电磁场与电磁波(电磁场理论)第二章

例2.7.6 球形电容器的内导体半径为a ，外导体内半径为b，
设内球带电荷为q ，外球壳带电荷为-q ，求两球壳间的电场和极
q q
,
2
1
即为切向分量。根据边界条件可知
但 。由高斯定理，有
q q
2
1
处:
处:
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D 代入式
由
例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 区域的媒质参数为 强度为 媒质2中的电场强度为 （1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 （3）验证 和 满足边界条件。 和
, z>0 。若媒质1中的电场
；
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0 处，有
为a ，电 荷密度为 0 。 解：（1）球外某点的场强 由
(r≥a)
r
0
a
r
（2）求球体内一点的场强 由 E
a （r < a）
r
例 2.3.1 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。 解：设圆环的半径为a，流过的电流为I。为计算方便取线电 流圆环位于xoy 平面上，则所求场点为P (0, 0, z ) , 如图 所示。采
矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体l在磁场中运动产生的故得均匀磁场为恒定磁场而回路上的可滑动导体以匀速运动因而回路内的感应电动势全部是由导体l在磁场中运动产1线圈静止时感应电动势是由时变磁场引起故2线圈以角速度252在时变磁场中放置有一个方法一
例 2.2.1 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强 度。 解：如图所示，环形薄圆盘的内半径为a 、外半径为b，电荷
SP上 SP下
S q D -q

d
介质两个表面的极 化电荷等量异号
例2.7.5 长直细导线与磁导率为分别为1 和 2 (< 1)的两种介
质分界面垂直，分界面为平面。求B、H 和磁化电流分布。(设电
流为 I)：由H1t = H2t 解 由安培环路定理，得 H1= H2= H。
J SM
z b a

J
由传导电流 J 产生的磁场分布。 在 在 的区域，得 的区域，得
圆筒形磁介质
在
的区域，得
磁介质的磁化强度
在磁介质圆筒内表面上
在磁介质圆筒外表面上
例 2.5.1 长为 a、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场 B 垂直穿过，
如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。 （1） （2） 导体L以匀速 （3） 上的可滑动导体L以匀速 由磁场变化产生的，故 ，矩形回路静止； ，矩形回路的宽边b = 常数，但其长边因可滑动 运动而随时间增大； ，且矩形回路 运动。
y
C
根据对称性，有
，故
B1
B2
O
x
例2.3.3 解
求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
选用圆柱坐标系，则 ，交链的电流为
取安培环路
I
a
b
I

由安培环路定理，得
c
由安培环路定理，得
I
a
b
由安培环路定理，得
0 I 2 πa 0 I 2 πb
O
I

c
a
b c
例2.4.1 半径为a 、介电常数为 度为
u
ic
r
P C
忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板 之间的电场为E = u / d ，则
平行板电容器与交流 电压源相接
则极板间的位移电流为
极板的面积
( 2 ) 以 r 为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称 性，使得沿闭合线的磁场相等，故 ic
r
C
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流
u
P
平行板电容器与交流 电压源相接
方法二： 利用式 上式右端第二项与( 1 )相同，第一项
z a 2 y
B
计算。
1

x
b
3
4
பைடு நூலகம்en
时变磁场中的矩形线圈
例 2.5.3 海水的电导率为4 S/m ，相对介电常数为 81 ，求频 率为1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值 .(设电场随时间作正弦变化) 解：设电场随时间作正弦变化，表示为
2区 1区
、
、
。若已知自由空间的电
O y z
解 根据边界条件，只能求得边界面
x
电介质与自由空间的 分界面
又由
，有
则得
最后得到
例2.7.3 在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知 电场强度 试求:（1）磁场强度 解 （1）由 ；（2）导体表面的电流密度 , 有
。
z
y
O
d
x
将上式对时间 t 积分，得
z
I
1 2
在z = 0 处
在介质1中r = 0附近利用
J SM
I
z
IM1 IM2
1 2
同理
IM1 IM 2
1 2 I 2πrJ SM 0
其间填充介电常数分别为 1 和 2 的两种均匀介质，如图所示。 化电荷分布。 解 由于电场方向沿径向，所以在介质1 与介质2的分界面上，电场与分界面平行，
z
y
en d
x
O
（2） z = 0 处导体表面的电流密度为
z = d 处导体表面的电流密度为
例2.7.4 有一个平行板电容器，极板的面积为 S，上下极板
相距为d 且分别带电±q，极板之间的下半部份充满介电常数为
的介质。如忽略边缘效应，求E、D及极化电荷分布。
解 ：电荷均匀分布在极板的内 侧，分别为 由边界条件
由边界条件
（2）由
，有
将上式对时间 t 积分，得
同样，由
，得
（3）z = 0 时
可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界 面上（z = 0）不存在面电流 。
例 2.7.2 如图所示，1区的媒质参数为
2区的媒质参数为 场强度为 试问关于1区中的 z = 0 处的 由 和 和 。 ，有 能求得出吗？
例 2.5.2 在时变磁场
图所示。试求：
中，放置有一个
与
的
矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量
成α角，如
（1）线圈静止时的感应电动势；
（2）线圈以角速度 ω 绕 x 轴旋转时的感应电动势。 解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故
z
a

