欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的区别。
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
空间中的平行关系
诚西郊市崇武区沿街学校.2空间中的平行关系平行公理从古希腊时代到公元1800年间，许多数学家都尝试根据欧几里德的其他公理去证明欧几里德平行公理，结果都归于失败，19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约等人都各自独立地认识到这种证明是不可能的，也就是说平行公理是独立于其他公理的，并且可以用不同的平行公理替代欧几里德的平行公理而建立非欧几何学。
罗巴切夫斯基于1830年前后，发表了关于非欧几何的理论，罗巴切夫斯基的平行公理是.在一平面上，过直线外一点至少有两条直线与该直线一一共面而不相交.，由此演绎出一系列全新的无矛盾的结论，在这种几何里，三角形内角和小于180°，相似三角形不存在，等等。
这样一来，欧几里德几何与罗巴切夫斯基几何就存在本质上的区别，欧氏几何只是罗氏几何的特殊情况。
1854年，德国数学家黎曼研究了自己的几何学，他拓广了空间概念，例如四维的黎曼空间，创始了几何学的一片更广阔的领域，这种几何称为黎曼几何学。
在黎曼几何中，黎氏直线是封闭的〔是球的大圆〕，一切直线都相交。
黎氏平面上没有不相交的直线，黎氏三角线的内角和大于180°，黎氏几何中没有平行线。
罗氏几何学与欧氏几何的区别仅在于一条平行公理，而黎氏几何与欧氏几何的区别却大得多，不仅平行公理不同，其他公理亦不同。
研习点1平行直线1.平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.3.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.公理4的符号表述为：a//c，b//c a//b.本公理中说到的两条直线仍然是不重合的两条直线，否那么，平行同一条直线的两条直线还可能重合，在使用这个公理时，一定要先有两条直线不重合，才能得到两条直线平行的结论.公理4反映了两条直线的位置关系.公理4主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要根据.4.等角定理：假设一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向一样，那么这两个角相等.：如下列图，∠BAC 和∠B1A1C1的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线AB 与A1B1同向，射线AC 与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1。
数学几何48模型
数学几何48模型数学几何是数学的一个分支，它研究的是空间中的形状、大小、位置等问题。
在数学几何中，有许多重要的模型，其中最为著名的就是数学几何48模型。
一、欧氏几何模型欧氏几何模型是最为基础的数学几何模型之一，它是由古希腊数学家欧几里得所创立的。
欧氏几何模型研究的是平面和空间中的图形和变换，它的基本假设是平行公设。
二、非欧几何模型非欧几何模型是相对于欧氏几何模型而言的，它是在欧氏几何模型的基础上发展起来的。
非欧几何模型研究的是曲面和空间中的图形和变换，它的基本假设是平行公设不成立。
三、球面几何模型球面几何模型是一种特殊的非欧几何模型，它研究的是球面上的图形和变换。
球面几何模型的基本假设是平行公设不成立，且曲率为正。
四、双曲几何模型双曲几何模型是另一种非欧几何模型，它研究的是双曲面上的图形和变换。
双曲几何模型的基本假设是平行公设不成立，且曲率为负。
五、仿射几何模型仿射几何模型是一种介于欧氏几何模型和非欧几何模型之间的模型，它研究的是平面和空间中的图形和变换，但不考虑距离的大小和比例。
六、射影几何模型射影几何模型是一种特殊的仿射几何模型，它研究的是射影空间中的图形和变换。
射影几何模型的基本假设是平行公设不成立，但是不存在无穷远点。
七、向量几何模型向量几何模型是一种基于向量的几何模型，它研究的是向量空间中的图形和变换。
向量几何模型的基本假设是向量的加法和数乘运算满足一定的规律。
总之，数学几何48模型是数学几何中最为重要的模型之一，它们在数学研究和实际应用中都有着广泛的应用。
通过对这些模型的深入研究，我们可以更好地理解空间中的形状、大小、位置等问题，为我们的生活和工作带来更多的便利和启示。
《几何学》辅导纲要总结
《几何学》辅导纲要第一章 公理化方法与非欧几何主要内容：1．几何学公理化方法的构造和原理及其作用、意义 2．希尔伯特公理体系的结构3．公理系统的相容性、独立性和完备性 4．罗氏几何和黎曼几何的数学模型 重点掌握：1．公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题、完备性问题。
2.公理法的结构是原始概念的列举；定义的叙述；公理的叙述；定理的叙述和证明. 3．三角形内角和等于180度与欧氏平行公理等价。
4．欧氏几何与非欧几何的本质区别为平行公设不同。
5．公理系统的完备性: 如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。
6．几何公理: 公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定。
在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。
因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理。
7．公理系统的相容性: 一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。
8．欧几里得的第五公设：在一平面上如果直线l 与另外两条直线b a ,相交，有一侧的两个同侧内角βα,的和小于两直角，则直线a 与b 在同侧内角的和小于两直角的那一侧相交。
baαβl9．公理法的基本思想：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。
全部元素的集合构成了这种几何的空间。
在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。
10．公理系统的独立性：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。
如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。
欧式黎曼罗氏几何
欧式黎曼罗氏几何部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑除欧氏几何，还有罗氏几何、黎曼几何。
它们合称非欧几何。
可以推断你的基础还薄弱，理解不了这些，给你简单讲几句。
以后慢慢学你可能能理解。
欧几里德几何(欧式几何>的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧几里德几何的五条公理是：1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公里称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。
几何学基础简介
几何学基础简介Lex Li几何原本简介古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。
这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。
欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。
而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。
作为基础的五条公理和公设五条公理1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5.整体大于部分。
五条公设1.过两点能作且只能作一直线；2.线段(有限直线)可以无限地延长；3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；4.凡是直角都相等；5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
《几何原本》的主要内容欧几里得的《几何原本》共有十三卷。
目录第一卷几何基础第二卷几何与代数第三卷圆与角第四卷圆与正多边形第五卷比例第六卷相似第七卷数论（一）第八卷数论（二）第九卷数论（三）第十卷无理量第十一卷立体几何第十二卷立体的测量第十三卷建正多面体各卷简介第一卷：几何基础。
重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：几何与代数。
讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。
第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一"第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。
非欧几何
非欧几何罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。
因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。
在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
下面举几个例子加以说明：欧式几何：同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何：同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。
所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。
但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。
这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
欧氏几何 非欧几何 罗曼几何2007
欧氏几何非欧几何罗曼几何2007/05/20 11:06欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
后两种几何就称为非欧几何。
三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是正确的。
欧氏几何与非欧几何最显著的区别：在于对几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论的解释。
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
欧氏距离：在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)三维的公式是d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+z1-z2)^)推广到n维空间，欧式距离的公式是d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..nxi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826－1866德国汉诺威）黎曼1826年出生于汉诺威一个小村庄，父亲是路德派的牧师。
由于家庭生活困难，黎曼的六个兄弟姐妹中多数夭亡。
黎曼本人身体也很虚弱。
19岁时，黎曼依父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学，以便将来成为一名牧师。
当时的哥廷根大学由于有高斯而成为世界数学的中心之一，受这里数学研究气氛的感染，从小就在数学上显露才华的黎曼决定放弃神学，专攻数学。
于是转到柏林大学，从雅可比、狄利克雷、史坦纳那里受教，而进入新的数学领域。
平面几何五大公理
平面几何五大公理所谓公理：1) 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。
2) 某个演绎系统的初始命题。
这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义，5个公设，5个公理。
其实他说的公社就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等，公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。
分别是：1、五大公设：公设1从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能的。
公设2把有限的直线不断循直线延长是可能的。
公设3以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。
公设4所有的直角都相等。
公设5如果一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
2、五大公理公理1与同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
公理2等量加等量，总量仍相等。
公理3等量减等量，余量仍相等。
公理4彼此重合的东西彼此是相等的。
公理5整体大于部分。
今天我们常说的平面几何五大公理，就是指五大公设。
在这五个公设(理)里，欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。
亚里士多德就指出，头三个公设说的是可以构造线和圆，所以他是对两件东西顿在性的声明。
事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。
第五个公设非常罗嗦，没有前四个简洁好懂。
声明的也不是存在的东西，而是欧几里德自己想的东西。
这就足以说明他的天才。
从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性，但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。
很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉，但是几经努力而无果，无法从其他公设中推到处第五公设。
数学的三大核心领域——几何学范畴_0
数学的三大核心领域——几何学范畴在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。
“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。
现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形(点、线、面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。
例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。
