2015-2016年河北省衡水市冀州中学高二(下)期中数学试卷(文科)(a卷)和答案

2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（下）期中数学试卷
（文科）（A卷）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）如图，在复平面内，点M表示复数z，则z的共轭复数对应的点是（）
A．M B．N C．P D．Q
2．（5分）设f：x→log2x是集合A到对应的集合B的映射，若A={1，2，4}，则A∩B等于（）
A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，4} 3．（5分）已知x、y的值如图所示，
如果y与x呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+，则b=（）A．B．C．D．
4．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）
A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0
C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0 5．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（）
A．9B．10C．11D．12
6．（5分）已知A为三角形的内角，则sinA＞是cosA＜的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知向量，若，则实数λ=（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
8．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A．12B．18C．22D．44
9．（5分）为得到函数y=sin（π﹣2x）的图象，可以将函数y=sin（2x﹣）的图象（）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
10．（5分）实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为
12，则实数k=（）
A．9B．﹣9C．﹣12D．12
11．（5分）若实数a＞1，则函数f（x）=log a（x2﹣5x+6）的单调减区间为（）A．（，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N ，则的最大值为（）
A ．
B ．C．1D ．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为．14．（5分）函数f（x）=x3+2xf′（1），则函数f（1）=．
15．（5分）如果一个圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积是．
16．（5分）已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin （）=，则的x1x2+y1y2值为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若
C=，求的值．
18．（12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：
（Ⅰ）完成如图月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
（Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；
（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．
20．（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，F1、
F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，+=λ（0＜λ＜4，λ≠2）．求证：直线AB的斜率为定值．
21．（12分）已知f（x）=e x﹣x，g（x）=asinx+b，g（x）在（，g（））处
的切线方程为6x﹣12y+18﹣π=0
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求g（x）的解析式；
（Ⅲ）当x≥0时，g（x）≤me x恒成立，求m的取值范围．
【选考题】请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题
的首题进行评分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC 于点E，AB=2AC．
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．
（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；
（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．选修4﹣5：不等式选讲
设f（x）=|x+1|+|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）≤3x+4；
（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．
2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（下）期中数
学试卷（文科）（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）如图，在复平面内，点M表示复数z，则z的共轭复数对应的点是（）
A．M B．N C．P D．Q
【解答】解：由题意可得z=a+bi，由于对应的点M在第二象限，
故可得a＜0，b＞0，故z的共轭复数=a﹣bi，
故a＜0，﹣b＜0，即对应的点在第三象限，
且与M关于x轴对称，由图可知N符合要求，
故选：B．
2．（5分）设f：x→log2x是集合A到对应的集合B的映射，若A={1，2，4}，则A∩B等于（）
A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，4}
【解答】解：∵f：x→log2x是集合A到对应的集合B的映射，且A={1，2，4}，∴B={0，1，2}，
则A∩B={1，2}．
故选：C．
3．（5分）已知x、y的值如图所示，
如果y与x呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+，则b=（）A．B．C．D．
【解答】解：根据所给的三对数据，得到=3，
=5，
∴这组数据的样本中心点是（3，5）
∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，
∴5=3b+，
∴b=，
故选：B．
4．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）
A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0
C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0
【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题
∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0
故选：D．
5．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（）
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；
第二次运行s=0++，k=3；
…
∴第n次运行s=0+++…+=×（1﹣+﹣+…+﹣
）=×（1﹣）=，
当输入a=时，由n＞a得n＞9，程序运行了10次，输出的k值为11．
故选：C．
6．（5分）已知A为三角形的内角，则sinA＞是cosA＜的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由于A为三角形的内角，则0＜A＜π，
∵，∴＜A＜，
∵，∴＜A＜π
由于{A|＜A＜}{A|＜A＜π}，
则的充分不必要条件．
故选：A．
7．（5分）已知向量，若，则实数λ=（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【解答】解：∵，
∴．
∴=λ（λ+2）+1=0
，解得λ=﹣1．
故选：B．
8．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A．12B．18C．22D．44
【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，
∴S11===22，
故选：C．
9．（5分）为得到函数y=sin（π﹣2x）的图象，可以将函数y=sin（2x﹣）的图象（）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【解答】解：∵函数y=sin（π﹣2x）=sin2x，将函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x ﹣）]的图象向左平移个单位，
可得函数y=sin[2（x+﹣）]=sin2x 的图象，
故选：B．
10．（5分）实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为
12，则实数k=（）
A．9B．﹣9C．﹣12D．12
【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：
设z=x+3y，则z的最大值为12，即x+3y=12，
且y=，则直线y=的截距最大时，z也取得最大值，
则不等式组对应的平面区域在直线y=的下方，
由，解得，
即A（3，3），
此时A也在直线2x+y+k=0上，
即6+3+k=0，
解得k=﹣9，
故选：B．
