08图

8.2 图的存储结构
8.2.1 图的邻接矩阵存储结构 假设图G = (V, E)有n个结点，即V={v0,v1,…,vn-1}，E可用 假设图 有 个结点， ， 可用 个结点 如下形式的矩阵A描述，对于A中的每一个元素 中的每一个元素a 满足： 如下形式的矩阵 描述，对于 中的每一个元素 ij，满足： 描述
8.1 概述
8.1.1 图的基本概念 图 是由结点集合及结点间的关系集合组成的一种 数据结构。 数据结构。 图中的顶点称作结点，图中的第i个结点 结点和边 图中的顶点称作结点，图中的第 个结点 记做v 记做 i。
在有向图中，结点对＜ ＞是有序的， 有向图 在有向图中，结点对＜x, y＞是有序的， 结点对＜ ＞称为从结点x到结点 的一条有向边， 到结点y的一条有向边 结点对＜x, y＞称为从结点 到结点 的一条有向边，因 此，＜x, y＞与＜y, x＞是两条不同的边。有向图中的 ，＜ ＞ ＞是两条不同的边。 结点对＜ ＞用一对尖括号括起来， 是有向边的始 结点对＜x, y＞用一对尖括号括起来，x是有向边的始 是有向边的终点， 点，y是有向边的终点，有向图中的边也称作弧 是有向边的终点 有向图中的边也称作弧.
无向图及其邻接矩阵
1 2 V = 3 4 5
0 1 A = 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
有向图及其邻接矩阵
A B V = C D E
8.2.2 图的邻接表存储结构 图的邻接矩阵存储结构的主要特点是把图的边信息存 储在一个n× 矩阵中 其中n为图中的结点个数 矩阵中， 为图中的结点个数。 储在一个 ×n矩阵中，其中 为图中的结点个数。
∧
∧ ∧
∧
∧
8.3 邻接矩阵图类
1 2 邻接矩阵图类AdjMWGraph的设计 的设计 邻接矩阵图类 邻接矩阵图类AdjMWGraph的测试 的测试 邻接矩阵图类
结点v的度是与它相关联的边的条数 的度是与它相关联的边的条数， 结点的度 结点 的度是与它相关联的边的条数，记 作TD(v)。 。 在图G=(V, E)中，若从结点 i出发有一组边使 路径 在图 中 若从结点v 可到达结点v 则称结点v 到结点v 可到达结点 j，则称结点 i到结点 j的结点序列为从结 到结点v 的路径。 点vi到结点 j的路径。
3 非连通图的遍历 对于连通图， 对于连通图，从图的任意一个结点开始深度或广度优 先遍历，一定可以访问图中的所有结点。 先遍历，一定可以访问图中的所有结点。但对于非连 通图，从图的任意一个结点开始深度或广度优先遍历， 通图，从图的任意一个结点开始深度或广度优先遍历， 并不能访问图中的所有结点。对于非连通图，从图的 并不能访问图中的所有结点。对于非连通图， 任意一个结点开始深度或广度优先遍历只能访问和初 始结点连通的所有结点。 始结点连通的所有结点。
设有图G1={V1, E1}和图 和图G2={V2, E2}，若V1包含 2且E1 包含V 子图 设有图 和图 ， 包含E2，则称图G2是图G1的子图。 包含 则称图 是图 的子图。 在无向图中，若从结点v 到结点v 连通图和强连通图 在无向图中，若从结点 i到结点 j有路 径，则称结点vi和结点 j是连通的。如果图中任意一对结点都 则称结点 和结点v 是连通的。 是连通的，则称该图是连通图。在有向图中， 是连通的，则称该图是连通图。在有向图中，若对于任意一对 结点v 和结点v 都存在路径，则称图G是强连通图 是强连通图。 结点 i和结点 j（vi≠vj）都存在路径，则称图 是强连通图。
生成树 一个连通图的最小连通子图称作该图的生 成树。 个结点的连通图的生成树有n个结点和 成树。有n个结点的连通图的生成树有 个结点和 条 个结点的连通图的生成树有 个结点和n-1条 边。 若路径上各结点v 简单路径和回路 若路径上各结点 1, v2, …, vm,互 互 不重复，则称这样的路径为简单路径；若路径上第一 不重复，则称这样的路径为简单路径； 个结点v 与最后一个结点v 重合， 个结点 1与最后一个结点 m重合，则称这样的路径为 回路或环。 回路或环。
0 0 A = 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
带权图及其邻接矩阵
1 2 3 V = 4 5 6
0 20 30 ∞ ∞ ∞ 20 0 ∞ 40 ∞ ∞ 30 ∞ 0 50 ∞ ∞ A= ∞ 40 50 0 70 80 ∞ ∞ ∞ 70 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 80 ∞ 0
有些图的边附带有数据信息， 权 有些图的边附带有数据信息，这些附带的数据信息 称为权。 条边的权用符号 表示。 条边的权用符号w 称为权。第i条边的权用符号 i表示。 对于不带权的图， 路径长度 对于不带权的图，一条路径的路径长度是指 该路径上的边的条数；对于带权的图， 该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度 是指该路径上各个边权值的总和。 是指该路径上各个边权值的总和。
第八章 图
8.1 概述 8.2 图的存储结构 8.3 邻接矩阵图类 8.4 图的遍历 8.5 最小生成树 8.6 最短路径
