2019年国开离散数学2
国家开放大学电大考试计算机专业历年《离散数学》试题解析
计算机科学与技术专业级第二学期离散数学试题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．C 2．C 3．B 4．A 5．D1．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．10 B．100 C．1024 D．12．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <a，1>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）是从A到B的函数．A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R33．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．A．8、2、8、2 B．无、2、无、2C．6、2、6、2 D．8、1、6、14．若完全图G中有n个结点(n≥2)，m条边，则当（）时，图G中存在欧拉回路．A．n为奇数B．n为偶数C．m为奇数D．m为偶数5．已知图G的邻接矩阵为则G有（）．A．6点，8边B．6点，6边C．5点，8边D．5点，6边二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{,{a}} ．7．若R1和R2是A上的对称关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2，R2-R1中对称关系有 4 个．8．设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去 1 条边后使之变成树．9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．10．设个体域D＝{a, b}，则谓词公式( x)(A(x)∧B（x））消去量词后的等值式为(A (a)∧B (b))∧(A（a）∧B（b））．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会．”翻译成命题公式．设P：今天有联欢活动，Q：明天有文艺晚会，（2分）P∧Q．（6分）12．将语句“如果小王来，则小李去．”翻译成命题公式．设P：小王来，Q：小李去（2分）P → Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，极小元不存在． 错误． （3分）对于集合A 的任意元素x ，均有<x , a >R （或xRa ），所以a 是集合A 中的最大元．（5分）但按照极小元的定义，在集合A 中b ,c ,d 均是极小元． （7分）14．┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为永假式．错误． （3分）┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，如果P 的值为真，则┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真， （5分）如果P 的值为假，则┐P 与P →┐Q 为真，即┐P ∧（P →┐Q ）为真，也即┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式． （7分）另种说明：┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，只要其中一项为真，则整个公式为真． （5分）可以看到，不论P 的值为真或为假，┐P ∧（P →┐Q ）与P 总有一个为真，所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式． （7分）或用等价演算┐P ∧（P →┐Q ）∨P ⇔T 五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设集合A ={1，2，3，4}，R ={<x , y >|x , y ∈A ；|x y |=1或x y =0}，试（1）写出R 的有序对表示；（2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．15．（1）R ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （3分）（2）关系图如图二：图二 （6分）（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的． （9分）因有<2,3>与<3,4>属于R ，但<2,4>不属于R ，所以R 在A 上不是传递的．（12分） abcd 图一16．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试(1) 画出G 的图形表示；(2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数；(4) 画出图G 的补图的图形． 16．（1）关系图如图三：（3分）（2）邻接矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110010010100010100100110 （6分） （3）deg(v 1)=2deg(v 2)=2deg(v 3)=2deg(v 4)=2deg(v 5)=2 （9分）（4）补图如图四（12分）17．求P →Q ∧R 的合取范式与主析取范式．P →（R ∧Q ）⇔┐P ∨(R ∧Q ) （4分）⇔ （┐P ∨Q ）∧（┐P ∨R ） （合取范式） （6分）P →（R ∧Q ）⇔┐P ∨(R ∧Q )⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q) )∨(R ∧Q ) （7分）⇔(┐P ∧┐Q )∨(┐P ∧Q)∨(R ∧Q ) （8分）⇔((┐P ∧┐Q )∧ (┐R ∨R ))∨(┐P ∧Q )∨(R ∧Q ) （9分）⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q )∨(R ∧Q ) （10分）⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨((┐P ∧Q )∧(┐R ∨R ))∨(R ∧Q )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(R ∧Q )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨((┐P ∨P )∧(R ∧Q ))⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨ v 1 v 2 v 3 v 4 图三 v 5 v 1 v 2 v 3 v 4 图四 v 5(┐P ∧Q ∧R )∨ (P ∧R ∧Q ) （主析取范式） （12分）说明：此题解法步骤多样，若能按正确步骤求得结果，均可给分．六、证明题（本题共8分）18．设连通无向图G 有14条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其它顶点的度数均小于3，试说明G 中可能有的顶点数．证明： 可利用数列可图化及握手定理解答顶点度数和为214=28， （2分）28-（34+43）=4，则知其他顶点度数和为4， （4分）对于有限图，若无零度顶点，则除4度及3度顶点外，可能的顶点情况有：2个2度点；1个2度点和2个1度点；4个1度点， （6分）即对应图的顶点数分别至少为9、10、11． （8分）2011年 7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．C 3．C 4．D 5．B1．若集合A ={1，{1}，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A ．{2}AB ．{1，2}AC ．1AD ． 2 A2．设G 为无向图，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．无向图G 的结点的度数等于边数的两倍．B ．无向图G 的结点的度数等于边数．C ．无向图G 的结点的度数之和等于边数的两倍．D ．无向图G 的结点的度数之和等于边数．3．图G 如图一所示，以下说法正确的是( ) ． A ．{(a ，b )}是边割集B ．{ a ，c }是点割集C ．{d }是点割集D ．{ (c ，d )}是边割集 图一4．设集合A ={1}，则A 的幂集为( )．A ．{{1}}B ．{1，{1}}C ．{，1}D ．{，{1}}5．设A (x )：x 是人，B (x )：x 犯错误，则命题“没有不犯错误的人”可符号化为（ ）．A ．┐(∃x )( A (x ) → ┐B(x))B ．┐(∃x )( A (x )∧┐B (x ))C ．┐(∃x )( A (x )∧B (x ))D ．(∀x )( A (x )∧B (x ))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式P P ⌝∨的真值是 真（或T ，或1） ．7．若无向图T 是连通的，则T 的结点数v 与边数e 满足关系v= e +1 时，T 是树．8．无向图G 是欧拉图的充分必要条件是 G 是连通的且结点度数都是偶数 ．9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<2,2>,<1,2>}，则在R 中仅需加入一个元素 <1, 1> ， a b c de f就可使新得到的关系为自反的．10．( x )(P (x )→R (y )∨S (z )) 中的约束变元有 x ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“雪是黑色的．”翻译成命题公式．设P ：雪是黑色的， （2分）则命题公式为：P ． （6分）12．将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课．”翻译成命题公式．设 P ：如果明天下雨， Q ：我们在室内上体育课， （2分）则命题公式为：P Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．设集合A ={1，2}，B ={3，4}，从A 到B 的关系为f ={<1, 3>，<1, 4>}，则f 是A 到B 的函数． 错误． （3分）因为A 中元素1有B 中两个不同的元素与之对应，故f 不是A 到B 的函数． （7分）14．设G 是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G 有6个面．正确． （3分）因G 是一个连通平面图，满足欧拉定理，有v -e +r =2，所以r =2-（v -e ）=2-（5-9）=6 （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．试求出P →（R ∧Q ）的合取范式．P →（R ∧Q ）┐P ∨（R ∧Q ） （6分）(┐P ∨R ) ∧（┐P ∨Q ）（合取范式） （12分）16．设A ={{1}, {1, 2}，1}，B ={ 1, 2, {2}}，试计算（1）（A ∩B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∩B ）A ．（1）（A ∩B ）={1} （4分）（2）（A ∪B ）={1, 2, {1}, {2}, {1, 2}} （8分）（3）（A ∩B ）A = （12分）17．试画一棵带权为2, 3, 3, 4, 5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．最优二叉树如图二所示．（10分） 图二权为23+33+32+42+52=39 （12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明：若R 与S 是集合A 上的对称关系，则R ∩S 也是集合A 上的对称关系．证明：设x ，y A ，因为R 对称，所以若<x , y >R ，则<y , x >R ． （2分）因为S 对称，所以若<x , y >S ，则<y , x >S ． （4分）于是若<x , y >R ∩S 则<x , y >R 且<x , y >S2 3 3 4 5 5 10 7 17即 <y , x >R 且<y , x >S （6分）也即<y , x > R ∩S ，故R ∩S 是对称的． （8分）中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试离散数学（本）试题2011年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C1．若集合A ＝{ a ，{1}}，则下列表述正确的是( )．A ．{1}∈AB ．{1}⊆AC ．{a }∈AD ．∅∈A2．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(v )=2EB ．deg(v )=EC ．E v V v =∑∈)deg( D ．E v Vv 2)deg(=∑∈ 3．如图一所示，以下说法正确的是 ( )． A ．(e , c )是割边 B ．(d, e )是割边 C ．(b , a )是割边 D ．(b, c )是割边4．命题公式（P ∨Q ）的合取范式是 ( ) ．A ．PB ．（P ∧Q ）C ．（P ∨P ）D ．（P ∨Q ）5．下列等价公式成立的为( )．A ．P ∧Q P ∨QB ．Q →P P →QC ．⌝P ∧P ⌝Q ∧QD ．