解三角形

解三角形 题组一
一、选择题 1．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）在△ABC 中，B=135︒，C=15︒，a =5，则此三角形的最大边长为
A ． 35
B ．34
C ．
D ．24
答案 C. 2．（陕西省宝鸡市2011年高三教学质量检测一）设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于3
4
的概率为
（ ）
A ．
964
B ．
964π C ．
916
π D ．
916
答案 B.
3. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）角α的终边过点(1,2)-，则cos α的值为
(C ) (D)答案 D.
4.（湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 在ABC ∆中,有命题:①
AB AC BC -= ②0AB BC CA ++=
③若()()0AB AC AB AC +⋅-=
,则ABC ∆为等腰三角形
④若0AC AB ⋅>
,则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.②③④ 答案 C.
5．（湖北省八校2011届高三第一次联考理）
在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若0
120,C c b ==
，则
（ ）
.A 045B > .B 0
45A > .C b a > .D b a <
答案 C.
6.（河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）记实数12,,x x …n x 中的最大数为
max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c
（a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c
a b c t b c a b c a
=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的
A ）充分布不必要的条件
B ）必要而不充分的条件
C ）充要条件
D ）既不充分也不必要的条件 答案 C.
7. （广东六校2011届高三12月联考文）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则B sin =
A.
33 B. 33± C. D. 3
6± 8．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理） 在ABC ∆中，若
C
c
B b A a cos cos cos =
=，则ABC ∆是 （ B ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
答案 B. 二、填空题
9. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）在△ABC 中，若1a b ==，c C ∠= .
答案9、
23
π； 10．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边
分别是,,a b c 若2
2
2
b c a bc +=+且4AC AB ⋅=uu u v uu u v
，则ABC ∆的面积等于
答案.
11．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，
1
,120,2,2
BD DC ADB AD =∠== 若△ADC 的面积为3-，则BAC ∠=_______ 答案
3
π
12．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）如图所示，如果∠ACB=0
90,在平面α内，
PC 与CA ，CB 所成的角∠PCA=∠PCB=0
60,那么PC 与平面α所成的角为
（第12题）
答案
45
13．（广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C
所对的边， 已知6
,3,3π
=
∠==
C b a ，则角A 等于__▲__.
14．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=
DC ，
ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为，则
BAC=___________。

答案
三、简答题 15．（陕西省宝鸡市2011年高三教学质量检测一）选做题（请在下列3道题中任选一题作答，
如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A ．不等式|1||2|4x x ++-≤的解集为 。

B ．直线21
,()1x t t y t =+⎧⎨
=-⎩
为参数过圆
2225
2104
x y ax ay a +-++-=的圆心，
则圆心坐标为 。

C ．已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA=2cm ，AC 是⊙O 的直径，PC 交⊙O 于点B ，
，则△ABC 的面积为 cm 2。

答案
16．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）
（本小题满分12分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m =（2sinB ，2-cos2B ），
)1),2
4
(
sin 2(2-+
=B
π
,m ⊥n ． （1）求角B 的大小；
（2）若a =b=1，求c 的值．
【分析】根据向量关系式得到角B 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B ，根据余弦定理列出关于c 的方程，解这个方程即可。

【解析】（1）022cos )2
4
(
sin sin 4,02
=-++
⋅∴=⋅∴⊥B B
B n m n m π
……2分
分
或分
7.6
5
6,05,2
1
sin ,02sin 21sin 2sin 2,
022cos )]2
cos(1[sin 222 ππππ
=∴<<=∴=--++∴=-++-∴B B B B B B B B B （2）6
,3π
=∴>=B b a 此时 ， ………………8分
.
1,,6
632,32;
2,2,6,39,323,0,23sin ,sin 3211,
sin sin :12.12,023,
cos 2::2222=∴=∴=--===∴=
=
=
=∴<<=∴=∴===∴=+-∴-+=c b c C A c C B A A A A A A
a
B b c c c c B ac c a b 边则角若边所以角因为若分或由正弦定理得方法二分
或由余弦定理得方法一π
πππππ
π
π
πππ 综上c=2或c=1． ……………………12分
【考点】简单的三角恒等变换、解三角形。

