重积分的应用

3 0 0 0
2π
π
a
a5 π 3 = ρ ⋅ 2π ⋅ ∫ sin ϕ dϕ 5 0 a5 4 = ρ ⋅ 2π ⋅ ⋅ 5 3
8πρ a 5 = . 15
21
思考题
1. 求由曲面 x + y = az 和 z = 2a −
2 2
x2 + y2
(a > 0) 所围立体的表面积.
2. 设平面薄板由
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = 1+⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2 2
a a2 − x 2 − y2
.
因这函数在闭区域 D 上无界,不能直接应用公式.
4
先取积分区域 D1 : x 2 + y 2 ≤ b 2 (0 < b < a ).
A1 = ∫∫
D1
a a −x −y
2 2 2
dxdy = ∫∫
2 D
= μ ∫ sin θ dθ ∫
2 0
4
π
a
D
0
∫
π
0
sin θ dθ
2
a π πμ a 4 =μ ⋅ = . 4 2 8
18
空间物体的转动惯量
立体对于 x 轴的转动惯量
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x , y, z )dV .
Ω
立体对于 y 轴的转动惯量
I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρ ( x , y, z )dV .
4 sin θ
56 π 4 sin θ dθ = ∫ 9π 0 56 π 3 − 4cos 2θ + cos 4θ = dθ ∫ 9π 0 8 56 3π 7 = . = ⋅ 3 9π 8
7 故所求质心坐标为 C (0, ). 3
12
空间物体的质心
设物体占有空间闭区域 Ω , 在点 ( x , y, z ) 处的密 度为 ρ ( x , y, z ). 则物体的质心坐标为 :
∑m
i =1
.
i
其中M = ∑ mi为该质点系的总质量.
i =1
8
n
2. 质量 非均匀薄板的密度为 ρ ( x, y )，则薄板的质量为
∫∫ ρ ( x, y ) dσ .
D
3. 质 心 利用分割、求和、取极限的方法易得密度为 G G ∫∫D r ρ ( x , y ) d σ ,或 ρ ( x , y ) 的薄板的质心坐标为 rc = ∫∫ ρ ( x, y ) dσ
其中 A = ∫∫ dσ 为 D 的面积.
这时质心只与薄片的形状有关，故该质心也称 为 D 的形心.
10
例 3 求位于两圆 ρ = 2sin θ 和 ρ = 4 sin θ 之间的均匀 薄片的质心.
解 : ( 如图) 因闭区域 D 关于 y 轴对 称, 所以质心坐标 C ( xc , yc ) 位于y 轴上, 于是 xc = 0.
4 4
π
3 故所求质心为 (0, 0, a ). 8
15
4 转动惯量
设在 xOy 面上有 n 个质点, 它们分别位于点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), " , ( xn , yn )处, 质量分别为 m1 , m2 , L, mn . 则该质 点系对于 x 轴以及对于 y 轴的转动惯量分别是 :
D
a2 − x2 − y2
dxdy
⎡ 1 ⎤ 积分区域为 D： θ ∈ ⎢ 0, π ⎥ , ϕ1 (θ ) = 0, ϕ 2 (θ ) = a cos θ . ⎣ 2 ⎦ ∴ A = 4∫
1 π 2 0
dθ ∫
a cos θ
0
⎛π ⎞ = 4a ⎜ − 1⎟ . 2 2 ⎝2 ⎠ a −r ardr
D D
17
例 6 求半径为 a 的均匀半圆薄片 (面密度为常量 μ ) 对于其直径边的转动惯量.
解:取坐标系如图所示
y
薄片所占区域 D 为 x 2 + y 2 ≤ a, y ≥ 0.
于是所求转动惯量为
−a
3 2
4 a ρ 3d ρ = μ 4
O
a
x
I x = ∫∫ μ y dσ = μ ∫∫ ρ sin θ dρ dθ
2
7
设在面 xOy 上有 n 个质点 它们分别位于( x1 , y1 )， ( x2 , y2 ), " , ( xn , yn )处,质量分别为m1 , m2 , " , mn， .则该质 点系的质心坐标为
xc =
∑m x
i =1 n i
n
i
∑m
i =1
, yc =
∑m y
i =1 n i
n
i
i
π
0 0
sin ϕ drdϕ dθ
a 0
= ∫ dθ ∫ 2 cos ϕ sin ϕ dϕ ∫ r 3dr .