⌝P ∨P Q二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ={0, 1, 2}，B ={1,2, 3, 4,}，R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为 {<1, 1>，<1, 2>，<2, 1>，<2, 2>} ．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 v -e +r =2 ．8．设G ＝<V , E >是有20个结点，25条边的连通图，则从G 中删去 6 条边，可以确定图G 的一棵生成树．9．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 所有结点的度数全为偶数且 连通 ．10．设个体域D ＝{1,2}，则谓词公式)(x xA ∀消去量词后的等值式为 A (1) ∧A (2) ．a b c d 图一 e三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩．”翻译成命题公式．12．将语句“小张学习努力，小王取得好成绩．”翻译成命题公式．11．设P ：小李学习努力，Q ：小李会取得好成绩， （2分） P Q ． （6分）12．设P ：小张学习努力，Q ：小王取得好成绩， （2分） P Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1R 2是自反的． 14．如图二所示的图中存在一条欧拉回路．13．正确． （3分）R 1和R 2是自反的，x ∈A ，<x , x > ∈ R 1，<x , x > ∈R 2，则<x , x > ∈ R 1R 2，所以R 1R 2是自反的． （7分）14．正确． （3分）因为图G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数． （7分） 五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设A ={{2},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．16．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)}，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形．17．设谓词公式),()),,(),((z y yC z y x zB y x A x ∀∧∀∧∃，试（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元．15．（1）A B ={2,{2}} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分）（3）A ×B={<{2},1>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）16．（1）G 的图形表示如图三：图二v 1 v 2 v 3 v 4 图三 v 5（3分）（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010000110110110110000100 （6分） （3）v 1，v 2，v 3，v 4，v 5结点的度数依次为1，2，4，2，1 （9分） （4）补图如图四：（12分）17．（1）x 量词的辖域为)),,(),((z y x zB y x A ∀∧， （2分） z 量词的辖域为),,(z y x B , （4分）y 量词的辖域为),(z y C ． （6分）（2）自由变元为)),,(),((z y x zB y x A ∀∧中的y ，以及),(z y C 中的z （9分）约束变元为)),,(),((z y x zB y x A ∀∧中的x 与(,,)B x y z 中的z ，以及(,)C y z 中的y ． （12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ．18．证明：设S = A ⋃ (B ⋂C )，T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ，（1分）即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ． （2分）也即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， （3分）即 x ∈T ，所以S ⊆T ． （4分）反之，若x ∈T ，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， （5分）即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ， （6分）也即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ． （7分）因此T =S ． （8分）2011年1月v 1 v 2 v 3 v 4图四 v 5一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D 2．B 3．C 4．A 5．B1．若集合A ={a ，b }，B ={ a ，{ a ，b }}，则（ ）．A ．A ∉B B ．A BC ．A BD ．A B2．集合A ={x |x 为小于10的自然数}，集合A 上的关系R ={<x ，y >|x +y =10且x , y ∈A }，则R 的性质为（ ）．A ．自反的B ．对称的C ．传递且对称的D ．反自反且传递的3．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( )．图一A ．（a ）仅为弱连通的B ．（b ）仅为弱连通的C ．（c ）仅为弱连通的D ．（d ）仅为弱连通的4．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110 则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 5．下列公式 ( )为永真式．A ．⌝P ∧⌝QP ∨Q B ．(P →(Q →P ))(⌝P →(P →Q )) C ．(Q →(P ∨Q )) (⌝Q ∧(P ∨Q )) D ．(⌝P ∨(P ∧Q )) Q 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ＝{1，2，3}，那么集合A 的幂集是 {,{1},{2 },{3 },{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ． 7．设A ={a ，b }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 4 ．8．若A ={1,2}，R ={<x , y >|x A , y A , x +y <4}，则R 的自反闭包为 {<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>} ．9．无向连通图在结点数v 与边数e 满足 e=v -1 关系时是树．10．(∀x )(A (x )→B (x ))∨C (x ，y )中的自由变元为 C (x ，y )中的x 与y ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“他们去旅游，仅当明天天晴．”翻译成命题公式．12．将语句“今天没有下雪．”翻译成命题公式．11．设P ：他们去旅游，Q ：明天天晴， （2分）P →Q ． （6分）12．设P ：今天下雪， （2分）P ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．汉密尔顿图一定是欧拉图．错误． （3分）存在汉密尔顿图不是欧拉图．（5分）反例见图二． （7分）14．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （x ）（F （x ）→G （y ）） 前提引入(2) F （y ）→G （y ） ES （1）．1、错误． （3分）（2）应为F （a ）→G （y ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设A ={0，1，2，3，4，5，6}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <1}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．R ={<0,0>} （2分）S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分）R S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>} （6分）R -1={<0,0>} （8分）S -1= S （10分）r (R )=I A ． （12分）16．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 6的最优二叉树,计算它们的权．最优二叉树如图四：图四 （10分）权为：13+23+23+33+61=30 （12分）注: 其他正确的最优二叉树参照给分．17．求（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式，合取范式．（P ∨Q ）→（R ∨Q ） 1 2 2 3 3 6 8 5 14图二（P ∨Q ）∨（R ∨Q ） （4分） (P ∧Q )∨（R ∨Q ） (P ∨R ∨Q )∧(Q ∨R ∨Q ) (P ∨R ∨Q ) 析取、合取范式 （12分）注: 其他正确答案参照给分．六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．证明：设S =A ∩(B ∪C )，T =(A ∩B )∪(A ∩C )， 若x ∈S ，则x ∈A 且x ∈B ∪C ，即 x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ，也即x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即 x ∈T ，所以S ⊆T ． （4分）反之，若x ∈T ，则x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C也即x ∈A 且x ∈B ∪C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ．因此T =S ． （8分）2010年 7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B 2．D 3．B 4．C 5．B1．若集合A ={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A ．2AB ．{1}AC ．1AD ． 2 A2．已知一棵无向树T 中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为( )．A ．6B ．4C ．3D ．5 3．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101110011000011100111110, 则G 的边数为( )． A ．1 B ．7 C ．6 D ．144．设集合A ={a }，则A 的幂集为( )．A ．{{a }}B ．{a ，{a }}C ．{，{a }}D ．{，a }5．下列公式中 ( )为永真式．A ．⌝A ∧⌝ B⌝A ∨⌝B B ．⌝A ∧⌝ B ⌝(A ∨B ) C ．⌝A ∧⌝ BA ∨B D ．⌝A ∧⌝ B ⌝(A ∧B ) 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式P P ⌝∧的真值是 假（或F ，或0） ．7．若无向树T 有5个结点，则T 的边数为 4 ．8．设正则m 叉树的树叶数为t ，分支数为i ，则(m -1)i = t -1 ．9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R 中仅需加一个元素 <2, 1> ，就可使新得到的关系为对称的．10．( x )(A (x )→B (x ，z )∨C (y ))中的自由变元有 z ，y ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．设P ：今天上课， （2分）则命题公式为：P ． （6分）12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．设 P ：他去操场锻炼，Q ：他有时间， （2分）则命题公式为：P Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．设集合A ={1，2}，B ={3，4}，从A 到B 的关系为f ={<1, 3>}，则f 是A 到B 的函数．14．设G 是一个有4个结点10条边的连通图，则G 为平面图．13．错误． （3分）因为A 中元素2没有B 中元素与之对应，故f 不是A 到B 的函数． （7分）14．错误． （3分）不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．”（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．试求出（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式．