【点评】本题第一问主要考查三角恒等变换、第二问考查解三角形。

在以三角形为背景的三角类解答题中，方程思想的应用是非常广泛的，实际上正弦定理和余弦定理本身就是一个方程，根据已知和求解目标之间，把问题归结到解方程或者方程组的方法是解决这类试题的一个基本思想方法。

17．(浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题理) 设函数2()cos(2)2sin 3
f x x x π
=--
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC ，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1().1,3,2
f B b c ===求a 的值．
答案 （1）,,1)3
2sin(3)(ππ
=∴-+
=T x x f - ----------------------4分
单调增区间为)(12,125Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+-
ππππ------------------------------------7分 （2）6
,3232,21)(),,0(π
πππ=∴=+∴=∈B B B f B -------------------------11分 由正弦定理得1,23
23
或，或
==
a C π
π
---------------------------------------------14分 18．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）（本题满分14分）
在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知72c =，ABC ∆的面积为2
，
又tan tan tan 1)A B A B +=-． （I ）求角C 的大小； （II ）求a b +的值． 答案
19．（山东省聊城市2011届高三年级12月月考理）（本小题满分12分）
在△ABC 中，288
2,cos ,.39
B C C AB CA ==⋅=-
（1）求cos A ；
（2）求边BC 的长。

答案
20．（吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试理）（本题满分12分）ABC ∆的
三个内角A B C ，，依次成等差数列．
（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2
=，试判断ABC ∆的形状；
（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2
1
2222
C A A sin
cos +-的取值范围．
答案 解：（Ⅰ）∵C A B sin sin sin 2
=，∴ ac b =2
.
∵C B A ,,依次成等差数列，∴B C A B -=+=π2,3
π
=B .
由余弦定理B ac c a b cos 22
2
2
-+=，
ac ac c a =-+22，∴c a =.
∴ABC ∆为正三角形. （Ⅱ）2
1
2cos 2sin 32sin
2
-+A A C =
2
1
sin 232cos 1-+-A C
1223sin A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭
=
A A A sin 43cos 41sin 23-+ =A A cos 4
1
sin 43+ =
)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366
A πππ
<+<，
∴
1262sin A π⎛
⎫<+<
⎪⎝⎭
，114264sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭
. ∴代数式23
2cos 2sin 32sin 2
++A A C 的取值范围是144⎛ ⎝⎭
，. 21．（湖北省涟源一中、双峰一中2011届高三第五次月考理）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对
的边分别为a ，b ，c ，且1
cos 2a C c b
+=
（1）求角A 的大小；
（2）若a=1，求周长p 的取值范围． 答案
22．（湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考试卷）（本小题满分12分） 已知ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，
且sin().4
104
A A π
π
+=
<< （I ）求tan A 的值。