初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。
几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。
这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。
定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。
现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便己形成。
因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。
古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。
公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。
后来印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念；赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。
由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。
我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年(约公元前1100年左右)的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。
三种几何差异
黎曼几何
黎曼流形上的几何学。德国数学家黎曼19世 纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根
大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的
就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在 这篇演说中黎曼将曲面本身看成一个独立的几何 实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一 个几何实体。
黎曼几何的规定：
欧式几何的五条公理：
1、任意两个点点可以通过一条直线连接。 2、任意线线段能无限延长成一条直线。 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心， 该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同 一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直 线在这一边必定相交。
罗氏几何
罗氏几何即双曲几何，也称罗巴切夫斯基
几何，波利亚-罗巴切夫斯基几何，是一种独 立于欧几里得几何的一种几何公理系统。
罗氏几何的公理：
1、同一直线的垂线和斜线不一定相交。 2、垂直于同一直线的两条直线，当两端延长 的时候，离散到无穷。不存在相似而不全等的
多边形。
3、过不在同一直线上的三点，不一定能做一 个圆。
过直线外一点，无法作一条直线与原直线不相交。
而物理界中，据黎曼几何，光线按曲线运动；而欧 氏几何中，光线按直线运动。
1、基本规定：在同一平面内任何两条直线都 有公共点(交点)。
2、直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
3、黎曼几何的模型是一个经过适当“改进” 的球面。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
欧式、罗氏、黎曼几何的区别
三种几何的区别，主要体现在如何对待
“殴几里得第五公设”。即
过直线外一点，只可以作一条直线
三角形三内角和欧氏几何罗氏几何黎曼几何的比较
三角形三内角和——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”．罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．”罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明．图7－11欧氏几何罗氏几何三角形的三内角和等于180 o．三角形的三内角和小于180o；并且不同的三角形有不同的内角和．存在矩形和相似形．不存在矩形和相似形．两个三角形的三个对应角相等则两个三角形相似．两个三角形的三个对应角相等，则两个三角形全等．两平行线之间的距离处处相等．两平行线之间的距离，沿平行线的方向越来越小．欧氏几何说：“三角形的三内角和等于180 o．”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图7－12左图．罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”．难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”．在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图7－12中间的图．图7－12现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图7－12右图．黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学．可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引．于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生．1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价．1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁．黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”．黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.”后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”．非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学．。
浅谈几何的发展历程
前言：
几何学是一门古老而实用的科学,是自然科学的 重要组成部分。在史学中,几何学的确立和统一经 历了二千多年,数百位数学家做出了不懈的努力。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何这个词最早来自于希腊语“γ ε ω μ ε τ ρ ία ”，由“γ έα ”
（土地）和“μ ε τ ρ ε ĭν ”（测量）两个词合成而来，指土地的测量
柏拉图主张:"只有循数学一途,才能了解实体世界 的真面目,而科学之成为科学,在於它含有数学的份." 就是因为希腊时代的一些学者对於自然的这种看法和 确立了依循数学研究自然的做法,给食腊时代本身及后 来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因.而在数学的 领域中,几何学是最接近实际的描述.对希腊人而言,几 何学的原则是宇宙结构的具体表现,本身正一门实际空 间的科学.几何学就是数学,研究的中心.
