11-10 重积分的物理应用
重积分的积分应用和物理意义
重积分的积分应用和物理意义重积分是高等数学中一个重要的概念和工具。
它的出现是为了解决多元函数在空间区域内的积分问题。
在实际应用中，重积分有着广泛的应用，尤其是在物理学领域。
本文就对重积分的积分应用和物理意义进行分析。
一、重积分的积分应用1.体积和质量的计算在几何学和物理学中，体积和质量的计算都涉及到对空间中某个区域的积分。
例如，在三维空间中，某个具有规则形状的立体体积可以通过三重积分计算得出。
具体地，设空间中一个体积为V的区域为S，对其进行三重积分可以得到S的体积为：V = ∫∫∫ S dx dy dz同样的，如果在空间中某一点对应有一定质量，那么对该区域进行三重积分可以得到该区域的质量。
这时需要考虑到每个小立方体所包含的质量及其对应的体积，即：m = ∫∫∫ S ρ(x, y, z) dx dy dz其中，ρ(x, y, z)表示该点的密度。
2.力的计算在物理学中，重积分可用于计算某个物体所受的外力。
例如，平面上某个点的引力如果可以看成是均匀分布的，那么该点所受的外力可以通过对其周围区域进行二重积分得到。
具体地，如果某一点所受的引力函数的密度为ρ(x, y)，则该点所受的外力F可以表示为：F = ∫∫ D ρ(x, y) dS其中，D为该点周围的区域面积，dS为微小面积元素。
3.能量的计算在物理学中，重积分还可用于计算某个系统所具有的能量。
例如，某个三维物体所具有的动能可以通过对其质点进行积分计算得到。
具体地，设空间中某个物体的速度场为V(x, y, z)，则其动能可以表示为：E = 1/2 * m * ∫∫∫ S [V(x, y, z)]^2 dx dy dz其中，m为该物体的总质量。
二、重积分的物理意义重积分在物理学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解物理现象的本质和规律。
以下就以几个例子来说明重积分的物理意义。
1.空间电荷密度在电学中，空间电荷密度常常需要进行积分计算。
例如，在计算某一电场强度时，我们需要考虑到空间中每个点的电荷密度对该点电场强度的影响。
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
重积分知识点总结(一)
重积分知识点总结(一)前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将针对重积分的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
正文一、重积分的定义与性质1.重积分的定义：对于二重积分来说，可以将其理解为将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
而对于三重积分来说，则是将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
2.交换积分次序：在某些情况下，交换积分次序可以简化重积分计算的复杂程度。
3.重积分的性质：包括线性性质、保号性质、次可加性质等。
这些性质在进行重积分计算时非常重要。
二、二重积分的计算方法1.二重积分的计算方法主要有面积法、直角坐标法和极坐标法。
在具体的计算过程中，可以根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.面积法：将被积函数看做是一片平面上每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算二重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.极坐标法：将被积函数用极坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，极坐标法可以简化计算过程。
三、三重积分的计算方法1.三重积分的计算方法主要有体积法、直角坐标法和柱坐标法。
在具体的计算过程中，同样需要根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.体积法：将被积函数看做是空间内每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算三重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.柱坐标法：将被积函数用柱坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，柱坐标法可以简化计算过程。
结尾重积分是数学中重要而复杂的知识点，在实际应用中具有广泛的价值。
通过本文的总结，希望读者们能够对重积分的定义、性质和计算方法有更深入的理解，从而更好地应对相关问题的解决和应用。
前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
高等数学-重积分的 计算 及应用
D
例如计算： I x2d
D:
D
I y2d
D
I 1
(x2 y2 )d
a4
2D
4
14
x2 y2 a2
例6
d
D (a2 x2 y2 )3/ 2
其中 D : 0 x a ; 0 y a
y yx
a
解：如图D是关于直线 y x 对称。
D2
D1
r a
cos
原式 2
D1
o 4
D1 D2 D
x
连续, 所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
9
例2. 计算 x2 y2 4 d , 其中 D : x2 y2 9
F(0) 0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F
(t ) t4
lim
t 0
4 f (t) 4 t3
t
2
lim
t 0
f (t) t
f
(0)
f (0)
33
f (x, y, z) d v
x
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
20
y D
dxd y
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
方法2. 截面法 (“先二后一”)
重积分课件
详细描述
在计算电场时，我们需要对电荷的分布和位置进行积分 ，以确定电荷对其他电荷的作用力。这个积分过程也是 重积分。通过重积分，我们可以得到电荷之间的电场强 度和电势，进一步得到整个电场的分布情况。
05
重积分的数学性质
重积分的可加性
总结词
重积分具有可加性，即对于可加函数，其在两个不相交区域的积分之和等于其在整个区 域的积分。
微分方程的数值解法
欧拉方法
一种简单而常用的数值解法，通过迭代的方式逐步逼近微分方程的 解。
龙格-库塔方法
一种高精度的数值解法，适用于求解非刚性问题，具有更高的计算 精度和稳定性。
谱方法
利用傅里叶变换或小波变换将微分方程转化为频域或时域中的多项 式方程，通过求解多项式方程得到原微分方程的数值解。
THANKS。
04
重积分的物理应用Biblioteka 质量分布的计算总结词
质量分布是物理学中一个重要的概念，它描 述了物体内部各点的质量分布情况。
详细描述
在计算物体质量时，我们需要对物体的密度 函数进行积分，以确定物体内部所有点的质 量总和。这个积分过程就是重积分。通过重 积分，我们可以得到物体的总质量、质心位
置等重要物理量。
引力场的计算
详细描述
重积分的可乘性是指，如果函数在两个区域上进行积分 ，那么这些积分的结果之积等于函数在它们所围成的区 域上的积分结果。这个性质在处理多变量函数的积分问 题时非常有用，因为它允许我们将问题简化为更简单的 形式，从而更容易计算出积分的结果。同时，这个性质 也为我们提供了一种计算多变量函数积分的有效方法。