（II ）若ABC ∆的面积24,8,s b ==求a 的值。

答案 解：（Ⅰ）∵4
0π
<
<A ∴
2
4
4
π
π
π
<
+
<A 由10
2
7)4
sin(
=
+A π
得10
2
)4cos(
=
+A π
…2分
∴)44sin(sin ππ-+=A A =4cos )4sin(ππA +-4sin )4cos(ππA +=53
……4分
∴54cos =A ……5分 ∴43
tan =A ……6分
（Ⅱ）24sin 21
=A bc 得10=c ……8分
∴36cos 22
22=-+=A bc c b a ∴6=a ……12分
23. （湖北省八校2011届高三第一次联考理）
（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，向量
12(1sin , ), (cos 2, 2sin )7
p A q A A =-=
，且//p q .
（Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）若2,b =ABC ∆的面积为3，求a ．
答案 （Ⅰ）//p q 12
cos 2(1sin )2sin 7A A A ∴=-⋅，
26(12sin )7sin (1sin )A A A ∴-=-，25sin 7sin 60A A +-=，
3
sin . (sin 2)5
A A ∴==-舍 6分
（Ⅱ）由1
sin 3,22
ABC S bc A b ∆===，得5c =，
又4cos 5
A ==±，
2222cos 425225cos 2920cos a b c bc A A A ∴=+-=+-⨯⨯=-， 当4cos 5A =
时，2
13, a a ==； 10分 当4cos 5
A =-
时，2
45, a a ==. 12分
24. （黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理） （本题满分12分）
如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2DC BD =； （2）求
AB DC ⋅ 的值.
B A C
D
（第24题图）
答案 （1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BD
ADB BAD =
∠∠①，
在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC DC
ADC CAD =
∠∠②， ………………………2分 又AD 平分BAC ∠，
所以BAD CAD ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，
由①②得
3
6BD AB DC AC ==，所以2DC BD =.………………………………………………6分 （2）因为2DC BD =，所以
32
=
.
在△ABC 中，因为22222237611
cos 223721AB BC AC B AB BC +-+-===
⋅⨯⨯， …………10分 所以22()||||cos()
33AB DC AB BC AB BC B π⋅=⋅=⋅-
21122
37()3213=⨯⨯⨯-=-.………………………………………………………12分
25．（黑龙江省哈九中2011届高三期末考试试题理）（10分）在ABC ∆中，已知内角
32,3
==
BC A π
，设内角x B =，周长为y ．
（1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值 答案 （1）由正弦定理知
x AC x AC sin 4,60
sin 3
2sin =∴=
)32sin(4,60sin 32)
3
2sin(x AB x AB -=∴=-π
π
32)6sin(3432)32sin(
4sin 4++=+-+=∴ππx x x y ，)3
20(π<<x （2）26,6566πππππ=+∴<
+<x x 即3
π
=x 时，36max =y 26．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）（12分）在ABC ∆中,A 、B 、C 的对边分
别为a ．b ．c ，且满足sin :sin :sin 2:5:6A B C =。

（1）求cos x ;
（2）若ABC ∆，求ABC ∆的周长。

答案 解：（1）根据正弦定理及sinA:sinB:sinC=2:5:6可得a:b:c=2:5:6,于是可设a=2k,
b=5k,c=6k （k>0）,有余弦定理可得,85
622253642cos 222222=⨯⨯-+=-+=
k k k k k ac b c a B
即 ,8
5
cos =
B （2）有（1）可知，,8
39
cos 1sin 2
=
-=B B 有面积公式B ac S ABC sin 21=∆可得
,1,4
39
38396221==⨯⨯⨯k k k 故△ABC 的周长为：2k+5k+6k=13k=13． 27. （广东省高州市南塘中学2011届高三上学期16周抽考理）
（13分）已知△ABC 的角A ．B ．C 所对的边分别是a ．b ．c ，设向量(,
)m a b =
，
(sin ,sin )n B A = ，(2,2)p b a =--
（1）若//m n
，求证△ABC 为等腰三角形；
（2）若m p ⊥ ，边长2c =，角3
C π
=，求△ABC 的面积．
答案 （1）证明：∵m //n ∴asinA=bsinB 即2R
b b 2R a a ⋅=⋅
∴a=b
故△ABC 为等腰三角形
（2）⊥ 即a （b-2）+b （a-2）=0 ∴a+b=ab 由余弦定理：4=a 2+b 2-2abcos 3
π
=（a+b ）2-3ab 即（ab ）2-3ab-4=0
∵ab=4⇒S=
3absinc 2
1
=…………… 28．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（文科做）（本小题满分13分）在ABC
∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且ac b c a 2
1
2
2
2
=-+
（Ⅰ）求B cos 的值；
（Ⅱ）求B C
A 2cos 2
sin
2
++的值． 答案 28. 解：（1）由已知得，4
1
2cos 222=-+=
ac b c a B （2）2
1
cos 21cos 22cos 2cos 2cos 2sin 222
-+=+=++B B B B B C A
=-4
1
29．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）（本小题满分13分） 已知：向量与
共线，其中A 是△ABC 的内角。

