数值分析考试大纲
数值分析-华中科技大学研究生招生信息网
华中科技大学博士研究生入学考试《数值分析》考试大纲第一部分考试说明一、考试性质数值分析考试科目是为招收我校动力机械及工程专业博士研究生而设置的。
它的评价标准是高等学校动力机械及工程专业或相近专业优秀硕士毕业生能达到的水平,以保证被录取者具有较好的数值分析理论与应用基础。
二、考试形式与试卷结构(一) 答卷方式：闭卷，笔试；(二) 答题时间：180分钟；(三) 各部分内容的考查比例(满分为100分)误差分析约10%插值法, 函数逼近与计算约30%数值积分与数值微分约20%常微分方程数值解法, 方程求根约20%解线性方程组的直接方法, 解线性方程组的迭代法约20%(四) 题型比例概念题约10%证明题约10%计算题约80%第二部分考查要点一、误差分析1.误差来源2.误差的基本概念3.误差分析的若干原则二、插值法1. 拉格朗日插值2. 均差与牛顿插值公式3. 差分及其性质4.分段线性插值公式5.分段三次埃米尔特插值6.三次样条插值三、函数逼近与计算1. 最佳一致逼近多项式2. 切比雪夫多项式3. 最佳平方逼近4. 正交多项式5. 曲线拟合的最小二乘法6. 离散富氏变换及其快速算法四、数值积分与数值微分1. 牛顿-柯特斯求积公式2. 龙贝格求积算法3. 高斯求积公式4. 数值微分五、常微分方程数值解法1. 尤拉方法2. 龙格-库塔方法3. 单步法的收敛性和稳步性4. 线性多步法5. 方程组与高阶方程的情形6. 边值问题的数值解法六、方程求根1. 牛顿法2. 弦截法与抛物线法3. 代数方程求根七、解线性方程组的直接方法1. 高斯消去法2.高斯主元素3.追赶法4.向量和矩阵的范数5.误差分析八、解线性方程组的迭代法1. 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法2. 迭代法的收敛性3. 解线性方程组的松弛迭代法第三部分考试样题（略）。
西南石油大学-硕士研究生招生考试大纲-937_数值分析
数值分析考试科目大纲
一、考试性质
数值分析是硕士研究生入学考试科目之一，是硕士研究生招生学校自行命题的选拔性考试。
要求考生理解数值计算的基本概念，基本理论，熟练掌握数值计算的基本方法；要求考生理解同一种问题多种数值计算方法的差异；要求考生具有综合运用所学数值计算方法解决实际问题的能力。
二、考试形式和试卷结构
（一）试卷满分及考试时间
试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）答题方式
答题方式为闭卷，笔试，可携带计算器。
试卷由试题和答题纸组成。
答案必须写在答题纸相应的位置上。
（三）试卷题型结构
1. 填空题：5小题，每小题3分，共15分。
2. 计算题：6-8小题，共112-123分。
3. 简答题：2-4小题，共4-8分。
4. 证明题：1-2题，共8-15分。
三、考试内容
（一）误差分析
1。
数值分析期末考试复习提纲10级
17 1 x( x 1)( x 2) ( x 2)( x 1)( x 2) 24 4 2 17 ( x 2) x( x 2) ( x 2) x( x 1). 3 8 L3 ( x)
f (0.6) ≈L3(0.6) = -0.472. 误差：
( x x0 )( x x1 )
数值分析期末考试复习提纲
•考试范围：1—7章所学内容
•各章约占比例：第一章5%,第二章20%,第三章15%,
第四章18%,第五章12%,第六章15%,
第七章15%, •难易程度：易15%,中等75%,难10%。 •考试类型：填空题20%,计算题70%,证明题10%。 •参考依据：课后作业题(重点),上课所讲部分习题和例题。
f [ x , 2 0 , 21 ,
(7) f ( ) 6 ,2 ] 1, 7!
f [ x, 2 , 2 ,
0
1
,2 ]
7
f
(8)
( ) 0. 8!
n次Newton插值公式：
N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1, x2 ]
x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 ) x4 f ( x 4 )
例5 设f(x)=2x2-1,求差商 f [0,1,2,3]= i x0 x1 x2
xi xi ] f (xi) f [xi −1, xi]
0
. 可用性质3
经计算得 (xi, f(xi)): (0, -1), (1, 1), (2, 7), (3, 17)。差商表如下
例 2： 设
《数值分析》实验考试大纲
东华大学研究生《数值分析》实验考试大纲教材：«数值分析及其MATLAB实验»姜健飞吴笑千胡良剑编考试规则领座试卷不同，开卷，解答全部用笔写在考卷上，作图题只需手画草图。
开考前可将准备程序Copy到硬盘, 但是开考后不允许用软盘，也不允许上网。
评分原则每题20分，满分100分。
类型1：使用Matlab命令的计算题共3题主要使用如下MATLAB命令解题：第二章（1）用矩阵除法解线性方程组；（2）行列式det、逆inv；（3）特征值、特征向量eig；（4）范数和条件数；第三章81页（1）用roots求多项式的根；polyval(p,x)（2）用fzero解非线性方程；（3）用fsolve解非线性方程组；第四章（1）多项式插值和拟合polyfit（线性插值和抛物插值程序参见4章习题3）(2) 线性插值interp1(3) 样条插值spline, csape（4）最小二乘拟合lsqcurvefit第五章(158页)（1）用diff或gradiet求导数（2）用integral求积分；（3）用integral2或integral3求重积分；第六章（1）用ode45求解微分方程；（2）用ode45求解微分方程组；（3）用ode45求解高阶微分方程；类型2：使用课本程序的计算题共1题（不必将课本程序部分写在考卷上，蓝色星号*程序需掌握如何使用）第二章nagauss* nagauss2* nalu* nalupad*第三章nabisect* nanewton* nags* naspgs* nasor*第四章nalagr* naspline nafit naorthfit第五章natrapz nagsint naromberg naadapt dblquad2第六章naeuler naeulerb naeuler2 nark4 nark4v naeuler2s类型3：编程题共1题(必须将程序写在考卷上）要求使用MATLAB控制流语句编程，主要涉及for, while, if等语句以及关系与逻辑运算，M 函数编写。