体积的计算
总结词
重积分是计算三维空间中物体体积的有 效工具，通过重积分可以计算出各种形 状的物体体积。
重积分应用案例
重积分与微分几何、偏微分方程等数学分支有着密切的联系。未来可以 加强这些领域之间的交叉研究，以推动重积分理论的深入发展和应用拓 展。
THANKS
感谢观看
其他物理量如流量、压力等计算
流量计算
在流体力学中，流量是单位时间内通过某一 截面的流体体积。对于连续分布的流体，如 管道中的水流或气流，流量可以通过重积分 来计算。即对每个小微元的流速与其截面面 积的乘积进行积分。
压力计算
在静力学中，压力是垂直作用于单位面积上 的力。对于连续分布的物体，如液体中的压 力分布或固体中的应力分布，可以通过重积 分来计算。即对每个小微元的压力与其作用 面积的乘积进行积分。
02
重积分计算方法
直角坐标系下重积分
投影法
将重积分区域投影到某一坐标平面上 ，通过对投影区域进行单重积分来计 算重积分。
截面法
通过垂直于某一坐标轴的平面将重积 分区域切割成若干个小区域，对每个 小区域进行单重积分后再求和。
极坐标系下重积分
极坐标变换
将直角坐标系下的重积分通过极坐标变换转化为极坐标系下的重积分，简化计算 过程。
流速场描述
利用重积分对流速场进行建模，了解流体在空间中的速度分布情 况。
压力场描述
通过重积分描述压力场，掌握流体内部压力变化规律。
流体动力学分析
结合流速场和压力场信息，对流体动力学问题进行分析，如流体 流动、传热、传质等。
控制系统中系统稳定性和性能评估
系统稳定性分析
利用重积分对控制系统稳定性进 行评估，判断系统是否能在受到 扰动后恢复到平衡状态。
激发学习兴趣和动力
通过介绍有趣的重积分应用案例，激发读者对重积分学习的兴趣和动力，提高 学习效果。
多重积分的应用及定理证明
多重积分的应用及定理证明一、多重积分的基本概念多重积分是对多变量函数在一个特定区域上的求和。
我们可以将多重积分看作是对一个多维空间上的体积、质量、碰撞等物理量的积分。
1. 二重积分：对于二元函数f(x, y)，在一个有界闭区域D上的二重积分可表示为∬Df(x, y)dA，其中dA表示微元面积。
2. 三重积分：对于三元函数f(x, y, z)，在一个有界闭区域V上的三重积分可表示为∭Vf(x, y, z)dV，其中dV表示微元体积。
二、多重积分的应用多重积分在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在求解常微分方程、电磁场、概率论和统计学等领域。
1. 求解常微分方程：多重积分可以用于求解常微分方程的一般解。
通过将常微分方程转化为积分方程，我们可以利用多重积分的方法求解。
2. 计算物体的质量：利用三重积分可以计算一个物体的质量。
假设物体密度均匀，我们可以将物体分割成微小的体积元，然后将每个体积元的质量进行累加。
3. 计算空间曲线的长度：多重积分可以计算空间曲线的长度。
将空间曲线的参数方程表示为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，则曲线的长度可以表示为∫[a,b]√[x'(t)²+y'(t)²+z'(t)²]dt。
4. 计算概率：多重积分可以用于计算概率。
在概率论中，多重积分可以用于计算多个随机变量的联合概率分布。
三、多重积分的定理证明多重积分的定理是多重积分计算中常用的重要工具，有很多基本的定理和性质。
1. Fubini定理：Fubini定理是一个重要的定理，它允许我们通过交换积分的次序来简化计算。
Fubini定理分为两种情况：对于二重积分，可以通过改变积分次序简化计算；对于三重积分，也可以通过改变积分次序简化计算。
2. Green公式：Green公式是二维空间中的重要定理，它将一个曲线积分转化为一个二重积分。
Green公式分为两种形式：第一种是对于平面区域的边界曲线上的曲线积分与区域内部的二重积分的关系；第二种是对于空腔区域的边界曲面上的曲面积分与区域内部的三重积分的关系。
多重积分及其在几何与物理问题中的应用
多重积分及其在几何与物理问题中的应用多重积分是微积分中的重要概念，广泛应用于几何和物理问题的求解中。
在本文中，我将介绍多重积分的基本定义和性质，并探讨其在几何和物理问题中的应用。
多重积分是对多元函数在多维区域上的积分运算。
和一元积分类似，多重积分也可以用定积分的极限形式来定义。
对于二元函数来说，其多重积分可以看作一个对平面上的面积或曲面上的体积的求解。
一般地，n维空间中的多重积分可以看作n维区域上的广义体积。
从几何的角度来看，多重积分可以用来求解各种曲线、曲面和体积相关的问题。
它在几何学中极为重要，可以用来计算平面区域的面积、曲面的面积以及立体图形的体积。
例如，我们可以利用多重积分来计算一个平面区域的面积，通过对该区域进行分割，并对每个小区域的面积进行求和。
类似地，我们也可以通过多重积分来计算曲面的面积，或者立体图形的体积。
多重积分的几何应用可以帮助我们更深入地理解各种几何概念，并解决与面积和体积相关的问题。
在物理学中，多重积分也起着重要的作用。
它可以用来计算质心、质量、力矩、能量等物理量。
例如，在力学中，我们可以利用多重积分来求解刚体的质心位置和质心坐标，从而进一步得到刚体绕某点旋转的力矩。
此外，多重积分还可以用来计算流体的质量，动量和能量等重要物理量。
在电磁学中，多重积分可以用来计算电荷分布的产生的电场或磁场，进而分析电荷与电场之间的相互作用。
除了几何和物理问题，在统计学和概率论中，多重积分也起着重要的作用。
例如，在概率密度函数的计算中，我们可以利用多重积分来求解给定事件的概率。
同时，在统计学中，多重积分可以用来计算样本空间上的概率密度函数，通过对该函数进行积分，可以获得一系列与随机变量相关的统计量。
在实际应用中，多重积分可以通过不同的计算方法和技巧进行求解。
例如，我们可以使用直角坐标、极坐标、柱坐标、球坐标等不同的坐标系来表示积分区域，从而简化计算。
此外，利用对称性和变量替换等技巧，也可以降低计算的复杂性。
重积分应用PPT课件
01
球面坐标系的建立
以原点为球心，以r为半径的球面将空间划分为若干个球面区域。
02
球面坐标系下三重积分的计算
将三重积分转化为球面坐标系下的二重积分，再对r、θ和φ进行积分。
03
典型例题解析
通过具体例题展示球面坐标系下三重积分的计算过程。
典型例题解析
01
02
03
04
例题1
计算球体体积（直角坐标系下 ）。
典型例题解析
例题一
求解二重积分$int_{0}^{1}int_{0}^{1}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$， 分别采用矩形法、梯形法和Simpson法进行求解，并比较各方 法的精度和计算量。
例题二
求解二重积分$int_{0}^{pi}int_{0}^{pi}sin(x+y)dxdy$，分别 采用矩形法、梯形法和Simpson法进行求解，并分析各方法的 适用性。
03
三重积分计算方法
直角坐标系下三重积分计算
投影法
将三重积分投影到三个坐标面上， 分别计算每个投影区域上的二重
积分，再相加得到最终结果。
截面法
通过平行于坐标面的平面截取积 分区域，对每个截面上的二重积 分进行计算，再对截面进行积分
得到最终结果。
先一后二法
先对其中一个变量进行积分，将 三重积分转化为二重积分，再对
剩余两个变量进行积分。
柱面坐标系下三重积分计算
1 2
柱面坐标系的建立
以原点为顶点，以z轴为对称轴的圆柱面将空间 划分为若干个柱面区域。
柱面坐标系下三重积分的计算
将三重积分转化为柱面坐标系下的二重积分，再 对r和θ进行积分。
3
典型例题解析
重积分在生活中的应用
重积分在生活中的应用重积分，作为数学中的一个概念，可能在日常生活中不那么直观，但实际上，它在许多方面都有实际的应用。