（P ∨Q ）→（R ∨Q ） ┐(P ∨Q )∨（R ∨Q ） （4分）(┐P ∧┐Q )∨（R ∨Q ） （8分）(┐P ∧┐Q )∨R ∨Q （析取范式） （12分）16．设A ={{1}, 1, 2}，B ={ 1, {2}}，试计算（1）A ∩B （2）A ∪B （3）A （A ∩B ）．（1）A ∩B ={1} （4分）（2）A ∪B ={1, 2, {1}, {2}} （8分）（3） A （A ∩B ）={{1}, 2} （12分）17．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , d ), (b , c ), (b , d ), (c , d )}，对应边的权值依次为1、2、3、1、4及5，试（1）画出G 的图形；（2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．（1）G 的图形表示如图一所示：图一a b c d 112 4 5 3（3分）（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111101111011110 （6分） （3）最小的生成树如图二中的粗线所示：（10分）权为：1+1+3=5 （12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明：若R 与S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．证明：设x A ，因为R 自反，所以x R x ，即< x , x >R ；又因为S 自反，所以x R x ，即< x , x >S ． （4分）即< x , x >R ∩S （6分）故R ∩S 自反． （8分）2010年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．C 3．B 4．B5．D 1．若集合A ＝{ a ，{a }}，则下列表述正确的是( )．A ．{a }⊆AB ．{{{a }}}⊆AC ．{a ，{a }}∈AD ．∅∈A2．命题公式（P ∨Q ）的合取范式是 ( )A ．（P ∧Q ）B ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．（P ∨Q ）D ．（P ∧Q ）3．无向树T 有8个结点，则T 的边数为( )．A ．6B ．7C ．8D ．94．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( )．A ．a 是割点B ．{b, c }是点割集C ．{b , d }是点割集D ．{c }是点割集图一5．下列公式成立的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q P ∨QB ．P →Q ⌝P →Q 图二ab c d 1 1 2 453C ．Q →P PD ．⌝P ∧(P ∨Q )Q二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ={2, 3, 4}，B ={1, 2, 3, 4}，R 是A 到B 的二元关系，},{y x B y A x y x R ≤∈∈><=且且则R 的有序对集合为 {<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>}，<3, 4>，<4, 4>} ．7．如果R 是非空集合A 上的等价关系，a ∈A ，b ∈A ，则可推知R 中至少包含<a , a >，< b , b > 等元素．8．设G ＝<V , E >是有4个结点，8条边的无向连通图，则从G 中删去 5 条边，可以确定图G 的一棵生成树．9．设G 是具有n 个结点m 条边k 个面的连通平面图，则m 等于 n +k 2 ．10．设个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 大于1”，则谓词公式()()x A x ∃的真值为 真（或T ，或1） ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式．设P ：今天考试，Q ：明天放假． （2分）则命题公式为：P ∧Q ． （6分）12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．设P ：我去旅游，Q ：我有时间， （2分）则命题公式为：P Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 是欧拉图．错误． （3分）当图G 不连通时图G 不为欧拉图． （7分）14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元是f ．图二错误． （3分）集合A 的最大元与最小元不存在，a 是极大元，f 是极小元，． （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设谓词公式)),,()(),()((z x y B z y x A x ∀→∃，试（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元．（1）x 量词的辖域为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→， （3分）z 量词的辖域为),,(z x y B , （6分）（2）自由变元为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→中的y ， （9分）约束变元为x 与z ． （12分）16．设集合A ={{1},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．（1）A B ={{1},2} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分）（3）A ×B={<{1},1>，<{1},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）17．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4 }，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4) }，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形．（1）G 的图形表示为(如图三)：（3分）图三（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110101111000100 （6分） （3）v 1，v 2，v 3，v 4结点的度数依次为1，2，3，2 （9分）（4）补图如图四所示：（12分）图四六、证明题（本题共8分）18．设A ，B 是任意集合，试证明：若A A=B B ，则A=B ．证明：设x A ，则<x ，x >A A ， （1分）因为A A=B B ，故<x ，x >B B ，则有x B ， （3分）所以A B．（5分）设x B，则<x，x>B B，（6分）因为A A=B B，故<x，x>A A，则有x A，所以B A．（7分）故得A=B．（8分）2009年10月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D 2．C 3．B 4．C 5．A1．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．A．平面图B．对偶图C．欧拉图D．连通图2．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, y∈A}，则R的性质为（）．A．不是自反的B．不是对称的C．传递的D．反自反3．设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A．最大元B．极大元C．最小元D．极小元4．图G如图一所示，以下说法正确的是( ) ．A．{(a, d)}是割边B．{(a, d)}是边割集C．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D．{(b, d)}是边割集图一5．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A．(∃x)(A(x)∧B(x)) B．(∀x)(A(x)∧B(x))C．┐(∀x)(A(x) →B(x)) D．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．若集合A={1，3，5，7}，B={2，4，6，8}，则A∩B=空集（或）．7．设集合A={1，2，3}上的函数分别为：f={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数g f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>,} ．8．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为2|E|（或“边数的两倍”）．9．无向连通图G的结点数为v，边数为e，则G当v与e满足e=v-1 关系时是树．10．设个体域D＝{1, 2, 3}，P(x)为“x小于2”，则谓词公式(∀x)P(x) 的真值为假（或F，或0）．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．设P：他是学生，（2分）则命题公式为：P．（6分）12．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．设P ：明天下雨，Q ：我们就去郊游， （2分）则命题公式为： P Q ．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （x ）F （x ）→G （x ） 前提引入(2) F （y ）→G （y ） US （1）．错误． （3分）（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）14．如图二所示的图G 存在一条欧拉回路．图二错误． （3分）因为图G 为中包含度数为奇数的结点． （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P ∨Q ）→R 的析取范式与合取范式．（P ∨Q ）→R （P ∨Q ）∨R （4分）(P ∧Q )∨R （析取范式） （8分）(P ∨R )∧(Q ∨R) （合取范式） （12分）16．设A ={0，1，2，3}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤2}，试求R ，S ，R •S ，S -1，r (R )．R =, S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>} （3分）R S =， （6分）S -1= S ， （9分）r (R )=I A ={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}． （12分）17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．最优二叉树如图三所示（10分） 图三权为13+23+22+32+42=27 （12分）1 22 3 3 4 7 5 12六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A⋃ (B⋂C)=(A⋃B) ⋂ (A⋃C) ．证明：设S= A⋃ (B⋂C)，T=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)，若x∈S，则x∈A或x∈B⋂C，即x∈A或x∈B且x∈A 或x∈C．也即x∈A⋃B且x∈A⋃C，即x∈T，所以S⊆T．（4分）反之，若x∈T，则x∈A⋃B且x∈A⋃C，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，也即x∈A或x∈B⋂C，即x∈S，所以T⊆S．因此T=S．2009年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．B 3．B 4．D 5．C1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）．A．A B，且A B B．A B，但A BC．A B，但A∉B D．A B，且A∉B2．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的3．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．34．如图一所示，以下说法正确的是( ) ．A．{(a, e)}是割边B．{(a, e)}是边割集C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图一5．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．┐(∃x)(A(x)∧B(x))C．┐(∀x)(A(x) →B(x)) D．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为1024 ．7．设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为8 ．8．若A={1,2}，R={<x, y>|x A, y A, x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>} ．