数值分析word复习纲要
第1-3章 习题课 (绪论、插值、逼近)一、基本内容及基本要求 第一章、绪论1. 了解数值分析的研究对象与特点。
2. 了解误差来源与分类,会求有效数字;会简单误差估计。
3. 了解误差的定性分析及避免误差危害 第二章、插值法1. 了解插值的概念。
2. 掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。
3. 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。
4. 了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。
5. 会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。
6. 知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。
7. 会三次样条插值,知道其误差和收敛性。
第三章、函数逼近与曲线拟合1. 了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。
2. 了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。
3. 理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理,掌握最佳一次一致逼近多项式的求法。
4. 理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。
5. 了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。
6. 了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换*。
二、练习.7321.1 ,7320.1 ,732.1 ,73.173********.131各有几位有效数字，问近似值、设 ==A .5,4,4,3 答：.1118 .01118 22准确无初始误差和假定系数、解二次方程=+-x x .6,992.117992.5859348059 1位有效数字有答：=+≈+=x ?008.0992.58592=-=x.1021,992.1171 )992.117(992.1171992.1171992.11711711212-⨯≤+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+==εεηηη x x .102.0 ,008475.0992.1171622-⨯≤+=εε.1021 ,008475.01621212112-⨯≤+≤+++==∴εεεεεεx x .008475.0112，有四位有效数字≈=⇒x x 说明什么？位数字求解，计算结果再用准确解位数字解方程组、用十进制6 )1,1( .127.0330.0457.0,217.0563.0780.0 33-==⎩⎨⎧=+=+y x y x y x.586.0217.0127.0)586.0563.0330.0( ,217.0563.0780.0 (1)⎩⎨⎧⨯-=⨯-=+y y x 解： .00 ,217.0563.0780.0 ⎩⎨⎧==+y y x..585897.0217.0127.0)585897.0563.0330.0( ,217.0563.0780.0 (2)⎩⎨⎧⨯-=⨯-=+y y x .00014.000014.0-=y ,127140.0127.0)329860.0330.0(-=-y 00000.1,00000.1=-=x y ).30()30( )1ln()( *42-++=f f x x x f 和计算，试用六位函数表设反双曲正弦、P19, 5,9..3)()()(*)()(,34)(3p C R V R V R R R R V R V R V R R V =='≈∆-=π %.3.0%33.0≤∆≤∆RRR R ，或只需%.1%,1)(*)()(≤∆-∴RRC R V R V R V V p 只需为的相对误差限要使,)()( 5M x f h x f ≤''在节点上造表，且有以等距假设对、;:)1( 21Mh 性插值误差不超过任意相邻两节点上的线证明.10,sin )()2( 621-⨯≤=差取多大能使线性插值误问设h x x f .102 ),2(5 3-⨯≤h 答：.,2),(21 0.5 1 0 12)( 63.02并估计误差的近似值用以求建立二次插值多项式：：的函数表试由、x p y x x f x -=;2475.1)3.0(2 ;175.025.0)( 23.02 2=≈++=p x x x p or 牛拉答：.03030.0)13.0)(03.0)(13.0()3.0(2 !36660.023.0=--+≤-p6660.0)2(ln 2)(max 311=='''≤≤-x f x保证两位有效数字∴P59, 6,8.7、P59, 4.].2,,2,2[]2,,2,2[,13)( 871061046 f f x x x x f 和求设、+++=.0 )2( ,1 )1( 答：).()12(3);()(2)()(2);()]([1)( 922x T x T x T x T x T x T x T x T T k x T n n n m n m n m mn n m k =-=+=-+）（）（）（明次切比雪夫多项式，证是设、.