07.材料力学-弯曲

Q(+)
Q(+)
Q(–)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
17
[例2]：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。 ql A y ql 1 A x1 Q1 图（b） M1
1 1 a
2
B 2
q
解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体
Q Q( x ) M M (x)
剪力方程
弯矩方程
三、 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x ) 的图线表示 M M ( x ) 的图线表示
20
[例3] 求下列图示梁的内力方程，并画出内力图。 MO O YO Q(x) ⊕ P x L A P 解：①求支反力 YO P ; MO PL MO Q(x)
9
3. 支座简化 ① 固定铰支座
2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。 ② 可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
10
③ 固定端 3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式 ① 简支梁
XA
YA
2
b C
Q2 q( x2 a l )
图（a） 2 B x2 Q2 M2
m (F ) 0 ,
2 i
1 qlx2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx 2 2
图（c）
19
二、内力方程：
内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
N A 3 kN，N B 1kN
24
2．内力分析：首先列出各段的剪力方程和弯矩方程， AC： Fy N A Q1 0
Q1 N A 3(kN) m1 M 1 N A x1 0 M 1 N A x1 3x1 (kN m)
CB： Fy N A Q2 0 Q2 N A 3(kN) m2 M 2 m N A x2 0 M 2 N A x2 6 3x2 6(kN m)
Fy P Q3 q(3 x3 ) 0 BD： q 2 m P ( 3 x ) M ( 3 x ) 0 3 3 3 3 2 Q3 4(3 x3 ) 2 2 M 2 ( 3 x ) 2(3 x3 ) 3 3
五、叠加原理：
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独
作用于结构而引起的内力的代数和。
Q( P 1, P 2 , , P n) Q 1 (P 1 ) Q2 ( P 2 ) Qn ( P n)
M (P 1, P 2 , , P n ) M1 ( P 1 ) M 2 (P 2 ) M n ( P n)
q( x)dx dQ( x)
dQx qx dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该点处荷载集度的大小。
28
Q(x)
M(x)+d M(x)
mA(Fi ) 0 , 1 Q( x)dx q( x)(dx)2 M ( x) [M ( x) dM ( x)] 0 2 dM ( x) Q( x) dx
2
q 3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52 1 2 0.5 (1.855 sin106.3 )] 1000 9.8 2 q
9 (kN/m)
— 均布力
14
§ 7. 2
梁的剪力和弯矩 ·剪力图和弯矩图
a A l XA A YA P B RB P B
面高为：0.8m，外伸端长为： 1m，试求贮液罐的计算简图。
解： q — 均布力
13
L g A2L 2 g A g A g mg Vg A q 1 1 1 1 2 2 L L L
1 2 Dt 1 g [R R ( sin )] 2 g 2 0 106.3 1.855 rad
x
Q(x)
M ( x)
22
A
L
RA
q0 L2 6 ⊕
Q(x)
3 L 3
q0 [例5] 求下图梁的内力方程，并 画出内力图。 B M Q RA x RB 解：①求支反力
q0L qL ; RB 0 6 3 ②内力方程 RA q0 2 Q( x ) (L 3x2) 6L qx M ( x) 0 ( L2 x2 ) 6L
MA
M — 集中力偶
q(x) — 分布力 ② 悬臂梁
11
③ 外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形
式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部 支反力。
12
[例1] 贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，钢的密度为：7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³ ,液
XA A
m
P
B
mC 0 , M YA x
剪力 ∴ 弯曲构件内力 弯矩 1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。
YA
m
x
RB
A
YA M
Q C Q C RB
16
M P
2. 剪力：Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
○
q0 L 3
2
x
x
③根据方程画内力图。
23
[例6] 图示外伸梁AD，受力 q 4 kN/m，P 2 kN，m 6 kN m
作用。试画出该轴的剪力图和弯矩图，并求Qmax和Mmax。 解：1．外力分析：求支座约束反力。研究梁AD，受力分析 如图，列平衡方程：
Fy N A N B P q 1 0 mA ( F ) N B 2 P 3 m q 1 2.5 0
m C
Q Q 图 特 征 M 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
自左向右突变
Q
无变化
Q C
x
Q<0
x
x
x
Q1 C