（1）求：角
的大小；
（2）若BC =2，求△ABC 面积的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状。

答案 29. 解：
（1）因为m //n ,所以.
所以，即
，即.
因为
, 所以
. 故
，
.
（2）由余弦定理，得 又，
而
，（当且仅当
时等号成立）
所以
当△ABC 的面积取最大值时，
.
又，故此时△ABC 为等边三角形.
30．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）在ABC ∆中，a 、b 、c 为角A 、
B 、
C 的对边，已知A 、B 为锐角，且532cos =
A ，10
10
sin =B （1）求B A +的值
（2）若12-=-b a ，求a 、b 、c 的值
答案 30. 解：（Ⅰ）A 、B 为锐角，sin B =
cos B ∴==
又2
3cos 212sin 5
A A =-=
，
sin A ∴=
，cos A =
cos()cos cos sin sin 5105102
A B A B A B ∴+=-=-=
0A B π<+< 4
A B π
∴+=
…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=
,sin 2
C ∴=. 由正弦定理
sin sin sin a b c A B C
==得
==，即a =，c =
1a b -=
Q ，
1b -=，1b ∴=
31．（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷） （本题满分12分）
在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边，已知a b 、是方程2
20x -+= 的
两个根，且1
cos cos sin sin 2
A B A B -=
．求C ∠的度数和c 的长度． 答案 31. 解：（1）1cos cos sin sin 2
A B A B -= 1
cos()
2
A B ∴+= ………………………2分 3
A B π
∴+=
2()3
C A B π
π∴=-+=
， …………………………4分
2a b ab +==
222()28a b a b ab ∴+=+-= ……………………………7分 2222cos 10c a b ab C ∴=+-= …………………………10分
c ∴=…………………………………………12分
题组二
一、 选择题 1．（河南信阳市2011届高三第一次调研考试理） 已知角α的终边过点(8,6sin30)P m --︒，且4
cos 5
α=-
，则m 的值为 （ ）
A ．12
-
B
．C ．
12 D
答案 C. 二、填空题
1．（成都市玉林中学2010—2011学年度）ABC ∆三边长为c b a ,,，对应角为C B A ∠∠∠,,，
已知()2
22b a c --=⋅，则=∠C ____
答案 600，
2. （四川省成都市玉林中学2011届高三理）定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，
且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 A .(sin )(cos )f f αβ> B.(cos )(cos )f f αβ< C .(cos )(cos )f f αβ>
D.(sin )(cos )f f αβ<
答案 D.
3．(浙江省桐乡一中2011届高三文)如图所示，O 点在△ABC 内部，D 、E 分别是AC ，BC 边的中点，且有32++＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为（ ）
（A ）2 （B ）23 （C ）3 （D ）3
5
答案 B .
4.（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）定义运算：2
2
2x y x y xy *=-+，则c
o s s i n
3
3
π
π
*的值是（ ） （A
（B
（C
） （D
答案 D.
5. （河北省唐山一中2011届高三理）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥--=)
0(4)
0(4)(22
x x x x x x x f ，又βα,为锐角
三角形两锐角则（ ）
A.)(cos )(sin βαf f >
B. )(cos )(sin βαf f <
C. )(sin )(sin βαf f >
D. )(cos )(cos βαf f > 答案 B.
6.（四川省成都市玉林中学2011届高三理）=-)320cos(π
A ．
2
1 B ．
2
3 C ．-2
1
D ．-
2
3 答案 C. 二 填空题
7.（江苏泰兴2011届高三文）ABC ∆三边长为c b a ,,，对应角为C B A ∠∠∠,,，已知
()2
22b a c --=⋅，则=∠C ____
答案 600 8．（福建省四地六校联考2011届高三文）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，若3
A π
=
，a =1b =，则c 的值为 ．
答案 2 。