以下是一些重积分在生活中的实际应用例子。
首先，重积分在物理中有广泛的应用。
例如，在计算物体的质量、重心和转动惯量时，重积分起着关键作用。
这些物理量在日常生活和工程设计中都是非常重要的。
例如，当我们想要知道一个物体的质量时，可以通过重积分来进行精确的计算。
同样，当我们需要将物体稳定地放置在一个平面上时，了解其重心位置是至关重要的。
其次，重积分在经济学中也有广泛的应用。
例如，在金融领域，重积分被用来描述和预测资产价格的动态变化。
通过重积分的方法，可以模拟出股票价格、期货价格等金融产品的价格轨迹，为投资者提供决策依据。
此外，在保险行业中，重积分也被用来计算各种风险的损失概率和赔偿金额。
另外，重积分在环境科学中也有应用。
例如，在计算地球上某一区域的碳排放量或氧气消耗量时，重积分发挥了重要作用。
通过对大气中各种气体的浓度分布进行重积分计算，可以准确地了解整个地球的气体排放情况，为环保政策的制定提供科学依据。
此外，重积分还在工程领域中发挥了重要作用。
例如，在建筑和机械设计中，工程师需要使用重积分来计算物体的应力分布、应变能和热传导等物理量。
这些计算结果对于保证工程的安全性和稳定性至关重要。
除了上述领域外，重积分还在其他领域中有许多实际应用。
例如，在医疗领域中，重积分可以帮助医生准确地计算出患者的生理参数和疾病发展趋势；在交通工程中，重积分可以用来优化交通流量的分配和提高道路运输效率；在农业中，重积分可以帮助农民更好地了解土壤肥力和作物生长情况，提高农作物的产量和质量。
总之，虽然重积分看起来是一个抽象的数学概念，但它在实际生活中却有着广泛的应用。
无论是在物理、经济、环境科学、工程领域还是其他领域中，重积分都发挥着重要的作用。
因此，我们应该更加深入地了解和学习重积分的相关知识，以便更好地将其应用于实际生活中。
数一历年考试题型与重点
数一近年考研题型与重点2006年-2017年注：1.06-1表示2006年第1题2.同一题标注在不同知识点处表示该题考了多个知识点；第一部分高等数学第一章函数、极限、连续1.数列敛散性的判定 06-16;07-5;08-4;10-4;11-18; 16-19(II)；2.无穷小量的阶数与比较 07-1；09-7；15-15；3.待定型的极限 06-1；08-15；10-1；11-15；13-1；14-15；15-9；16-9;17-1;4.函数性质的判定与证明（奇偶、周期、单调、有界、连续）：一般结合其他知识点考察。
14-10；17-1；5.渐近线 07-2；12-1；14-1；第二章一元函数微分学1.导数与微分的定义与判定06-7；07-4；12-2；15-18；16-4;2.高阶导数：16-12（含参）；17-9；3.隐函数、参数方程的导数 10-9；13-9；13-11；14-16；15-11；17-17；4.函数的极值点、拐点的判定与求解 10-16；11-1；15-1；17-17（隐函数的极值）；5.凹凸的定义 14-2；6.导数的几何意义（切线、法线）08-10；12-18；15-16；7.不等式的证明与判定 12-15；17-2；8.含介值或中值等式的证明 07-19；09-18；13-18；17-18II；9.方程根的个数的判定或证明 08-1；11-17；17-18I；10.函数的极值 11-16；14-16；16-17(II);第三章一元函数积分学1.函数及其导数（或原函数）的关系及性质的比较08-18；09-3；16-2;2.定积分的计算07-11；10-10；12-10；12-18；14-4；15-10；3.利用定积分的定义求极限 17-16；4.定积分的比较 07-3；10-17；11-4；12-4；5.积分上限函数的导数13-15；14-15；6.反常积分的计算和敛散性的判定 10-3；13-12；16-1;16-16（I结合ODE）；7.定积分的应用 09-17；11-9；17-4（位移）；第四章常微分方程1.一阶微分方程的解06-2；06-18；08-9；14-11；15-16；16-3;2.二阶线性微分方程的解 07-13；09-10；10-15；11-10；12-9；13-10；13-16；14-17；16-16（结合广义积分的敛散性）；17-10；3.已知二阶线性微分方程的解，反求方程 08-3；15-2；4.欧拉方程 04-4；第五章向量代数与空间解析几何1.点到平面的距离 06-4；2.坐标面上曲线绕坐标轴旋转曲面方程 09-17；13-19；3.空间曲线在坐标面的投影曲线 17-19I；第六章多元函数微分学1.复合函数的导数06-18；07-12；09-9；10-2；11-11；11-16；14-17；17-15；2.隐函数的偏导数与全微分：16-11；3.多元函数连续、可导、可微的关系 12-3；4.偏导数的几何应用 13-2；14-9；5.极值与条件最值 06-10；08-17；09-15；11-3；12-16；13-17；14-4；15-17；6.多元函数的最值 07-17；第七章多元函数积分学1.二重积分的比较 09-2；13-4；2.交换积分顺序或直角坐标与极坐标二次积分间的转换 06-8；14-3；15-4；3.二重积分的计算06-15;11-19;16-15；4.三重积分 09-12；15-12；5.对弧长的曲线积分 09-11；6.对坐标的曲线积分06-19；07-6；08-16；10-11；11-12；12-19；13-4；14-12；15-19；16-17(I);17-11；7.对面积的曲面积分 07-14；10-19；12-12；17-19I；8.对坐标的曲面积分 06-3；07-18；08-12；09-19；14-18；16-18;9.方向导数、梯度、散度、旋度 08-2；12-11；15-17；（均为梯度）16-10(旋度)；17-3（方向导数）；10.物理应用 10-12；13-19；（均为形心）第八章无穷级数1.敛散性的判定 06-9；09-4；14-19；15-3（Abel定理）；16-19(I)；2.无穷级数的和 09-16；15-22（结合概率）；3.幂级数的收敛半径、收敛域、和函数 08-11；10-18；11-2；12-17；17-12；4.收敛幂级数的性质07-20；5.幂级数的展开 06-17；07-20；09-16；13-16；17-9；6.傅里叶级数 08-19;13-3;第二部分线性代数1.行列式的计算06-5；08-21；12-20；13-3；14-5；15-13；16-13；2.伴随阵及其性质 09-6；13-13；3.逆矩阵 08-5；17-5；4.初等变换与初等矩阵 06-12；11-5；15-6；5.矩阵的秩 07-15；08-20；10-5；12-13；12-21；10-13；17-13；17-20I；6.两个矩阵的关系（等价、相似、合同）的判定 07-8；13-6；14-21；16-5;17-6；7.向量的线性相关性 06-11；07-7；09-20；11-20；12-5；13-5；14-6；8.向量空间的基、维数与基过渡阵 09-5；10-13；15-20；9.解线性方程组（不含参数）或矩阵方程09-20；11-6；14-20；17-20II；10.讨论和求解含参数的线性方程组或矩阵方程：06-20；07-21；08-21；10-20；12-20；13-20；15-5；16-20；11.求矩阵的特征值与特征向量 06-21；08-13；09-13；09-21；11-21；16-21；12.已知对称矩阵的特征值或与部分特征向量求剩下的特征向量和矩阵07-22；10-21；11-21；17-21；13.对角化的判定、性质与计算 06-21；10-6；12-6；15-21；16-21；14.二次型的标准化 10-21；12-21；13-21；17-21；15.