=OC-OB=(x+1,y-2), BC∥OA,得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x=14,y=7.故OD=OC-OA=(14，7)-(3，1)=(11，6).三、解答题7.证明：设BA=a，BN=b,由M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，|a|=|b|,得NA =a-b, CM =a-b, 故NA=CM，即NA∥CM.又BM =a +b , ND =a +b , 所以BM =ND ，即BM ∥ND. 从而四边形PMQN 是平行四边形. 又由BM ·NA =(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=0,故BM ⊥NA ，即BM ⊥NA. 所以四边形PMQN 为矩形. 8.解：设木块位移为s ,那么 F ·s =|F ||s |cos 30°=50×20×32=5003. 将力F 分解，它在铅垂线方向上的分力的大小为 |F 1|=|F |sin 30°=25,所以|f |=μ|G -F 1×(8×10-25)=1.1, f ·s =|f ||s |cos 180°=-22.故F 和f 做的功分别为5 003 J 和-22 J.9.解：由题意知，原题可转化为在△ABC 内求一点P ，使得AP 2+BP 2+CP 2AB =a , AC =b , AP =t ,那么BP = AP -AB =t -a , CP = AP -AC =t -b ,AP 2+BP 2+CP 2=t 2+(t -a )2+(t -b )2=3(t -3+a b )2+23 (a 2+b 2)- 23a ·b ,所以当AP =t =3+a b ,即P 为△ABC 的重心时，AP 2+BP 2+CP 2最小.10.解：设B 点坐标为(x,y),那么OB =(x,y), AB =(x-4,y-2).∵ ∠OBA=90°,∴ OB ⊥AB ,即OB ·AB =0. ∴ x(x-4)+y(y-2)=0，即x 2+y 2-4x-2y=0.①设OA 的中点为C ，那么点C(2，1)，OC =(2，1)，CB =(x-2,y-1). 在等腰Rt △AOB 中，OC ⊥BC , ∴ 2(x -2)+y-1=0,即2x+y-5=0.②解①②，得1,3x y =⎧⎨=⎩或3,1.x y =⎧⎨=-⎩故B 点的坐标为(1，3)或(3，-1). 当B 点坐标为(1，3)时，AB =(-3，1)；当B点坐标为(3，-1)时，AB=(-1，-3).。

人教版高中数学必修4-2.5拓展训练：平面向量应用举例

2.5平面向量应用举例1. 已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O′和A ′，则λ=''A O e ，其中 λ=（）A ．511B ．511- C ．2 D ．－2 2. 已知非零向量AB 与AC·BC =021，则ABC ∆为（）A .三边均不相等的三角形B .直角三角形C .等腰非等边三角形D .等边三角形3．已知ΔABC 的三边长分别为AB =8，BC =7，AC =3，以点A 为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ 为⊙A 的任意一条直径，记T =T 求,⋅的最大值和最小值，并证明当T 取最大值和最小值时，PQ 的位置特征是什么？4四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，＝c ，＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?参考答案1.D2.D3.略4.四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－（c＋d），∴(a＋b)２＝（c＋d）２即｜a｜２＋２a·b＋｜b｜２＝｜c｜２＋２c·d＋｜d｜２由于a·b＝c·d，∴｜a｜２＋｜b｜２＝｜c｜２＋｜d｜２①同理有｜a｜２＋｜d｜２＝｜c｜２＋｜b｜２②由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由a·b＝b·c，有b（a－c）＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.。