Q>0
斜直线
增函数 降函数 自左向右折角 自左向右突变 曲线 与 m 反
30
Q2 Q1– Q2=P
x
x
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。 [例8] 用简易作图法画图示梁的内力图。 qa q 解: 利用内力和外力的关系及
2 分区点A： Q qa; M qa
3 2 M 的驻点： Q 0 ; M qa 2
3 2 右端点： Q 0; M qa 2
32
[例9] 用简易作图法画下列图示梁的内力图。 q qa2 解：求支反力 RA qa ; RD qa 2 2 A B qa C D Q ;M 0 左端点 A ： 2 RA qa RD qa 1 2 Q qa/2 B 点左： Q ; M qa x + 2 2 qa 1 – – B点右： Q ; M qa2 qa/2 qa/2 2 2 qa 1 C点左： Q ; M qa2 2 2 3 M 的驻点：Q 0 ; M qa 2 8 qa 1 2 ; M qa C点右： Q 1 2 2 33 右端点D： Q qa ; M 0 2
M ( x)
YO
x
②写出内力方程
Q( x ) YO P
M ( x) YO x M O P( x L)
③根据方程画内力图。
21
q
[例4] 求下图梁的内力方程，
并画出内力图。
A L Q(x) A ○ B A ⊕ A B 解：①写出内力方程
Q( x ) qx
B qL x
1 M ( x ) qx2 2 ②根据方程画内力图
一、弯曲内力：
举例 已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。 解：①求外力
X 0, XA 0 mA 0 , RB Y 0 , YA Pa l
P(l a) l
15
②求内力——截面法
Y 0 , Q YA
P(l a) l
25
然后根据上面剪力方程和弯矩方程分区段绘制剪力图和弯矩
图，如(a)、(b)图所示。
由图可知：Qmax=3(kN)，Mmax=3(kN· m)
26
[例7] 图示梁承受均布载荷q作用，试问当a取何值时，梁的最 大弯矩为最小。提示：最大正弯矩等于最大负弯矩的绝对值。 解：作弯矩图，如图所示。最大正弯矩等于最大负弯矩的绝 对值，由图可知：
A
a a
特殊点的内力值来作图。
特殊点:
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
31
qa A a Q
q
左端点： a x 线形：根据
Q qa; M 0
dQx qx ； dx
2
dM ( x) dM ( x) q( x) Q( x)； 2 dx dx
– qa
及集中载荷点的规律确定。
3
3. 工程实例
火车的轮轴：
F
F
F
F
4
工厂厂房的天车大梁：
F F
5
楼房的横梁： q
阳台的挑梁：
q q
6
4. 平面弯曲： 杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。
P1 q
P2
M
纵向对称面
7
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵
对称面但外力并不作用在对称面内，这种
b C
如图（b）示。
x
图（a）
Y ql Q
Q1 ql
1
0
m ( F ) qlx
1 i
1
M1 0
18
M 1 qlx1
2—2截面处截取的分离体如图(c), ql
Y ql Q
1
2
q
2
q( x2 a) 0
A y ql A x
1 a B
1
目 7.1
7.2
录
平面弯曲的概念及梁的计算简图
剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
7.37.4梁的正应力和度计算梁的切应力和强度计算
7.5
7.6
提高梁弯曲强度的措施
梁的变形和刚度计算
2
§7.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 一、平面弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
0
L P
L
x
0.5P
L
L PL
0.5P
Q2 –
x
0.5P
L
L
0.5P
0.5P
36
P
PL
0
L P
L
P
0.5P
L
L PL
0.5P
0.5P
L
L
0.5P
37
§7.3
梁的正应力和强度计算
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力Q 内力 弯矩M 剪应力 正应力
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
q(x) y M ( x) Q(x) dx A M(x)+d M(x) 弯矩与荷载集度的关系是：
Q(x)+d Q(x)
dM 2( x) q( x) 2 dx
29
剪力、弯矩与外力间的关系
外 力
无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
P C
集中力偶
1 2 1 1 ql qla qa 2 a 8 2 2
2 1 l 0.207l 2
27
四、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
Q( x) q( x)dx Q( x) dQ( x) 0
Y 0
x y M ( x)
dx q(x) Q(x)+d Q(x) A dx
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足 线性关系。即在弹性限度内满足胡克定律。
34
[例10]按叠加原理作弯矩图(AB=2a,力P作用在梁AB中点处）。 P q A P A B
=
B
+
q B
A
35
[例11] 作下列图示梁的内力图。 P PL Q – P Q1
x P 0.5P + – 0.5P
弯曲则统称为非对称弯曲。 下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
8
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分
析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。