[-1,1]53)( 102多项式上的线性最佳一致逼近在求、-+=x x x f .293)(21)()( )(21)()(解2*12*1-=-==-x x T x f x p x T x p x f ，：).7([-1,1]arcsin )( 11==n x x f 上的切比雪夫级数在求、[-1,1],,)(2)( 7107∈+=∑=x x T a a x p j j j 解：0,d 1arcsin )(211222奇其中=-=⎰-x xxx T a k k πxxxx T a k k d 1arcsin )(21121212⎰-++-=πθθθθπθππd )sin (sin )2]()12(cos[2 0⎰--+=k .)12(4d 1)sin(2k )12(2 2+=++=⎰k k πθθππ[-1,1].,)(491)(251)(91)(4)( 75317∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=x x T x T x T x T x p πP115,1,4(2),6,8,13,15,17(1),19，按基本方法即可，[-1,1].,4964175288315248105764)( 7537∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=x x x x x x p π一、数值积分与数值微分第4-5章 习题课(数值积分和数值微分,解线性方程组的直接法).d )( :0∑⎰=≈nk k k baf w x x f 求积公式.,1, m次代数精度称该求积公式具有则成立次的多项式等式不准确而对于某一个成立的多项式都准确对于所有次数不超过若一个求积公式+m m.d )( ,d )( )( )( 0称为插值型求积公式，其中，得到求积公式由拉格朗日插值⎰∑⎰∑=≈===bak k nk k k bak nk k n x x l w f w x x f f x l x L [].d )()!1()(d )()(][ :0)1(x x x n f x x L x f f R banj j n b an ⎰∏⎰=+-+=-=ξ余项.d )( 0它是插值型求积公式次代数精度至少具有求积公式⇔≈∑⎰=n f w x x f nk k k ba定理.C ,C )(d )(,],[)(0)(Cotes系数Cotes公式-Newton 称为，称为上的插值型求积公式在等距节点等分，步长做将求积区间n k nk k n k bak f a b x x f kh a x nab h n b a ∑⎰=-≈+=-= .d )()!(!)1(d C0000)(⎰∏⎰∏≠=-≠=---=---=+=n n kj j kn n n kj j n kt j t k n nk t j k j t a b h th a x ，则有作变换 )],()([2d )( ,1n b f a f ab T x x f ba +-=≈=⎰得到梯形公式时当(2.3) )]()2(4)([6d )( , ,2n ，也称为得到抛物线公式时当b f ba f a f ab S x x f b a+++-=≈=⎰n)公式辛普森(Simpso )4.2( .4,)],(7)(32)(12)(32)(7[90,443210ab h kh a x x f x f x f x f x f ab C n k -=+=++++-==其中得到时当公式柯特斯(cotes).,C 8)(公式不稳定出现负值时柯特斯系数表C N n n k -≥ .].,[ ),(12)(][ ],[)(3b a f a b T I f R b a x f T ∈''--=-=''ηη则梯形公式的余项为 上连续,在若 ].,[),(2 180 )]()2(4)([6d )(][ 辛普森 ,],[)()4(4)4(b a f a b a b b f ba f a f ab x x f S I f R b a x f baS ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+++--=-=⎰ηη公式的余项为则上连续在若.)]()(2)([2)]()([2 1101∑∑-=-=+++=+=n i i n i i i n b f x f a f hx f x f h T ).(12)(12)](121[2313ηηηf h a b f h n f h T I n i i n ''--=''-=''-=-∑-=)].()(2)(4)([6101121b f x f x f a f hS n i n i i i n +++=∑∑-=-=+).,( ),(8802)(2180)4(410)4(4b a f h a b f h h S I n i i n ∈--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑-=ηηη)].()([2)1(1b f a f ab T +-=初值.)(221 ),2,1,0( 2)2(1221∑-=++==-=n i i n n i x f h T T i ab h 计算，令 .63/ ,15/C ,3/ )3(222222）（）（）（求加速值n n n n n n n n n n n n C C C R S S S T T T S -+=-+=-+=).2( )4(否则，转满足精度要求；., ,12,)(d )()( ,010 高斯求积公式高斯点求积公式为并称此则称此组节点为次代数精度具有使插值型求积公式若一组节点+≈≤<<<≤∑⎰=n x f w x x f x b x x x a ni i i ban ρ0.d )()()( ,)()()())(()( 110110=---=⇔≤<<<≤⎰++ba n n n n x x P x x x x P n x x x x x x xb x x x a ωρρω即正交带权的多项式不超过与任何次数高斯点是插值型求积公式的节点 定理 .],[ ,d )()()!22()( ][21)22(b a x x x n f f R b a n n n ∈+=⎰++ηρωη[]),(2)()(1)(010ξf h x f x f h x f ''--='[]).(2)()(1)(011ξf hx f x f h x f ''+-='),(3)]()(4)(3[21)(22100ξf h x f x f x f h x f '''+-+-='),(6)]()([21)(2201ξf h x f x f h x f '''-+-=').(3)](3)(4)([21)(22102ξf h x f x f x f h x f '''++-=').(12)]()(2)([1)()4(221021ξf h x f x f x f h x f -+-=''基本内容及基本要求1. 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。
数值分析复习提纲(修改完)
第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。