人教A版数学必修四习题：第二章平面向量2.5平面向量应用举例分层训练进阶冲关含答案

分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时 20 分钟)1. 若向量=(1,1),=(-3,-2)分别表示两个力F1,F 2, 则|F 1 +F2| 为( C )A. B.2 C. D.2. 初速度为 |v 0|, 发射角为θ, 若要使炮弹在水平方向的速度为|v 0|,则发射角θ应为( D )A.15°B.30°C.45°D.60°3. 已知 A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ ABC的形状是( A )A. 直角三角形B. 锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.一质点遇到平面上的三个力 F1,F 2,F 3的作用而处于均衡状态 . 已知 F1与 F2的夹角为 60°, 且 F1,F 2的大小分别为 2 N 和 4 N, 则 F3的大小为( D )A.6 NB.2 NC.2ND.2N5. 如图 , 在△ ABC中,AD⊥AB, =,||=1, 则·=( D )A.2B.C. D.6.在△ ABC所在的平面内有一点 P, 知足 + + = , 则△ PBC与△ABC的面积之比是( C )A. B.C. D.7.已知速度 v1=(1,-2), 速度 v2=(3,4),则合速度 v= (4,2) .8.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向行进60 m, 若牵绳与行进方向夹角为,人的拉力为 50 N, 则纤夫对船所做的功为9. 平面上有三个点 A(-2,y),B,C(x,y),若⊥, 则动点 C的轨迹方程为y2=8x .10. 某人从点 O向正东走 30 m 抵达点 A, 再向正北走 30m 抵达点B, 则这人的位移的大小是60 m, 方向是北偏东30°.11.如下图 , 已知随意四边形 ABCD中,E 是 AD的中点 ,F 是 BC的中点 , 求证:=(+ ).【证明】=++,①=++,②又由于点 E,F 分别是 AD,BC 的中点 ,=-, =-,由①+②得,2 =+,即= ( +).12.一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶 , 船实质航行方向与水流方向成 30°角 , 求水流速度与船的实质速度 .【分析】如下图 ,表示水流速度,表示船向垂直于对岸行驶的速度 ,表示船的实质速度,∠AOC=30°,||=5 km/h.由于四边形 OACB 为矩形 ,由=tan 30°,得||====5(km/h).| |==10(km/h).因此水流速度为5km/h, 船的实质速度为10 km/h.B组提高练(建议用时 20 分钟)13.一船从某河的一岸驶向另一岸 , 船速为 v1, 水速为 v2, 已知船可垂直抵达对岸,则( B )A.|v 1|<|v 2|B.|v 1 |>|v 2|C.|v 1| ≤|v 2|D.|v 1 | ≥|v 2|14. 在四边形 ABCD中,= , 且·=0, 则四边形 ABCD是( B )A. 矩形B. 菱形C.直角梯形D.等腰梯形15.已知平面上三点A,B,C 知足 | |=3,||=4,||=5. 则·+· + ·=-25.16.在直角坐标系 xOy中, 已知点 A(0,1)和点 B(-3,4), 若点 C在∠ AOB的均分线上且 ||=2, 则 =.222217. 如下图 , 若 D是△ ABC内的一点 , 且 AB-AC =DB-DC, 求证 :AD⊥BC.【证明】设=a,=b,=e,=c,=d,则 a=e+c,b=e+d.因此 a 2 -b 2 =(e+c) 2 -(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知可得,a 2 -b 2=c 2 -d 2 ,因此 c2 +2e ·c-2e ·d-d 2 =c 2-d 2 ,因此 e ·(c-d)=0.由于=-=d-c,因此·=e ·(d-c)=0,因此⊥,即 AD ⊥BC.18.如图 , 用两根分别长 5 米和 10 米的绳索 , 将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB上, 均衡后 ,G 点与屋顶距离恰巧为 5 米, 求 A地方受力的大小( 绳索的重量忽视不计 ).【分析】如图 ,由已知条件可知 ,AG 与竖直方向成 45 °角,BG 与竖直方向成 60 °角.设 A 地方受力为 F a,B 地方受力为 F b ,物体的重力为 G,∠EGC=60 °,∠EGD=45 °,则有 |F a |cos 45 °+|F b |cos 60 °=|G|=100,①且|F a|sin 45 °=|F b |sin 60 °.②由①②解得 |F a|=150-50,因此 A 地方受力的大小为 (150-50)N.C组培优练 ( 建议用时 15 分钟)19.已知 O是平面 ABC内的必定点 ,P 是平面 ABC内的一动点 , 若(- ) ·(+ )=(-) ·(+ )=0, 则 O为△ABC的( B )A. 心里B. 外心C.重心D.垂心20.如下图 , 四边形 ABCD是正方形 ,M 是 BC的中点 , 将正方形折起使点A 与 M重合 , 设折痕为 EF,若正方形面积为64, 求△ AEM的面积 .【分析】如下图 ,成立直角坐标系 ,明显 EF 是 AM 的垂直均分线 , 设AM 与 EF 交于点 N, 则 N 是 AM 的中点 ,又正方形边长为 8,因此 M(8,4),N(4,2).设点 E(e,0), 则=(8,4),=(4,2),=(e,0),=(4-e,2),由⊥得,·=0,即(8,4) ·(4-e,2)=0,解得e=5.即||=5.因此= ||||=×5×4=10.封闭 Word 文档返回原板块。

人教A数必修4基础达标训练：2.5 平面向量应用举例(含答案解析)[ 高考]

