高中数学：1.3《导数在研究函数中的应用》教案(新人教A版选修2-2)

导数在研究函数中的应用

目标认知

学习目标：

1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.

2. 了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次.

3．会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.

重点：利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值

难点：利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.

知识要点梳理

知识点一：函数的单调性

(一) 导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上

有恒成立（但不恒等于0）．

注意：

1. 若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则

仍为增函数（减函数的情形完全类似）.即在区间(a,b)内，（或）是在(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：

而f(x)在R上递增.

2. 学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.

3. 要关注导函数图象与原函数图象间关系.

（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：

1. 确定函数的定义域；

2. 求导数；

3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；

当时，在相应区间上为增函数；当

时在相应区间上为减函数.

4. 写出的单调区间.

知识点二：函数的极值

（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，

（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；

（2）若对附近的所有点，都有，则是函数

的一个极小值，记作.

极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

注意：由函数的极值定义可知：

（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.

（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平

的，从而有.但反过来不一定.如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点不是函数的极值点.

（二）求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；

④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

知识点三：函数的最大值与最小值

（一）函数的最大值与最小值定理

若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.

（二）求函数最值的的基本步骤：

若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数（2）求在内的极值；

（3）求在闭区间端点处的函数值，；

（4）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值.

（三）最值理论的应用

解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基

本解题思路为：

（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；

（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.

规律方法指导

（1）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域 D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应有.如：.

（2）最值与极值的区别与联系：

①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念，最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；

②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；

③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.

④若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.

典型例题

例1．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

解析：f'(x)=3ax2+1，若a≥0, f'(x)>0，对x∈R恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾。

若a<0，∵ f'(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。

∴ a<0且单调减区间为，单调增区间

为。

例2．求函数y=2ex+e-x的极值。

解析：y'=2ex-e-x，令y'=0, 即2e2x=1, 列表：x

y' - 0 +

y ↘极小值↗

∴ y极小。

例3．求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。