【教育专用】2018年秋八年级数学上册期末综合自我评价练习新版浙教版

期末综合自我评价
一、选择题(每小题2分，共20分)
1．下面四个标志中，是轴对称图形的是(D)
2．在平面直角坐标系中，点P(3，－2)关于y轴的对称点在(C)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．使不等式x－2≥－3与2x＋3＜5同时成立的x的整数值是(C)
A. －2，－1，0
B. 0，1
C. －1，0
D. 不存在
4．一个三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则此三角形第三边长可能是(C)
A．3 cm B．4 cm
C．7 cm D．11 cm
5．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元．如果购买金额不超过200元，且要求买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是(B)
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P是BD的中点．若AD＝6，则CP的长为(A)
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5
(第6题)
(第7题)
7．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(A )
A. 115°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
【解】 由折叠可得∠1＝∠EFB ′，∠B ′＝∠B ＝90°. ∵∠2＝40°，∴∠CFB ′＝90°－40°＝50°. ∵∠1＋∠EFB ′－∠CFB ′＝180°， ∴∠1＋∠1－50°＝180°，解得∠1＝115°.
8．在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，则下列平移作法中，正确的是(A )
A. 将直线l 1向右平移3个单位
B. 将直线l 1向右平移6个单位
C. 将直线l 1向上平移2个单位
D. 将直线l 1向上平移4个单位
【解】 ∵将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4， ∴－2(x ＋a )－2＝－2x ＋4或－2x －2＋b ＝－2x ＋4，解得a ＝－3，b ＝6. ∴应将直线l 1向右平移3个单位或向上平移6个单位．故选A.
9．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)为一次函数y ＝2x ＋1的图象上的两个不同的点，且x 1x 2
≠0.若M ＝y 1－1x 1，N ＝y 2－1
x 2
，则M 与N 的大小关系是(C )
A ．M >N
B ．M <N
C ．M ＝N
D ．不确定
【解】 将y 1＝2x 1＋1，y 2＝2x 2＋1分别代入M ，N ，得M ＝2x 1＋1－1x 1＝2，N ＝
2x 2＋1－1
x 2
＝2，
∴M ＝N .
10．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝10，BD ＝4，BE ＝2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边三角形DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是(A )
A. 8
B. 10
C. 3π
D. 5π
导学号：91354037
(第10题)
(第10题解)
【解】 如解图，连结DE ，过点F 作FH⊥BC 于点H. ∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°. 过点D 作DE′⊥AB，则∠BDE′＝30°， ∴BE ′＝1
2BD ＝2，∴点E′与点E 重合，
∴∠BDE ＝30°，DE ＝BD 2
－BE 2
＝2 3. ∵△DPF 为等边三角形， ∴∠PDF ＝60°，DP ＝DF. ∴∠EDP ＋∠HDF＝90°. ∵∠HDF ＋∠HFD＝90°， ∴∠EDP ＝∠HFD.
在△DPE 和△FDH 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠PED＝∠DHF，∠EDP ＝∠HFD，DP ＝FD ，
∴△DPE ≌△FDH(AAS)，∴FH ＝DE ＝2 3.
∴点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径为一条线段，此线段到BC 的距离为2 3. 当点P 在点E 处时，作等边三角形DEF 1，∠BDF 1＝30°＋60°＝90°，则DF 1⊥BC. 当点P 在点A 处时，作等边三角形DAF 2，过点F 2作F 2Q ⊥BC ，交BC 的延长线于点Q ，易
得△DF 2Q ≌△ADE ，∴DQ ＝AE ＝10－2＝8，∴F 1F 2＝DQ ＝8.
∴当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是8.
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．已知点A(x，4－y)与点B(1－y，2x)关于y轴对称，则点(x，y)的坐标为(1，2)．
12．如果关于x的不等式(a＋1)x>a＋1(a≠－1)可以变形为x<1，那么a的取值范围是a<－1．
13．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长为14或4．
【解】如解图①.
由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝9，CD＝AC2－AD2＝5，∴BC＝BD＋CD＝14.