1．已知一物体在共点力F 1＝(2,2)，F 2＝(3,1)的作用下产生位移s ＝⎝⎛⎭⎫12，32，则共点力对物体所做的功为( )A ．4B ．3C ．7D ．2解析：选C.合力F ＝(5,3)与位移s 的数量积为7.2．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，且(a ＋b )2＝(a －b )2，则平行四边形ABCD是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不对解析：选B.由(a ＋b )2＝(a －b )2⇒|a ＋b |＝|a －b |.对角线|AC →|＝|BD →|.3．已知A 、B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－ 52 B.52C ．0 D.532解析：选A.由已知得△ABC 为正三角形，向量AC →与CB →的夹角为120°.所以AC →·CB →＝5·5cos120°＝－52. 4．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用而处于平衡状态．已知F 1与F 2的夹角为60°，且F 1，F 2的大小分别为2 N 和4 N ，则F 3的大小为( )A ．6 NB ．2 NC ．2 5 ND ．27 N解析：选D.由向量的平行四边形法则、力的平衡以及余弦定理，得|F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1|·|F 2|·cos(180°－60°)＝22＋42－2×2×4×(－12)＝28，∴|F 3|＝27 N. 5．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，∴2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.故选C.6．若向量OF →1＝(2,2)，OF →2＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|等于________．解析：F 1＋F 2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝5.答案：57．已知a ＝(1，－1)，b ＝(－1,3)，c ＝(3,5)，若c ＝x a ＋y b ，则实数x ＝________，y ＝________.解析：x a ＋y b ＝x (1，－ 1)＋y (－1,3)＝(x －y ，－x ＋3y )，又c ＝(3,5)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3－x ＋3y ＝5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝4. 答案：7 48．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是________．解析：∵AB →·AC →＝4×4·cos A ＝8，∴cos A ＝12，∴∠A ＝π3， ∴△ABC 是正三角形．答案：正三角形9．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 为圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ＋3y 0＝－2y ＋3，又∵M (x 0，y 0)在圆C 上，把x 0、y 0代入方程(x －3)2＋(y －3)2＝4，整理得x 2＋y 2＝1，所以所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.10．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．解：如图，设OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的速度，OC →表示船的实际速度，则∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 km/h.因为四边形OACB 为矩形，所以|OA →|＝|AC →|·cot 30°＝|OB →|·cot 30°＝53km/h ，|OC →|＝|OA →|cos 30°＝5332＝10 km/h. 即水流速度为5 3 km/h ，船的实际速度为10 km/h.。

高中数学第二章平面向量 2.5 平面向量应用举例1课后习题新人教A版必修4-新人教A版高一必修

2.5.1平面几何中的向量方法课后篇巩固探究1.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析由题意知,=(3,3),=(2,2),所以.又因为||≠||,所以四边形ABCD为梯形.答案A2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=()A.-B.C.0D.解析如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC为的夹角,∴cos∠BDC=.答案B3.在△ABC中,设O是△ABC的外心,且,则∠BAC=()A.30°B.45°C.60°D.90°解析因为,所以O也是△ABC的重心.又因为O是△ABC的外心,所以△ABC是等边三角形,故∠BAC=60°.答案C4.已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论正确的是()A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点解析由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点,故选D.答案D5.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为()A.-B.C.-D.解析因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24+16=25.因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)·()=-(3+4-3-4)=-.答案A6.在△ABC中,设=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等边三角形.答案B7.已知A,B,C是单位圆上的三点,且,其中O为坐标原点,则∠AOB=.解析如图所示,由||=||=||=1,,得四边形OACB为边长为1的菱形, 且∠AOB=120°.答案120°8.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x=.解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.答案9.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.证明=()·()====-|2+|2.因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE.10.导学号68254091已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE ⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.所以.所以.又=(1,0),所以cos ∠ADB=,cos ∠FDC=,又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.。

高中数学 2.5平面向量应用举例课时作业 A必修4 试题(共4页)

