线性代数课本课件

最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线 性模型。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非 零向量x称为A的对应于特征值λ的 特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量 （包括零向量）的集合，加上零向 量后构成的线性子空间称为特征空 间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问 题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于 图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性 回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路 中的电流、电压等物理量之间的关系，从而 进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向 量，称为该线性空间的基。
行列式法
通过计算系数行列式和增广行列式的值，判断线性方程组的解的情况， 并求解线性方程组。
线性方程组解的结构与性质
线性方程组有解当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵 的秩。
输入 解的标唯题一性
若线性方程组的系数矩阵满秩，则方程组有唯一解。
解的存在性
解的结构
线性方程组的解满足叠加原理和齐次性。
解的性质
对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间，而 非齐次线性方程组的解可以表示为一个特解与齐次线 性方程组通解的线性组合。
特殊行列式
如范德蒙德行列式、三角 行列式等，具有特殊计算 方法和应用。
行列式的计算与应用
行列式的计算方法
行列式与矩阵的关系
包括按行（列）展开法、拉普拉斯定 理等。
行列式是方阵的一个数值特征，与矩 阵的秩、逆等概念密切相关。
行列式的应用
用于求解线性方程组、判断矩阵是否 可逆、计算特征值等。
03 线性方程组
两个向量的内积是一个标量，它描述了向个向量的内积为零，则称这两个向量正 交。
正交向量的性质
正交向量在几何上表示垂直，它们的线性组合可以构成新的向量空间。
正交矩阵与正交变换
正交矩阵的定义
如果一个矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，则称该矩 阵为正交矩阵。
正交变换的定义
维数的概念
线性空间中基的向量个数称为该线性空间的维数，表示该空间的 “大小”。
基的变换与坐标变换
在不同的基下，同一向量的坐标会发生变化，基变换与坐标变换 是线性代数中的重要内容。
线性变换的矩阵表示
线性变换与矩阵的一一对 应关系
对于给定的线性变换，在特定的基下可以找 到一个唯一的矩阵与之对应，反之亦然。
得到广泛应用和深入发展。
线性代数的应用领域
数学领域
线性代数是数学研究的基 础工具，广泛应用于代数 、几何、分析等领域。
物理领域
线性代数在量子力学、 电磁学、力学等物理学
分支中有重要应用。
工程领域
计算机科学领域
线性代数在信号处理、控 制系统、计算机图形学等 工程领域中有广泛应用。
线性代数在机器学习、数据 挖掘、图像处理等计算机科
矩阵的运算与线性变换的运 算
矩阵的加法、数量乘法、乘法等运算与线性变换的 加法、数量乘法、复合变换等运算具有一一对应的 关系。
矩阵的相似与线性变换的 等价
如果两个矩阵相似，则它们对应的线性变换 在不同的基下是等价的，即可以通过基的变 换相互转化。
06 正交性与最小二乘法
向量的内积与正交性
向量内积的定义
04
矩阵的加法
同型矩阵对应元素相加。
矩阵的数乘
数与矩阵中每个元素相乘。
矩阵的乘法
满足结合律和分配律，但不满 足交换律。
矩阵的逆
方阵A存在逆矩阵A^(-1)，使 得A*A^(-1)=E。
行列式的定义与性质
行列式的定义
由方阵元素按照一定规则 组成的数，用于判断线性 方程组是否有解等。
行列式的性质
包括行列式与转置行列式 相等、行列式按行（列） 展开等。
线性方程组的解法
高斯消元法