二次型与二次曲面 08-6；11-13；16.二次型的规范性与惯性指标的关系 09-21；14-13；17.正定二次型的判定 10-21；第三部分概率统计1.随机事件及其概率（含条件概率）的运算 06-13；07-9；12-14；14-7；15-7；16-8;17-7；2.已知分布中参数的比较与确定 06-14；10-8；16-7;3.求一维随机变量的分布函数 15-22；4.一个已知函数为概率密度和分布函数的充要条件 11-7；5.已知一维随机变量的分布求概率 08-14；10-7；12-22；13-7；13-14；17-22I；6.求一维随机变量函数的分布 06-22；13-22；17-23I；7.求二维离散性型随机变量的联合分布、分布函数值、边缘分布09-22；11-22；16-22（I）；8.求二维连续性型随机变量的边缘概率密度、条件概率密度 07-10；10-22；9.已知二维分布求概率 06-6；06-22；07-16；07-23；12-7；15-14；10.二维随机变量函数的分布 07-23；08-7；09-08；11-22；16-22（III）；16-23（I）；11.两个随机变量独立性的判定：16-22（II）；12.离散和连续型随机变量结合的条件分布和函数的分布08-22；14-22；17-22II；13.求已知随机变量及其函数的期望和方差 09-7；10-14；11-8；11-14；14-8；14-22；14-23；15-8；15-22（结合级数）；17-14；17-22I；14.协方差与相关系数 08-8；11-22；12-8；12-22；15.统计量的分布 13-8；17-8；16.矩估计 06-23；07-24；09-23；13-23；15-23；17-23II；17.极大似然估计 06-23；09-23；11-23；12-23；13-23；14-23；15-23；17-23III；18.求统计量的数字特征（含无偏性）07-24；08-23；09-14；10-23；；12-23；14-14；16-22（II）；19.置信区间：16-14；。
高等数学中的多重积分应用
高等数学中的多重积分应用引言：数学作为一门基础学科，广泛应用于各个领域。
在高等数学中，多重积分是一个重要的概念和工具，它在实际问题的建模和求解中发挥着重要作用。
本文将从多重积分在几何学、物理学和经济学中的应用三个方面进行论述，以展示多重积分的重要性和广泛性。
一、多重积分在几何学中的应用几何学是研究空间形状和位置关系的学科，而多重积分在几何学中的应用主要涉及到空间体积和质心的计算。
以三维空间为例，我们可以通过多重积分来计算任意形状的立体体积。
对于简单形状如球体、立方体等，可以直接利用几何关系进行计算；而对于复杂形状，可以通过将其分解为无穷小的体积元素，再进行积分求和来计算体积。
此外，多重积分还可以用于计算曲面的面积以及空间曲线的弧长。
二、多重积分在物理学中的应用物理学是研究自然界各种现象的学科，而多重积分在物理学中的应用主要涉及到质量、质心和力学矩的计算。
以质量为例，我们可以通过多重积分来计算物体的质量分布情况。
对于连续分布的物体，可以将其分解为无穷小的质量元素，再进行积分求和来计算总质量。
而对于质心的计算，可以通过多重积分来计算物体在各个方向上的质量分布情况，从而确定质心的位置。
此外，多重积分还可以用于计算物体的力矩，从而研究物体的平衡情况以及转动运动。
三、多重积分在经济学中的应用经济学是研究人类社会中资源配置和经济行为的学科，而多重积分在经济学中的应用主要涉及到利润、收益和效用的计算。
以利润为例，我们可以通过多重积分来计算企业的成本和收入情况，从而确定企业的利润水平。
对于成本的计算，可以将其分解为无穷小的生产要素，再进行积分求和来计算总成本。
而对于收入的计算，可以通过多重积分来计算销售量和价格的函数关系，从而确定总收入。
此外，多重积分还可以用于计算效用函数，从而研究消费者的选择行为以及市场供求关系。
结论：多重积分在几何学、物理学和经济学中的应用举足轻重，为解决实际问题提供了强有力的工具。
通过对空间体积、质心、质量、力矩、利润、收益和效用等的计算，我们可以深入理解和分析各个领域的问题，并提出相应的解决方案。
高等数学讲义第5集——重积分的应用
M
d
D
2 d
0
2 r 2dr
0
2
r3
2
d
4
030
24
[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第
一步是正确的。注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为 (x, y) x 2 y 2 ，
因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。问题在于在直角坐标转化 为极坐标时，dxdy 应由 rdrd 来代替，解题过程中缺少了一项 r 。导致计算结果
1
1 y2
0
dz
D
[分析]如按此思路求解，即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍然相当大，极
易导致计算错误。该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性，可利
用对称性减少计算量。
[正确解] V dV
D
(x 2 y 2 )dxdy 4
2 d
1 r 2 rdr
x2 y 2 1
0
u
3 2
v
3 2
8
。
A d
D
1
u
3 2
v
3 2
dudv
1
4 3
u 2 du
4
3
v2
dv
1
8
81
1
8
[方法小结]对于不规则图形，欲求其面积，可注意其方程是否有规律性，从中寻
求适当的变量替换，将不规则图形转化为规则图形，以简化计算。
例 7. 求平面 x y z 1被三坐标面所割出的有限部分的面积。 abc
z 6
O
1
y
1
x
[解]
V
dV
1 1 x
第四节 重积分的应用
1 = 3
1 故质心为 ( 0, 0, ) 3
三、平面薄片的转动惯量
个质点， 设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ，( x 2 , y 2 )， , ( x n , y n )处，质量分别为 m1 , m 2 , , m n ． 则该质点系对于 x 轴和 y 轴的
D1
π 2
a dxdy 2 2 2 a x y
a cos θ 0 0
= 4 a ∫ dθ ∫
2
1 rdr 2 2 a r
= 2 πa 4 a .
2
例 2 求由曲面 x 2 + y 2 = az 和 z = 2a (a > 0)所围立体的表面积 所围立体的表面积.
x2 + y2
解
x 2 + y 2 = az , 解方程组 2 2 z = 2a x + y
b
y a ( 1 b )
x 2dx = 1 a 3bρ .
12
同理： 同理：对 x 轴的转动惯量为
I x = ρ ∫∫ y 2dxdy = 1 ab 3 ρ .
D
12
例6 求密度为ρ的均匀球体对于过 球心的一条轴l的转动惯量 的转动惯量. 球心的一条轴 的转动惯量. 取球心为坐标原点, 轴与轴 轴与轴l重 解 取球心为坐标原点, z轴与轴 重 又设球的半径为a. 合, 又设球的半径为 . 球体所占空间闭区域可表示为 ={(x, , = , y, z)| x2+y2+z2≤a2}. . 所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量 z , 所求转动惯量即球体对于 轴的转动惯量I 轴的转动惯量
∫∫∫ zρ ( x , y, z )dv , z= ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dv
