圆锥曲线某点处的切线问题--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版)

补上一课 ,圆锥曲线某点处的切线问题)

1．设圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上有一点P (x 0，y 0)，则过P 点的切线方程为(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2.

2．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y

b 2＝1(a ＞b ＞0)．

(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为x 0x a 2－y 0y b 2＝1.

(3)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)．

题型一 椭圆的切线方程

【例1】 (2021·诸暨期末)已知F 是椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点，过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点的椭圆的切线交于点P . (1)当AB 的斜率为1时，求点P 的坐标． (2)过点P 作AB 的垂线，交椭圆于C ，D 两点． ①求证：F 在直线CD 上； ②求四边形ACBD 面积的最大值．

注：本题可以直接应用定理，椭圆x 22＋y 2＝1上一点(x 0，y 0)处的切线方程是x 0x 2＋y 0y ＝1.

解 (1)由题意知F (1，0)，当直线AB 的斜率为1时，直线AB 的方程为y ＝x －1， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，B (0，－1)，

∴l AP ：4

3·x 2＋y

3＝1， 即2x ＋y ＝3，l BP ：y ＝－1，

∴点P 的坐标为(2，－1)．

(2)①证明 设l AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎨⎧x ＝my ＋1，

x 2＋2y 2＝2，

化简得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m

m 2＋2，y 1·y 2＝－1m 2＋2，

由⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y ＝1，x 2x 2＋y 2y ＝1，

作差得x 2＋y y 1－y 2x 1－x 2＝0⇒y ＝－m 2x ，

代入切线P A 的方程得x ＝2x 1－my 1＝2

my 1＋1－my 1

＝2，

y ＝－m

2x ＝－m ，

∴l CD ：x －2＝－1

m (y ＋m )， 即y ＝－m (x －1)，

∴直线CD 恒过定点(1，0)，即点F 在直线CD 上． ②结合①可得

|AB |＝1＋m 2

|y 1－y 2|＝1＋m 2

22m 2＋1

m 2＋2

＝22（m 2＋1）m 2＋2

，

同理得|CD |＝22（m 2＋1）

2m 2＋1

，

∴四边形ABCD 的面积S ＝1

2|AB |·|CD |＝4（m 2＋1）2（m 2＋2）·（2m 2＋1）.

令m 2＋1＝t ≥1，则m 2＝t －1，

∴S ＝4t 2（t ＋1）·（2t －1）＝4t 2

2t 2＋t －1

＝

4

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1t －122＋94， ∴当t ＝1，即m ＝0时，S max ＝2.

感悟升华 (1)椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)在点P (x 0，y 0)(P 在椭圆上)处的切线方程可通过隐函数求导得出．

(2)过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外一点P (x 0，y 0)引椭圆的两条切线P A ，PB ，(A ，

B 为切点，弦AB 所在的直线方程为x 0x a 2＋y 0y

b

2＝1(a ＞b ＞0)．

(3)对椭圆y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)也有上述类型结论．

【训练1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫

22

，32.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若O 为坐标原点，P 为直线l ：x ＝2上的一动点，过点P 作直线l ′与椭圆相切于点A ，若△POA 的面积S 为2

2，求直线l ′的方程． 解 (1)由题意得2c ＝2，∴c ＝1. ∵椭圆C 过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫

22，32，∴12a 2＋34b 2＝1.

∵c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的标准方程为x 22

＋y 2

＝1.

(2)设A (x 0，y 0)，则切线l ′的方程为xx 0

2＋yy 0＝1，

即y ＝1y 0－x 0

2y 0

x ，

则直线l ′与x 轴交于点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x 0，0，∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，

1－x 0y 0， ∴S △POA ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0·⎪⎪⎪⎪⎪⎪

1－x 0y 0－y 0＝22

，

即⎪⎪⎪⎪⎪⎪

1－x 0x 0y 0－y 0x 0＝22

，∴1－x 0－y 20x 0y 0＝±22， 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0－y 20＝22x 0y 0，y 20＝1－x 202

，或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0－y 20＝－22x 0y 0，

y 2

0＝1－x 2

02， 解得x 0＝1，y 0＝－22或x 0＝1，y 0＝2

2(x 0＝0，y 0＝±1不合题意舍)，

∴直线l ′的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝2

2x － 2.

题型二 双曲线的切线方程

【例2】 (一题多解)求双曲线x 2

－y 2

2＝1在点(2，2)处的切线方程．

解 法一 对x 2

－y 22＝1求导得2x －22y ·y ′＝0，

∴y ′＝2x y ，

∴y ′|x ＝2＝2，故双曲线x 2－y 22

＝1在点(2，2)处的切线方程为y －2＝2(x －2)，即2x －y －2＝0.

法二 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是x 0x a 2－y 0y

b 2＝1，

∴双曲线x 2

－y 22＝1在点(2，2)处的切线方程为2x －2y

2＝1，

即为2x －y －2＝0.

感悟升华 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是x 0x

a

2－

y 0y b 2＝1.

(2)双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线Ax ＋By ＋C ＝0相切的条件是A 2a 2－B 2b 2＝

c 2.

(3)过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外一点P (x 0，y 0)所引两条切线的切点弦方程是