通过对方程组进行初等行变换，将系数矩阵化为上三角矩阵或对角矩 阵，从而求解线性方程组。
矩阵的逆
若线性方程组的系数矩阵可逆，则可通过求逆矩阵来求解线性方程组。
Cramer法则
对于n个未知数的n个线性方程组成的方程组，如果系数行列式不等于 零，则方程组有唯一解，且解可用系数行列式的值表示。
解微分方程
在解线性常系数微分方程时，可以利用特征 值和特征向量来求解。
数据分析
在数据分析中，可以利用特征值和特征向量 进行数据降维、主成分分析等。
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量被用来描 述粒子的状态和能量。
05 线性空间与线性变换
线性空间的概念与性质
1 2 3
线性空间的定义
线性空间是满足特定运算规则（加法和数量乘法） 的集合，具有封闭性、结合律、交换律等性质。
线性代数中的概念和方法具有严密的逻辑性和系统性，有助于培养学生的逻辑思维 能力和数学素养。
线性代数的发展历程
线性代数起源于17世纪，随着 微积分学和解析几何的发展而逐
渐形成。
19世纪，矩阵理论、线性方程 组理论和向量空间理论等基本概 念和方法得到系统研究和总结。
20世纪以来，线性代数在数学、 物理、工程、计算机科学等领域
线性方程组的概念与分类
线性方程组
由一组线性方程（即未知数的次数均为一次的方程）组成 的方程组。
齐次线性方程组
常数项全为零的线性方程组。
非齐次线性方程组
常数项不全为零的线性方程组。
线性方程组的分类
根据系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系，线性方程组可 分为有解方程组和无解方程组。有解方程组又可分为唯一 解方程组和无穷多解方程组。
线性空间的性质
线性空间中的元素满足加法和数量乘法的分配律、 结合律等，零元素和负元素的存在性也是线性空 间的重要性质。
线性子空间
线性空间中的一部分元素构成的集合，在相同的 运算规则下也构成线性空间，称为原线性空间的 子空间。
线性变换的概念与性质
线性变换的定义
01
线性变换是保持向量加法和数量乘法不变的映射，即变换前后
线性代数课本课件
目录
• 线性代数概述 • 矩阵与行列式 • 线性方程组 • 特征值与特征向量 • 线性空间与线性变换 • 正交性与最小二乘法
01 线性代数概述
线性代数的定义与特点
线性代数是数学的一个分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵和线性变换等 概念和性质。
线性代数具有抽象性、基础性和应用广泛性等特点，是许多学科领域的重要数学工 具。
征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的和等于主对角线元 素之和。
特征值的积等于行列式的值。
02
01
03
若λ是可逆矩阵A的特征值， 则1/λ也是A的逆矩阵的特征
值。
若λ是矩阵A的特征值，则 λ^n是A^n的特征值。
04
05
不同特征值对应的特征向量 线性无关。
特征值与特征向量的应用
矩阵对角化
通过特征值和特征向量，可以将矩阵对角化， 从而简化矩阵的运算。
保持向量内积和长度不变的线性变换称为正交变换。
正交变换的性质
正交变换不改变向量的正交性，也不改变向量的长度。
最小二乘法的原理与应用
最小二乘法的原理
通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数 匹配。
最小二乘法的应用
广泛应用于回归分析、曲线拟合、数据预测等领 域。
最小二乘法的优点
简单易行，计算量小，对数据的分布要求不高。
特征值与特征向量的求法
特征多项式
求解特征值λ，需要求解特征多 项式|A-λE|=0的根，其中E是单
位矩阵。
特征向量求解
对于每个特征值λ，求解齐次线 性方程组(A-λE)x=0的非零解， 即可得到对应于特征值λ的特征
向量。
数值计算
在实际应用中，常常需要利用数 值计算方法（如幂法、反幂法、 QR算法等）来求解特征值和特
学领域中有重要作用。
02 矩阵与行列式
矩阵的定义与性质
01
02
03
矩阵的定义
由数字组成的矩形阵列， 用于表示线性方程组、线 性变换等。
矩阵的性质
包括矩阵的转置、矩阵的 秩、矩阵的逆等基本概念 和性质。
特殊矩阵
如对角矩阵、单位矩阵、 零矩阵等，具有特殊性质 和应用。
矩阵的运算及其性质
01
02
03