(第13题解)
如解图②，同理可得BD＝9，CD＝5，
∴BC＝BD－CD＝4.
(第14题)
14．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，则BD的长为4_
【解】∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴CB＝CD，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°.
又∵∠CDE＝60°，∴∠BDE＝90°.
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，
∴BD＝BE2－DE2＝82－42＝4 3.
15．有学生若干人，住若干间宿舍．若每间住4人，则有20人无法安排住宿；若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生有__44__人．
【解】设共有x间宿舍，则学生有(4x＋20)人．
由题意，得0<4x ＋20－8(x －1)<8， 解得5<x<7.
∵x 为整数，∴x ＝6，即学生有4x ＋20＝44(人)．
16．若关于x 的不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x －a>3，
1－2x>x －2无解，则a 的取值范围是a ≥－2．
【解】 解不等式①，得x>3＋a 。

解不等式②，得x<1.
∵不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x －a>3，
1－2x>x －2无解，
∴3＋a≥1，即a≥－2.
17．已知一次函数y ＝2x ＋2a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过点A(－2，a)，且与x 轴分别
交于B ，C 两点，则△ABC 的面积为__12__．
【解】 把点A(－2，a)的坐标分别代入y ＝2x ＋2a ，y ＝－x ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＋2a ＝a ，
2＋b ＝a ，∴
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝4，
b ＝2. ∴y ＝2x ＋8，y ＝－x ＋2. 易得点B(－4，0)，C(2，0)， ∴S △ABC ＝1
2
×[2－(－4)]×4＝12.
18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠DAB ＝∠CDB＝90°，∠ABD ＝45°，∠DCA ＝30°，AB ＝6，则AE ＝__2__．
,(第18题))
,(第18题解))
【解】 如解图，过点A 作AF⊥BD 于点F. ∵∠DAB ＝90°，∠ABD ＝45°， ∴△ABD 为等腰直角三角形， ∴AF 为BD 边上的中线， ∴AF ＝12
BD .
∵AD ＝AB ＝6，
∴根据勾股定理，得BD ＝6＋6＝23， ∴AF ＝ 3.
∵∠CDE ＝90°＝∠AFE ，∴CD ∥AF ， ∴∠EAF ＝∠DCA ＝30°，∴EF ＝1
2AE .
设EF ＝x ，则AE ＝2x .
根据勾股定理，得x 2
＋3＝4x 2
， 解得x ＝1(负值舍去)． ∴AE ＝2.
(第19题)
19．如图，两把完全相同的含30°角的三角尺叠放在一起，且∠DAB ＝30°.有下列结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ；③O 为BC 的中点；④AG ∶GE ＝3∶4.其中正确的是①②③(填序号)．
【解】 由题意，得△ADE ≌△ACB ，
∴∠D ＝∠C ，∠E ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ＝90°，AD ＝AC ， ∴∠DAE －∠BAE ＝∠CAB －∠BAE ， ∴∠CAF ＝∠DAG ＝30°.
∵∠B ＝∠30°，∴∠D ＝∠C ＝60°，
∴∠AGD ＝∠AFC ＝90°，∴AF ⊥BC ，故①正确． 在△ADG 和△ACF 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠DAG ＝∠CAF ，AD ＝AC ，∠D ＝∠C ，
∴△ADG ≌△ACF (ASA )，故②正确． ∴AG ＝AF . 连结AO .
在Rt△AGO 和Rt△AFO 中，
∵⎩
⎪⎨⎪⎧AO ＝AO ，AG ＝AF ， ∴Rt△AGO ≌Rt△AFO (HL )． ∴∠GAO ＝∠FAO .
∵∠DAE ＝90°，∠DAB ＝30°，
∴∠GAF ＝60°，∴∠GAO ＝∠FAO ＝30°， ∴∠AOC ＝∠OAB ＋∠B ＝60°，OA ＝OB ， ∴△AOC 是等边三角形，∴OC ＝OA ＝OB ， ∴O 为BC 的中点，故③正确．
∵∠E ＝30°，∠AGE ＝90°，∴AE ＝2AG . 设AG ＝a ，则AE ＝2a .由勾股定理，得GE ＝3a ， ∴AG ∶GE ＝a ∶3a ＝1∶3，故④错误． 综上所述，正确的是①②③.