9．(河南信阳市2011届高三理）电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数
sin()(0,0)6
I A t A π
ωω=+
>≠的图象如图所示，
则当1
50
t =
时，电流强度是 。

答案 5.
三、 解答题 10．（浙江省桐乡一中2011届高三文）（本小题满分14分）
如图，已知△ABD 是等腰直角三角形，∠D ＝90°，BD ＝2。

现将△ABD 沿斜边的中线DC 折起，使二面角A －DC －B 为直二面角，E 是线段AD 的中点，F 是线段AC 上的一个动点（不包括A ）．
（1）确定F 的位置，使得平面ABD ⊥平面BEF ；
（2）当直线BD 与直线EF 所成的角为60°时，求证：平面ABD ⊥平面BEF ．
C
D
B
B
答案 10．解法一 （1）由已知二面角A-DC-B 为直二面角，又AC CD ⊥， ∴
AC BCD ⊥面
在Rt ACD ∆中，1,45CD ADC =∠=︒， ∴AC ＝1。

以C 为原点，分别以CB 、CD 、CA 为x ，y ，z 的正半轴建立空间直角坐标系， 则B （1，0，0），D （0，1，0），A （0，0，1）。

∵E 为AD 中点，∴
11
(0,,)
22E ， ∵11
(0,1,1)(1,,)0
22AD BE ⋅=--= ，∴AD BE ⊥。

若面ABD ⊥面BEF ，则AD ⊥面BEF ，则AD ⊥EF ，即0AD EF =
，
设(0,0,)F z ，则11
(0,11)(0,,)0
22z ---= ， ∴11
()1(1)()00
22z z -+--=⇒= ，
∴F 点坐标为（0，0，0），即F 点与C 点重合时，平面ABD ⊥平面BEF 。

（2）由（1）知;
)0,1,1(),21
,21,0(→→
-=--=BD z EF
1
|cos ,|||2||||BD EF BD EF BD EF <>==
解得 z ＝0或z ＝1，由F 是线段AC 上（不包括A 、C ）
的点得z ＝0
∴F 点坐标为（0，0，0），即F 点与C 点重合，∴AD ⊥EF ，又BC ⊥AD ∴平面ABD ⊥平面BEF
解法二（1
）在折后图中，由已知得AB AD BD ===
AE ED =，则BE ⊥AD ，由
平面ABD ⊥平面BEF ，得AD ⊥面BEF ，得AD ⊥EF ，即F 应过E 的AD 边的垂线和AC 的交点，由AC=CD 知F 点即为C 点。

（2）取AB 的中点为G ，连结CG 、GE,由已知可得CE=CG=GE, ∴CE 与GE 成60︒角,即F 点与C 点重合，在等腰直角三角形ACD 中,可证AD ⊥CE 又BC ⊥AD ,C CE BC 于 , ∴AD ⊥面BCE ,即AD ⊥面BEF
∴平面ABD ⊥平面BEF
11. （福建省福州八中2011届高三理）（本小题13分）
已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如下图所示：
（1）求函数)(x f 的解析式并写出其所有对称中心；
（2）若)(x g 的图象与)(x f 的图象关于点 P （4，0）对称，求)(x g 的单调递增区间．
答案 2. （本小题14分）解：（1）由图可得。

