高等数学-第七版-课件-22-1 第一型曲面积分
高等数学-第七版-课件-20-1 第一型曲线积分
π
0
a 3 π.
数学分析 第二十章 曲线积分
高等教育出版社
§1 第一型曲线积分
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的计算
例2 设 L 是 y 2 4 x 从 O(0,0) 到 A(1,2) 一段(图20-2),
试计算第一型曲线积分 L yds . 解
y
A
y2 4 x
L
yds
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i ) 2 ( i )t i ,
这里 ti 1 i, i ti .
L
f ( x , y )ds f ( ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t )dt (3)
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的计算
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质 量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若 f i ( x , y )ds( i 1, 2, , k ) 存在, ci ( i 1, 2, , k )
L
为常数, 则 L ci f i ( x , y )ds 也存在, 且
则有
f ( , )s
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (4)
令 t max{t1 , t2 ,, tn }, 则当 T 0 时, 必有 t 0. 下面证明 lim 0.
数学分析 第二十章 曲线积分
§1 第一型曲线积分
本 节将研 究定义 在平面或空间曲线段上 的第一型曲线积分 . 此 类积分的典型物理背景 是求非均匀分布的曲线 状物体的质量.
G第一型曲面积分PPT教案
交线为
设S1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dxy
(x, y)
x2
y2
1 2
a2
, 则
I S1 (x2 y2) d S
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13
I S1 (x2 y2) d S
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2
d
1 2
2a
a r2
r dr
Dxy a y x
S
dS z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
0
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9
思考: 若 S 是球面 出的上下两部分, 则
dS
S
z
(
0
)
dS
S
z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
G第一型曲面积分
1
第1节 第一型曲面积分
(或：对面积的曲面积分)
本节内容： 一、第一型曲面积分的概念
二、第一型曲面积分的计算
第22章
第1页/共36页
2
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k ,k , k )
“分割---大化小, 近似代替---常代变, 求近似和, 取极限”
的方法, 可得
n
M
பைடு நூலகம்
o
第一型曲面积分【高等数学PPT课件】
a2 h2
0
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
Σ
Σ
Ò x d S
x Σ
Ò d S
Σ
Dxz
一投： 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz .
二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三换：
dS
1
y
2 x
(
x,
z
)
yz2( x, z)
dxdz;
3. 若曲面 ： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
上的部分, 则 o
原式 =
Σ1 Σ2 Σ3 Σ4
xyz dS
1 x
1y
x yz d S
Σ4
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
Σ
Σ1
• 线性性质.
一第一型曲面积分的概念与性质-PPT课件
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例1.
2
截出的顶部. a 被平面 z h ( 0 h a ) 解: : z a x y , ( x , y ) D x y
2 2 2
dS 计算曲面积分 z ,
2 2 2 其中是球面 x y z
z
h
o
y a
2 2 2 2 D : x y a h x y a 2 2 1zx zy a2 x2 y2
Dxy
x
ad x d y 2 dS a2h2 r dr 2 2 2 a d 0 D z 0 x ya x y a2 r2
2 2 a h 1 a 2 2 2 a ln( a r) 2 a ln 2 0 h
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定理: 设有光滑曲面
二、对面积的曲面积分的计算法
: z z ( x , y ), ( x , y ) D x y
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
f (x ,y ,z )d S 存在, 且有 ( )xy ( f ( x , y , z ) d S , , ) k k k k 2 2 z ( x , y ) f ( x , y , ) 1 z ( x , y ) z ( x , y ) d x d y x y D
思考: 2 2 2 2 被平行平面 z =±h 截 若 是球面 x y z a 出的上下两部分, 则
z
0
d S z (
)
d S a z ( 4 a ln h )
h o
x
第一型曲面积分
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2
第一型曲面积分
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则
S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
山西大同大学数计学院
例1 计算
S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截 得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
山西大同大学数计学院
例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割 下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
山西大同大学数计学院
I v 1 u dudv vdv
2 0 D
第一曲面积分
程序设计 网络课件 教学设计 多媒 体课件 PPT文档
教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算 公式． 教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公 式． (1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用 显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公 式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲 面的第一型曲面积分计算公式．
例. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
解: 设 的方程为 zR 2 x2y2,(x ,y) D xy 利用对称性可知重心的坐标 xy0,而
z zd S d S
用球坐标
zRcos
dSR2sindd
R3R0202dd0202ssiinn cdod s
R3 2 R
R 2
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M(x,y,z)dS
S
第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质
类似，例如
dSS的 面.积
S
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二、第一型曲面积分的计算
定理22.1 设有光滑曲面 S:zz(x,y)(,x,y) D xy
z
S
f (x, y, z) 在 S 上连续, 则
f(x, y,z)dS
O
y
D xy
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
z
两片, 则计算较繁.