近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。
【考点2】相对误差限的概念。
近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。
【考点3】有效数字定义。
设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。
例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。
因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。
若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。
例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。
41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。
例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。
410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。
【考点5】有效数字与相对误差的关系。
设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。
《数值分析》考试大纲科目代码2002
《数值分析》考试大纲科目代码：基本内容与要求：1.数值分析的研究对象和内容2.误差知识与算法知识3.向量范数和矩阵范数一、线性方程组的解法1.消元法，包括：顺序消元法、选列主元消元法；2.矩阵三角分解法. 包括：直接三角分解法、选主元的分解、稀疏方程组的解法；3.病态方程组。
包括：矩阵条件数与方程组的性态、病态线性方程组的处理；4.迭代解法。
包括：简单迭代法及其收敛性、迭代法、－迭代法、迭代法。
二、矩阵特征值与特征向量的计算1.幂法和反幂法2.矩阵的分解三、非线性方程与方程组的迭代解法1.非线性方程的迭代法。
包括：简单迭代法的收敛性及收敛速度、迭代法2.非线性方程组的迭代法。
包括：简单迭代法及收敛性、迭代法和离散迭代法四、插值与逼近1.代数插值。
包括：一元函数的插值和插值、插值余项、分段低次插值2.插值。
包括：插值多项式的构造、余项估计和分段三次插值。
3.样条插值。
包括：样条插值的概念、三次样条插值的三弯矩方法4.正交多项式。
包括：正交多项式的定义、性质5.函数的最佳平方逼近及最小二乘拟合。
包括：最佳平方逼进的基本理论、正交多项式系在最佳平方逼近中的应用、曲线拟合、离散型正交函数系在最小二乘拟合中的应用6.曲面插值和拟合五、数值积分1.数值积分的基本概念2.插值型求积公式3.求积公式的收敛性及数值稳定性4.复化求积公式5.型求积公式六、常微分方程初值问题的数值解法1.显式单步法。
包括：显式单步法的一般形式、－法及其相容性、收敛性和稳定性分析。
2.线性多步法。
包括：线性多步法的一般形式、预估－校正法、相容性、收敛性和稳定性分析。
3.常微分方程初值问题的数值解法。
包括：算法的计算公式、稳定性分析。
4.。
博士研究生入学《数值分析》考试大纲 - 广东工业大学
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲第一章线性空间和线性映射1.1线性空间；1.2基变换与坐标变换；1.3线性子空间（概念，子空间的交，和，子空间的直和，补子空间）；1.4线性映射（概念，线性映射的矩阵表示）；1.5线性映射的值域，核；1.6线性变换的不变子空间；1.7特征值与特征向量；1.8 矩阵的相似对角形；第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形2.1λ-矩阵及标准形；2.2初等因子与相似条件；2.3矩阵的Jordan标准形；第三章内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵3.1欧式空间，酉空间；3.2标准正交基，Schmidt方法；3.3酉变换和正交变换；3.4幂等矩阵，正交投影；3.5正规矩阵，Schur引理；3.6Hermite矩阵, Hermitee二次齐式；3.7正定二次齐式，正定Hermite矩阵；3.8Hermite矩阵偶在复相合下的标准形；3.9 Rayleigh商；第四章矩阵分解4.1矩阵的满秩分解；4.2矩阵的正交三角分解（UR，QR分解）；4.3矩阵的奇异值分解；4.4矩阵的极分解；4.5矩阵的谱分解；第五章向量与矩阵范数5.1向量范数；5.2矩阵范数；5.3诱导范数；5.4矩阵序列与极限；5.5矩阵幂级数；第六章矩阵函数6.1矩阵多项式，最小多项式；6.2矩阵函数及计算；6.3矩阵函数的幂级数表示；6.4矩阵指数函数与矩阵三角函数；第七章函数矩阵与矩阵微分方程7.1函数矩阵；7.2函数矩阵对纯量的导数与积分；7.3函数向量的线性相关性；7.4矩阵微分方程()()() dX tA t X tdt=；7.5线性向量微分方程()()()() dX tA t X t f tdt=+；第八章矩阵的广义逆8.1广义逆矩阵；8.2自反广义逆；8.3伪逆矩阵；8.4广义逆与线性方程组参考书目：1 《矩阵分析》，史容昌，北京理工大学出版社2 《矩阵分析引论》，陈祖明，北京航空航天大学出版社。
博士入学数学(高等数学、数值分析)课考试大纲
博士入学数学（高等数学、数值分析）课考试大纲
高等数学部分（50分）
1. 极限与连续
数列的极限，函数及函数的极限，极限的性质及运算法则，无穷小的比较，函数的连续性。
2. 导数与微分
导数的概念，导数的基本公式，导数的四则运算及求导法则，高阶导数，微分，函数的极值。
3. 微分中值定理
微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式。
4. 积分
原函数与不定积分，定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法，微积分学基本定理，定积分的应用。
5. 微分方程
微分方程的基本概念，一阶微分方程，几种可积的高阶微分方程，线性微分方程及其通解的结构，常系数齐次（非齐次）线性微分方程。
6. 多元函数微积分
