【浙教版】八年级数学上1.5 三角形全等的判定(4)同步练习(含答案)

1.5 三角形全等的判定（四）
1.如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是(A)
A. AC＝BD
B. ∠CAB＝∠DBA
C. ∠C＝∠D
D. BC＝AD
(第1题) (第2题)
2.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，延长DP交OB于点F，延长EP交OA于点G，则图中有__4__对全等三角形，它们分别是△FPE≌△GPD，△OEP≌△ODP，△OPF≌△OPG，△ODF≌△OEG.
(第3题) (第4题) (第5题)
4.如图，∠B ＝∠D ，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC ≌△ADC ，你所添加的条件是∠BAC ＝∠DAC (答案不唯一)(只添一个即可).
5.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，D ，E 为垂足.求证：DE ＋BE ＝CE .
【解】 ∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°. 又∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠BCE ＝∠BCE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠ACD ＝∠CBE .
在△ADC 和△CEB 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠ADC ＝∠CEB ，∠ACD ＝∠CBE ，AC ＝CB ，
∴△ADC ≌△CEB (AAS ).∴CD ＝BE . ∴DE ＋BE ＝DE ＋CD ＝CE .
6.如图，已知点B ，E ，F ，C 在同一条直线上，∠A ＝∠D ，BE ＝CF ，且AB ∥C D.求证：AF ∥E D.
(第6题)
【解】 ∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，∴BF ＝CE . ∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.
在△ABF 和△DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，
∴△ABF ≌△DCE (AAS ). ∴∠AFB ＝∠DE C.∴AF ∥E D.
7.如图，在正方形ABCD 中，G 是BC 上任意一点，连结AG ，DE ⊥AG 于点E ，BF ∥DE
交AG 于点F ，探究线段DE ，BF ，EF 三者之间的数量关系，并说明理由.
(第7题)
【解】 DE ＝BF ＋EF .理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝DA ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°.
∵DE ⊥AG 于点E ，BF ∥DE 交AG 于点F ， ∴∠DEA ＝∠DEF ＝∠AFB ＝90°， ∴∠ADE ＋∠DAE ＝90°. ∵∠DAE ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ADE ＝∠BAF . 在△ABF 和△DAE 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠BAF ＝∠ADE ，∠AFB ＝∠DEA ，AB ＝DA ， ∴△ABF ≌△DAE (AAS ). ∴BF ＝AE ，AF ＝DE .
∵AF ＝AE ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF .
8.如图，已知AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S 等于(A )
(第8题)
A. 50
B. 62
C. 65
D. 68
【解】 ∵EF ⊥AC ，BG ⊥AC ，
∴∠EF A ＝∠AGB ＝90°，∠FEA ＋∠EAF ＝90°. ∵EA ⊥AB ， ∴∠EAB ＝90°. ∴∠EAF ＋∠GAB ＝90°. ∴∠FEA ＝∠GA B. 又∵AE ＝BA ， ∴△EF A ≌△AGB (AAS ). ∴AF ＝BG ，EF ＝AG . 同理，△BGC ≌△CHD ， ∴GC ＝HD ，BG ＝CH .
∴FH ＝F A ＋AG ＋GC ＋CH ＝3＋6＋4＋3＝16. ∴S ＝12×(6＋4)×16－12×3×4×2－12
×6×3×2＝50.
9.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为9，则BE ＝(B )
(第9题) (第9题解)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 【解】 如解图，过点B 作BF ⊥DC ，交DC 的延长线于点F . ∵∠CDA ＝90°，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ， ∴∠EBF ＝90°. 又∵∠ABC ＝90°，
∴∠ABE ＋∠EBC ＝∠CBF ＋∠EBC ， ∴∠ABE ＝∠CBF . ∵BE ⊥AD ，BF ⊥DF ， ∴∠AEB ＝∠CFB ＝90°.
又∵AB ＝CB ， ∴△ABE ≌△CBF (AAS ). ∴BE ＝BF .
易知四边形BEDF 为正方形，
∴四边形ABCD 的面积等于正方形BEDF 的面积，即等于9， ∴BE 2＝9，即BE ＝3.
10.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为1，l 2，l 3之间的距离为2，过点A 作AE ⊥l 3于点E ，求BE 的长.
(第10题)
【解】 过点C 作CF ⊥l 3于点F .
∵l 1，l 2之间的距离为1，l 2，l 3之间的距离为2，AE ⊥l 3，CF ⊥l 3， ∴CF ＝3，∠AEB ＝∠BFC ＝90°. ∴∠EAB ＋∠ABE ＝90°. ∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABE ＋∠FBC ＝90°. ∴∠EAB ＝∠FB C.
在△AEB 和△BFC 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠EAB ＝∠FBC ，∠AEB ＝∠BFC ，AB ＝BC ，
∴△AEB ≌△BFC (AAS ). ∴BE ＝CF ＝3.
11.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE ，CE 分别平分∠ABC ，∠BCD ，且点E 在AD 上.求证：BC ＝AB ＋C D.
(第11题)
【解】在BC上截取BF＝AB，连结EF.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠DCE＝∠FCE.
又∵BE＝BE，AB＝FB，
∴△ABE≌△FBE(SAS).
∴∠A＝∠BFE.
∵AB∥DC，∴∠A＋∠D＝180°.
∵∠BFE＋∠CFE＝180°，
∴∠D＝∠CFE.
又∵∠DCE＝∠FCE，CE＝CE，
∴△DCE≌△FCE(AAS).∴CD＝CF.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋C D.
12.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD 与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝F D.
(第12题)
【解】连结BF.
∵F是∠BAC与∠ACB的平分线的交点，
∴BF是∠ABC的平分线.
又∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM ＝FN ，∠EMF ＝∠DNF ＝90°. ∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴∠BAC ＝30°，
∴∠DAC ＝1
2∠BAC ＝15°，
∴∠CDA ＝75°. 易得∠ACE ＝45°，
∴∠CEB ＝∠BAC ＋∠ACF ＝75°， 即∠NDF ＝∠MEF ＝75°.
在△DNF 和△EMF 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠DNF ＝∠EMF ，∠NDF ＝∠MEF ，NF ＝MF ，
∴△DNF ≌△EMF (AAS ). ∴FE ＝F D.。