9．结点数v与边数e满足e=v-1 关系的无向连通图就是树．10．设个体域D＝{a, b, c}，则谓词公式(∀x)A(x)消去量词后的等值式为A (a) ∧A (b)∧A（c）．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．设P：他接受了这个任务，Q：他完成好了这个任务，（2分）P Q ． （6分）12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．设P ：今天下雨， （2分）P ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （x ）F （x ）→G （x ） 前提引入(2) F （y ）→G （y ） US （1）．错误． （3分）（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． （7分）14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．图二错误． （3分）集合A 的最大元不存在，a 是极大元． （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的合取范式．（P ∨Q ）→（R ∨Q ）（P ∨Q ）∨（R ∨Q ） （4分）(P ∧Q )∨（R ∨Q ）(P ∨R ∨Q )∧(Q ∨R ∨Q ) (P ∨R ∨Q ) ∧R 合取范式 （12分）16．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．R =, （2分）S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分）R S =， （6分）R -1=， （8分）S -1= S ， （10分）r (R )=I A ． （12分）17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．1 2 2 3 3 4 7 5 12权为13+23+22+32+42=27 （12分）六、证明题（本题共8分）18．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G与G中的奇数度顶点个数相等(G 是G的补图)．证明：因为n是奇数，所以n阶完全图每个顶点度数为偶数，（3分）因此，若G中顶点v的度数为奇数，则在G中v的度数一定也是奇数，（6分）所以G与G中的奇数度顶点个数相等．（8分）2008年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B 2．B 3．A 4．C 5．D1．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <b，2>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R32．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．A．8、2、8、2 B．无、2、无、2C．6、2、6、2 D．8、1、6、13．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024 B．10 C．100 D．14．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数5．已知图G的邻接矩阵为，则G有（）．A．5点，8边B．6点，7边C．6点，8边D．5点，7边二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是{,{a,b},{a},{b }} ．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树．9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．10．设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)A(x)∧（∃x）B（x）消去量词后的等值式为(A (a)∧A (b))∧(B（a）∨B（b）) ．三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分）11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．设P：所有人今天都去参加活动，Q：明天的会议取消，（1分）P Q．（4分）12．将语句“今天没有人来．”翻译成命题公式．设P：今天有人来，（1分）P．（4分）13．将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，（1分）(x)(P(x)Q(x))．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永真式．15．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．图一14．正确．（3分）┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）另种说明：┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨P⇔T15．正确．（3分）对于集合A的任意元素x，均有<x, a>R（或xRa），所以a是集合A中的最大元．（5分）按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）16．设集合A={1，2，3，4}，R={<x, y>|x, y∈A；|x y|=1或x y=0}，试（1）写出R 的有序对表示；（2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．（1）R ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （3分）（2）关系图为（6分）（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的。
060941904高等教育自学考试 离散数学(二)试题
2019年4月高等教育自学考试《离散数学（二）》试题课程代码：06094一、单项选择题1．下列语句是命题的是A ．明年中秋节的晚上是晴天。
B ．x +y >0C ．请勿吸烟!D ．我正在说谎。
2．命题公式Q)P (Q)(P ⌝∨⌝↔∧⌝是A ．矛盾式B ．重言式C ．蕴含式D ．等价式3．由两个命题变元P ，Q 构成大项的公式是4．设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题“我不能一边听课，一边看小说”符号化为5．设A ={a ,{a ,b }}，则幂集P (P (A ))的元素个数为A ． 16B ．8C ．4D ．36．下列命题错误的是A ．}{}{x x ⊆B ．}{}{x x ∈C ．}}{,{}{x x x ∈D ．}}{,{}{x x x ⊆ 7．设S ={1,2,3}，S 上关系R 的关系图见下图(7题图)，则R 具有的性质是A ．自反性、对称性、传递性B ．反自反性、反对称性C ．反自反性、反对称性、传递性D ．自反性8．设集合A={2,3,4,…,10)，关于集合A 不封闭的运算是A. x*y=max(x,y)B. x*y=min(x,y)C. x*y=GCD(x,y), 即x ,y 最大公约数D. x*y=LCM(x,y), 即x ,y 最小公倍数9．设论域为{1,2}，与公式(∃x)A(x)等价的是A ．A(1)∨A(2)B ．A(1)→A(2)C ．A(1)∧(2)D ．A(2)→A(1)10．设无向图中有6条边，有一个3度顶点和一个5度顶点，其余顶点度为2，则该图的顶点数是A ．3B ．4C ．5D ．611．下图(11题图)的最大入度是A ．0B ．1C ．2D ．312．设f 是实数集R 到R 的函数，则f 是双射函数的是A ．⎩⎨⎧≤-=０ｘ１ｘ＞０１ｘｆ,,)( B ．152)(-=ｘｘｆ C ．)1/(1)(+=ｘｘｆ D ．ｘｘｆ=)( 13．集合A={1,2,3}上的下列关系矩阵中符合相容关系条件的是A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011001 14．设A B=B ，则有A ．A B=AB ．A-B=ϕC ．A B=BD ．A ⊆B15．对于公式(∀x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))∧(∃x)P(x,y)，下列说法正确的是A ．y 是自由变元B ．y 是约束变元C ．(∃x)的辖域是P(x,y)D ．(∀x)的辖域是(∀y)(P(x ，y)∧Q(y,z))二、填空题16．不能再分解的命题称为 ，至少包含一个联结词的命题称为 。
国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案
最新国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案《离散数学》题库及答案一一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.若集合A = （l,2,3,4）,则下列表述不正确的是（）•A.16AB. {1,2,3}CAC. （1.2.3J6AD. 0UA2.若R和R?是A上的对称关系，则中对称关系有（〉个・A. 1B. 2C. 3D. 43.设G为连通无向图，则］）时,G中存在欧拉回路・A. G不存在奇数度数的结点B. G存在偶数度数的结点C. G存在一个奇数度数的结点D. G存在两个奇数度数的结点4.无向图G是棵树，边数是10,则G的结点度数之和是（）.A.20B. 9C. 10D. 115.设个体域为整数集，则公式V z3y（x+y = 0）的解释可为（）.A-存在一整数z有整数丁满足x+y = 0B.对任意整数z存在整数財满足x+y = 0C.存在一整数z对任意整数'满足工+y・0D.任意整数工对任意整数，满足x+y=0得分评卷人--------------- 二、填空題（毎小通3分，本題共15分）6.设集合A = {1.2,3),B = (2,3,4}.C=(3.4.5，则A (J (C - B )等于7-设 A = （2,3},B-{l,2}.C-{3,4}.从 A 到 B 的函ft/-{<2,2>,<3,1>}.从 B 到C 的函数R = <V1.3>,V2.4>）,则Dom（g"）等于.8.已知图G中共有】个2度结点,2个3度结点,3个4度结点，则G的边数是・9.设G是连通平面分别衰示G的結点数.边数和面数，u值为5/值为4,则r的值为・-10-设个体域D = （1.2.3,4hA（x）为七大于5”，则调词公式（Vz）AGr）的真值为11. 将语句“学生的主要任务是学习”翻译成命题公式. 12.将语句“今天天暗，昨天下雨.”翻译成命题公式.四、判斷说明題（判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本题共1413. 空集的圳:集是空集. 14.完全图K,不是平面图.15.设集合A = <1,2,3,4｝上的关系：R-«1.2>.<2.3>.<3,4>}.S = (<1.1>,<2,2>,<3,3>), 试计算(DR • S t (2)7? (3)r(J?nS).16.图 G=<V,E>.其中 V=S ，6,c,d}.E=((a,6),S,c),(a,d),(5,c),0,d),(c,d)},对应边的权值依次为2、3、4、5、6及7,试（1）画出G 的图形, （2）写岀G 的邻接矩阵;（3）求出G 权最小的生成树及其权值. 17.求PTQPR ）的析取范式与主合取范式.18.试证明：r -1 (P-*Q) An R A(QfR)=>i P.试题答案及评分标准仅供參考一、单项选择题（毎小题3分,本题共15分）l.C2.D3. A4. A5. B2OZZ«r-2O23^ttM三、逻辑公式翻译（毎小題6分，本题共】2分）分）五、计鼻16（每小JS 12分，本贓共36分）六、证明85（本楚共8分）2022集・2U23年股*二、壊空題（每小题3分，本题共15分）6. {1,2,3,5)7. {2,3}(或 A)8.109.110. 假（或F,或0）三、逻辑公式B!译（毎小题6分，本題共12分）11.设P ：学生的主要任务是学习. 则命题公式为:P.12.设今天夭晴，Q ：昨天下雨. 则命题公式为:PAQ.四、判断说明題（每小題7分，本题共14分）13.借误.空集的專集不为空集，为{0}. 14. 错误.完全图K,是平面图， 如K,可以如下图示嵌入平面.五、计算题（每小题12分，本題共36分）15. 解：(!)/? • S = (V1,2>,V2,3>* (2)J?-* = «2,1>,<3,2>,<4,3>}» (3)r(RnS)={Vl,l>,V2,2>,V3,3>,V4,4>} 16. 解.（DG 的图形表示为:《7分）（2）邻接矩阵:（3分）（6分）（2分）（6分） （2分） （6分）（3分）（4分） （8分）2022 集-2U23 年股*(3)粗线与结点表示的是最小生成树,(10 分)权值为9 (12分)17.解:P-(QAR)PV(QAR) 析取范式(2分)PVQ)A(q PVR) (5 分)g PVQ〉V(RA")A("VR) (7 分)PVQ)V(R A-i R)A(i PVR)V(QAr Q) (9 分)«(n PVQVR) A("VQV")A(i P VRVQ)A("VRVr Q)⑴分)PVQVR) A(i PVQV-i R) A(n P Vn QVR) 主合取范式 (12 分)六、证明JH(本■共8分)18.