解: 取曲面面积元素
dS2Rdz
则
I
H2Rdz
0 R2z2
2arctaHn
R
H
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▪ 第一型曲面积分的概念 ▪ 第一型曲面积分的计算
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第一型曲面积分(北工大)课件
曲面积分的微分定理
总结词
曲面积分的微分定理是指在进行第一型曲面 积分时，如果被积函数是某个标量场的梯度 函数，那么积分结果等于该标量场在积分区 域上的增量。
详细描述
微分定理的具体形式是：如果被积函数是某 个标量场u的梯度函数 grad u，那么第一型 曲面积分的结果等于该标量场在积分区域上 的增量。这个定理可以用于计算某些物理量 （如力、势能等）在某个区域上的分布情况 。
总结词
圆柱面是三维空间中以直线为轴线，以实数r为半径的曲面。
详细描述
圆柱面的一型曲面积分可以通过将圆柱面分割成若干个小曲面片，然后计算每个小曲面片的面积，最 后求和得到。具体计算过程中，需要利用圆柱面坐标系进行坐标变换，将圆柱面上的点映射到直角坐 标系中，以便进行积分计算。
圆锥面
总结词
圆锥面是三维空间中以点为中心，以直 线为轴线，以实数r为半径的曲面。
05
曲面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分的应用举例
曲面的面积计算
总结词
利用第一型曲面积分计算曲面的面积
详细描述
在几何学中，曲面面积的计算是一个常见的 问题。通过第一型曲面积分，我们可以将曲 面分成若干个小曲面元，然后计算这些小曲 面元的面积，最后求和得到整个曲面的面积
。
流体流速的计算
要点一
总结词
利用第一型曲面积分计算流体在曲面上的流速
参数方程的转换
在某些情况下，曲面可能已经给出了直角坐标方程，但为了 计算方便，我们需要将其转换为参数方程。转换的方法是通 过消去直角坐标方程中的平方项，将其化为参数方程的形式 。
面积元素的确定
面积元素的定义
面积元素是微小的曲面面积，用于计算曲面积分。在第一型曲面积分中，面积 元素与曲面的法向量有关。
22-1第一型曲面积分
x x(u,v),
S
:
y
y(u, v ),
(u,v) D ,
z z(u,v),
在 S 上第一型曲面积分的计算公式则为
f ( x, y, z)dS
S
f ( x(u,v), y(u,v), z(u,v)) EG F 2dudv , (3)
D
其中
E xu2 yu2 zu2 ,
1 a2
.
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例3 计算曲面积分 J ( y2 z2 )dS, 其中 S 是球面
S
x2 y2 z2 a2. 解 ( 解法一) 记
S1 : z a2 x2 y2 , x2 y2 a2; S2 : z a2 x2 y2 , x2 y2 a2 . 根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得
F xu xv yu yv zuzv ,
G xv2 yv2 zv2 .
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例2 计算 I z dS , 其中 S 为
S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u
sin
v,
(u,
v)
D
,
z v,
D
:
0 0
§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的典型物理背景是求物 质曲面的质量. 由于定积分、重积分、第一 型曲线积分与第一型曲面积分它们同属 “黎曼积分”，因此具有相同实质的性质.
一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算
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一、第一型曲面积分的概念
G221第一型曲面积分
的方法, 可得
n
M
o
y
k 1
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者，
即划分的细度).