本章主要知识点： 本章主要知识点： ● 图的基本概念 ● 图的存储结构，主要是邻接矩阵存储结构和邻接表存 图的存储结构， 储结构 ● 图的遍历，主要是深度优先算法和广度优先遍历算法 图的遍历， ● 最小生成树的基本概念，以及普里姆算法和克鲁斯卡 最小生成树的基本概念， 尔算法 ● 最短路径的基本概念，狄克斯特拉算法思想 最短路径的基本概念，
8.4 图的遍历
8.4.1 图的深度和广度优先遍历算法 图的遍历算法设计需要考虑三个问题： 图的遍历算法设计需要考虑三个问题： （1）图的特点是没有首尾之分，所以算法的参数要指 ）图的特点是没有首尾之分， 定访问的第一个结点； 定访问的第一个结点； （2）对图的遍历路径有可能构成一个回路，从而造成 ）对图的遍历路径有可能构成一个回路， 死循环， 死循环，所以算法设计要考虑遍历路径可能出现的死 循环问题； 循环问题； （3）一个结点可能和若干个结点都是邻接结点，要使 ）一个结点可能和若干个结点都是邻接结点， 一个结点的所有邻接结点按照某种次序被访问。 一个结点的所有邻接结点按照某种次序被访问。
2 图的广度优先遍历算法 连通图的广度优先遍历算法为： 连通图的广度优先遍历算法为： 并标记结点v为已访问 （1）访问初始结点 并标记结点 为已访问； ）访问初始结点v并标记结点 为已访问； 入队列； （2）结点 入队列； ）结点v入队列 （3）当队列非空时则继续执行，否则算法结束； ）当队列非空时则继续执行，否则算法结束； （4）出队列取得队头结点 ； ）出队列取得队头结点u； 的第一个邻接结点w； （5）查找结点 的第一个邻接结点 ； ）查找结点u的第一个邻接结点 的邻接结点w不存在 ），否则 （6）若结点 的邻接结点 不存在，则转到步骤（3），否则 ）若结点u的邻接结点 不存在，则转到步骤（ ）， 循环执行， 循环执行， 尚未被访问， （6.1）若结点 尚未被访问，则访问结点 ，并标记结点 ）若结点w尚未被访问 则访问结点w，并标记结点w 为已访问； 为已访问； 入队列； （6.2）结点 入队列； ）结点w入队列 邻接结点后的下一个邻接结点w， （6.3）查找结点 的w邻接结点后的下一个邻接结点 ，转 ）查找结点u的 邻接结点后的下一个邻接结点 到步骤（ ）。 到步骤（6）。
8.4.2 图的深度和广度优先遍历成员函数设计 1 访问结点 2 深度和广度优先遍历成员函数设计 3 测试程序
8.5 最小生成树
8.5.1 最小生成树的基本概念 一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通 一个有 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通 个结点的连通图的生成树 子图，它包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连 子图，它包含原图中的所有 个结点， 个结点 通的最少的边。 通的最少的边。 如果无向连通图是一个带权图， 如果无向连通图是一个带权图，那么它的所有生成树 中必有一棵边的权值总和最小的生成树， 中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵 生成树为最小代价生成树，简称最小生成树。 生成树为最小代价生成树，简称最小生成树。 最小代价生成树 最小生成树
1 若( vi , v j ) ∈ E 或 < vi , v j >∈ E aij = 0 否则
由于矩阵A中的元素 表示了结点v 和结点v 之间边的关系， 由于矩阵 中的元素aij表示了结点 i和结点 j之间边的关系， 中的元素 或者说， 中的元素 表示了结点v 和结点v 中的元素a 或者说，A中的元素 ij表示了结点 i和结点 j（0≤j≤n-1） ） 的邻接关系，所以矩阵 称作邻接矩阵。 称作邻接矩阵 的邻接关系，所以矩阵A称作邻接矩阵。
邻接结点 在无向图G中，若（u, v）是E(G)中 在无向图 中 ） 中 的一条边，则称 和 互为邻接结点 并称边（ 互为邻接结点， 的一条边，则称u和v互为邻接结点，并称边（u, v） ） 依附于结点u和 在有向图 在有向图G中 依附于结点 和v。在有向图 中，若＜u, v＞是E(G) ＞ 中的一条边，则称结点 邻接到结点 邻接到结点v，结点v邻接自 中的一条边，则称结点u邻接到结点 ，结点 邻接自 结点u，并称边＜ 和结点v相关联 结点 ，并称边＜u, v＞和结点 和结点 相关联。 ＞和结点u和结点 相关联。
在无向图中，结点对（ ）是无序的， 无向图 在无向图中，结点对（x, y）是无序的，结 点对（ ）称为与结点x和结点 相关联的一条边。（ 和结点y相关联的一条边。（x, 点对（x, y）称为与结点 和结点 相关联的一条边。（ y）等价于＜x, y＞和＜y, x＞。 ）等价于＜ ＞ ＞。
在有n个结点的无向图中 若有n(n-1)/2条 个结点的无向图中， 完全图 在有 个结点的无向图中，若有 条 边，即任意两个结点之间有且只有一条边，则称此图 即任意两个结点之间有且只有一条边， 为无向完全图。在有 个结点的有向图中 若有n(n-1) 个结点的有向图中， 为无向完全图。在有n个结点的有向图中，若有 条边， 条边，即任意两个结点之间有且只有方向相反的两条 边，则称此图为有向完全图。 则称此图为有向完全图。