20．已知一次函数y ＝5
4
x －15的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则
在△OAB 内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点(整点)共有__106__个．导学号：91354038
【解】 易得点A(12，0)，B(0，－15)．
设当x ＝n 时，在△OAB 内部且不在x 轴上的整点个数为a n .
易得a 1＝13，a 2＝12，a 3＝11，a 4＝10，a 5＝8，a 6＝7，a 7＝6，a 8＝5，a 9＝3，a 10＝2，a 11＝1.
在坐标轴上的点共有15＋1＋12＝28(个)．
∴整点共有13＋12＋11＋10＋8＋7＋6＋5＋3＋2＋1＋28＝106(个)． 三、解答题(共50分)
21．(6分)(1)解不等式组：⎩
⎪⎨⎪⎧x －2≤0，2（x －1）＋（3－x ）＞0，并把它的解在数轴上表示出来． 【解】 解第一个不等式，得x≤2. 解第二个不等式，得x ＞－1. ∴此不等式组的解为－1＜x ≤2. 在数轴上表示如解图①所示．
(第21题解①)
(2)解不等式组：⎩⎪⎨⎪
⎧2（x ＋2）＞3x ，3x －12≥－2，并把它的解在数轴上表示出来．
【解】 解第一个不等式，得x ＜4. 解第二个不等式，得x ≥－1. ∴此不等式组的解为－1≤x＜4. 在数轴上表示如解图②所示．
,(第21题解②))
(第22题)
22．(6分)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，AM 平分∠BAC，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上的一点，且CE ＝1
2
BC.
(1)求ME 的长．
(2)求证：△DMC 是等腰三角形． 【解】 (1)∵AB＝AC ，AM 平分∠BAC， ∴BM ＝CM ＝1
2BC ＝CE ＝3，
∴ME ＝MC ＋CE ＝3＋3＝6.
(2)∵AB＝AC ，AM 平分∠BAC，∴AM ⊥BC. ∵D 为AC 的中点，∴DM ＝DC ， ∴△DMC 是等腰三角形．
23．(6分)如图，已知∠CDA＝∠AEB＝90°，且CD ＝AE ，AD ＝BE.
(第23题)
(1)求证：AC ＝BA.
(2)△ABC 是什么三角形？请说明理由．
(3)如果AM⊥BC，那么AM ＝1
2BC 吗？请说明理由．
【解】 (1)在△ACD 和△BAE 中， ∵CD ＝AE ，∠CDA ＝∠AEB＝90°，AD ＝BE ， ∴△ACD ≌△BAE(SAS)．∴AC＝BA. (2)△ABC 是等腰直角三角形．理由如下： 由(1)知△ACD≌△BAE， ∴AC ＝BA ，∠CAD ＝∠ABE，
∴∠BAC ＝180°－∠CAD－∠BAE＝180°－∠ABE－∠BAE＝180°－90°＝90°. ∴△ABC 为等腰直角三角形． (3)AM ＝1
2
BC.理由如下：
∵△ABC 为等腰直角三角形，且AM⊥BC， ∴BM ＝CM ，∴AM ＝1
2
BC.
24．(10分)某经销商从市场得知如下信息：
A 品牌手表
B 品牌手表 进价(元/块) 700 100 售价(元/块)
900
160
他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表100块，设该经销商购进A 品牌手表x 块，这两种品牌手表全部销售完后获得的利润为y 元．
(1)试写出y 与x 之间的函数表达式．
(2)若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)选择哪种进货方案，该经销商获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【解】 (1)由题意，得y ＝(900－700)x ＋(160－100)(100－x)＝140x ＋6000. ∵700x ＋100(100－x)≤40000，
解得x≤50，即y ＝140x ＋6000(0≤x≤50)． (2)令y≥12600，则140x ＋6000≥12600，
解得x≥471
7
.