A．假设，那么为锐角三角形B．假设，那么为直角三角形C．假设，那么为等腰三角形D．假设，那么为直角三角形5．一船从河的一岸驶向另一岸，船速为，水速为，船可以垂直到达对岸，那么〔〕
A． B． C． D．
6．关于一船从河的一岸驶向另一岸所用的时间是，以下(yǐxià)说法正确的选项是〔〕
2.5平面(píngmiàn)向量应用举例
1．，，且， , , 四点按顺时针方向排列构成平行四边形，那么必有〔〕
A． B． C． D．
2．，，那么以下值中能使成为直角三角形是〔〕
A． B． C． D．
3．锐角中，，，的面积为，那么的值是〔〕
A． B． C． D．
４．在中，假设，，，那么以下推导中不正确的选项是()
8．，，，那么的余弦值为
9．设表示“向东走10km〞，表示“向南走10km〞，那么表示
10．轴上的点到两点和的间隔相等，那么向量的坐标为
13．作用在点的三个力，，，求合力的坐标。
内容总结
（1）④假设，．当船速的方向与河岸的方向垂直时所用的时间是最少
C．沿任何直线运动到达对岸所用的时间是都一样
D．当船速大小等于水速大小时所用的时间是最少
7．在中，给出以下结论：① ；② ；③假设 ,那么为等腰三角形；④假设，那么为锐角三角形。其正确的选项是〔〕
A．①②B．①④C．②③D．②③④

人教新课标版数学高一人教A必修4试题 2.5平面向量应用举例

数学·必修4(人教A 版)2．5 平面向量应用举例基础提升1．用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面成角大小为θ，则对物体所做的功为( )A ．|F |·sB ．F cos θ·sC ．F sin θ·sD ．|F |cos θ·s 答案：D2．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )A ．10 m/sB ．12 m/sC ．4 6 m/sD ．226 m/s 答案：D3．已知作用在点A (2,2)的三个力F 1＝()2，3，F 2＝()1，－4，F 3＝()3，2，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( )A.()6，1B.()8，3C.()4，－1D.()3，8 答案：B4．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA→，则点O 是△ABC 的( ) A ．三角形内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条高的交点答案：D5．经过P (－2,0)且平行于a ＝(0,3)的直线方程为________________________________________________________________________．答案：x ＝－2巩固提高6．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于______．答案：－257．如图所示，已知任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 的中点，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．→＝EA→＋AB→＋BF→，①证明：EF→＝ED→＋DC→＋CF→，②EF又因为点E、F分别是AD、BC的中点，→＝－ED→，BF→＝－CF→，EA→＝AB→＋DC→，①＋②得2EF→＋DC→)．即EF→＝12(AB8．已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m，问F和摩擦力f所做的功分别是多少？解析：设木块的位移为s，则F·s＝||F||s cos 30°＝50×20×32＝5003(J)，F 在垂直方向上的大小为||F sin 30°＝50×12＝25()N ，∴摩擦力f 的大小为|f |＝0.02×(80－25)＝1.1(N)．∴f ·s ＝||f ||s cos 180°＝1.1×20×⎝⎛⎭⎫－1＝－22()J .F 和摩擦力f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J.9．如图，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF ∥AB ∥CD .证明：∵在梯形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE →＋DE →＝0. EF →＝12⎝⎛⎭⎫EB →＋EC →＝12⎝⎛⎭⎫AB →－AE →＋DC →－DE →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋DC →.∵CD ∥AB ，∴存在实数λ，使得AB→＝λDC →， EF →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋DC →＝1＋λ2DC →，∴EF ∥CD ，同理EF ∥AB .∴EF ∥AB ∥CD .10．如下图所示，一条河的两岸平行，河宽为d m ，一船从A 出发航行到河的对岸，船行速度大小为|v 1|，水流速度大小为|v 2|，那么|v 1|与|v 2|的夹角θ多大时船才能垂直到达河岸B 处？船航行多少时间(只要求出sin θ即可)?解析：据题意可知θ＝π2＋arcsin |v 2||v 1|.|v |＝|v 1|2－|v 2|2(v 是v 1与v 2的合速度)． ∴船航行时间t ＝d |v |＝d|v 1|2－|v 2|2 .。

