2019-2020学年高中北师版数学a版高一必修1(45分钟课时作业与单元测试卷)：332指数函数的性质及应用_word版

3．2 指数函数的性质及应用
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列各函数中，指数函数的个数是( )
①y ＝2x ②y ＝－x ③y ＝－(12
)x ④y ＝(－2)x ⑤y ＝2×3x ⑥y ＝2x －1
⑦y ＝(3a －1)x (a >13且a ≠23
为常数) ⑧y ＝(2)x
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．6个
答案：B
解析：①⑦⑧为指数函数．
2．函数f (x )＝2|x |的值域是( )
A ．(0,1]
B ．(0,1)
C ．[1，＋∞)
D ．R
答案：C
解析：∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴f (x )的值域为[1，＋∞)．
3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．2
C ．4
D ．8
答案：C
解析：由两函数图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a 2a －4
＝1，解得a ＝4. 4．已知f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝10x ，则当x <0时，f (x )＝( )
A ．10x
B ．10－x
C ．－10x
D ．－10－x
答案：B
解析：设x <0，则－x >0，f (－x )＝10－x ，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝10－x .
5．函数f (x )＝2x －12x ＋1
( ) A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．是非奇非偶函数
答案：A
解析：∵f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，又f (x )的定义域为R ，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ a x ， x ＞1，4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1,8)
C ．(4,8)
D ．[4,8)
答案：D
解析：解法一：由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞1，4－a 2＞0，a 1≥4－a 2×1＋2. 解得4≤a ＜8. 解法二：当a ＝4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ， x ＞1，2x ＋2，x ≤1.画出图像可知图像在R 上是上升的，所以a ＝4符合题
意，排除C ；
当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ＞1，3x ＋2，x ≤1.画出图像可知图像在R 上不是上升的，所以a ＝2不符合题意，排除A 、B.故选D.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数y ＝0.3223
x x －－的递减区间是________．
答案：[1，＋∞)
解析：令u ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在[1，＋∞)上单调递增．
又y ＝0.3u 是减函数．
故y ＝0.3223x x －－的递减区间是[1，＋∞)．
8．已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过点P ，则定点P 的坐标是________．
答案：(1,5)
解析：将y ＝a x 向右平移1个单位得y ＝a x －1的图像，再将y ＝a x －1向上平移4个单位，得y ＝a x －1＋4的图像，而y ＝a x 恒过点(0,1)，故y ＝a x －1＋4恒过点(1,5)．
9．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 解析：由数形结合，知当a >1时，图象只有一个公共点(如图1)；当0<a <1时，要使y ＝2a 与y ＝|a
x －1|有两个公共点(如图2)，需满足0<2a <1，即0<a <12.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知指数函数f (x )过点(2,4)．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若函数g (x )＝bf x ＋b －1f x ＋1
为奇函数，求b 的值． 解：(1)∵f (x )为指数函数，
∴设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)．
∵f (x )过点(2,4)，
∴a 2＝4，得a ＝2，
∴f (x )＝2x .
(2)由(1)，知g (x )＝b ·2x ＋b －12x ＋1
. ∵g (x )为奇函数，
∴g (－x )＝－g (x )，
即b ·2－x ＋b －12－x ＋1＝－b ·2x ＋b －12x ＋1
， 即b ＋b －1·2x 2x ＋1＝－b ·2x ＋1－b 2x ＋1
， ∴1－b ＝b ，解得b ＝12
. 11．设函数f (x )＝kx 2＋2x (k 为常数)为奇函数，函数g (x )＝a f (x )－1(a >0，且a ≠1)．
(1)求k 的值；
(2)求g (x )在[－1,2]上的最大值．
解：(1)由题意，知f (－x )＝－f (x )，
所以kx 2－2x ＝－kx 2－2x ，所以k ＝0.
(2)由(1)，知f (x )＝2x ，所以g (x )＝a f (x )－1＝a 2x －1＝(a 2)x －1.
①当a 2>1，即a >1时，g (x )＝(a 2)x －1在[－1,2]上为增函数，
所以g (x )的最大值为g (2)＝a 4－1.
②当a 2<1，即0<a <1时，g (x )＝(a 2)x －1在[－1,2]上为减函数，
所以g (x )的最大值为g (－1)＝1a
2－1. 所以g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 4－1，a >11
a 2－1，0<a <1.
12．设函数f (x )＝14x ＋2
. (1)求证：对一切x ∈R ，f (x )＋f (1－x )为定值；
(2)记g (n )＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，求g (n )的解析式． 解：(1)f (x )＋f (1－x )＝14x ＋2＋141－x ＋2＝14x ＋2＋4x 4＋2·4x ＝12
. (2)由(1)，知f (0)＋f (1)＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＝12，…，f (1)＋f (0)＝12
. 将上述n ＋1个式子相加，得2g (n )＝n ＋12
， 所以g (n )＝n ＋14
(n ∈N *)．。