第五节 空间曲面及其方程

第五节 空间曲面及其方程
一.曲面方程
如果空间曲面S 与三元方程
0),,(=z y x F (*)
有
(1)曲面S 上任一点的坐标),,(z y x 满足方程(*); (2)不在曲面S 上的点的坐标不满足方程(*).
则方程(*)称为空间曲面S 的方程,曲面S 称为方程(*)的图形.
二.球面的标准方程及一般方程
1.标准方程 与定点),,(0000z y x M 的距离为常数R 的曲面称为球面.点),,(0000z y x M 称为球面的球心,常数R 称为球面的半径.
设),,(z y x M 为球面上的任一点,则
R M M =0, 即
R z z y y x x =-+-+-202020)()()(.
故球心在),,(0000z y x M ,求半径为R 的球面方程为
202020)()()(z z y y x x -+-+-=2R .
特别地,如果球心在原点)0,0,0(O ,则球面方程为
2222R z y x =++.
2.球面的一般方程
三元二次方程 )0(,0222≠=++++++A G Cz Ey Dx Az Ay Ax
称为球面的一般方程.其特点是:平方项前的系数均相等,且缺少混合项.
例 方程042222=+-++y x z y x 表示怎样的空间曲面?
解 配方后,有 2222)5()2()1(=+++-z y x ,
所以该方程表示球心在点)0,2,1(0-M ,球半径为5的球面.
三.旋转曲面及其方程
平面上的一条曲线绕该平面上的一条定直线旋转一周所得的空间曲面称为旋转曲面,定直线称为旋转曲面的轴.
问题:设yoz 坐标面上的一已知曲线C 的方程: 0),(=z y f .
将其绕z 轴旋转一周,得一旋转曲面,求旋转曲面的方程.
解 旋转曲面的方程为
0),(22=+±z y x f .
如果绕y 轴旋转,所得旋转曲面方程为
0),(22=+±z x y f .
注:由此得坐标面上的曲线绕相关坐标轴旋转一周所得旋转曲面方程的求法:
如xoy 面上的曲线C :0),(=y x f ,绕x 轴旋转,所得旋转曲面方程,可用下面的方法得到:
旋转轴为x 轴,则在0),(=y x f 中x 保持不变,此时变量y 用22z y +±代替,从而得到旋转曲面的方程为
0),(22=+±z y x f .
例 将xoz 面上的双曲线 122
22=-c
z a x (1)绕x 轴旋转所得的旋转曲面的方程为
1)(222222=+±-c z y a x 即
122
222=+-c
z y a x . (2)绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为
1)(222222=-+±c z a y x 即
122222=-+c z a y x .
四.柱面及其方程
平行于定直线并沿定曲线C 移动的动直线l 形成的轨迹,称为柱面.定曲线C 称为柱面的准线,动直线l 称为柱面的母线.
问题:设柱面的准线为xoy 面上的曲线C :0),(=y x f ,母线平行于z 轴.求该柱面方程.
解 所求柱面方程为
0),(=y x f .
由此可得:
(1)缺少一个变量的三元方程在空间直角坐标系下表示一个柱面.如 1.方程0),(=y x F 表示以xoy 坐标面上的曲线C :0),(=y x F 为准线, 母线平行于z 轴的柱面.
2.方程0),(=z y F 表示以yoz 坐标面上的曲线C :0),(=z y F 为准线, 母线平行于x 轴的柱面.
3.方程0),(=z x F 表示以xoz 坐标面上的曲线C :0),(=z x F 为准线, 母线平行于y 轴的柱面.
(2)二员方程0),(=y x F 在平面直角坐标系下表示一条曲线;但在空间直角坐标系下表示一个柱面.
例 (1)方程222R y x =+在平面直角坐标系下表示一个圆;但在空间直角坐标系下表
示以xoy 坐标面上的圆222R y x =+为准线, 母线平行于z 轴的柱面(圆柱面).
(2)方程1=+y x 在平面直角坐标系下表示一条直线;但在空间直角坐标系下表示以xoy 坐标面上的直线1=+y x 为准线, 母线平行于z 轴的柱面(即平面).。