4
定义: 设 S 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 S 上的一 个有界函数, 若对 S做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
上的部分, 则 o
原式 = S1 S2 S3 S4 xyz dS
1 x
1y
S4 xyz d S
S4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
投影域为 Dxy (x, y)
x2
y2
1 2
a2
,
则
I S1 (x2 y2) d S
14
I S1 (x2 y2) d S
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2 d
1 2
2a
a r2
r dr
0
0
a2 r2
1 a4 (8 5 2)
f (x, y, Dx y
)
证明: 由定义知
n
lim
0 k 1 7
而
( k )xy 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y) dxd y
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
22.1第一型曲面积分
第二十二章 曲面积分§1 第一型曲面积分教学目的 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 第一型曲面积分的定义和计算公式．(1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学建议(1) 要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式．(2) 对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学程序背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一、第一型曲面积分的概念与性质定义 设S 为空间上可求面积的曲面块，()z y x f ,,为定义在S 上的函数．对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个可求面积的小曲面i S （n i ,,2,1 =），i S 的面积记为i S ∆，分割T 的细度为{}的直径i n i S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点()i i i ζηξ,,（n i ,,2,1 =）．若有极限()∑=→∆ni ii i i T S f 10,,lim ζηξ=J ，且J 的值与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为()z y x f ,,在S 上的第一型曲面积分，记作()dSz y x f S⎰⎰,, . （1）第一型曲面积分的性质(1)线性性:设cfds ⎰⎰,cgds ⎰⎰存在,R ∈βα., 则ds f f c)(⎰⎰+βα存在,且()c ccff ds fds gds αβαβ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)可加性:设sfds ⎰⎰存在,,21s s s ⋃=则12,s s fds fds ⎰⎰⎰⎰存在,⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21s s sfds fds fds ；反之亦然.二、第一型曲面积分的计算定理22.1设有光滑曲面S ：()()D y x y x z z ∈=,,， ()z y x f ,,为定义在S 上的连续函数，则()dSz y x f S⎰⎰,,=()()⎰⎰++Dy x dxdyf f y x z y x f 221,,,.证 略例1 计算⎰⎰S z dS ，其中S 是球面2222a z y x =++被平面h z =()a h <<0所截的顶部.解 S ：()(){}2222222,,,h a y x y x D y x y x a z -≤+=∈--=，222221y x a az z y x --=++，⎰⎰S z dS =⎰⎰--D dxdy y x a a222=rdr r a ad h a ⎰⎰--πθ202222=dr r a ra h a ⎰--220222π=()ln 2222h a ra a ---π=h a a ln2π.作业 P2821;2;3;4.。
第二讲 第一型曲面积分
S
1 yx2 yz2 dxdz
xz
S
1 x y2 xz2 dydz.
yz
如果 z z x , y 在光滑曲面 (S) 上连续，且具有一阶连续
偏导数，则
f ( x, y, z)d S
f [ x, y, z( x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
d
x
d
曲面面积微元
dS
rx
ry
dxdy
曲面面积为
S
dS
rx
ry
dxdy
: z z x, y
S
( )
r r x, y x, y, z x, y
rx
1,
0,
z x
,
0,1,
z y
rx
ry
i 1
j 0
k zx
0 1 zy
1
z
2 x
z
2 y
S rx ry d x d y
且每个子曲面的面积为 S k k 1 , 2 , , n
（2）任取 M k S k 做乘积 f M k S k
n
（3）做和 f M k S k k 1
记 d m a x 1 k n
Sk
（4）如果无论怎样分，无论点怎样取，上述和式趋于同一个值，
n
f
S
M
2
2 d
5
(5
cos
)d
125
2.
0
0
例3 求质量均匀分布的半径为R的球面对其直径的转动惯量.