多元函数，偏导数与高阶偏导数，全微分，复合函数及隐函数的求导法，多元函数的极值，二重积分。
7. 无穷级数
无穷级数的敛散性，正项级数敛散性的判别，任意项级数，绝对收敛，幂级数及幂级数的收敛半径和收敛域，函数的幂级数展开。
数值分析部分（50分）
1．非线性方程求根
简单迭代法、牛顿法、割线法及其计算效率。
2．线性代数方程组的数值解法
向量与矩阵范数，高斯列主元消去法，误差分析；雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法、超松弛迭代法及其收敛性讨论。
3．插值与拟合逼近
函数的拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、样条插值；曲线拟合的最小二乘逼近方法；误差分析。
4．数值积分
代数精度，低阶牛顿—柯特斯求积公式及其复化，龙贝格算法；高斯积分公式；数值积分公式的稳定性。
5．常微分方程初值问题的数值解法
常用单步法和多步法及其稳定性讨论；预测—校正格式。
博士研究生入学考试《数值分析(机电院)》考试大纲
博士研究生入学考试《数值分析（机电院）》考试大纲第一部分考试形式和试卷结构一、考试方式：考试采用闭卷笔试方式，试卷满分为100分。
二、考试时间：180分钟。
三、试卷内容结构：约占 60%，主观题约占 40%。
四、试卷题型结构：试卷由三部分组成：选择/判断、填空、分析/计算。
其中：1、选择/判断题，约占20%。
测试考生对本课程基本概念、基本知识和数值计算常用算法设计与分析方法的掌握程度。
2、填空题，约占40%。
测试考生运用数值计算相关基础知识和基本方法，开展计算、简要分析以及求解实际问题的能力。
3、分析、计算题，约占40%。
测试考生综合运用数值计算理论、典型方法解决综合问题，并开展相关计算方法收敛性以及误差分析等能力。
第二部分考察的知识及范围1.误差度量与数值算法设计误差基本概念：误差来源与分类，截断误差、舍入误差、绝对误差、相对误差，有效数字以及数值稳定性。
函数计算误差分析：一元函数误差估计，四则运算误差估计。
数值算法设计原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法）、减少有效数字损失，选择数值稳定的算法。
2.函数的插值方法以及误差估计插值问题的基本概念：插值问题的描述，插值多项式的存在和唯一性，差商、差分的概念以及性质。
拉格朗日插值：线性插值与抛物插值，n次拉格朗日插值，插值余项公式。
牛顿插值：均差的概念与性质，牛顿插值公式及其余项，差分的概念与性质。
埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值及其余项，n点埃尔米特插值，非标准埃尔米特插值及其余项。
分段低次插值：分段线性插值，分段三次埃尔米特插值。
三次样条插值：三次样条函数建立，三次样条插值方法。
3.函数逼近与曲线拟合正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，勒德让多项式，切比雪夫多项式。
最佳平方逼近：最佳平方逼近问题及解法，基于正交函数、勒德让多项式、切比雪夫多项式的最佳平方逼近。
最小二乘法：最小二乘曲线拟合问题的提出和解法，最小二乘计算，最小二乘法的应用（算术平均、超定方程组）。
数值分析考试大纲
西南科技大学本科课程考试大纲《数值分析》课程考试大纲一、本课程考试目的《数值分析》是根据国家教育部关于“数值计算方法”课程的基本要求，为理工科大学的本科高年级所开设的必修课，它着重学习以数学问题为对象，相关模型为背景，其研究适用于工程计算、科学计算的数值计算方法及相关的控制理论。
通过本门课程的学习，使学生具有必要的、正确的、科学思维方法，具有掌握常用的基本的数值计算能力和应用能力，为后继应用计算机进行工程、科学计算打下必要的应用型基础。
二、考试题型及分数分配填空题、选择题（4题、20分）、计算题（6题、60分）、证明题（1题、10分）。
三、课程考核办法平时成绩（包括课堂考勤、课堂练习、课后作业及上级练习等）30%，期末考试(闭卷) 70%。
第一章数值分析中的误差理论及分析主要内容、教学及复习要点:1.了解数值分析中所研究的对象、模型，所用方法和主要特点.2.了解误差产生的原因及四种分类.3.重点掌握近似数精确度的三种具体表示法及相应函数下的绝对误差,相对误差和有效数字.4.熟悉、掌握数值计算中应注意的一些问题.第二章解线性方程组的直接方法主要内容、教学及复习要点:1.理解高斯消去法的基本思想，掌握高斯列主元消去法的具体计算步骤。
2.重点掌握杜氏分解，具体分解方法和步骤；掌握利用杜氏分解求方程组解的计算公式。
3.掌握解三对角方程的追赶法。
4.熟悉向量范数和矩阵范数的概念，并掌握几种常用的向量与矩阵范数的计算。
5.理解方程组的“状态”和条件数，会判断其状态并求条件数。
6.掌握求解超定线性方程组的最小二乘法。
第三章解线性方程组的迭代方法主要内容、教学及复习要点:1.了解迭代法的一般形式，理解迭代格式收敛的定义，会构造相应问题的迭代格式。
理学院2.重点掌握Jacobin迭代格式的分量形式及矩阵形式，以及用J迭代法求解线性方程组近似解的步骤。
3.重点掌握高斯—赛德尔迭代格式的分量形式及矩阵形式，以及用高斯—赛德尔迭代法求解线性方程组近似解的步骤。
高等数值分析大纲
高等数值分析大纲绪言（1学时）一、样条函数及其应用（11学时，参[1]，[2]，[3]，[8]）1．样条函数空间2．B样条函数3．样条函数的性质(1)极小范数性质(2)最佳逼近性质(3)变缩性质(4)B样条函数的性质4．具有重节点的B样条函数5．三次样条插值的B样条表示6．样条函数的应用(1)数值微分(2)数值积分(3)常微分方程的样条函数解法二、最佳逼近（7学时，参[3]，[4]）1．契比晓夫多项式2．线性赋范空间的最佳逼近3．最佳一致逼近4．里米兹方法三、有限Fourier分析（6学时，参[4]，[3]）1．Fourier分析2．离散Fourier变换3．快速Fourier变换4．FFT在卷积中的应用四、迭代法和离散动力系统*（6学时，参[5]）1．基本概念2．Logestic模型3．符号动力系统和拓扑共轭4．Newton法和动力系统五、常微分方程差分方法（8学时，参[5]，[6]）1．单步法2．多步法3．刚性方程4．微分方程数值算法的动力学性质六、变分原理与边值问题（6学时，参[5]，[6]，[7]）1．变分问题举例2．变分法的基本概念3．Euler方程4．边值问题的等价变分问题5．里兹-加辽金（Ritz-Galerkin）方法6．有限元方法简介参考文献[1] 王省富．样条函数及其应用．西安：西北工业大学出版社，1989[2] 李岳生，齐东旭．样条函数方法．北京：科学出版社，1979[3] 黄友谦，李岳生．数值逼近(第二版)．北京：高等教育出版社，1987[4] 蒋尔雄，赵风光．数值逼近．上海：复旦大学出版社，1996[5] 蔡大用，白峰衫．高等数值分析．北京：清华大学出版社，1997[6] 武汉大学，山东大学．计算方法．北京：高等教育出版社，1979[7] 南京大学．偏微分方程数值解法．北京：科学出版社，1979[8] 李岳生．样条与插值．上海：上海科技出版社，1983。