，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最
早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并
未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译
，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也
可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、
解析几何的诞生
解析几何是变量数学最重要的体现。解析几何的基本 思想是在平面上引入“坐标”的概念,并借助这种坐标在 平面上的点和有序实数对(x,y)建立一一对应的关系,于是 几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费 马。1637年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的 方法论》的附录《几何学》中清晰的体现了解析几何的思 想。而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析 几何的原理,他在书中提出并使用了坐标的概念,同时建立 了斜坐标系和直角坐标系。
笛卡尔几何和黎曼几何和罗氏几何的区别
笛卡尔几何和黎曼几何和罗氏几何的区别在数学领域中，笛卡尔几何、黎曼几何和罗氏几何是数学几何学的三个重要分支。
虽然它们都是研究几何形状和空间关系的学科，但在理论基础、研究对象和应用领域上存在一些显著的区别。
首先，笛卡尔几何是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，它建立了代数和几何之间的联系。
这种几何思想将点的坐标表示为数对(x, y)，使得几何问题可以用代数方程来解决。
笛卡尔几何的优势在于其坐标系的可见性和计算的便利性，因此被广泛应用于解析几何、计算机图形学等领域。
其次，黎曼几何是由德国数学家黎曼于19世纪提出的，它是从欧几里德几何发展而来的一种非欧几何。
黎曼几何的研究对象是曲面和多维空间，它引入了度量概念，通过度量张量来描述曲面的性质。
黎曼几何的研究主要集中在曲率的计算和性质的研究上，对于理解宇宙结构、广义相对论等具有重要意义。
最后，罗氏几何是由法国数学家罗氏于19世纪提出的，它是几何形体运动学的基础。
罗氏几何通过研究物体的平移、旋转和变形等运动，揭示了几何形体的性质和变化规律。
罗氏几何广泛应用于机械工程、机器人学等领域，为实际工程问题的解决提供了数学工具。
总的来说，笛卡尔几何、黎曼几何和罗氏几何都是几何学中的重要分支，它们之间存在着显著的区别。
笛卡尔几何注重代数与几何的联系，黎曼几何研究曲面的性质和变化规律，而罗氏几何是运动学的基础。
这三个分支各自在不同领域都有广泛的应用，为数学与工程学科发展做出了巨大贡献。
在文档中，我力求使用准确、生动和简洁的语言，避免出现与主题无关的内容。
同时，我尽量保持句子之间的逻辑联系，使文档内容更加通顺流畅。
希望本文对读者理解笛卡尔几何、黎曼几何和罗氏几何的区别有所帮助。
黎曼几何
黎曼几何目录黎曼几何介绍发展欧式几何与黎曼几何比较黎曼几何介绍发展欧式几何与黎曼几何比较展开编辑本段黎曼几何介绍黎曼流形上的几何学。
德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。
1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。
在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。
这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。
这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。
亦即（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。
这便是黎曼度量。
赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。
黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。
黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。
黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。
黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。
例如：定义度量（a 是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时，就是椭圆几何，而当a＜0时为双曲几何。
编辑本段发展李群与黎曼几何黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。
该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。
前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。
这个空间的几何学就叫做黎曼几何学
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Y B
A
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X
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Y
X
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三、球几何
继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Götingen 大学，Riemann 做了“关于作为几 何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更 为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种 简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。