解 上半球面 S1 : z R2 x 2 y 2 dIz 2 x2 y2 dS
第一类曲面积分
对面积的曲面积分）1. 定义i S ∆(上为设点i i i i S ∆ζηξ),,(,),,(i i i i S f ∆ζηξ,),,(1ii i ni i S f ∆ζηξ∑=,0时→λi S ∆函数f (x , y , z )在Σ上任意取定的点,并作和如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在,则的最大值①②③④二、对面积的曲面积分的定义第i 小块曲面的面积),作乘积设曲面Σ是光滑的,同时也表示有界.把Σ任意分成n 小块x yOz∙∙),(:y x z z =∑),,(i i i ζηξ),,(iiηξi S ∆xyD xy i )(σ∆2在),,(z y x f 或.d ),,(⎰⎰∑S z y x f 记为即如曲面是⎰⎰∑曲面元素被积函数则积分号写成iiini iS f ∆=∑=→),,(lim 1ζηξλ⎰⎰∑S z y x f d ),,(积分曲面i i i ni i S f ∆ζηξ⋅∑=),,(1称极限为函数上在曲面∑对面积的曲面积分第一类曲面积分.闭曲面,Sz y x M d ),,(⎰⎰∑=ρ据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为34o xyz定理: 设有光滑曲面f (x, y, z ) 在∑上连续,存在, 且有⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰=yx D y x f ),,(对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知∑=nk 1lim→λyx D ),,(k k k ζηξy x k )(σ∆∑=x f ((f fxyzOyz -=5}|),{(=x y x D xy 2522=+y x 所截得的部分:++S z y x d )y -5x d ++)y x +yx x d d )5(π2125=y x d d 5二重积分的对称性设分片光滑的⎰⎰∑Sz y x f d ),,(x 的奇函数x 的偶函数.d ),,(21⎰⎰∑S z y x f .0),(:1≥=z y x x ∑其中⎩⎨⎧=,0则曲面Σ关于yOz 面对称,为当),,(z y x f 为当),,(z y x f 10解依对称性知=⎰⎰∑成立⎰⎰1∑422yx z +=||xyz .为偶函数、关于x y ⎰⎰∑,d ||S xyz 计算).10(22≤≤+=z y x z 为抛物面其中∑例面均对称；面、关于yOz xOz 抛物面有被积函数1∑为第一卦限部分曲面.xyzO11xyz d 214drr +42015125-uxyzO12zxyOzxyOzxyO⎰⎰1∑⎰⎰2∑0==对称性zxyOzxyOzx y y S zxd d 1d 22++=z x xd d 112-=面上注2+=x z xzO11-15zxyOΣ222zxyOΣ2222:ha y x -≤+于是222yx a z --=172222:az y x =++∑解积分曲面方程轮序对称S z y x d )222++S z y x x d )222⎰⎰++∑提示即三个变量轮换位置方程不变⎰⎰=∑x 22243aa π=轮换对称性,中的变量x 、y 、z 3S d 2azxyOΣy x y x y x d d )22222---222:ay x D xy ≤+20极坐标4aπy x d d y d 222:ay x D xy ≤+21被平面截出的顶部解:2222:h a y x D y x -≤+⎰=a --y x y x a 22d d是球面出的上下两部分,则坐标面所围成的四面体的表面ox11⎛原式=25xo,z y 2y x --22为上半球面夹于锥面间的部分xoy 面上的1∑yx Dx o1∑y x D计算结果如何?++S z y d )22⎰⎰∑++=z y x d )(34显然球心为,)1,1,1(半径为).z y ++解:,2:22≤+y x D y x S M d μ∑⎰⎰=r r 4122+4122r +y x )(4122++π13=y x D 2∑xzy2., 计算解:在四面体的四个面上yxz--=1yx dd3xyxD y x-≤≤≤≤10,10:1zyx11O=y xz dd zxzD x z-≤≤≤≤10,10:同上平面方程Sd投影域yxz--=1yx dd3xyxD y x-≤≤≤≤10,10:=y xz dd zxzD x z-≤≤≤≤10,10:同上平面方程Sd投影域12122ln)13(233-+=-321例3∑解(方法1)y R -2221∑+∑=∑y R -22oxyHzR ∑1∑2yz ORHD yzD z y y R x ∈-=∑),(,:221yzORHD注∑参数方程为：]),(),([]),(),([]),(),([222v u z y v u x z v u z y ∂∂+∂∂+∂∂(方法2)z z y z x z z z y ]),(),([]),(),([]),(),([222θθθ∂∂+∂∂+∂∂例,22y x z +=∑是锥面其中,d )1(⎰⎰∑+=S xyz I .)0(222的整个表面面所围空间立体及圆柱面xOy a ax y x >=+解321∑+∑+∑=∑关于zOx 面对称关于y奇函数∑3∑2∑1xyz O∑的面积.0=xyD y x y x z ∈+=∑),(,:)1(221∑3∑2∑1xyzO2a22axyOD xy2π2a=∑3∑2∑1xyzO2a，222)2(∑''+∑'=∑x ax -22，x ax-22，(方法1)+y x22消去y ⎨22∑2xO2a z x x ax y ∈-=∑'),(2:22，2axzOD xzax z 2=⎰⎰∑2d S 28a=(方法2)∑3∑2∑1xyzO2a⎰⎰∑2d S ⎰+y x 22Lπθθ20cos ≤≤⎧=-a a x θcos 12a +θ228a=2π2a =.π822a a ++三、五类积分的统一表述及其共性背景定积分:第一类曲面积分:⎰bax x f d )(二重积分:⎰⎰Dy x f σd ),(三重积分:vz y x f d ),,(⎰⎰⎰Ω第一类曲线积分:⎰Lsy x f d ),(⎰⎰∑S z y x f d ),,(直杆构件质量平面薄板质量空间物体质量曲线构件质量曲面构件质量有共同的物理意义→→→→→被积函数为常数1时的几何含义→→→→→zOx y。