高数重积分-重积分的应用
由元素法
x ( x, y )d x , ( x, y )d
D D
y ( x, y )d y . ( x , y )d
D D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
1 x xd , AD 1 y yd . 其中 A d AD D
2 d
2 0
b cos
a cos
r cos rdr
D
D 8 4
(b 3 a 3 ) b 2 ba a 2 . 2 2 (b a ) 2(b a )
20
对 y 轴的转动惯量为
y
b
o
a
x
I y x 2dxdy,
D
0 dy 0
b
y a ( 1 b )
1 3 x dx a b . 12
2
同理：对x 轴的转动惯量为
I x y 2dxdy 1 ab3 .
D
12
14
例 5 已知均匀矩形板（面密度为常数 ）的长 b h 和宽分别为 和 ，计算此矩形板对于通过其形 心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
2 2
1 2 故S a 4 x 2 4 y 2 dxdy 2dxdy D a Dxy
xy
d
0
2
a
0
1 2 a 4r 2 rdr 2a 2 a
a 2 (6 2 5 5 1). 6
7
三、平面薄片的重心 ( x , y )
n 设 xoy 平面上有 个质点，它们分别位于
5
例 2 求由曲面 x 2 y 2 az 和 z 2a (a 0) 所围立体的表面积.
重积分总结
多重积分的方法总结计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．一．二重积分的计算重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．1. 在直角坐标下： (a) X-型区域几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰．(b) Y-型区域几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤；二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)dx y cx y Df x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰⎰⎰．2. 在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）；被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：2211()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r DDf x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．3. 二重积分的换元法：(,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换(,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且(,)0(,)x y J u v ∂=≠∂, (,)u v D '∈ 则有(,)((,),(,))DD f x y dxdy f x u v y u v J dudv '=⎰⎰⎰⎰．二．三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1. 在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =，并把区域投影到xoy 面上从而确定(,)x y 的范围，记为xy D ；被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xy V x y z x y D z x y z z x y =∈≤≤, 进一步地, xy D 可以表示成X －型区域或Y －型区域;三重积分化为三次积分：21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y VD f x y z dV dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰（所谓“二套一”的形式）2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为X －型）2211()(,)()(,)(,,)dx y z x y cx y z x y dy dx f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为Y －型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz 面或zox 面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy 面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x ，y 无关，即可表示为为()f z ．则区域表示为：{(,,),(,)}z V x y z c z d x y D =≤≤∈,其中z D 表示垂直于z 轴的截面．此时，三重积分化为：(,,)()zdcVD f x y z dV dz f z dxdy =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （所谓“一套二”的形式）()z dD cf z S dz =⎰其中z D S 表示截面z D 的面积，它是关于z 的函数．2. 在柱坐标下：柱坐标与直角坐标的关系：cos sin ,(0,02,)x r y r r z z z θθθπ=⎧⎪=≤<∞≤≤-∞<<+∞⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =．空间区域在xoy 面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且1(,)z z x y =和1(,)z z x y =也易于进一步表示z 成关于,r θ较简单的函数形式，比如22x y +可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；被积区域的集合表示：121212{(,),()(),(,)(,)}V r r r r z r z z r θθθθθθθθ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：(,,)(cos ,sin ,)VVf x y z dV f r r z rdrd dzθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222111()(,)()(,)(cos ,sin ,)r z r r z r d rdr f r r z dz θθθθθθθθθ=⎰⎰⎰．3. 