高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课时作业含解析新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量：2.5[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0解析：设P (x ，y )是所求直线上除A 点外的任一点，则AP →·a ＝0，又AP →＝(x －2，y －3)，所以2(x －2)＋(y －3)＝0，即所求直线方程为2x ＋y －7＝0.答案：A2．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．答案：D3．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形解析：AB →＝(3,3)，CD →＝(－2，－2)，所以AB →＝－32CD →，AB →与CD →共线，但|AB →|≠|CD →|，故此四边形为梯形．答案：A4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如右图． ∴小船在静水中的速度大小|v |＝102＋22＝104＝226 (m/s)．答案：B5．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1，所以|AC →|＝2，即AC ＝2. 答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳．解析：设小车位移为s ，则|s |＝10米，W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos60°＝10×10×12＝50(焦耳)．答案：507．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________．解析：由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →， AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形，所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ，所以四边形ABCD 为等腰梯形．答案：等腰梯形8．如图，在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC →＝________.解析：因为AD →＝12(AC →＋BD →)＝(－1,2)，所以AD →·AC →＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .解析：方法一设正方形ABCD 的边长为1， AE ＝a (0<a <1)，则EP ＝AE ＝a ，PF ＝EB ＝1－a ，AP ＝2a ，所以DP →·EF →＝(DA →＋AP →)·(EP →＋PF →)＝DA →·EP →＋DA →·PF →＋AP →·EP →＋AP →·PF → ＝1×a ×cos 180°＋1×(1－a )×cos 90°＋2a ×a ×cos 45°＋2a ×(1－a )×cos 45°＝－a ＋a 2＋a (1－a )＝0.所以DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .方法二设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，x )，则D (0,1)，E (x,0)，F (1，x )，所以DP →＝(x ，x －1)，EF →＝(1－x ，x )，由于DP →·EF →＝x (1－x )＋x (x －1)＝0，所以DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .10．如图所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ，问F 及摩擦力f 所做的功分别为多少？解析：设木块的位移为s ，则F·s ＝|F|·|s|cos 30°＝50×20×32＝5003(J)，F 在竖直方向上的分力大小为|F |sin 30°＝50×12＝25(N)，∴摩擦力f 的大小为|f |＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， ∴f·s ＝|f |·|s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． ∴F ，f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J. [能力提升](20分钟，40分)11．如果一架飞机先向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，设飞机飞行的路程为s km ，位移为a km ，则( )A ．s >|a |B ．s <|a|C ．s ＝|a|D ．s 与|a |不能比较大小解析：物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s ＝500，由位移的合成易得|a |<500，故s >|a |.答案：A12．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →等于________．解析：由已知得△ABC 为正三角形，向量AC →与CB →的夹角为120°，所以AC →·CB →＝5·5cos 120°＝－52.答案：－5213．某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解析：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a ，设实际风速为v ，那么此时人感到的风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v ，因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →. 由题意：∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a ，所以实际风是每小时2a 千米的西北风．14．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．解析：(1)以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)，因为D 为AB 的中点，所以D n 2，m2，所以|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，所以|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)因为E 为CD 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫n 4，m 4.设F (x,0)，则AE →＝⎝⎛⎭⎫n 4，－34m ， AF →＝(x ，－m )．因为A ，E ，F 三点共线，所以AF →＝λAE →.即(x ，－m )＝λ⎝⎛⎭⎫n 4，－34m .。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第二章 2.5 平面向量应用举例练习
一、选择题
1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→
＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．2 5 C. 5 D ．15
答案：C
2．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )
A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积
B ．以b ，c 为两边的三角形的面积
C ．以a ，b 为两边的三角形的面积
D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积答案：A
3．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A ．40 N
B ．10 2 N
C ．20 2 N
D ．10 3 N 答案：B
4．已知△ABC 满足AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →
，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案：C
5．△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，则AD →＋BE →＋CF →
＝( ) A ．0 B ．0 C.AB → D ．AC →
答案：B 二、填空题
6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →
，则动点C 的轨迹方程为________．
解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →
＝⎝⎛⎭
⎫x ，y 2.
∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →
＝2x －14y 2＝0，即y 2＝8x .
答案：y 2＝8x
7．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →
＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°， AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →||CB →|cos ∠ACB ＝－52.
答案：－5
2
8．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.
解析：如图，由题意，得∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →
|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10 三、解答题
9.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .
证明：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →
＝e ， DB →＝c ，DC →
＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝ c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.
由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2，所以c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，所以e ·(c －d )＝0.
因为BC →＝BD →＋DC →
＝d －c ，所以AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0，所以AD →⊥BC →
，即AD ⊥BC .
10.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若AB →＝a ，AD →
＝b .
(1)试以a ，b 为基底表示BE →，DF →
； (2)求证：A ，G ，C 三点共线．解：(1)BE →＝AE →－AB →＝1
2b －a ，
DF →＝AF →－AD →＝1
2
a －
b .
(2)证明：D ，G ，F 三点共线，则DG →＝λDF →
， AG →＝AD →＋λDF →＝1
2λa ＋(1－λ)b .
B ，G ，E 三点共线，则BG →＝μBE →
， AG →＝AB →＋μBE →
＝(1－μ)a ＋12
μb ，
由平面向量基本定理知⎩⎨⎧
1
2
λ＝1－μ，1－λ＝1
2
μ，
解得λ＝μ＝2
3，
∴AG →＝1
3(a ＋b )＝13AC →，
所以A ，G ，C 三点共线．。