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五、陈省身的贡献
Chern在几何学上做出了巨大贡献， 最为重要的是 Gauss-Bonnet定理高维推广的内蕴证明 纤维丛的陈类（Chern Class)
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两维的Gauss-Bonnet定理
局部公式
2 i kg ds kdA
i
V EF 2
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环面的欧拉示性数
V EF 0
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双环面的欧拉示性数
V E F 2
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三环面的欧拉示性数
V E F 4
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定向紧致曲面：球面，环面，双环面等等，
在拓扑同构的意义下，所有紧致可定 向曲面，都是球面粘上g个环柄得到的。 都可以进行三角剖分。欧拉示性数为
cosa cosbcosc sin bsin c cos A cosc cosbcosa sin bsin a cosC cosb cosa cosc sin asin c cosB
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数学的理解一般性原理21几何学的分类（黎曼几何、罗氏几何）
数学的理解一般性原理21几何学的分类（黎曼几何、罗氏几何）数学的理解一般性原理21黎曼、罗巴切夫斯基几何：平行公理的疑惑先做一点准备工作。
度量的概念是怎样炼成的笛卡尔在欧几里得空间建立了直角坐标系，开创了解析几何使得（以平面直角坐标系为例）空间点的坐标和有序数偶（x, y）之间建立了一一对应的关系。
于是，两点A（x1, y1）、B（x2, y2）之间的距离可以用下面的代数表达式来计算：这也称为是欧几里得度量。
如何具体计算度量（距离），则在很大程度上决定了空间的性质。
从上面的式子，不难发现度量（距离）应满足的三个基本性质：1）非负性：距离总是涉及两个点，距离的大小总是非负的实数：2）对称性：也就是从A点到B点的距离，等于从B点到A点的距离：3）满足三角不等式：三角形任意两边之和不小于第三边。
在上述的关于距离的定义，就称为欧几里得度量。
抽去欧几里得空间这个背景，那么距离的概念就升华为抽象的度量的概念。
以集合的语言，度量的定义如下。
设d是定义在集合X上的二元函数，它满足：① 函数值是一个非负实数，即：d(x₁，x₂)≥0，等号仅当x₁＝x₂时成立；② 满足对称性，即：d(x₁，x₂)＝d(x₂，x₁)；③ 满足三角不等式：d(x₁，x₂)＋d(x₂，x₃)≥d(x₁，x₃)。
那么，d称为是集合X上的一个度量。
d叫做度量函数，或者距离函数。
x₁，x₂，x₃都是集合X的任意三个元素。
集合本来是没有任何结构的。
一旦在集合上定义某种结构，就成为了数学的研究对象。
度量函数d便在集合上定义了一种度量结构。
定义了度量的集合，记作（X，d），称为度量空间。
如果d是欧氏（欧几里得）度量，那么（X，d）就是欧氏空间，也就是平面几何成立的空间。
只是，这里的欧式空间不仅仅局限于熟悉的三维空间，而是更加一般的n维欧氏空间。
不同的度量函数，所定义的度量空间的性质当然会不同。
到了范畴学，度量的概念又进一步升级为范数。
随着数学的深入，形象思维将越来越没有生存的空间了。
黎曼几何入门
黎曼几何入门黎曼几何是现代数学中的一个重要分支，它研究的是曲面和高维空间的性质和结构。
黎曼几何的发展对于数学和物理学的发展都起到了重要的推动作用。
本文将介绍黎曼几何的基本概念和主要内容，帮助读者初步了解这一领域。
一、黎曼几何的起源和发展黎曼几何的起源可以追溯到19世纪，由德国数学家伯纳德·黎曼提出。
他在1854年的一篇论文中首次提出了黎曼曲面的概念，并建立了黎曼几何的基本理论。
黎曼几何的发展经历了一个漫长而复杂的过程，涉及到许多数学家的贡献和努力。
20世纪初，黎曼几何得到了进一步的发展和推广，成为现代数学的重要分支之一。
二、黎曼几何的基本概念1. 曲面：在黎曼几何中，曲面是指一个二维的流形，可以用一个参数方程来描述。
曲面可以是平面、球面、圆柱面等等。
黎曼几何研究的主要对象就是曲面的性质和结构。
2. 流形：流形是黎曼几何的基本概念之一，它是一个具有局部欧几里德空间性质的空间。
流形可以是一维的曲线、二维的曲面，也可以是更高维的空间。
流形的研究是黎曼几何的核心内容之一。
3. 度量：度量是黎曼几何的重要概念，它用来度量流形上的距离和角度。
在黎曼几何中，度量是通过定义一个内积来实现的。
度量可以用来定义曲面的长度、面积和曲率等重要性质。
4. 曲率：曲率是黎曼几何的核心概念之一，它描述了曲面的弯曲程度。
曲率可以分为高斯曲率和平均曲率两种。
高斯曲率描述了曲面在某一点的弯曲程度，平均曲率描述了曲面在某一点的平均弯曲程度。
三、黎曼几何的主要内容1. 曲面的性质：黎曼几何研究的主要对象是曲面，它研究曲面的性质和结构。
黎曼几何通过度量和曲率等概念来描述曲面的性质，包括曲面的长度、面积、曲率等。
2. 流形的性质：黎曼几何研究的另一个重要内容是流形的性质。
流形是一个具有局部欧几里德空间性质的空间，它可以是一维的曲线、二维的曲面，也可以是更高维的空间。
黎曼几何通过定义度量和曲率等概念来描述流形的性质。
3. 黎曼度量：黎曼度量是黎曼几何的核心概念之一，它用来度量流形上的距离和角度。
欧氏几何学
欧氏几何学
欧氏几何学是一门探讨图形证明空间概念的数学学科，是传统的几何学的基础。
它涉及三维空间概念的基础理论，包括形状、位置、大小和空间结构等。
1800年，德国数学家克劳德·欧拉（Karl Friedrich Gauss）开创了欧氏几何学，它自此成为数学学科中的一大分支。
欧氏几何学建立在欧氏空间中，它是一种紧凑模式，由表示定义线段、多边形
和曲线的点组成，它们可以用算子进行联结并建立其中的定义和关系。
欧氏几何学使用几何证明实现形式化的演绎，结果是最终的实证事实，这一切都是由一系列的陈述构成的。
欧氏几何学的框架是一种称为“角度”的基本概念，用于描述直线和多边形的
空间关系，例如三角形的三条边的角度的和为180°，这是一种定义，在欧氏几何
学中是具有特殊意义的。
此外，它还涉及投影、正交、等值、正态分布等几何概念，可以理解和证明欧氏空间里空间图形的性质和关系，为更加棘手的几何问题奠定基础。