《数值分析》考试大纲
《数值分析》考试大纲一、参考教材1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，清华大学出版社，2008年第5版。
2.数值分析，曾繁慧，中国矿业大学出版社，2009。
二、考核要求理解并熟练掌握误差概念，理解算法的数值稳定性、算法复杂度等误差的定性分析；理解非线性方程求根的数值计算原理，掌握二分法、不动点迭代法等方程求根的数值方法，会分析迭代法的收敛性与收敛阶，重点掌握牛顿迭代法；理解线性方程组的数值解法原理，掌握基本算法，理解直接法的稳定性与复杂度、方程组的病态性，理解掌握迭代法的收敛性；理解插值原理，熟练掌握离散数据的插值方法；理解三种函数逼近的准则，会求连续函数的最佳一致逼近及最佳平方逼近、离散数据的最小二乘逼近；理解数值微积分的原理，掌握基本数值方法及复化计算；掌握一阶常微分方程初值问题的基本数值解法。
三、考试内容、比例（一）绪论10%（1）绝对误差、相对误差、有效数字的概念；（2）一元函数、二元函数数值计算的误差估计；（3）算法的数值稳定性、算法复杂度，计算的有效算法，减小误差、控制误差的方法。
（二）非线性方程数值解法15%（1）非线性方程求根的原理及方法，会确定方程的有根区间；（2）二分法原理、二分法解方程；（3）不动点迭代法原理、步骤，收敛性与收敛阶定理，迭代计算及误差分析；重点是迭代法的收敛性与收敛阶；（4）迭代的加速方法：Aitken加速方法，Steffenson加速方法；（5）牛顿迭代法原理、算法及其收敛性；（6）改进的牛顿迭代法：简化牛顿法、牛顿下山算法和割线法，求重根的修正牛顿法。
（三）线性方程组的数值解法20%（1）高斯消去法的原理、可行性及算法的运算量，熟练应用高斯消去法计算；（2）理解小主元的不稳定性及主元素的思想，掌握列主元消去算法；（3）理解消元过程的矩阵解释，了解常用的矩阵分解，掌握LU算法，理解平方根法、追赶法的稳定性与复杂度；（4）掌握向量与矩阵的范数及矩阵的条件数，理解方程组的病态概念，掌握方程组的误差分析方法；（5）理解迭代法的思想，熟练掌握雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法与SOR 迭代法；理解迭代法的思想，掌握收敛性定理，会判别迭代法的收敛性。
数值分析考试大纲
数值分析》考试大纲一、考试标准(命题原则)1、考察学生对数值分析的基础知识（包括基本概念、基本内容、基本定理）的掌握程度以及运用已掌握的知识分析和解决问题的能力，衡量学生的数值分析及计算的能力。
2、题型比例客观题（判断题、填空题与选择题）约30--40%解答题（包括证明题）约60--70%3、难易适度，难中易比例：容易：40%，中等：50%，偏难10%。
4、考试知识点复盖率达80%以上。
二、考试时间：120分钟（2个小时）三、考试对象：数学与应用数学专业本科生四、考核知识点第一章引论(一)、知识点§1 数值分析的研究对象§2 数值计算的误差§3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害§4 矩阵、向量和连续函数的范数(二)、基本要求1、了解向量和矩阵范数的定义和计算2、了解误差分析第二章插值法(一)、知识点§1 Lagrange插值§2 均差与Newton插值公式§3 插值余项的Peano估计§4 差分与等距节点插值公式§5 Hermite插值§6 分段低次插值§7 三次样条插值的计算方法§8 三次样条插值函数的性质与误差估计§9 B-样条函数§10 二元插值(二)、基本要求1、理解插值概念和插值问题的提法2、熟练掌握插值基函数、拉格朗日插值公式，会用余项定理估计误差3、掌握差商的概念及其性质，熟练掌握用差商表示的牛顿插值公式4、掌握埃米尔特插值、分段插值的定义和特点第三章函数逼近(一)、知识点§1 正交多项式§2 函数的最佳平方逼近§3 最小二乘法§4 周期函数的最佳平方逼近§5 快速Fourier变换§6 函数的最佳一致逼近§7 近似最佳一致逼近多项式§8 Chebyshev节约化(二)、基本要求1.了解正交多项式定义2．理解函数的最佳平方逼近3．掌握最小二乘法4．掌握周期函数的最佳平方逼近5．了解快速Fourier变换6．理解函数的最佳一致逼近7．了解近似最佳一致逼近多项式8．掌握Chebyshev节约化第四章数值积分和数值微分(一)、知识点§1 Newton-Cotes求积公式§2 复合求积公式§3 Peano的误差表示§4 Gauss求积公式§5 Romberg求积公式§6 奇异积分与振荡函数的积分§7 二维近似求积(二)、基本要求1、理解数值求积的基本思想，代数精度的概念2、熟练掌握梯形、辛普生等低价牛顿-柯特斯求积公式3、掌握复化求积公式：复化梯形求积公式、复化辛普生求积公式4、掌握龙贝格求积公式5、掌握高斯求积公式的定义和特点6、掌握几个数值微分公式第五章解线性代数方程组的直接方法(一)、知识点§1 Gauss消去法§2 主元素消去法§3 直接三角分解方法§4 矩阵的奇异值和条件数，直接方法的误差分析§5 解的迭代改进§6 稀疏矩阵技术介绍(二)、基本要求1、了解向量和矩阵范数的定义和计算2、掌握高斯消去法、按列选主元的高斯消去法、三角分解法3、了解求解特殊方程组的追赶法和Cholesky平方根法第六章解线性代数方程组的迭代方法(一)、知识点§1 迭代法的基本概念§2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛(SOR)迭代法§4 共轭梯度法(二)、基本要求1、掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法2、了解方程组右端项和系数矩阵的扰动对解的影响、方程组解法的误差分析第七章非线性方程和方程组的数值解法(一)、知识点§1 单个方程的迭代法§2 迭代加速收敛的方法§3 Newton迭代法§4 割线法与Muller方法§5 非线性方程组的不动点迭代法§6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法(二)、基本要求1.