九年级数学《圆周角和圆心角的关系》
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4.如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 . 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
D
O B
A C C
O A
B
5.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、 B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任
A
C
B
例2 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等 于（ A ）
A．90° B．45° C．180° D．60°
例3 如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°， 则∠B的度数是（ C ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
例4 如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形， OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
BAC 1 BOC 2
猜测：圆周角的度数__等__于___它所对弧上的圆心角度数的一半.
推导与验证
已知：在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC= 12∠BOC.
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
圆心O在∠BAC的 内部
圆心O在 ∠BAC的一边上
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
C O·
A
C
（1） A
√
顶（点2不） 在圆上
B
B
边A（C3没）有和圆相交
O·
C
C
A
O·
O·
B
C
顶点不在圆上
（5） √
A B
（6） √
圆周角定理及其推论
测量与猜测 测量：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存 在怎样的数量关系.
在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AE的张角 （ ∠ABE ）有关.
A
E
B CD
问题2 图中的三个张角∠ABE、∠ADE和∠ACE的顶点各在圆的什么位置？
它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交.
讲授新课
圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可）
圆周角定理
圆周角的度数等 于它所对弧上的 圆心角度数的一 半.
圆周角定理的 推论1
同弧或等弧 所对的圆周 角相等；
A．12.5° B．15°
C．20°
D．22.5°
解析：连接OB， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OC=AB，又OA=OB=OC， ∴OA=OB=AB， ∴△AOB为等边三角形， ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB， ∴∠BOF=∠AOF=30°， 由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°， 故选：B．
当堂练习
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ×） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= 166° ．
C
O
A
B
3.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ADB= 50° ，∠ACB= 130° .
圆心O在∠BAC的外部
A OO
D
C
B
A O
D
C
A O
D B
要点归纳
圆周角定理及其推论
圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
推论1： ห้องสมุดไป่ตู้弧所对的圆周角相等.
A2
A1
A3
练一练
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧 ，∠BAC=35º. (1)∠BOC= 70 º，理由 是 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ; (2)∠BDC= 35 º，理由是 同弧所对的圆周角相等 .
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等.
典例精析
例1 如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.
求∠ACB和∠BAC度数.
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 所对的弧为A⌒B ,
∴∠ACB= 1 ∠AOB=25°.
2
同理∠BAC= 12∠BOC=35°.
O. 70°
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的
对角线.
(1)完成下列填空： ∠1= ∠4. ∠2= ∠8. ∠3= ∠6. ∠5= ∠7.
D
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全 区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于 暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯 塔的夹角∠α小于“危险角”.
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： BD D. E
圆周角和圆心角的关系
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的 几何问题.（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”. （难点）
导入新课
复习引入
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
A
顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角, 如∠BOC.
圆心O在 ∠BAC的外部
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC 1 BOC 2
圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
B D
BAD 1 BOD 2
OO
O
B
C
D
BAC BAD DAC
1 (BOD DOC ) 1 BOC
2
2
C D
DAC 1 DOC 2
解:BD=CD.理由是:连接AD, ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD.
A
E
B
D
C
∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
BD DE（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 . 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
D
O B
A C C
O A
B
5.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、 B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任
A
C
B
例2 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等 于（ A ）
A．90° B．45° C．180° D．60°
例3 如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°， 则∠B的度数是（ C ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
例4 如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形， OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
BAC 1 BOC 2
猜测：圆周角的度数__等__于___它所对弧上的圆心角度数的一半.
推导与验证
已知：在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC= 12∠BOC.
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
圆心O在∠BAC的 内部
圆心O在 ∠BAC的一边上
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
C O·
A
C
（1） A
√
顶（点2不） 在圆上
B
B
边A（C3没）有和圆相交
O·
C
C
A
O·
O·
B
C
顶点不在圆上
（5） √
A B
（6） √
圆周角定理及其推论
测量与猜测 测量：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存 在怎样的数量关系.
在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AE的张角 （ ∠ABE ）有关.
A
E
B CD
问题2 图中的三个张角∠ABE、∠ADE和∠ACE的顶点各在圆的什么位置？
它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交.
讲授新课
圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可）
圆周角定理
圆周角的度数等 于它所对弧上的 圆心角度数的一 半.
圆周角定理的 推论1
同弧或等弧 所对的圆周 角相等；
A．12.5° B．15°
C．20°
D．22.5°
解析：连接OB， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OC=AB，又OA=OB=OC， ∴OA=OB=AB， ∴△AOB为等边三角形， ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB， ∴∠BOF=∠AOF=30°， 由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°， 故选：B．
当堂练习
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ×） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= 166° ．
C
O
A
B
3.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ADB= 50° ，∠ACB= 130° .
圆心O在∠BAC的外部
A OO
D
C
B
A O
D
C
A O
D B
要点归纳
圆周角定理及其推论
圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
推论1： ห้องสมุดไป่ตู้弧所对的圆周角相等.
A2
A1
A3
练一练
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧 ，∠BAC=35º. (1)∠BOC= 70 º，理由 是 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ; (2)∠BDC= 35 º，理由是 同弧所对的圆周角相等 .
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等.
典例精析
例1 如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.
求∠ACB和∠BAC度数.
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 所对的弧为A⌒B ,
∴∠ACB= 1 ∠AOB=25°.
2
同理∠BAC= 12∠BOC=35°.
O. 70°
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的
对角线.
(1)完成下列填空： ∠1= ∠4. ∠2= ∠8. ∠3= ∠6. ∠5= ∠7.
D
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全 区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于 暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯 塔的夹角∠α小于“危险角”.
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： BD D. E
圆周角和圆心角的关系
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的 几何问题.（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”. （难点）
导入新课
复习引入
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
A
顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角, 如∠BOC.
圆心O在 ∠BAC的外部
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC 1 BOC 2
圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
B D
BAD 1 BOD 2
OO
O
B
C
D
BAC BAD DAC
1 (BOD DOC ) 1 BOC
2
2
C D
DAC 1 DOC 2
解:BD=CD.理由是:连接AD, ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD.
A
E
B
D
C
∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
BD DE（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角