11．（5分）若实数a＞1，则函数f（x）=log a（x2﹣5x+6）的单调减区间为（）A．（，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）【解答】解：函数f（x）=log a（x2﹣5x+6）的定义域为{x|x＞3，或x＜2}
∵t=x2﹣5x+6在（﹣∞，2）上单调递减，在（3，+∞）单调递增
实数a＞1，y=log a t在（0，+∞）单调递增
由复合函数的单调性可知，函数f（x）在（﹣∞，2）单调递减
故选：D．
12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足
为N，则的最大值为（）
A．B．C．1D．
【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，
由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，
|AB|2=（a+b）2﹣2ab，
又ab≤，
∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，
得到|AB|≥（a+b）．
∴≤=，即的最大值为．
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为或．【解答】解：由题意可得，当焦点在x轴上时，=，∴==
=．
当焦点在y轴上时，=，∴===，
故答案为：或．
14．（5分）函数f（x）=x3+2xf′（1），则函数f（1）=﹣5．
【解答】解：f（x）=x3+2xf′（1），
求导可知：f′（x）=3x2+2f′（1），
f′（1）=3+2f′（1），
f′（1）=﹣3，
∴f（x）=x3﹣6x，
f（1）=1﹣6=﹣5，
故答案为：﹣5．
15．（5分）如果一个圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面
积是3π．
【解答】解：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为2，
则这个圆锥的表面积是×2π×2+π•12=3π．
故答案：3π．
16．（5分）已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x1x2+y1y2值为﹣．【解答】解：由题意可得＜θ＜π，sin（）=＞0，
∴还是钝角，∴cos（）=﹣，
∴，
∴cosθ=﹣．
∴•=x1•x2+y1•y2=||•||cosθ=1×1×（﹣）=﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=，求的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．
再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．
（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．
化简可得5ab=3b2，∴=．
18．（12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：
（Ⅰ）完成如图月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
（Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；
（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）如图
（Ⅱ）20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43（百元）
即该单位员工月平均工资估计为4300元．
（Ⅲ）由上表可知：月工资在[25，35）组的有两名女工，分别记作甲和乙；月工资在[45，55）组的有四名女工，分别记作A，B，C，D．
现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组：
（甲，乙），（甲，A），（甲，B），（甲，C），（甲，D），
（乙，A），（乙，B），（乙，C），（乙，D），
（A，B），（A，C），（A，D），
（B，C），（B，D），
（C，D）
其中月工资差不超过1000元，
即为同一组的有（甲，乙），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共7组，
∴所求概率为．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，AC交于O点，
∵PB=PD，
∴PO⊥BD，
又ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）则AC=2，
∵△ABD和△PBD的三边长均为2，
∴△ABD≌△PBD，
∴AO=PO=，
∴AO2+PO2=PA2，
∴AC⊥PO，
S△PAC=•AC•PO=3，
V P﹣BCE=V B﹣PEC=V B﹣PAC=••S△PAC•BO=××3×1=．
20．（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，F1、
F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，+=λ（0＜λ＜4，λ≠2）．求证：直线AB的斜率为定值．
【解答】（1）∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），
∴|PF2|==，|PF1|==，
∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，
∴椭圆E的方程为：=1．
（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由+=λ，得（x1+1，y1﹣）+（x2+1，y2﹣）=λ（1，﹣），
所以x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ），
又3+4=12，3+4=12，
两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
①式代入得AB的斜率k==．
∴直线AB的斜率为定值．
21．（12分）已知f（x）=e x﹣x，g（x）=asinx+b，g（x）在（，g（））处的切线方程为6x﹣12y+18﹣π=0
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求g（x）的解析式；
（Ⅲ）当x≥0时，g（x）≤me x恒成立，求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）=e x﹣1=0，得x=0，（1分）
∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．
∴f（x）的增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞），
=f（0）=1．（3分）
∴f（x）
极小值
（Ⅱ）g′（x）=acosx，g′（）=，解得a=1．
又g（）=，
∴6﹣12（）+18﹣=0，∴b=1，
∴g（x）=sinx+1．（6分）
（Ⅲ）当x≥0时，sinx+1≤me x，令h（x）=sinx+1﹣me x，
当m＜1时，h（0）=1﹣m＞0矛盾，（8分）
首先证明sinx≤x在[0，+∞）恒成立．
令r（x）=sinx﹣x，r′（x）=cosx﹣1≤0，
故r（x）为[0，+∞）上的减函数，
r（x）≤r（0）=0，故sinx≤x，（10分）
由（Ⅰ）知e x≥x+1，故当m≥1时，
h（x）=sinx+1﹣me x≤e x﹣me x
=e x﹣me x=（1﹣m）e x≤0，
综上m≥1．（12分）
【选考题】请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC 于点E，AB=2AC．
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．
【解答】证明：（Ⅰ）连接DE，
由于四边形DECA是圆的内接四边形，
所以：∠BDE=∠BCA
∠B是公共角，
则：△BDE∽△BCA．
则：，
又：AB=2AC
所以：BE=2DE，
CD是∠ACB的平分线，
所以：AD=DE，
则：BE=2AD．
（Ⅱ）由于AC=1，
所以：AB=2AC=2．
利用割线定理得：BD•AB=BE•BC，
由于：BE=2AD，设AD=t，
则：2（2﹣t）=（2+2t）•2t
解得：t=，
即AD的长为．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．
（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；
（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
【解答】解：（1）由圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为x2+y2=16．
（2）由直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．
直线上的点可以表示为（2+t×cos，3+t×sin），t为该点到P的距离；
可得②
把②代入①得，③
设t1，t2是方程③的两个实根，则t1t2=﹣3
∴|PA|•|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3
[选修4-5：不等式选讲]
24．选修4﹣5：不等式选讲
设f（x）=|x+1|+|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）≤3x+4；
（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．
【解答】选修4﹣5：不等式选讲
解：（1）因为f（x）=|x+1|+|x﹣3|．
所以，
所以原不等式f（x）≤3x+4；
等价于
①或②或③，
解得①无解，②0≤x≤3，③x＞3，
因此不等式的解集为：{x|x≥0}．
（2）由于不等式f（x）≥m的解集为R，所以f（x）min≥m，
又f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1+3﹣x|=4，即f（x）min=4，所以m≤4，即m的取值范围为（﹣∞，4]．。