掌握单个方程的迭代法2．了解迭代加速收敛的方法3．掌握Newton迭代法4．掌握割线法与Muller方法第八章代数特征值问题计算方法(一)、知识点§1 特征值问题的性质和估计§2 正交变换及矩阵分解§3 幂迭代法和逆幂迭代法§4 正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式§5 QR方法§6 对称矩阵特征值问题的计算(二)、基本要求1.了解特征值问题的性质和估计2．理解正交变换及矩阵分解3．掌握幂迭代法和逆幂迭代法4．了解正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式5．掌QR方法6．掌握对称矩阵特征值问题的计算第九章常微分方程初值问题的数值解法(一)、知识点§1 基本概念、Euler方法和有关的方法§2 Runge-Kutta方法§3 单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性§4 线性多步法§5 线性差分方程§6 线性多步法的收敛性与稳定性§7 一阶方程组与刚性方程组(二)、基本要求1、了解一阶常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念：步长、差分格式、单步法、多步法、显式法、隐式法、局部截断误差、整体截断误差、方法的阶数2、掌握欧拉法、改进欧拉法、梯形格式3、掌握龙格--库塔法的定义和特点4、了解亚当姆斯线性多步法5、了解差分法的收敛性和稳定性概念6、了解常微分方程边值问题五、考试要求书面答卷，闭卷考试，自带计算器。
中国地质大学数学专业研究生入学考试复试加试科目《数值分析》考试大纲
中国地质大学研究生院
研究生入学复试《数值分析》考试大纲
（数学学科复试科目 ）
1、理解并掌握下列基本概念：绝对误差、相对误差、有效数字、算法的稳定性、直接法、迭代法、插值法、曲线拟合的最小二乘法、分段低次插值、三次样条插值、三弯矩方程组、求积公式的代数精度、复合求积、截断误差、局部截断误差。
2、能熟练地掌握下列数值计算方法：
（1）非线性方程求根的二分法、迭代法、牛顿法。
（2）能熟练地进行矩阵的三角分解。
（3）能熟练地应用高斯（Gauss）消元法、列主元消元法、矩阵的三角分解法解线性方程组。
（4）会求向量和矩阵范数、矩阵的条件数。
（5）能熟练地判定用雅可比（Jacobi）迭代法、高斯—赛德尔（Gauss－Se deral）迭代法解线性方程组是否收敛，并能根据给定的初值，迭代计算。
（6）会求拉格朗日（Lagelangri）插值基函数、差商；拉格朗日、牛顿（N ewton）、埃尔米特（Hermite）插值函数、三次样条插值函数，能应用拉格朗日插值余项公式解决相关问题。
（7）能确定求积公式的代数精度或待定参数，能应用几个低次牛顿—柯特斯（Cotes）公式求数值积分，掌握复合梯形公式、复合辛普生（Simpson）公式和复合柯特斯公式及两点、三点高斯公式。
（8）能用欧拉（Euler）公式及其变形公式、改进欧拉公式、龙格—库塔（R unge-Kutta）经典公式求微分方程的数值解，能用基于数值积分和泰勒（Taylor）展开的方法推导微分方程的数值公式并写出截断误差。
《数值分析复习提纲》word版
数值分析第一部分线性方程组的数值解法一、基本要求1、掌握每一种解法的基本思想，适用范围，收敛条件，计算公式以及误差估计.2、在应用中不同解法的异同、优劣，加深对算法的理解，最好能上机计算.二、主要概念及结果主要概念定义1.1 对于方程通过某种方法建立了迭代法（2.1.1）如果对于任何使得极限成立，则称该迭代法是收敛的.定义1.2 如果，对于，都有成立，则称A是严格对角占优的.主要算法与定理高斯(Gauss)消去法假设A的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为计算步骤为1） 把上面的第一个方程除以，在分别乘上后与第k 个方程相加（）,得到于是我们从第2到第n 个方程中消去了.2） 把上面的第二个方程除以，再分别乘上后与第k 个方程相加（）得到于是我们从第3到第n 个方程中消去了.3） 继续这个过程直到我们得到4） 由上面的最后一个方程很容易得到，然后按相反次序回代逐一计算出方程的解.高斯(Gauss)列主元消去法 假设A 的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为（1） 消元过程.对，进行以下运算： 1） 选主元.找行号，使得； 2） 交换中的ki k ,两行；3） 消元：对于； 对.（2） 回代过程.按下述公式；回代求解即可得到方程组的解.定理1.1 对于，如果A 的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U 和对角元素为1的下三角矩阵L,使得Doolittle 分解 根据定理1.1，对于，如果A 的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U 和对角元素为1的下三角矩阵L,使得.可以直接计算分解式中的诸元素.为此，我们假设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11111,21323121n n n n l l l l l l L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-----nn n n n n n n n n u u u u u u u u u u U ,11,121,22211,11211用U 的第k 列（）乘L ，然后与A 的相应列比较，可以逐列（逐行）计算出L(U)的元素.定理1.2 设A 是一个对称正定矩阵，则存在唯一的下三角阵L ，其对角元素都是正的，使得定理1.3 设A 是一个对称正定矩阵，则存在一个单位下三角阵L和对角矩阵D，使得定理1.4 迭代法对于任意收敛的充分必要条件是，其中是迭代矩阵的谱半径.