在球坐标下：球坐标与直角坐标的关系：sin cos sin sin ,(0,02,0)cos x r y r r z ϕθϕθθπϕπϕ=⎧⎪=≤<∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数1(,)r r r θ=和2(,)r r r θ=; （具体如球心在原点或z 轴上的球形域）被积区域的集合表示：121212{(,,),,(,)(,)}V r r r r θϕθθθϕϕϕθϕθϕ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin VVf x y z dV f r r r rdrd d ϕθϕθθϕθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=212(,)20(,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr ππθϕθϕθϕϕθϕθθϕ⎰⎰⎰．如球心在原点半径为a 的球形域下：220(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin aVf x y z dV d d f r r r r dr ππθϕϕθϕθθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．4. 三重积分的换元法：(,,)u f x y z =在闭区域V 上连续，设有变换(,,):(,,),(,,)(,,)x x u v w T y y u v w u v w V z z u v w =⎧⎪'=∈⎨⎪=⎩将V '一一映射到V 上，又(,,),(,,)x u v w y u v w 和(,,)z u v w 关于u , v 和w 有一阶连续的偏导数，且(,,)0(,,)x y z J u v w ∂=≠∂, (,)u v V '∈则有(,,)((,,),(,,),(,,))VVf x y z dV f x u v w y u v w z u v w J dudvdw =⎰⎰⎰⎰⎰⎰．三．重积分的几何和物理应用 1. 几何应用a) 二重积分求平面区域面积；b) 二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d) 二重积分求空间曲面的面积．求曲面的面积A ，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i ) 曲面方程 :(,),(,)S z f x y x y D =∈DA =ii )曲面参数方程(,):(,),(,)(,)uv x x u v S y y u v u v D z z u v =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩()()uvuvu u u v v v uu u D D vvvij k A x i y j z k x i y j z k dudv x y z dudv x y z =++⨯++=⎰⎰⎰⎰ 注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2. 物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．。
物理学教程(第二版)课后答案11
第十一章 恒定磁场11－1 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小r R B B 、满足（ ）（A ）r R B B 2= （B ）r R B B = （C ）r R B B =2 （D ）r R B B 4=分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比21==R r n n r R 因而正确答案为（C ）.11－2 一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为（ ）（A ）B r 2π2 （B ）B r 2π （C ）αB r cos π22 （D ）αB r cos π2题 11-2 图分析与解 作半径为r 的圆S ′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S ′的磁通量；S B ⋅=m Φ．因而正确答案为（D ）．11－3 下列说法正确的是（ ）（A ）闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B ）闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C ）磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零（D ）磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 分析与解 由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零.因而正确答案为（B ）．11－4 在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周内有电流I1、I2，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2回路外有电流I3，P 1、P 2为两圆形回路上的对应点，则（ ）（A ）⎰⎰⋅=⋅21L L d d l B l B ，21P P B B =（B ）⎰⎰⋅≠⋅21L L d d l B l B ，21P P B B =（C ） ⎰⎰⋅=⋅21L L d d l B l B ，21P P B B ≠（D ）⎰⎰⋅≠⋅21L L d d l B l B ，21P P B B ≠题 11-4 图分析与解 由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C ）．11－5 半径为R 的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质之中，若导体中流过的恒定电流为I ，磁介质的相对磁导率为μｒ（μｒ＜1），则磁介质内的磁化强度为（ ） （A ）()r I μr π2/1-- （B ）()r I μr π2/1- （C ）r I μr π2/-（D ）r μI r π2/分析与解 利用安培环路定理可先求出磁介质中的磁场强度，再由M ＝（μｒ－1）H 求得磁介质内的磁化强度，因而正确答案为（B ）．11－6 北京正负电子对撞机的储存环是周长为240m 的近似圆形轨道，当环中电子流强度为8mA 时，在整个环中有多少电子在运行？已知电子的速率接近光速.分析 一个电子绕存储环近似以光速运动时，对电流的贡献为c I e I /Δ=，因而由lNecI =，可解出环中的电子数.解 通过分析结果可得环中的电子数10104⨯==ecIlN 11－7 已知铜的摩尔质量M ＝63.75ｇ·mol －1，密度ρ＝8.9g · cm －3，在铜导线里，假设每一个铜原子贡献出一个自由电子，（1）为了技术上的安全，铜线内最大电流密度26.0A mm m j -=⋅，求此时铜线内电子的漂移速率v d ；（2）在室温下电子热运动的平均速率是电子漂移速率v d 的多少倍？分析 一个铜原子的质量A N M m /=,其中N A 为阿伏伽德罗常数，由铜的密度ρ可以推算出铜的原子数密度m ρn /=根据假设，每个铜原子贡献出一个自由电子，其电荷为e ，电流密度d m ne j v =．从而可解得电子的漂移速率v d ．将电子气视为理想气体，根据气体动理论，电子热运动的平均速率em kTπ8=v 其中k 为玻耳兹曼常量，m e 为电子质量．从而可解得电子的平均速率与漂移速率的关系． 解 （1）铜导线单位体积的原子数为M ρN n A /=电流密度为j m 时铜线内电子的漂移速率14A s m 1046.4--⋅⨯===eN M j ne j m m d ρv （2）室温下（T ＝300Ｋ）电子热运动的平均速率与电子漂移速率之比为81042.2π81⨯≈=ed d m kTv v v 室温下电子热运动的平均速率远大于电子在恒定电场中的定向漂移速率．