第一型曲面积分
类似地，第一型曲面积分：
dS 投影d
转化为二重积分
重积分的应用一节已给出：当曲面z=z(x,y)向xOy平面上 的投影时有 d 2 2 dS 1 z x z y d cos γ 将曲面积分中的dS用dσ 表示,将z用x,y表示，得
D xy
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dx f ( x , y , z ) dS d ; x y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,
由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS 3 ( x y z )dS ,
, ΔS ,…, ΔS ΔS n n
1 2 n
( i ,i , i )Si 取极限:求质量的精确值M= lim 0
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值
i 1
n
一、第一型曲面积分的定义
设曲面是光滑的, 函数 f (x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si (Si同时也表示第i小块曲面的面积), 设点(i , i , i )为Si上任意
是 球 面： x 2 y 2 z 2 R 2 。
解： I ( ax by cz d ) 2 dS
(a x b y c z d 2abxy 2bcyz 2acxz
2 2 2 2 2 2 2
2adx 2bdy 2cdz)dS
称性。 设Σ对称于xoy （或yoz,或zox ）坐标面. 若 f（x,y,z )关于z（或 x，或 y)是奇函 则 f ( x , y , z )dS 0 数 若 f（x,y,z )关于z（或x，或y）是偶函数 ,Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分，则 f ( x, y, z )dS 2 f ( x, y, z )dS
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S D
1 z z dxdy .
2 x 2 y
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
S
S1 : z a 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 a 2 ; S2 : z a 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 a 2 .
根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得
J ( y 2 z 2 )dS ( y 2 z 2 )dS
2a
0
2π
1 8 4 2 2 sin 3 cos d 3 πa .
数学分析 第二十二章 曲面积分
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
第一型曲面积分的计算
(解法三 ) 令 f ( x , y , z ) x 2 , g( x , y , z ) y 2 , ( x , y , z ) S . 由于 S 关于平面 x y 对称, 且在对称点 ( x , y , z ) 与 ( y , x , z ) S 处有 f ( x , y , z ) g( y , x , z ), 因此
O
S
y
(a ,0,0)
x
图 22 3
2 2 2 解 先求出 E xu yu zu cos2 v sin2 v 1, F xu xv yu yv zu zv = u sin v cos v u sin v cos v 0 ,
G xv2 yv2 zv2 u2 sin 2 v u2 cos 2 v 1 1 u2 ;
而 S 在 xy 平面上的投影为 D( xy ) : ( x a )2 y 2 a 2 . 因此
数学分析 第二十二章 曲面积分
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
第一型曲面积分的计算
I ( xy zx yz )dS
S
2
D( xy )
xy ( x y ) x 2 y 2 dxdy .
S
z
其中 S 为圆锥面 z
2 2
x2 y2
z x2 y2
被圆柱面 x y 2ax 所割 下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面 z 有
zx x x2 y2
O
y
x y ,
2 2
x
x 2 y 2 2ax
图 22 2
, zy
y x2 y2
,
2 1 zx z2 2; y
第一型曲面积分的计算
定义1
记作
I f ( x , y, z )dS .