欧氏几何学可用于解决问题的抽象思考，为人们学习和理解三维空间里的空间
结构奠定基础，也为其它数学学科提供了前提。
它可以用于解决实际中几何问题，如水系平衡、碰撞理论、建筑运行动力学等，非常重要。
它还可以用于设计航空器及其他复杂工程产品，如机器人系统、机械系统等。
总之，欧氏几何学是一门重要的数学学科，它利用角度等基本概念来理解欧氏
空间中三维形体的形状、大小和关系，并有助于许多科学性的问题的推理和解释，从而有助于我们实现更加丰富的空间理解，进一步开展更加令人满意的解题技术。
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欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。
一、欧氏几何
欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
二、罗氏几何
相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。
三、黎曼几何
黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
结语
通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。
欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
通过深入学习和探索这些几何学的理论和方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，为科学研究和工程实践提供更多的可能性和机遇。
希望通过这篇文章的阐述，您能对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何有更清晰的认识，并能够在相关领域中有更深入的思考和应用。
欢迎您对这些几何学提出更多的疑问和探讨，让我们一起共同探索数学的奥秘和魅力。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们各自由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在数学
和物理领域中都发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用
上有着明显的区别，让我们一起更深入地了解它们。
让我们来了解一下欧氏几何。
欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的
名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面
以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，
这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的
基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常
生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
接下来，我们来介绍罗氏几何。
罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平
行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏
几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏
几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重
要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方
法显得尤为重要。
让我们认识一下黎曼几何。
黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，
黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面
和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论
奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别展现了数学的多样性和
丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
通过深入学习和探
索这些几何学的理论和方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，
为科学研究和工程实践提供更多的可能性和机遇。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何在现代科学和工程领域中发挥着巨大
的作用。
在数学领域，它们为不同的研究提供了理论基础和工具方法，如在几何拓扑学、微分方程和动力系统中的应用。
在物理学领域，这
些几何学为描述宇宙结构和引力场的变化提供了重要的数学模型和工具。
在工程领域，它们为设计新型材料和结构提供了理论指导和计算
方法。
对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，有助于我们更好地理
解数学的深刻内涵和丰富多彩的应用领域。
通过研究这些几何学，我
们能够更好地理解和应用数学知识，为科学研究和工程实践提供更多
的可能性和机遇。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多
样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
通过深入学
习和探索这些几何学的理论和方法，我们可以更好地理解和应用数学
知识，为科学研究和工程实践提供更多的可能性和机遇。
在未来，随着科学技术的不断发展，这三种几何学的研究和应用将会更加深入和广泛。
希望通过这篇文章的阐述，您能对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何有更清晰的认识，并能够在相关领域中有更深入的思考和应用。
如果您对这些几何学有更多的疑问和探讨，也欢迎您和我们一起共同探索数学的奥秘和魅力。