电子实际的运动是无规热运动和沿电场相反方向的漂移运动的叠加．考虑到电子的漂移速率很小，电信号的信息载体显然不会是定向漂移的电子．实验证明电信号是通过电磁波以光速传递的．11－8 有两个同轴导体圆柱面，它们的长度均为20m ，内圆柱面的半径为3.0mm ，外圆柱面的半径为9.0mm.若两圆柱面之间有10μA 电流沿径向流过，求通过半径为6.0mm 的圆柱面上的电流密度．题 11-8 图分析 如图所示是同轴柱面的横截面，电流密度j 对中心轴对称分布．根据恒定电流的连续性，在两个同轴导体之间的任意一个半径为r 的同轴圆柱面上流过的电流I 都相等，因此可得rlI j π2=解 由分析可知，在半径r ＝6.0mm 的圆柱面上的电流密度2m A μ3.13π2-⋅==rlIj 11－9 如图所示，已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为6.0×10－5T ．如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流有多大？流向如何？解 设赤道电流为I ，则由教材第11－4节例2知，圆电流轴线上北极点的磁感强度()RIRR IR B 24202/32220μμ=+=因此赤道上的等效圆电流为A 1073.12490⨯==μRBI 由于在地球地磁场的Ｎ极在地理南极，根据右手螺旋法则可判断赤道圆电流应该是由东向西流，与地球自转方向相反．题 11-9 图11－10 如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源相接.求环心O 的磁感强度．题 11-10 图分析 根据叠加原理，点O 的磁感强度可视作由ef 、b e 、fa 三段直线以及ac b 、a d b 两段圆弧电流共同激发．由于电源距环较远，0=ef B ．而b e 、fa 两段直线的延长线通过点O ，由于0Idl r ⨯=，由毕奥－萨伐尔定律知0be fa ==B B ．流过圆弧的电流I 1、I 2的方向如图所示，两圆弧在点O 激发的磁场分别为21101π4r l I μB =,22202π4r l I μB = 其中l 1、l 2分别是圆弧ac b 、a d b 的弧长，由于导线电阻R 与弧长l 成正比，而圆弧ac b 、a d b 又构成并联电路，故有2211l I l I =将21B B 、叠加可得点O 的磁感强度B ． 解 由上述分析可知，点O 的合磁感强度0π4π42220211021=-=-=rl I μr l I μB B B 11－11 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，它们在点O 的磁感强度各为多少？题 11-11 图分析 应用磁场叠加原理求解．将不同形状的载流导线分解成长直部分和圆弧部分，它们各自在点O 处所激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强度∑=iB B 0.解 （ａ）长直电流对点O 而言，有0d =⨯r l I ，因此它在点O 产生的磁场为零，则点O 处总的磁感强度为1/4圆弧电流所激发，故有RIμB 800=B 0的方向垂直纸面向外．（ｂ）将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理可得RIμR I μB π22000-=B 0的方向垂直纸面向里．（c ）将载流导线看作1/2圆电流和两段半无限长直电流，由叠加原理可得RIμR I μR I μR I μR I μB 4π24π4π4000000+=++=B 0的方向垂直纸面向外．11－12 载流导线形状如图所示（图中直线部分导线延伸到无穷远），求 点O 的磁感强度B ．题 11-12 图分析 由教材11－4节例题2的结果不难导出，圆弧载流导线在圆心激发的磁感强度RαI μB π40=，其中α为圆弧载流导线所张的圆心角，磁感强度的方向依照右手定则确定；半无限长载流导线在圆心点O 激发的磁感强度R IμB π40=，磁感强度的方向依照右手定则确定.点O 的磁感强度O B 可以视为由圆弧载流导线、半无限长载流导线等激发的磁场在空间点O 的叠加.解 根据磁场的叠加 在图（ａ）中，k i k k i B RIμR I μR I μR I μR I μπ24π4π44000000--=---= 在图（ｂ）中，k i k i i B RI μR I μR I μR I μR I μπ41π14π44π4000000-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---= 在图（c ）中，k j i B RIμR I μR I μπ4π4830000---= 11－13 如图(a)所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过矩形面积的磁通量．题 11-13 图分析 由于矩形平面上各点的磁感强度不同，故磁通量Φ≠BS ．为此，可在矩形平面上取一矩形面元d S ＝l d x ，如图（ｂ）所示，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为x l xId π2d d 0μ=⋅=ΦS B矩形平面的总磁通量ΦΦ⎰=d解 由上述分析可得矩形平面的总磁通量⎰==Φ211200lnπ2d π2d dd d Ilx l xIμμ 11－14 已知10mm 2裸铜线允许通过50A 电流而不会使导线过热．电流在导线横截面上均匀分布．求导线内、外磁感强度的分布.题 11-14 图分析 可将导线视作长直圆柱体，电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场必然呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上的各点，B 大小相等、方向与电流成右手螺旋关系．为此，可利用安培环路定理，求出导线表面的磁感强度．解 围绕轴线取同心圆为环路L ，取其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理，有∑⎰=⋅=⋅I μB 0πr 2d l B在导线内r ＜R ，2222ππRIr r R I I ==∑，因而 202πR IrμB =在导线外r ＞R ，I I =∑，因而rIμB 2π0=磁感强度分布曲线如图所示．11－15 有一同轴电缆，其尺寸如图（ａ）所示．两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑．试计算以下各处的磁感强度：（1）r ＜R 1；（2）R 1＜r ＜R 2；（3）R 2＜r ＜R 3；（4）r ＞R 3．画出B －r 图线．题 11-15 图分析 同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称，取半径为r 的同心圆为积分路径，πr 2d ⋅=⋅⎰B l B ，利用安培环路定理∑⎰=⋅I μ0d l B ，可解得各区域的磁感强度．解 由上述分析得 r ＜R 12211ππ12πr R μr B =⋅ 21012πR IrμB =R 1＜r ＜R 2I μr B 022π=⋅rIμB 2π02=R 2＜r ＜R 3()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⋅I R R R r I μr B 22232203ππ2π 2223223032πR R r R r I μB --= r ＞R 3()02π04=-=⋅I I μr B04=B磁感强度B （r ）的分布曲线如图（ｂ）．