如果及假设A的对角元素，令A=D-L-U,其中D是A 的对角部分构成的矩阵.L和U分别是A的严格下（上）三角矩阵，则有以下几个具体算法：雅可比迭代法高斯-赛德尔迭代法关于这两个算法的收敛性有如下定理：定理1.5 如果方程组Ax=b的系数矩阵是严格对角占优的，则雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛.定理1.6 如果方程组Ax=b的系数矩阵是对称正定的，则高斯-赛德尔迭代法收敛.第二部分非线性方程的数值解法一、基本要求掌握每种方法的基本思想、迭代公式、收敛条件以及与其他方法的差异.二、主要概念及结果主要概念定义2.1 对于方程，通过某种方法建立了迭代法（2.1）如果存在使得极限，则称该迭代法是收敛的.主要算法与定理定理2.1 设有方程，如迭代函数在有根区间[a，b]上满足：（1）当时，；（2）在[a，b]上可导，且有，则有：（1）方程在[a，b]上有唯一的根*x；（2）对任意初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的唯一根*x，即；（3）误差估计定理2.2 设*x是方程的根，在*x的某个邻域内连续，且有，则必存在*x的一个邻域，对于任意选取的初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的根*x.二分法假设的隔根区间为，取，计算.如果，则取，否则取.继续这个过程直到取见足够的小，就可以把最后区间的中点作为方程的近似根.此法称为二分法.牛顿法计算公式定理 2.3 如果，且在*x的某个邻域内连续，则牛顿法是局部收敛的.弦截法计算公式第三部分插值法一、基本要求1、在算法上要求熟练掌握拉格朗日插值法，等距节点插值法，牛顿插值法.2、要求能按所给条件，选用适当的近似公式求出近似函数或计算出函数的近似值，并会估计其误差.二、主要概念及结果主要概念定义3.1 设在区间上有定义，且在上的个不同的点的函数值为，若存在一个代数多项式（3.1）其中为实数，使得成立，则称为函数的插值多项式，点称为插值节点.主要算法与定理定理3.1 在个互异节点上满足插值条件的次数不高于的插值多项式存在且唯一.拉格朗日插值多项式的一般形式 其中为插值基函数， 插值余项为其中是区间中的某一个值，且和x 有关，所以牛顿插值多项式及余项)())(](,,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N余项牛顿前插公式牛顿后插公式第四部分数值积分与数值微分一、基本要求掌握梯形求积公式、辛普森求积公式以及复化的梯形公式、复化的辛普森公式和龙贝格公式的构造方法.二、主要概念及结果主要概念定义4.1 若求积公式对于任意不高于次的代数多项式都准确成立，而对于次多项式却不能准确成立，则称该求积公式具有次代数精度.定义 4.2 将个节点的具有次代数精度的插值型求积公式称为高斯型求积公式，节点称为高斯点，称为高斯系数.主要算法与定理插值型求积公式其中牛顿-柯特斯公式其中梯形公式辛普森公式柯特斯公式其中复化梯形公式复化辛普森公式复化柯特斯公式其中龙贝格求积公式定理4.1 节点为高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式与任意次数不大于的多项式在上正交，即.第五部分常微分方程的数值解法一、基本要求掌握欧拉公式、经典的龙格-库塔公式二、主要概念及结果主要算法和定理显式欧拉方法隐式欧拉方法梯形公式预报-校正方法预估校正龙格-库塔方法二阶龙格-库塔公式经典的四阶龙格-库塔公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《数值分析》考试大纲
（工科研究生用）
一考试方式: 满分为100分。
其中，课外实验、作业占10～30%+闭卷笔试90～70%
二答题时间:120分钟
三各部分内容的考查比例
（1）数值算法的理论约10%；（2）插值法和数据拟合约20%；（3）数值积分与数值微分约10%；（4）解线性方程组的直接方法和迭代法约20%；（5）非线性方程（组）的迭代解法约10%；（6）常微分方程数值解法约20%；其他约10%
四题型比例
概念题约20%；计算题约50～70%；理论题约30～10%；
五试卷模板（100分）
填空（10分）：5个空，每空2分；
简述（10分）：2个问题；
计算(60分)：至少4个题；
综合（20分）：至少两个题。
六考试知识点：
1．掌握数值分析理论
误差的基本概念，有效数字；数值计算的误差传递；算法；算法的截断误差及其收敛性分析；算法的舍入误差及其数值稳定性分析。
2．掌握非线性方程（组）的迭代解法
不动点迭代及其收敛性；牛顿迭代法及其收敛性；牛顿迭代法的改进；迭代法的加速技术；非线性方程组的牛顿迭代解法。
3．掌握多项式插值与数据拟合
Lagrange插值公式及其应用；Hermite插值公式；带导数条件的插值公式；分段低次插值及其应用；数据的最小二乘拟合及其应用。
4．掌握数值微分与数值积分
差商代替导数；插值函数微分法；理查逊外推技术；数值积分的一般概念；Newton-Cotes 求积公式；复合求积公式；区间逐次分半求积算法；龙贝格求积算法；高斯型求积公式的概念及其构造方法。
5．掌握常微分方程初值问题的单步法
单步法的一般概念；经典单步法及其收敛性；经典单步法的数值稳定性；步长自动选择算法。
6．掌握线性代数方程组的直接解法
高斯变换，列主元高斯消去法，LU分解，对称正定矩阵的Cholesky分解；
7.掌握线性代数方程组的迭代解法
一般迭代法及其收敛性；经典迭代算法及其收敛性；共轭梯度算法。
8．了解特征值和特征向量的数值解法
求指定特征值幂法；Givens变换和Householder变换；矩阵的QR分解；求全部特征值的基本QR迭代法。
9．了解最佳平方逼近
正交多项式的概念，多项式的施密特正交化方法，常用正交多项式；函数的最佳平方逼近；正交多项式在最佳平方逼近中的应用。
七教材：《数值分析》，谷根代，杨晓忠等，科学出版社，2011.8
八参考书目
1、《数值分析》第七版（翻译版），馮烟利朱海燕译，高等教育出版社，2005
2、《数值分析》，钟尔杰，高等教育出版社，2004
3、《数值分析》，李庆扬，清华大学出版社，2001
2009.12.27制定
2011.9.28 修订。