证明：(1)n □ (P-*Q) P(1 分)(2)P-*Q T(1)E (3 分)(3)(Q々) P(4 分)(On R P(5 分)(5>-| Q T(3)(4)7 (6 分)(6)n P T(2)(5)r (8 分)说明：(1)因证明过程中，公式引用的次序可以不同，一般引用前提正确得1分，利用两个公式得.出有效结论得1或2分，最后得岀靖论得2或1分.(2)另，可以用真值表验证.《陽散数学〉题库及答案二的关系R = {<=，3>M£A，3£B,且工+ » = 5}.则R=( ).A・(V1,2>,V1,3>,V2,3>} B. (VI,4>,V2,3>,V3,2>}C. (<1,1>,<2,2>,<3,2>}D. (<3.2>,<2,4>,<3,4»2.若集合A = {a,6,c,d},则下列表述正确的是( )•B. (a}£AD・("匕A2DZZ 邮-2023 邮3.设个体域为整数集期公式（七）（功）（工一，・2）的解释可为（）•A.存在一整数1有整数，満足工一》=2R存在一整散工对任意整數：，満足工一>・2G对任一整数工存在整数:y满足上一y=2D.任一整数］对任意幣数》满足x-y-24.”阶无向完全图K.的边數及每个结点的度数分别是（）・A. n（n —1）与mB. n（n —1）与C.n — 1 与nD. n（n —1）/2 与“一】5.设G为连通无向ffl.MC 〉时,G中存在欧拉回路•A.G不存在奇数度数的靖点B・G存在一个奇数度數的靖点C.G存在两个奇数度数的结点D.G存在偶数度数的结点得分|评卷人二、壊空順（毎小H 3分.本顕共15分）6.设集合A = {x|x是小于4的正整数）.用集合的列挙法A=・7.设 A = U,2）,B-{a.6}.C-{l,2）.从 A 到 B 的函»/= {<1 .a>.<2,6>）.从 B 到C的函数g-«a.2>,<6,l>）,则复合函数g./- ・8.设G = <V,E>是一个图，结点度数之和为30,MG的边数为・9.设G是具有r,个結点责条边4个面的连通平面图.JRn+4-2-・10.设个体域D-（2,3.4},A（x ）为—小于3■，则调词公式< Vx）A（x>的真值为得分评卷人三、遂梅公式翻译（毎小題6分，本■共12分）11-将语句•如果今天下頂•那么明天的比賽就要延期译成命，公式.12.将语句•地球是圆的，太阳也是圆的.”翻洋成命題公式.得分呼卷人----- 四、判断说明題（判斷各IH正讓•井说明理由.毎小願7分.本■共 14 分）13.设A = {a,6.c.</}.R-«a.6>,<6,a>,<a ,a>,<b,b> ,<（.€>}.则R是等价关系.2OZZ«r-2O23^ttM14.<Vz)(P(x)AQ(y»-R(x)中量伺V 的辖域为(PGr〉AQ(y)).得分评卷人-------------- 五、计算题(每小題12分，本題共36分)15.设集合A^{a,b,c}t B^{b t c,d}t试计算(DAUB; (2) A-Bi(3MXB.16.设G = VV,E>,V= {vi. v a. vj»v4).E =* ((vi»)» (vi»v s)» (t>i»v4). (v,,v>)»(V1 ,。
离散数学课后习题答案二
习题3.71. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解 }6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 32234底特律09:44解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么？解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？ 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班 登机口 起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司＝ 后得到的二维表航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
离散数学第二版答案(6-7章)
离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。
2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。
任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。
任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。
*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。
*运算没有左么元。
证明：采用反证法。
假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。
3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。
国家开放大学《离散数学》形考任务2
《离散数学》形考任务二一、单项选择题图G如图三所示，以下说法正确的是( )．A.{c}是点割集B.a是割点C.{b, c}是点割集D.{b, d}是点割集正确答案是：{b, c}是点割集图G如图四所示，以下说法正确的是( ) ．A.{(a, d)}是割边B.{(a, d) ,(b, d)}是边割集C.{(b, d)}是边割集D.{(a, d)}是边割集正确答案是：{(a, d) ,(b, d)}是边割集如图一所示，以下说法正确的是( ) ．A.{(a, e)}是边割集B.{(a, e) ,(b, c)}是边割集C.{(a, e)}是割边D.{(d, e)}是边割集正确答案是：{(d, e)}是边割集如图二所示，以下说法正确的是( )．A.{a, e}是点割集B.{d}是点割集C.e是割点D.{b, e}是点割集正确答案是：e是割点设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A.e－v＋2B.v＋e－2C.e＋v＋2D.e－v－2正确答案是：e－v＋2设图G＝<V, E>，v∈V，则下列结论成立的是( ) ．A.B.deg(v)=2| E |C.D.deg(v)=| E |正确答案是：已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( )．A.4B.5C.3D.8正确答案是：5若G是一个欧拉图，则G一定是( )．A.汉密尔顿图B.连通图C.平面图D.对偶图正确答案是：连通图设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．A.m-nB.m-n+1C.n-m+1D.m+n+1正确答案是：m-n+1无向树T有8个结点，则T的边数为( )．A.6B.9C.7D.8正确答案是：7设无向图G的邻接矩阵为则G的边数为( )．A.5B.4C.3D.6正确答案是：5无向图G存在欧拉回路，当且仅当（）．A.G连通且所有结点的度数全为偶数B.G连通且至多有两个奇数度结点C.G中所有结点的度数全为偶数D.G中至多有两个奇数度结点正确答案是：G连通且所有结点的度数全为偶数以下结论正确的是( )．A.有n个结点n－1条边的无向图都是树B.无向完全图都是平面图C.无向完全图都是欧拉图D.树的每条边都是割边正确答案是：树的每条边都是割边已知无向图G的邻接矩阵为则G有（）．A.6点，8边B.5点，7边C.6点，7边D.5点，8边正确答案是：5点，7边设无向图G的邻接矩阵为则G的边数为( )．A.14B.1C.7D.6正确答案是：7若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．A.连通图B.欧拉图C.对偶图D.平面图正确答案是：连通图设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图六所示，则下列结论成立的是( )．图六A.（c）只是弱连通的B.（a）只是弱连通的C.（b）只是弱连通的D.（d）只是弱连通的正确答案是：（d）只是弱连通的无向完全图K4是（）．A.汉密尔顿图B.树C.欧拉图D.非平面图正确答案是：汉密尔顿图设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．A.（d）是强连通的B.（c）是强连通的C.（b）是强连通的D.（a）是强连通的正确答案是：（a）是强连通的无向简单图G是棵树，当且仅当( )．A.G的边数比结点数少1B.G连通且结点数比边数少1C.G中没有回路．D.G连通且边数比结点数少1正确答案是：G连通且边数比结点数少1二、判断题设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．( )正确答案是“对”。
国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至三)试题及答案
国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至三)试题及答案国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至三)试题及答案说明：适用于计算机科学与技术本科国开平台网上形考。
形考任务一试题及答案题目为随机，用查找功能(Ctrl＋F)搜索题目[题目]若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．[答案]{a}A[题目]若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是()．[答案]AB，且AB[题目]若集合A＝{2，a，{a}，4}，则下列表述正确的是()．[答案]{a}A[题目]设集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，C={5,6,7}，则A∪B–C=()．[答案]{1,2,3,4}[题目]设集合A={a}，则A的幂集为()．[答案]{，{a}}[题目]设集合A={1,a}，则P(A)=()．[答案]{,{1},{a},{1,a}}[题目]若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．[答案]1024[题目]设A、B是两个任意集合，则A-B=()．[答案]AB[题目]设集合A={2,4,6,8}，B={1,3,5,7｝，A到B 的关系R={<x,y>|y=x+1｝，则R=()．[答案]{<2,3>,<4,5>,<6,7>}[题目]集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x,yA}，则R 的性质为（）．[答案]对称的[题目]集合A={1,2,3,4}上的关系R={<x，y>|x=y且x,yA}，则R的性质为（）．[答案]传递的[题目]如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．[答案]2[题目]设集合A={1,2,3,4}上的二元关系R={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<4,4>}，S={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<3,2>，<4,4>}，则S是R的（）闭包．[答案]对称[题目]设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为()．[答案]无、2、无、2[题目]设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．[答案]极大元[题目]设集合A={1,2,3,4,5}上的偏序关系的哈斯图如图所示，若A的子集B={3,4,5}，则元素3为B的（）．[答案]最小上界[题目]设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（）．[答案]8[题目]设A={a，b}，B={1，2}，C={4，5}，从A到B的函数f={<a，1>,<b，2>}，从B到C的函数g={<1，5>,<2，4>}，则下列表述正确的是（）．[答案]g°f={<a，5>,<b，4>}[题目]设集合A={1,2,3}上的函数分别为：f={<1,2>，<2,1>，<3,3>}，g={<1,3>，<2,2>，<3,2>}，h={<1,3>，<2,1>，<3,1>}，则h=（）．[答案]f◦g[题目]设函数f：N→N，f(n)=n+1，下列表述正确的是（）．[答案]f是单射函数判断题[题目]设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A∩(C-B)={1,2,3,5}．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3}，B={1,2}，则P(A)-P(B)={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}．（）[答案]对[题目]空集的幂集是空集．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3}，B={1,2}，则A×B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}．（）[答案]对[题目]设A={1，2}，B={a,b,c}，则A×B的元素个数为8．（）[答案]错[题目]设集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为{<2,2>，<2,3>，<3,2>，<3,3>}．（）[答案]对[题目]设集合A={1,2,3,4}，B={6,8,12}，A到B的二元关系R＝那么R－1＝{<6,3>，<8,4>}．