又∵x≤50，∴471
7≤x≤50，
∴x 可取得48，49，50. ∴经销商有三种进货方案：
方案一，进A 品牌手表48块，B 品牌手表52块； 方案二，进A 品牌手表49块，B 品牌手表51块； 方案三，进A 品牌手表50块，B 品牌手表50块． (3)∵y＝140x ＋6000，140>0， ∴y 随x 增大而增大， ∴当x ＝50时，y 取得最大值． 又∵140×50＋6000＝13000(元)，
∴选择方案三，即进A 品牌手表50块，B 品牌手表50块时，经销商获得的利润最大，最大利润是13000元．
25．(10分)【问题提出】
用n 根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 【问题探究】
不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形，为探究m 与n 之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．
【探究一】
(1)用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然只能搭成一种等腰三角形． 所以，当n ＝3时，m ＝1.
(2)用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． 所以，当n ＝4时，m ＝0.
(3)用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n ＝5时，m ＝1.
(4)用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n＝6时，m＝1.
综上所述，可得表如下：
n 3 4 5 6
m 1 0 1 1
【探究二】
(1)用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形(仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在下表中)?
n 7 8 9 10 …
m 2 1 2 2…
(2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形(只需把结果填在上表中)?
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究……
【问题解决】
用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形(设n 分别等于4k－1，4k，4k＋1，4k＋2，其中k是正整数，把结果填在下表中)?
n 4k－1 4k 4k＋1 4k＋2 …
m …
【问题应用】
用2018根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形(写出解答过程)?
【解】【探究二】
(1)若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2
根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形；若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n＝7时，m＝2.
(2)同(1)可得：当n＝8时，m＝1；当n＝9时，m＝2；当n＝10时，m＝2.
【问题解决】
由规律，补充表如下：
n 4k－14k 4k＋14k＋2…
m k
k －1 k k …
【问题应用】
∵2018÷4＝504……2，
∴用2018根相同的木棒搭一个三角形，能搭成504种不同的等腰三角形．
26．(12分)如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(0，3)，以线段AB 为边在第一
象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°.若第二象限内有一点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，12，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等．
(第26题)
(1)求直线AB 的函数表达式． (2)求a 的值．
(3)在x 轴上是否存在一点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．导学号：91354039
【解】 (1)设直线AB 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)．由题意，得
⎩⎪⎨⎪
⎧4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧k ＝－3
4，b ＝3.
∴直线AB 的函数表达式为y ＝－3
4x ＋3.
(2)如解图，过点P 作PD⊥x 轴于点D. 易得BO ＝3，AO ＝4， ∴AB ＝AO 2
＋BO 2
＝5.
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ， ∴S △ABC ＝25
2
.
∵点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，12，且在第二象限， ∴PD ＝1
2
，OD ＝－a ，
∴S △ABP ＝S 梯形PDOB ＋S △AOB －S △APD
＝
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12＋3×（－a ）2
＋12×3×4－12×(4－a)×12＝－3
2
a ＋5， ∴－32a ＋5＝25
2
，解得a ＝－5.
(第26题解)
(3)存在．
如解图，分三种情况讨论：
①当以点A 为顶点时，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交x 轴于点M 1，M 2，
易知AM 1＝AM 2＝AC ＝5， ∴点M 1(－1，0)，M 2(9，0)．
②当以点C 为顶点时，以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，交x 轴于点M 3，过点C 作CE⊥x
轴于点E.
易知△AOB≌△CEA≌△CEM 3， ∴EM 3＝AE ＝BO ＝3，CE ＝AO ＝4， ∴点M 3(10，0)．
③当以点M 为顶点时，作AC 的中垂线交x 轴于点M 4. 易得点C(7，4)，又∵点A(4，0)，
∴AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫112，2. 易知AB 平行于AC 的中垂线，故可设AC 中垂线的函数表达式为y ＝－3
4x ＋b.
由题意，得－34×112＋b ＝2，解得b ＝49
8
，
∴AC 中垂线的函数表达式为y ＝－34x ＋49
8.
令y ＝0，得x ＝496，∴点M 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫496，0.
综上所述，存在点M(－1，0)或(9，0)或(10，0)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫496，0，使△MAC 为等腰三角形．。