第1篇7-2

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2．等比数列的通项公式 an＝a1·qn－1(n∈N*)． 推导方法：累乘法： 3．等比数列的前n项和 当q＝1时，Sn＝na1， q 1 S na 当q≠1时． 推导方法：乘公比、错位相减法．
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(4) 若 m、n 、 p 、q∈N* 且m＋n＝p ＋q ，则am·an ＝ ap·aq.特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝… (5)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列． 例如：{an}是等比数列，则 ①a1 ，a3 ，a5 ，…，a2n－1 ；②a1 ＋a2 ，a2 ＋a3 ，a3 ＋ a a a a a a a a a a4，…；③a1a2，a2a3，a3a4，…；④a1＋a2，a3＋a4，a5＋ a6……均成等比数列． (6) ＝an－k·an＋k (1≤k<n，n、k∈N*)．
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由于p≠q，p2 ＋q2>2pq，又a1 ，b1 不为零，因此c≠c1c3， 故{cn}不是等比数列． 点评：本题属于否定型命题，这类问题通常采用分析 法或反证法证明，对这些证明方法与解题思想要灵活掌握.
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(2)bn＝n·2n， ∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.① 2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1② ①－②得－Sn ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1
n
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第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页三解题技巧一般地a是等比数列公差d0公比q1c第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页第一篇第一篇第七章第七章首页上页下页项公式为
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《走
一、方程的思想 等比数列中有五个量a1 、n、q、an 、Sn ，一般可以 “知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎 刃而解． 二、分类讨论思想 当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的 前n项和 等比数列的前n项和公 式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点．
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已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，则数列{an}的通 项公式为________． 分析：要证数列是等比数列，关键是看an与an－1之比 是否为一常数，由题设还需利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求得 an. 解析：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝2an＋1－2an， ∴an＋1＝2an① 又∵S1＝a1＝2a1＋1，a1＝－1≠0， 由①式可知an≠0，
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《走
(文)已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等 差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2) b a (2)设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn. {b } n S 解析：(1)设数列{an}的公比为q， 由题知：2(a3＋2)＝a2＋a4， ∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0. ∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.
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解析：据等比数列(公比不为1)性质： Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列， 则(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，∵Sn＝2，S3n＝14， ∴(S2n －2)2＝2×(14－S
2n)．
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总结评述：关于数列求和方法： (1)累加法：an＝a1 ＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an
－1)
如果数列{an}的通项an，满足an－an－1＝bn，而bn可求 和，则求{an}前n项和宜用累加法．
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，都等于同一个常数即
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[ 例 3]
已 知 x 轴 上 有 一 点 列 ： P0(x0,0) ， P1(x1,0) ，
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P2(x2,0)，…，点Pn＋2 满足PnPn＋2 ＝λPnPn＋1 ，其中n∈N， λ>0且为常数，x0＝0，x1＝1.设an＝xn＋1－xn. (1)证明{an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2) (2)求点Pn的横坐标(用λ表示)． P ( λ )
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6．等比数列的判定方法 (1)an＋1 ＝anq(q是不为0的常数，n∈N* ，an≠0)⇔{an} 是等比数列． (2)an (3) ＝cqn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a ⇔
n}是
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等比数列． ＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． ⇔ (4)Sn ＝A·qn －A(A、q为常数且A≠0，q≠0,1)⇔{an}是 公比不为1的等比数列．
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三、解题技巧 一般地，{an}是等差数列，{bn}是等比数列(公差d≠0， 公比q≠1)，cn＝anbn，求数列{cn}前n项的和用“乘公比、 错位相减法”．
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答案：3
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误区警示 1．命题A：G是a、b的等比中项，B 是B的充分条件，也不是B的必要条件． 2．在应用等比数列的前n项和公式时，一定要对q＝1 与q≠1进行分类讨论． q≠1 3．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零，项 与公比的符号有着密切的联系，解题时应特别注意． A既不
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(3)倒序相加法：若在数列{an}中，满足a1＋an ＝a2 ＋ an－1＝a3＋an－2＝……则可用此法． (4)乘公比错位相减法：{bn}为等差数列，{Cn}为等比 数列，an＝bn·Cn，求{an}前n项的和Sn可用此法． 第一步：乘公比；第二步：错位相减；第三步：等比 数列求和写出答案．
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[例4]
之间插入三个数，使这五个数成等比
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数列，则插入的三个数的乘积为________．
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各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于 ( A．80 C．26 B．30 D．16 )
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答案：15
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《走 向
(理)(09·全国Ⅱ)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1 ＝1，S6＝4S3，则a4＝________. 解析：设等比数列的公比为q. 当q＝1时，6a1＝4×3a1⇒a1＝0(舍)．
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设{an}，{bn}是公比不相等的两个等 比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列． 分析：证明一个数列是等比数列应从定义入手，证明 一个数列不是等比数列，只需举出三项不成等比即可．
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第二讲
等比数列
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重点难点 重点：等比数列的定义、通项公式、前n项和及等比 数列的基本性质 难点：等比数列的应用 知识归纳 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．
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(8)非零常数列既是等差数列，也是等比数列． (9)若{an}是等差数列，则{ban}是等比数列． 若{an}是正项等比数列，则{lgan}是等差数列． (10)等比数列{an}的单调性
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[例6]
(文)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a3，a9，
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a6成等差数列，问S3，S9，S6是否成等差数列？ 解析：由a3，a9，a6成等差数列，可得a3＋a6＝2a9， 即a1 q2＋a
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(5)分部求和
若{bn}与{cn}均为可求和的数列，an＝
bn＋cn可分别将{bn}与{cn}的前n项求和后得出． 如：an＝2n＋2n－1；Sn＝5＋55＋555＋…＋ Sn＝(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)等均可用此法．
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4．等比中项 如果三个数a、G、b成等比数列，那么G叫做a和b的 等比中项，即G2＝ab. 5．等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0)． } ⇒{c·a } (c≠0)
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又S2n>0得S2n＝6，又(S3n－S2n S >0 S 6 (S S 答案：B
)2＝(S (S
S S ) 2n－Sn)(S4n－S3n)，
∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)．解得S4n＝30.
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《走
[例5]
求数列a,2a2,3a3 ，…，nan ，…，(a为常数)的
＝－2－(n－1)·2n＋1.∴S 2 (n 1)·2 . S
＝2＋(n－1)·2n＋1. 2 (n 1)·2
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《走
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前n项的和． 分析：数列{nan}是由{n}与{an}对应项的积构成的， 但不要误认为{an}是等比数列，应对a＝0，a≠0分类讨 {a } a 0 a≠0 论．在等比数列中，还应分a＝1，a≠1两种情况．
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[例1] {an}为等比数列，解下列各小题．
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故答案为：S8＝255或85.
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数列，an＝－2n－1，再将n＝1代入，验证a1＝－1也满足通 项公式的要求． (2)证明一个数列是等比数列，常用方法是： ①证明对于任意自然数 可． ②对于一个数列，若除了首项和末项(有穷数列)外， 任何一项都是它的前后两项的等比中项，则此数列即为等 比数列．
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答案：an＝－2n－1
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总结评述：(1)本题证明关键是用等比数列的定义， 其中说明an≠0是非常重要的，证明中也可以写出Sn－1＝2an
－1＋1，从而得到an＝2an－1，只能得到n≥2时，{an}是等比