03第三章第1节 函数误差

f x 第i个直接测得量 xi 对间接量 y在该测量点 ( x1 , x2 , i
, xn )
16
处的误差传播系数
第一节
y2
函数误差
f 2 xn xn
2
相互独立的函数标准差计算
Dij ij 0 若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 2 2 2
建立间接测量大工件直径的函数模型 l2 D h 4h 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm 处的直径测量值
l2 5002 D0 h mm 50mm 1300mm 4h 4 50
9
第一节
因为
函数误差
D f (l , h)
根据 （3-2），可得直径D的系统误差为
l 2 f 2 f 2 l 2 l h s 1 limh lim lim lim 2 l h 2h 4h
l2 f f l D l h l 1 h 2 l h 2h 4h 2 2 f l 500 误差传递系数为: 2 1 1 24 2 h 4h 4 50
（3-3）
当 ai 1 （3-4） y x1 x2 ... xn 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个 测量值系统误差之和 2、三角函数形式
1 n f xi cos i 1 xi n 1 f xi sin i 1 xi
4） 余弦函数形式为:
cot f x1, x2 ,, xn
2 2 2
f 2 f 2 f 2 函数随机误差公式为： sin 2 x x1 x x 2 x xn 1 2 n
【例3-2】用双球法检定高精度内锥角 ，已知
D1 0.002mm D2 0.003mm
测得尺寸及系统误差为
l1 93.921mm l2 20.961mm l1 0.0011mm l2 0.0008mm
求检定结果 由图所示测量方法，可 得函数关系式
D1 D2 sin 2 2l D1 D2 2l1 2l2 D1 D2
因
sin
0
2
f l1 , l2 , D1 , D2
根据（3-6），角度 的系统误差
f f f f l1 l2 D1 D2 0 l1 l D D 2 1 2 cos 2 2
12
第一节
2
函数误差
f f f f l1 l2 D1 D2 0 l1 l D D 2 1 2 cos 2
3
第三章
3.1 函数误差
一、函数系统误差计算 二、函数随机误差计算
误差的合成与分配
3.4 系统误差与随机误差的合成 一、按极限误差合成 二、按标准差合成 3.5 误差分配 一、按等作用原则分配误差
二、按可能性调整误差 三、验算调整后总误差 六、系统误差的消除 3.6 微小误差的取舍原则 3.7 最佳测量方案的确定 一、选择最佳函数误差公式
第3章
误差的合成与分配
1
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的 基本方法， 讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的 确定等问题 。 通过本章的学习，应掌握函数系统误差和 函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。
2
教学重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
f l 500 5 l 2h 2 50
直径的系统误差:
D
f f l h 7.4mm l h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4mm 1292.6mm
10
第一节
D1 45.00mm D2 15.00mm
函数误差
xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi 和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
7
第一节
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 系统误差公式
函数误差
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
y a1x1 a2 x2 ... an xn
17
第一节
1） 正弦函数形式为: 函数随机误差公式为： 2） 余弦函数形式为: 函数随机误差公式为：
函数误差
2 2 2
三角形式的函数随机误差公式
sin f x1, x2 ,, xn
1 cos f 2 f 2 f 2 x x1 x x 2 x xn 1 2 n
tan f x1, x2 ,, xn
2 2 2
f 2 f 2 f 2 2 cos 函数随机误差公式为： x x1 x x 2 x xn 1 2 n
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
（3-6） （3-7）
8
第一节
函数误差
h l D 2
【例3-1】用弓高弦长法间接测量
大工件直径。如图所示，车间工人 用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ， 弦长 l 500mm 。已知，弓高的系统 误差 h 0.1mm , 玄长的系统误 差 l 1mm。试问车间工人测量该工 件直径的系统误差，并求修正后的 测量结果。 【解】

11
第一节
0
函数误差
若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度值 为
45.00 15.00 30.00 sin 0.2588 2 2 93.921 2 20.961 45.00 15.00 2 57.96
0
2
1405955.9 0 2905951.9
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
或 令 则
f ai xi
f f 2 y x12 x2 x1 x2
f 2 xn xn
, xn xn )
f xn xn
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
可得： y y f ( x1 , x2 ,..., xn ) 得到
f f x1 x2 x1 x2
f f y x1 x2 x1 x2
f xn xn
（3-14）
y a12 x12 a22 x 22
an 2 xn 2
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式 2 （3-16） y a12 x21 a22 x22 an 2 xn xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
cos f x1, x2 ,, xn
1 sin f 2 f 2 f 2 x 1 x 2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
3） 正切函数形式为:
n f f f 2 ij xi xj xn 2 1i j xi x j xn 2
2
2
2
或 y
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差 ij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
Dij ij xi xj 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
13
第一节
函数误差
各误差值及误差传递系数代入角度的系统误差公式中
2 (0.0045 0.0011 0.0045 0.0008 0.9659 0.0109 0.002 0.0109 0.0003)rad 0.00011005rad 22.7
将所求的角度系统误差修正后，则，被检内锥角的实际值为
15
第一节
函数标准差计算
y2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
函数误差
n f f f 2 Dij xn 2 1i j xi x j xn
式中各个误Байду номын сангаас传统函数为
f D1 D2 45.00 15.00 0.045 2 2 l1 2l 2 57.96 f D D 45.00 15.00 1 2 2 0.045 2 l2 2l 2 57.96 f l l 93.921 20.961 1 22 0.0109 2 D1 2l 2 57.96 f l1 l2 93.921 20.961 2 0.0109 2 D2 2l 2 57.96
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第一节
函数误差
h l D 2
若用极限误差表示角度误差，以上各式只需做相应的误差代换
【例3-3】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。
l2 D h 4h h 500mm, limh 0.05mm l 50mm, liml 0.1mm
【解】
根据（3-16），求直径的极限误差
0 2905951.9 - 22.7 2905929.2
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第一节
二、函数随机误差计算
数学模型
函数的一般形式
函数误差
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中只有随机误差
即： y y f ( x1 x1 , x2 x2 ,
（3-1）
6
第一节
函数误差
由 y 的全微分，函数系统误差 y 的计算公式
f f f y x1 x2 ... xn x1 x2 xn
（3-2）
f xi (i 1, 2, , n) 为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数 ( x1 , x2 , , xn )
三、误差间的相关关系和相 关系数 3.2 随机误差的合成 一、标准差的合成
二、极限误差的合成
3.3 系统误差的合成 一、已定系统误差的合成 二、未定系统误差的合成
二、使误差传递系数等于零或 为最小
4
第一节
间接测量
函数误差
通过直接测得的量与被测量之间的函数关 系计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
5
第一节
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型 y f ( x1 , x2 ,..., xn ) x1 , x2 ,
函数误差
, xn 与被测量有函数关系的各个直接测量值
y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
f f f dy dx1 dx2 dxn x1 x2 xn