14
⎡ sin 2 ϕ ⎤ 2 a 4 = 2π ⋅ ⎢ ⎥ ⋅ ⎣ 2 ⎦0 4 π a4 = 4
1 πa 1 πa 3 因此, z = ⋅ = ⋅ = a, 2 3 4 V 4 8 πa 3
4
2
y
又 D 的面积等于两圆的面积之差: o A = 4π − π = 3π . 1 1 2 所以 yc = ∫∫ ydσ = sin θ dρ dθ ρ ∫∫ A D 3π D
x
1 = 3π
∫
π
0
sin θ dθ ∫
4 sin θ
2 sin θ
ρ 2 dρ
11
1 = 3π
∫
π
0
⎡1 3 ⎤ sin θ ⎢ ρ ⎥ dθ ⎣ 3 ⎦ 2 sin θ
Ω = {( x , y, z ) | x + y + z ≤ a , z ≥ 0}.
2 2 2 2
显然质心在 z 轴上, 故 xc = yc = 0.
1 zc = M
Ω
1 1 z ρ dV = ρ ∫∫∫ zdV = ∫∫∫ ρV Ω V Ω
2 Ω 2π
∫∫∫ zdV .
Ω
∫∫∫ zdV = ∫∫∫ r cosϕ ⋅ r
⎧ x = a ( t − sin t ) ⎨ ⎩ y = a (1 − cos t )
(0 ≤ t ≤ 2π )
与 x 轴围成, 它的面密度 μ =1, 求形心坐标．
答案： 1.
πa
5 (6 2 + 5 5 − 1); 2. (π a, a ). 6 6
2
22
The End
23
作业 3
(P199)
1 xc = M 1 yc = M 1 zc = M
Ω
∫∫∫ xρ ( x, y, z )dV ,
Ω
∫∫∫ yρ ( x, y, z )dV ,
Ω
∫∫∫ zρ ( x, y, z )dV .
Ω
其中 M = ∫∫∫ ρ ( x , y, z )dV 为物体的质量.
13
例 4 求均匀半球的质心.
解 : 取半球体的对称轴为 z 轴, 原点取在球心上, 设球半径为 a, 则半球体所占空间闭区域 Ω 为 :
I x = ∑ yi 2 y = ∑ xi 2 mi .
i =1
n
16
设有一平面薄片, 占有 xOy 面上的闭区域 D, 在点 (x, y) 处的面密度为 μ ( x , y ), 假定 μ ( x , y ) 在 D 上连续.
薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别是
I x = ∫∫ y 2 μ ( x , y )dσ , I y = ∫∫ x 2 μ ( x , y )dσ .
7.3 重积分的应用
1. 曲面面积 2. 质量、质心、转动惯量
1
1. 曲面面积 设 z = f ( x, y ) 表示的曲面 S 在 xOy 面上的 投影区域为 D，函数 z = f ( x, y ) 有连续的偏导数z x ,z y， 试确定曲面 S 的面积。
解：把 D 分成 n 个小区域:Δσ i ,i = 1," n. 考虑其中任 一小块 Δσ i，以其边界为准线，作母线平行 z 于轴的 柱面；柱面截曲面 S 得到 ΔSi，在 Δσ i 上任取一点： Δσ = ΔA cos γ , cos γ = (1 + z + z
2 2
Ω
立体对于 z 轴的转动惯量
I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y, z )dV .
Ω
19
例 7 求密度为 ρ 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.
解 : 取球心为坐标原点, z 轴与 l 轴重合, 设球半径 为 a, 则球体所占空间闭区域
Ω = {( x , y, z ) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 }.
D1
a a −ρ
2 2
ρ dρ dθ
= a ∫ dθ ∫
0
2π
b
ρ dρ
a −ρ
2 2
0
= 2π a ∫
b
ρ dρ
a −ρ
2 2
0
2 2 = 2π a[− a 2 − ρ 2 ]b = 2 π a ( a − a − b ). 0
lim A1 = lim 2π a( a − a − b ) = 2π a .
2 x 2 −1 2 y
( xi , yi )，则曲面在该点处的切平面被柱面截出 ΔA，则
)
.
2
z
s
Δσi 2 2 ⇒ ΔAi = = 1 + zx + zy Δσi . cosγ
x