（）[答案]对[题目]设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，则R具有反自反性质．（）[答案]对[题目]设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,d>}，若在R中再增加两个元素<c,b>，<d,c>，则新得到的关系就具有反自反性质．（）[答案]错[题目]若集合A={1，2，3}上的二元关系R={<1,1>，<1,2>，<3,3>}，则R是对称的关系．（）[答案]错[题目]若集合A={1，2，3}上的二元关系R={<1,1>，<2,2>，<1,2>}，则R是自反的关系．（）[答案]错[题目]设A={1,2}上的二元关系为R={<x,y>|xA，yA,x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．（）[答案]对[题目]设R是集合A上的等价关系，且1,2,3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>，<2,2>，<3,3>等元素．（）[答案]对[题目]设A={1，2，3}，R={<1，1>,<1，2>，<2，1>,<3，3>}，则R是等价关系．（）[答案]错[题目]如果R1和R2是A上的自反关系，则、R1∪R2、R1∩R2是自反的．（）[答案]对[题目]若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，极小元不存在．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，下列关系f={<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>}可以构成函数f：．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，下列关系f={<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}可以构成函数f：．（）[答案]对[题目]设A={a,b}，B={1,2}，C={a,b}，从A到B的函数f={<a,1>,<b,2>}，从B到C的函数g={<1,b>,<2,a>}，则g°f={<1，2>,<2，1>}．（）[答案]错[题目]设A={2,3}，B={1,2}，C={3,4}，从A到B的函数f={<2,2>,<3,1>}，从B到C的函数g={<1，3>,<2，4>}，则Dom(g°f)={2，3}．（）[答案]对形考任务二试题及答案题目为随机，用查找功能(Ctrl＋F)搜索题目单选题[题目]设图G＝<V,E>，v∈V，则下列结论成立的是()．[答案][题目]设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为()．[答案]5[题目]设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为()．[答案]7[题目]已知无向图G的邻接矩阵为，则G有（）．[答案]5点，7边[题目]如图一所示，以下说法正确的是()．[答案]{(d,e)}是边割集[题目]如图二所示，以下说法正确的是()．[答案]e是割点[题目]图G如图三所示，以下说法正确的是()．[答案]{b,c}是点割集[题目]图G如图四所示，以下说法正确的是()．[答案]{(a,d),(b,d)}是边割集[题目]设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是()．[答案]（a）是强连通的[题目]设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图六所示，则下列结论成立的是()．[答案]（d）只是弱连通的[题目]无向图G存在欧拉回路，当且仅当（）．[答案]G连通且所有结点的度数全为偶数[题目]无向完全图K4是（）．[答案]汉密尔顿图[题目]若G是一个汉密尔顿图，则G一定是()．[答案]连通图[题目]若G是一个欧拉图，则G一定是()．[答案]连通图[题目]G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=()．[答案]e－v＋2[题目]无向树T有8个结点，则T的边数为()．[答案]7[题目]无向简单图G是棵树，当且仅当()．[答案]G连通且边数比结点数少1[题目]已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为()．[答案]5[题目]设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的()条边，才能确定G的一棵生成树．[答案]m-n+1[题目]以下结论正确的是()．[答案]树的每条边都是割边判断题[题目]已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．()[答案]对[题目]设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则．()[答案]对[题目]设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}．()[答案]错[题目]若图G=<V,E>，其中V={a,b,c,d}，E={(a,b),(a,d),(b,c),(b,d)}，则该图中的割边为(b,c)．()[答案]对[题目]无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且结点度数都是偶数．()[答案]对[题目]如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．()[答案]错[题目]如图八所示的图G存在一条欧拉回路．()[答案]错[题目]设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当n为奇数时，Kn中存在欧拉回路．()[答案]对[题目]汉密尔顿图一定是欧拉图．()[答案]错[题目]设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和小于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．()[答案]错[题目]若图G=<V,E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|．()[答案]对[题目]如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．()[答案]对[题目]设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．()[答案]错[题目]设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．()[答案]对[题目]设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为4．()[答案]错[题目]结点数v与边数e满足e=v的无向连通图就是树．()[答案]错[题目]设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4条边后使之变成树．()[答案]对[题目]无向图G的结点数比边数多1，则G是树．()[答案]错[题目]设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去6条边后使之变成树．()[答案]错[题目]两个图同构的必要条件是结点数相等；边数相等；度数相同的结点数相等．()[答案]对形考任务三试题及答案题目为随机，用查找功能(Ctrl＋F)搜索题目选择题[题目]设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为()．[答案]P→Q[题目]设命题公式G：G:┐p→(Q∧R)，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是()．[答案]1,0,0[题目]命题公式(P∨Q)→R的析取范式是()．[答案](┐P∧┐Q)∨R[题目]命题公式(P∨Q)的合取范式是()．[答案](P∨Q)[题目]命题公式┐(p→Q)的主析取范式是()．[答案]P∧┐Q[题目]命题公式P→Q的主合取范式是()．[答案]┐P∨Q[题目]下列等价公式成立的为()．[答案]P→(┐Q→P)＜＝＞┐P→(P→Q)[题目]下列等价公式成立的为()．[答案]┐P∧P＜＝＞┐Q∧Q[题目]下列公式成立的为()．[答案]┐P∧(P∨Q)＝＞Q[题目]下列公式中()为永真式．[答案]┐A∧┐B↔┐(A∨B)[题目]下列公式()为重言式．[答案]Q→(P∨(P∧Q))↔Q→P[题目]命题公式(P∨Q)→Q为()[答案]可满足式[题目]设A（x）：x是书，B（x）：x是数学书，则命题“不是所有书都是数学书”可符号化为（）．[答案][题目]设A（x）：x是人，B（x）：x是教师，则命题“有人是教师”可符号化为（）．[答案][题目]设个体域为整数集，则公式的解释可为()．[答案]对任一整数x存在整数y满足x+y=0[题目]表达式中的辖域是()．[答案][题目]谓词公式(∀x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中的（）。
离散数学 第2章习题答案
第2章习题答案1. 解 (1)设F(x)表示“x犯错误”，N(x)表示“x为人”，则此语句符号化为：⌝∃x(N(x)∧⌝F(x))。
(2)设F(x)表示“x是推理”，M(x)表示“x是计算机”，H(x，y)表示“x能由y完成”，则此语句符号化为：⌝∀x(F(x)→∃ y M(y)∧H(x，y))。
(3)设C(x)表示“x是计算机系的学生”，D(x)表示“x学习离散数学”，则此语句符号化为：∀x(C(x)→D(x))。
(4)因原语句与“一切自然数x，都有一个自然数y，使得y是x的后继数；并且对任意自然数x，当y 和z都是x的后继时，则有y＝z”的意思相同，所以原语句可符号化为：∀x(N(x)→∃ y(N(y)∧M(x，y)))∧∀x∀y∀z(N(x)∧N(y)∧N(z)→(M(x，y)∧M(x，z)→( y＝z))) 其中N(x)表示x是自然数，M(x，y)表示y是x的后继数。
(5)设S(x，y，z)表示“x＋y＝z”，则此语句符号化为：∀x∀y∃z S(x，y，z)。
(6)设Z(x)表示“x是整数”，S(x，y)表示“xy＝0”，T(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x∀y(Z(x)∧Z(y)→(S(x，y)→ T(x，0)∨T(y，0)))。
(7)设E(x)表示“x是偶数”，P(x)表示“x是素数”，S(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x(E(x)∧P(x)→∀y(E(y)∧P(y)→ S(x，y)))。
(8)设E(x)表示“x是偶数”，O(x)表示“x是奇数”，N(x)表示“x是自然数”，则此语句符号化为：⌝∃x(E(x)∧O(x)∧N(x))。
(9)设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，Z(x)表示“x是整数”，则此语句符号化为：∃x(R(x)∧Q(x)∧⌝Z(x))。
(10)设R(x)表示“x是实数”，Q(x，y)表示“y大于x”，则此语句符号化为：∀x(R(x)→∃⌝y(R(y)∧Q(x，y)))。
国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案
国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案此任务2 g选择题题目1 无向完全图K4是()、选择一项：A、树 B、欧拉图 C、汉密尔顿图 D、非平面图题目2 已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为()、选择一项： A、4 B、8 C、3 D、5 题目3 设无向图G的邻接矩阵为 011111 0 0111 0 0 0 011 0 011 01 0 则G 的边数为( 选择一项： A、7 B、14 C、6 D、1 题目4 如图一所示，以下说法正确的是()、选择一项： A、 ((a, e), (b, c)｝是边割集 B、｛(a, e)｝是边割集 C、｛（d, e）｝是边割集 D、（（a, e）｝是割边题目5 以下结论正确的是（）、选择一项： A、有n个结点n-l条边的无向图都是树B、无向完全图都是平面图 C、树的每条边都是割边 D、无向完全图都是欧拉图题目6 若G是一个欧拉图，则G一定是（）、选择一项： A、汉密尔顿图 B、连通图 C、平面图 D、对偶图题目7 设图G=, vGV,则下列结论成立的是（）、选择一项：A、云 d做、）=2|% B、2>“ = |司 w C、 deg（v）=2|S| D、deg（v）=|E| 题目8 图G如图三所示，以下说法正确的是（）、选择一项： A、（b, d｝是点割集 B、｛c｝是点割集 C、｛b, c｝是点割集 D、 a是割点题目9 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是（）、选择一项： (a)是费连通的 B、 (d)是强连通的 C、 (c)是强连通的D、 (b)是强连通的题目10 设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图六所示，则下列结论成立的是()、选择一项： A、 (b)只是弱连通的 B、 (c)只是弱连通的 C、 (a)只是弱连通的 D、 (d)只是弱连通的判断逝题目11 设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18,则可从G中删去4条边后使之变成树、()选择一项：对错题目12 汉密尔顿图一定是欧拉图、()选择一项：对错题目13 设连通平面图G的结点数为5,边数为6,则面数为4、()选择一项：对错题目14 设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图、()选择一项：对错题目15 如图八所示的图G存在一条欧拉回路、()选择一项：对错题目16 设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}、()选择一项：对错题目172>瞒)=2圜设G是一个图，结点集合为V,边集合为E,则代衫()选择一项：对错题目18 设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10,则可从G中删去6条边后使之变成树、()选择一项：对错题目19 如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图、()选择一项：对错题目20 若图 G=,其中 V=( a, b, c, d }, E={ (a, b), (a, d), (b, c), (b, d)},则该图中的割边为(b, c)、()选择一项：对。