A=2，
8)2(62=--=T ，所以，8
,16π
ω==T ，…2分 则此时)8
sin(
2)(ϕπ
+=x x f ，将点()
2,2代入， 可得4
π
ϕ=
.…………4分
∴)4
8
sin(
2)(π
π
+
=
x x f ；
对称中心为(82,0)()k k Z -∈ ………………………………7分 （2）由)(x g 的图角与)(x f 的图象关于点 P （4，0）对称， 得)8()(x f x g --=,……………………9分
)(x g ∴=]4)8(8sin[2π
π+--x
=)458sin(2)845sin(
2π
πππ-=--x x ,…………………………11分 令)(14166162
245822Z k k x k k x k ∈+≤≤++≤-
≤-得π
πππππ. 即)(x g 单调递增区间为[16k+6,16k+14]k Z ∈………………13分
12. （河北省唐山一中2011届高三理）在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，AMC ∆的三边长
是连续三个正整数，且
.cot tan BAM C ∠=∠（I ）判断A B C ∆的形状；（II ）求BAC ∠的余弦值。

答案 12. （I ）设,,βα=∠=∠MAC BAM
则由︒=+=90cot tan C C αα得
︒=+∴90B β
…………1分
ABM ∆中，由正弦定理得 .sin sin ,sin sin MB
AM
B B AM BM ==αα即 同理得
,sin sin MC
AM
C =β …………3分
,MC MB = ,sin sin sin sin β
αC
B =∴
B C sin sin sin sin βα=∴ ,90,90︒=+︒=+B C βα ββααcos sin cos sin =∴
…………5分
即,2sin 2sin βα=︒=+=∴90βαβα或 当︒=90αβ时，,2
1
MC BC AM ==
与AMC ∆的三边长是连续三个正整数矛盾， C B ∠=∠∴=∴,βα，ABC ∆∴是等腰三角形。

…………7分
（II ）地直角三角形AMC 中，设两直角边分别为,1,1,+-n n n 斜边为
由222)1()1(-+=+n n n 得n=4，
…………9分
由余弦定理或二倍角公式得.257cos =∠BAC 或.25
7cos -=∠BAC
…………12分
13. （福建省四地六校联考2011届高三理）(本小题满分13分) 在平面直角坐标系xOy 中，
O 为坐标原点，已知点A ）（ααsin ,cos ),0,5
6
(P （I ）若,6
5
cos =
α求证：P ⊥； （II
=求)22
sin(απ
+的值．
答案 13. 解：（I ） 由题设知).sin ,cos (),sin ,cos 56
(a a PO a a PA --=--=……………………2分
所以2
sin ()cos )(cos 5
6(）a a a -+--=⋅
.1cos 5
6
sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………4分
因为,6
5
cos =a 所以.0=⋅故 .⊥ ……………………7分
（II
=
,= ……………………8分 即
.sin cos sin )56cos 2
222a a a a +=+-（ 解得.53
cos =a ……………………11分
从而257
1cos 22cos 22sin(2-=-==+ααπ）
a ………………13分 14.（福建省福州八中2011届高三理）（本小题13分）
若
)
2
sin()tan()2cos()sin(απ
απαπαπ+---=3
3
-
，且()πα,0∈. 求（1）
α
αα
αsin cos sin cos +-；（2）ααα2cos cos sin 1+-的值．
答案 14.（本小题13分）
[解析] ⑴将
)
2
sin()tan()
2cos()sin(απ
απαπαπ+---=33-
化简，得3
3cos =α……2分 ∵()πα,0∈∴可求得2tan =α，……………………………………5分
（1）3222121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos -=+-=+-=+
-
=
+-ααα
ααααααα；……8分 （2）α
ααααααα2
222
cos sin cos cos sin 1cos cos sin 1++-+=+-…………10分 324121211cos sin 1
cos sin 122
-=++-+=++-
+=α
α
αα
………………13分 15．（河南信阳市2011届高三理）符号[]x 表示不超过x 的最大整数，
如[2]2,[]3,[2π===-，定义函数()[]f x x x =-，设函数(),()3
g x f x π
=-
若在
区间(0,2)x ∈上
零点的个数记为,()()a f x g x 与图象交点的个数记为b ，则()b
a
g x dx ⎰
的值是 。

答案 52
-.。