x
b

B
y
en
时变磁场中的矩形线圈
（2）线圈绕 x 轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的 感应电动势可以用两种方法计算。 方法一：利用式 假定 故 时 计算 ，则在时刻 t 时， 与y 轴的夹角 ，
的球形电介质内的极化强
，式中的 k 为常数。（1）计算极化电荷体密度 解：（1）电介质球内的极化电荷体密度为
和面密度；（2）计算电介质球内自由电荷体密度。
处的极化电荷面密度为 （2）因 ， 故
故电介质球内的自由电荷体密度
例2.4.2 有一磁导率为 µ ，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长 的线电流 I，圆柱外是空气（µ 0 ），试 求圆柱内外的 、 和 的分布。 解 磁场为平行平面场,且具有轴对 称性，应用安培环路定理，得
面密度为
。在环形薄圆盘上取面积元
，其位置矢量为 ， 。
z dE
r b a P(0,0,z) R
所带的电量为
而薄圆盘轴线上的场点
矢量为 ，因此有
的位置
x
dS
y
均匀带电的环形薄圆盘
由于
z dE
r b P(0,0,z) R
a
x 故
dS
y
均匀带电的环形薄圆盘
例2.2.2 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径
I
a
0
C

例 2.4.3 半径的 a 球形磁介质的磁化强度 如图所示。式中的A、B为常数，求磁化电流密度。 解：磁化电流体密度为
z
，
M
O
a
er e
在
处的磁化电流面密度为
球形磁介质 的磁化强度
例2.4.4 内、外半径分别为a和b的圆筒
形磁介质中，沿轴向有电流密度为
的传导电流，如图所示。设磁介质的磁导率 为 ，求磁化电流分布。 解： 利用安培环路定理求各个区域内
o
y a
解：( 1 ) 回路内的感应电动势是
B
x
L
v
b x
均匀磁场中的矩形环
( 2 ) 均匀磁场 B 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速
运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体 L 在磁场中运动产 生的，故得
或 ( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体 L 在磁场中运动产生的，故得
则位移电流密度为 其振幅值为 传导电流的振幅值为 故
例 2.5.4 自由空间的磁场强度为
式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。 解 自由空间的传导电流密度为0，故由式 ,得
例 2.5.5 铜的电导率
设铜中的传导电流密度为
(设电场随时间作正弦变化)
、相对介电常数
。
。试证明：在无线
电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。 解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为
用圆柱坐标系，圆环上的电流元为
，而场点 P 的位置矢量为
, 其位置矢量为
，故得
P
r
z
R r
y 轴线上任一点P ( 0, 0, z )的磁感应强度为
a o x
Idl
载流圆环
由于
线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环
上各对称点处的电流元在场点 P 产生的磁感应强度的径向分量
相互抵消。 在圆环的中心点上，即z = 0 磁感应强 度最大
当场点P 远离圆环，即z >> a 时
3. 利用安培环路定理计算磁感应强度
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路 定理计算磁感应强度。 例2.3.2 求电流面密度为 感应强度。 解：分析场的分布，取安培环路如图，则 的无限大电流薄板产生的磁
例 2.6.2 在无源
电场强度矢量
的电介质
中，若已知
，式中的E0为振幅、ω为
角频率、k 为相位常数。试确定 k 与ω 之间所满足的关系，并求
出与
相应的其他场矢量。
解： 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利
用麦克斯韦方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与
相应的其他场矢量。
对时间 t 积分，得
位移电流密度的振幅值为
而传导电流密度的振幅值为
通常所说的无线电频率是指 f = 300 MHz以下的频率范围，即使 扩展到极高频段（f = 30～300 GHz），从上面的关系式看出比
值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。
例 2.6.1 正弦交流电压源
连接到平行板电容器
的两个极板上，如图所示。( 1 ) 证明电容器两极板间的位移电流 与连接导线中的传导电流相等；( 2 )求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。 解：( 1 ) 导线中的传导电流为