国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案
A. 有n个结点n－1条边的无向图都是树
B. 无向完全图都是平面图
C. 树的每条边都是割边
D. 无向完全图都是欧拉图
题目6
若G是一个欧拉图，则G一定是( )．
选择一项：
A. 汉密尔顿图
B. 连通图
C. 平面图
D. 对偶图
题目7
设图G＝<V, E>，v∈V，则下列结论成立的是 ( ) ．
选择一项：
选择一项：
对
错
题目17
设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 ( )
选择一项：
对
错
题目18
设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去6条边后使之变成树．( )
选择一项：
对
错
题目19
如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．( )
选择一项：
对
错
题目20
若图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d }，E={ (a, b), (a, d),(b, c), (b, d)}，则该图中的割边为(b, c)．( )
题目8
图G如图三所示，以下说法正确的是 ( )．
选择一项：
A. {b, d}是点割集
B. {c}是点割集
C. {b, c}是点割集
D. a是割点
题目9
设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．
选择一项：
A. （a）是强连通的
B. （d）是强连通的
C. （c）是强连通的
选择一项：
对
错
题目12
汉密尔顿图一定是欧拉图．( )
选择一项：
对
离散数学课后习题答案(第二章)
习题 2-3 （1）令 P( x) 为“ x 是质数” ； E ( x) 为“ x 是偶数” ； O( x) 为“ x 是奇数” ； D( x, y ) 为“ x 除尽 y ” ，把以下各式翻译成汉语： 解： a） P(5) 。 解：5 是质数。 b） E (2) ∧ P(2) 。 解：2 是偶数且 2 是质数。 c） (∀x)( D(2, x) → E ( x)) 。 解：对所有的 x，若 x 能被 2 除尽，则 x 是偶数。 d） (∃x)( E ( x) ∧ D( x, 6)) 。 解：存在 x，x 是偶数，且 x 能除尽 6。 （即某些偶数能除尽 6） e） (∀x)(¬E ( x) → ¬D(2, x)) 。 解：对所有的 x，若 x 不是偶数，则 x 不能被 2 除尽。 f） (∀x)( E ( x) → (∀y )( D ( x, y ) → E ( y )，则对所有的 y，若 x 能除尽 y，则 y 也是偶数。 g） (∀x)( P( x) → (∃y)( E ( y ) ∧ D( x, y))) 。 解：对所有的 x，若 x 是质数，则存在 y，y 是偶数且 x 能除尽 y（即所有质数能 除尽某些偶数） 。 h） (∀x)(O ( x) → (∀y )( P( y ) → ¬D( x, y ))) 。 解：对所有的 x，若 x 是奇数，则对所有 y，y 是质数，则 x 不能除尽 y（即任何 奇数不能除尽任何质数） 。 （2）令 P( x), L( x), R( x, y, z ), E ( x, y ) 分别表示“x 是一个点” ， “x 是一条直线” ， “z 通过 x 和 y”和“x=y” 。符号化下面的句子。 对每两个点有且仅有一条直线通过该两点。 解： （x）(y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(!z)(L(z)∧R(x,y,z))) 或 （x） (y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐(u)(┐E(z,u) ∧L(u) ∧R(x,y,u)))) （3）利用谓词公式翻译下列命题。 A）如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子等于零。 B）对于每一个实数 x，存在一个更大的实数 y。 C）存在实数 x，y 和 z，使得 x 与 y 之和大于 x 与 z 之积。 解：a) 设 N(x):x 是有限个数的乘积。 z(y):y 为 0。 P(x):x 的乘积为零。 F(y):y 是乘积中的一个因子。 则有 (x)((N(x)∧P(x)→(y)(F(y)∧z(y))) b) 设 R(x):x 是实数。Q(x,y):y 大于 x。 故(x)(R(x)→(y)(Q(x,y)∧R(y))) c) R(x):x 是实数。G(x,y):x 大于 y。 则(x)(y)(z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z) （4）用谓词公式写出下式： 若 x < y 和 z < 0 ，则 xz > yz 。 解：设 G(x,y):x 大于 y。 则有(x)(y)(z)(G(y,x)∧G(0,z)→G(x·z,y·z)) （5）自然数一共三条公理： A）每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 B）没有一个数使数 1 是它的后继数。 C）每个不等于 1 的数都是唯一的一个数是它的直接先行者。 用两个谓词表达上述三条公理。 解：设 N(x):x 是一个数。 S(x,y):y 是 x 的后继数。E(x,y)：x=y.则 a) (x)(N(x)→(!y)(N(y)∧S(x,y))) 或(x)(N(x)→(y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐(z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(x,z)))) b)┐(x)(N(x)∧S(x,1)) c)(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(!y)(N(y)∧S(y,x))) 或(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(y)(N(y)∧S(y,x)∧┐(z)(┐E(y,z)∧N(z)∧S(z,x))))
离散数学第二版课后答案pdf
离散数学第二版课后答案pdf选择题：1. 以下哪个函数不是单射？A. f(x)=x+1B. f(x)=x²C. f(x)=sin(x)D. f(x)=|x|2. 设 A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=？A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4,5}3. 若 5n+1 是完全平方数，则 n 的取值范围是？A. n 是任意自然数B. 1、3、11C. 2、3、7D. 0、2、84. 若 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.1，则P(A∪B)=？A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 在一个 10 个点的完全图中，不同颜色的边有红、蓝、绿三色，其中红边有 3 条，蓝边有 2 条，绿边有 5 条，则将这 10 个点分成涂3 种颜色的三部分的方案数为？A. 6552B. 1260C. 3150D. 5040选择题答案：1. C2. D3. B4. A5. C填空题：1. 用 1,2,3,4,5 这 5 个数字，能组成多少个长度为 3 的无重复的数字串？答：602. 已知 a+b=7，a-b=3，则 a²-b²=？答：203. 一个无向图有 8 条边，则它的图的边数有多大范围？答：4≤边数≤284. 在一组含有 5 个正整数的数列中，最大值是最小值的 3 倍，则这5 个数中的最小值不能小于多少？答：55. 若 G 是一个有 n 个点的简单无向图，且 G 不是完全图，则 G 中边的数量最少是多少？答：n填空题答案：1. 602. 203. 4≤边数≤284. 55. n解答题：1. 一张简单无向图 G 有 10 个顶点和 20 条边，证明 G 中至少有 3 个度数为偶数的顶点。
答：设 G 中度数为奇数的点的个数为 x，度数为偶数的点的个数为 y，则 x+y=10，2x+4y=40，化简得 x=2y-10，由于每个点的度数都是偶数或奇数，所以 2x+20-y 是偶数，即 2(2y-10)+20-y=3y-10 是偶数，即 y 是奇数。
国家开发大学(电大)离散数学形考任务二部分答案
无向树T有8个结点，则T的边数为( )．选择一项：A. 7B. 9C. 8D. 6反馈你的回答不正确正确答案是：7题目2不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干设图G＝<V, E>，v V，则下列结论成立的是( ) ．选择一项：A.B. deg(v)=2| E |C. deg(v)=| E |D.反馈你的回答不正确正确答案是：题目3不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．图五选择一项：A. （b）是强连通的B. （c）是强连通的C. （d）是强连通的D. （a）是强连通的反馈你的回答不正确正确答案是：（a）是强连通的题目4不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．选择一项：A.B.C.D.反馈你的回答不正确正确答案是：题目5不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干无向完全图K4是（）．选择一项：A. 树B. 非平面图C. 欧拉图D. 汉密尔顿图反馈你的回答不正确正确答案是：汉密尔顿图题目6不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( )．选择一项：A. 8B. 3C. 4D. 5反馈你的回答不正确正确答案是：5题目7未回答满分5.00标记题目题干图G如图四所示，以下说法正确的是( ) ．选择一项：A. {(a, d)}是边割集B. {(b, d)}是边割集C. {(a, d)}是割边D. {(a, d) ,(b, d)}是边割集反馈你的回答不正确正确答案是：{(a, d) ,(b, d)}是边割集题目8不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干以下结论正确的是( )．选择一项：A. 无向完全图都是平面图B. 无向完全图都是欧拉图C. 树的每条边都是割边D. 有n个结点n－1条边的无向图都是树反馈你的回答不正确正确答案是：树的每条边都是割边题目9不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干如图二所示，以下说法正确的是( )．图二选择一项：A. {d}是点割集B. e是割点C. {b, e}是点割集D. {a,e}是点割集反馈你的回答不正确正确答案是：e是割点题目10不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．选择一项：A. 欧拉图B. 连通图C. 平面图D. 对偶图你的回答不正确正确答案是：连通图标记题目信息文本判断题题目11正确获得5.00分中的5.00分标记题目题干设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．( ) 选择一项：对错反馈正确的答案是“对”。
离散数学第2版课后答案
5)?x?1(mod 5)????x?1(mod 3)
?x?3(mod8)??x?1(mod 3) ： 求解同余方程组 ?x?1(mod 5)?
m1=8 ， m2=3 ，m3=5 ，m=120 ，m1=15 ， m2=40 ， m3=24
15x≡1(mod 8),40x ≡1(mod 3),24x ≡1(mod 5的) 特解：
所以， p=3
11 计算 2400 mod 319 。
解：
14(2) 解同余方程： 56x≡88(mod 96) 。
解：
（1） (a,m)=(56,96)=8 ， 8|96 ，方程有解
（2） a?=56/8=7 ， b?=88/8=11 ，m?=96/8=12
（3）由辗转相除法可求得 p 和 q 满足 pa?+qm?=1 ， p=-5 ， q=3
?5x?7(mod 12)16(2) 解同余方程组 ? 7x?1(mod 10)?