S
(1)
于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示 为: m ( x , y, z )d S .
特别地, 当 f ( x , y , z ) 1 时,曲面积分 面块 S 的面积.
S
dS 就是曲
S
||T ||0
lim f ( i ,i , i )Si I ,
i 1
n
且与分割 T 及 ( i ,i , i ) 的取法 无关, 则称此极限为 f ( x , y , z ) 在 S上的第一型曲面积分,
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
2
a
2 a 1 a 2 ln a 1 a 2 .
0
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
第一型曲面积分的计算
x y z a . 解 ( 解法一) 记
2 2 2 2
例4 计算曲面积分 J ( y 2 z 2 )dS , 其中 S 是球面
2 2
2 2 2 2 8 4 a dS a S a . 3 3 S 3
数学分析 第二十二章 曲面积分
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复习思考题
1. 设可求面积的曲面 S 的方程为
z z ( x , y ), ( x , y ) D,
质量分布的密度函数为 ( x , y , z ). 试导出曲面块 S 的重心和转动惯量公式. 2. 试讨论第一型曲面积分的轮换对称性. 3. 给出第一型曲面积分的中值定理, 并加以证明.
0
2 a
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
第一型曲面积分的计算
例2 计算
( xy zx yz )dS ,
在 S 上第一型曲面积分的计算公式则为 f ( x, y, z )dS
f ( x( u, v ), y( u, v ), z( u, v )) EG F 2 dudv , (3)
D
S
其中
2 2 2 E xu yu zu ,
F x u x v y u yv z u z v , G xv2 yv2 zv2 .
x y z a .
2 2 2 2
S
(解法二) S 的参数方程为 x a sin cos , y a sin sin , z cos ,
( , ) [0, π] [0, 2π].
按 (3) 式计算如下: E a 2 cos2 cos2 a 2 cos2 sin2 a 2 sin2 a 2 ,
S1 S2
2
2
x y a
2
a(a 2 x 2 )
2
a2 x2 y2
dxdy
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
第一型曲面积分的计算
2a d r
0
a
2π
a 2 r 2 cos 2 a2 r 2
0
r d
2πa
用二重积分的极坐标变换,
I 2 (sin t cos t sin t cos t )dt
π 2 π 2 2 a cos t 0
r 3dr
4 2a
8 2a
π 4 2 π 2 π 4 2 0
(sin t cos t sin t cos t )cos4 tdt
数学分析 第二十二章 曲面积分
§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的典 型物理背景是求物质曲面 一、第一型曲面积分的概念 的质量. 由于定积分、重积 二、第一型曲面积分的计算 分、第一型曲线积分与第 一型曲面积分它们同属 “黎曼积分”，因此具有 相同实质的性质. *点击以上标题可直接前往对应内容
§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的性质完全类似于第一类曲线积分,
请读者自行写出.
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1
设有光滑曲面 S : z z ( x , y ) , ( x , y ) D , f ( x , y , z )
πa
a2 0
a
2a 2 r 2 a r
2 2
0
r dr
a2 2 a t dt 2 a t
8 4 πa . 3
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
第一型曲面积分的计算
例4 计算曲面积分 J ( y 2 z 2 )dS , 其中 S 是球面
5
64 cos tdt 2a 4 . 15
数学分析 第二十二章 曲面积分
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念
第一型曲面积分的计算
对于由参量形式表示的光滑曲面
x x ( u, v ), S : y y( u, v ), ( u, v ) D , z z ( u, v ),
第一型曲面积分的计算
例1 计算
S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
平面 z h (0 h a ) 所截
得的顶部 (图22-1).
2 2 2
O
y
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D为
2 2 2 2 x y a h . 圆域
第一型曲面积分的计算
EG F 2 a 4 sin2 a 2 sin ;
J (a 2 sin 2 sin 2 a 2 cos 2 ) a 2sin d d
D
a
4
0
4
2
d 0 (sin 2 cos 2 cos 2 )sin d
第一型曲面积分的概念
第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分的概念
类似第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块 S，