解：
5x≡7(mod 12) ? 12?(5x -7) ? 4?(5x-7) 且 3?(5x- 7) ? 5x ≡7(mod 4)
且 5x≡7(mod 3) ∴同余方程 5x≡7(mod 12) 与同余方程
组??5x?7(mod 4) 同解
c1=7,c2=1,c3=4
19 ． *设 m1 和 m2 是正整数， b1 和 b2 是整数。证明一次同余方程
5 ．设 a、b、 c、 d 是正整数，满足 ab=cd 。证明： a4+b4+c4+d4 不是素数。 证明：设 11)(n-1)! ∴ n 整除 (1++?+2n-1adp?? ，其中 p 和 q 是互素的正整数 cbq aq=cp ? p?aq ? p?a （∵ p 和 q 互素） 于是， ?u?n ，使 a=pu ? c=qu
离散数学二样板题 2019
一. 单项选择（每小题3分，共15分）( ) 1. 10种不同的球中选取8个，可重复选取，有几种取法(A) C(18, 8)(B) C(18, 10) (C) C(17, 8) (D) C(17, 10)这道题有部分同学记错了公式，选择了D( ) 2. n 个人围成一圈，有几种圈法(A) n! (B) (n – 1)! (C) n 2 (D) n n ( ) 3. 下面哪个递推式是常系数齐次线性递推式(A) a n = a n‒1 + a n‒2(B) a n = a n‒1 + n(C) a n = n a n‒1 (D) a n = (a n‒1)2 ( ) 4. 从4个花色52张扑克牌中，至少选出多少张牌才能保证至少有3张方块和2张梅花？(A) 15张 (B) 14张 (C) 42 张 (D) 44 张（1） ( ) 5. 下列次序图(HASSE 图)哪个是格？(A)(B) (C)(D)二. 填空（每小题3分，共15分）1. 3个相同的白球和3个相同的黑球排成一排，有__20____种排法：2. 集合A、B，|A|=7，|B|=8，|A∪B|=12，则|A∩B|=__3____；3. 集合A的基数是5，B的基数是2，A到B的满射有__30____个；一些同学直接25=324. (177*270）mod 31 = __19____；这道题很简单，就算是直接把乘积算出来，再做一次除法，得到余数也都可以得出答案。
5. N是正整数集，| 是其上的整除关系，在格(N; |)中，36和90的最小上界是_180_____.三. 解答题（50分）1.有多少种排列方法，将4位男士和3位女士排成一排，使得一定有女士相邻？（6分）解答：这道题很简单。
前面课堂里学习过类似例题，如何将几位女生不相邻地排列于男生之间。
那么总排列数– 女生不能相邻的排列数就是所要的答案。
7个人的总排列数是P(7,7)女士不能相邻的数目：先将4为男生做排列，然后在四个男生的两边和中间插空选三个位置安排女生。
离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答案
8.设 试根据所给定的运算表分别讨论其幂等性、交换性以及是否有单位元素，若有，请指出A中各元素的逆元素.
0
1
2
3
4
5
11 2 3 4 5
22 3 4 5 0
33 4 5 0 1
44 5 Байду номын сангаас 1 2
55 0 1 2 3
60 1 2 3 4
表1.4
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
00000 0
0 1 2 3 4 5
0 24024
0 30303
0 42042
0 54321
(2)对于任意x,y,zZm,，由于乘法运算可交换且 ，因此有
(2)多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配.
解(1)对于任意 R[x]，显然有
，
，
所以多项式的加法运算和多项式的乘法运算均满足结合律.
(2)对于任意 R[x]，由于多项式的乘法运算满足交换律且显然有
，
多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配.
11.设 表示实数集R上的所有 阶方阵组成的集合，
(1)试验证：矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.
4.将十进制数365转换成八进制.
解因为365 = 458 + 5，45 = 58 + 5，于是
，
因此，365=(555)8.
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离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业．要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word文档3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}A B==，则P(A)-P(B )= {{3}，{1,2,3,{1, 3}}，A⨯B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，∈xyR⋂<且=且>∈∈{B,,xAyAyBx}则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}yyx∈=<>∈A2,x,,xy{B那么R－1＝{<6，3>，<8，4>} ．5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是反自反性，反对称性．6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c,b>,<d,c>，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|x∈A，y∈A, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>} ．9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3> 等元素．10．设A={1，2}，B={a，b}，C={3，4，5}，从A到B的函数f ={<1, a>, <2, b>}，从B到C的函数g={< a，4>, < b，3>}，则Ran(g f)= {3，4} ．二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R是自反的关系；(2) R是对称的关系．答：（1）错误，R不是自反关系，因为没有有序对<3，3>.。
（2）错误，R不是对称关系，因为没有有<2，1>。
2．设A={1，2，3}，R={<1，1>, <2，2>, <1，2> ，<2，1>}，则R是等价关系．解：错误, 即R不是等价关系.因为等价关系要求有自反性x R x, 但<3, 3>不在R中。
3．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．错误。
集合A 的最大元不存在，a 是极大元4．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f 是否构成函数f ：B A →，并说明理由．(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2) f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}； (3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}． 解：(1) f 不能构成函数． 因为A 中的元素3在f 中没有出现。
(2) f 不能构成函数． 因为A 中的元素4在f 中没有出现。
(3) f 可以构成函数． 因为f 的定义域就是A ，且A 中的每一个元素都有B 中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件。
三、计算题1．设}4,2{},5,2,1{},4,1{},5,4,3,2,1{====C B A E ，求：(1) (A ⋂B )⋃~C ； (2) (A ⋃B )- (B ⋂A ) (3) P (A )－P (C )； (4) A ⊕B ．解：（1）因为A ∩B=｛1,4｝∩｛1,2,5｝=｛1｝，~C=｛1,2,3,4,5｝-｛2,4｝=｛1,3,5｝ 所以 (A ∩｛1｝⋃｛1,3,5｝=｛1,3,5｝ （2）- -{1}={2,4,5} （3）因为P(A)=｛｛1｝, ｛4｝, ｛1,4｝｝P(C)=｛｛2｝,｛4｝,｛2,4｝｝ 所以 P(A)-P(C)= -ο ο ο ο a b c d 图一 ο ο ο ge f hο(4) 因为所以-B={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算（1）（A-B）；（2）（A∩B）；（3）A×B．解：（1）A-B ={{1},{2}}（2）A∩B ={1,2}（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,<2, {1,2}>}3．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y≤4}，S={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y<0}，试求R，S，R∙S，S∙R，R-1，S-1，r(S)，s(R)．解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}, \R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2 >,<2,2>,<1, 3>}S=φ，S-1 =φr(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}R∙S=φS∙R=φ4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．(1) 写出关系R的表示式；(2 )画出关系R的哈斯图；(3) 求出集合B的最大元、最小元．解：（1）R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>, <3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}（2）关系R的哈斯图如图（3）集合B没有最大元，最小元是：2四、证明题1．试证明集合等式：A⋃ (B⋂C)=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)．设，若x∈A⋃ (B⋂C)，则x∈A或x∈B⋂C，即x∈A或x∈B 且x∈A或x∈C．即x∈A⋃B 且x∈A⋃C即x∈T=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)，所以A⋃ (B ⋂C) ⊆ (A⋃ B) ⋂ (A⋃ C)．反之，若x∈(A⋃B) ⋂ (A⋃C)，则x∈A⋃B 且x∈A⋃C，即x∈A或x∈B 且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈B⋂C，即x∈A⋃ (B⋂C)，所以(A⋃B) ⋂ (A⋃C)⊆ A⋃ (B⋂C)．因此．A⋃ (B⋂C)=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)．2．试证明集合等式A⋂ (B⋃C)=(A⋂B) ⋃ (A⋂C)．设S=A∩(BUC,T=A∩B)∪(A∩C,若x∈S,则x∈A且x证明:设S=A∩(B∪C,T=A∩B)∪(A∩C,若x∈S,则x∈A且x∈B∪C,即x∈A 且x∈B或x∈A且x∈C,也即x∈A∩B或x∈A∩C,即x∈T,所以S ⊆T.反之,若x∈T,则x∈A∩B或x∈A∩C,即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C也即x∈A且x∈B∪C,即x∈S,所以T ⊆S.因此T=S3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A B = A C，且A，则B = C．证明：设x∈A，y∈B，则<x，y>∈A×B，因为A×B = A×C，故<x，y>∈A×C，则有y∈C，所以．设x∈A，z∈C，则<x，z>∈A×C，因为A×B = A×C，故<x，z>∈A×B，则有z∈B，所．故得B=C．4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．证明：R1和R2是自反的，∀ x ∈A，<x, x> ∈R1，<x, x>∈R2，则∩R2，所以R1∩R2是自反的．。