11－16 如图所示，N 匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上．求通入电流I 后，环内外磁场的分布．题 11-16 图分析 根据右手螺旋法则，螺线管内磁感强度的方向与螺线管中心轴线构成同心圆，若取半径为r 的圆周为积分环路，由于磁感强度在每一环路上为常量，因而πr 2d ⋅=⋅⎰B l B依照安培环路定理∑⎰=⋅I μ0d l B ，可以解得螺线管内磁感强度的分布．解 依照上述分析，有∑=⋅I μr B 02πr ＜R 102π1=⋅r B 01=BR 2＞r ＞R 1NI μr B 022π=⋅rNIμB 2π02=r ＞R 202π3=⋅r B 03=B在螺线管内磁感强度B 沿圆周，与电流成右手螺旋．若112R R R <<-和R 2，则环内的磁场可以近似视作均匀分布，设螺线环的平均半径()1221R R R +=，则环内的磁感强度近似为 RNIμB 2π0≈11－17 电流I 均匀地流过半径为R 的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量．题 11-17 图分析 由题11－14可得导线内部距轴线为r 处的磁感强度()202πR Irμr B =在剖面上磁感强度分布不均匀，因此，需从磁通量的定义()S B d ⎰=r Φ来求解．沿轴线方向在剖面上取面元ｄS ＝l ｄr ，考虑到面元上各点B 相同，故穿过面元的磁通量ｄΦ＝B ｄS ，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量⎰=Sr B Φd解 由分析可得单位长度导线内的磁通量4πd 2π0020Iμr R Ir μΦR==⎰11－18 已知地面上空某处地磁场的磁感强度40.410T B -=⨯，方向向北．若宇宙射线中有一速率715.010m s -=⨯v 的质子，垂直地通过该处．求：（1）洛伦兹力的方向；（2）洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较．题 11-18 图解 （1）依照B F ⋅=v q L 可知洛伦兹力L F 的方向为B ⊥v 的方向，如图所示． （2）因B ⊥v ，质子所受的洛伦兹力N 102.316-⨯==B F v q L在地球表面质子所受的万有引力N 1064.126p -⨯==g m G因而，有101095.1/⨯=G F L ，即质子所受的洛伦兹力远大于重力．11－19 霍尔效应可用来测量血流的速度，其原理如图所示．在动脉血管两侧分别安装电极并加以磁场．设血管直径为d ＝2.0mm ，磁场为B ＝0.080T ，毫伏表测出血管上下两端的电压为U H ＝0.10mV ，血流的流速为多大？题 11-19 图分析 血流稳定时，有H qE B q =v由上式可以解得血流的速度． 解 依照分析m/s 63.0===dBU B E HH v 11－20 带电粒子在过饱和液体中运动，会留下一串气泡显示出粒子运动的径迹．设在气泡室有一质子垂直于磁场飞过，留下一个半径为3.5cm 的圆弧径迹，测得磁感强度为0.20Ｔ，求此质子的动量和动能．解 根据带电粒子回转半径与粒子运动速率的关系有m/s kg 1012.121⋅⨯===-ReB m p vkeV 35.222==mp E k11－21 从太阳射来的速度为0.80×108m /ｓ的电子进入地球赤道上空高层范艾伦辐射带中，该处磁场为4.0×10－7Ｔ，此电子回转轨道半径为多大？若电子沿地球磁场的磁感线旋进到地磁北极附近，地磁北极附近磁场为2.0×10－5Ｔ，其轨道半径又为多少？ 解 由带电粒子在磁场中运动的回转半径高层范艾伦辐射带中的回转半径m 101.1311⨯==eB m R v地磁北极附近的回转半径m 2322==eB m R v11－22 如图（ａ）所示，一根长直导线载有电流I 1＝30A ，矩形回路载有电流I 2＝20A ．试计算作用在回路上的合力．已知d ＝1.0cm ， b ＝8.0cm ，l ＝0.12m ．题 11-22图分析 矩形上、下两段导线受安培力F 1和F 2的大小相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说，两力的矢量和为零．而矩形的左右两段导线，由于载流导线所在处磁感强度不等，所受安培力F 3和F 4大小不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力．解 由分析可知，线框所受总的安培力F 为左、右两边安培力F 3和F 4之矢量和，如图（ｂ）所示，它们的大小分别为dlI I μF π22103=()b d lI I μF +=π22104故合力的大小为()N 1028.1π2π2321021043-⨯=+-=-=b d lI I μd l I I μF F F 合力的方向朝左，指向直导线．11－23 一直流变电站将电压为500k V 的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方．已知两输电导线间单位长度的电容为3.0×10－11F·m －1，若导线间的静电力与安培力正好抵消．求：（1）通过输电线的电流；（2）输送的功率．分析 当平行输电线中的电流相反时，它们之间存在相互排斥的安培力，其大小可由安培定律确定．若两导线间距离为d ，一导线在另一导线位置激发的磁感强度dIμB π20=,导线单位长度所受安培力的大小BI F B =．将这两条导线看作带等量异号电荷的导体，因两导线间单位长度电容C 和电压U 已知，则单位长度导线所带电荷λ＝CU ，一导线在另一导线位置所激发的电场强度dελE 0π2=，两导线间单位长度所受的静电吸引力λE F E =．依照题意，导线间的静电力和安培力正好抵消，即0=+E B F F从中可解得输电线中的电流．解 （1）由分析知单位长度导线所受的安培力和静电力分别为dI μBI F B π220==dεU C λE F E 022π2== 由0=+E BF F 可得dεU C d I μ02220π2π2=解得A 105.4300⨯==μεCUI （2）输出功率W 1025.29⨯==IU N11－24 在氢原子中，设电子以轨道角动量π2/h L =绕质子作圆周运动，其半径为m 1029.5110-⨯=a ．求质子所在处的磁感强度．h 为普朗克常量，其值为s J 1063.634⋅⨯-分析 根据电子绕核运动的角动量π20ha m L ==v可求得电子绕核运动的速率v ．如认为电子绕核作圆周运动，其等效圆电流v/π20a eT e i ==在圆心处，即质子所在处的磁感强度为02a i μB =解 由分析可得，电子绕核运动的速率π2ma h=v其等效圆电流2020π4/π2ma hev a e i ==该圆电流在圆心处产生的磁感强度T 5.12π82202000===ma heμa i μB 11－25 如图[a]所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为μr （μr ＜1），导体的磁化可以忽略不计．沿轴向有恒定电流I 通过电缆，内、外导体上电流的方向相反．求：（1）空间各区域内的磁感强度和磁化强度；*（2）磁介质表面的磁化电流．题 11-25 图分析 电流分布呈轴对称，依照右手定则，磁感线是以电缆对称轴线为中心的一组同心圆．选取任一同心圆为积分路径，应有⎰⋅=⋅r H d π2l H ，利用安培环路定理⎰∑=⋅fId l H求出环路内的传导电流，并由H μB =，()H μM r 1-=，可求出磁感强度和磁化强度．再由磁化电流的电流面密度与磁化强度的关系求出磁化电流．解 （1）取与电缆轴同心的圆为积分路径，根据磁介质中的安培环路定理，有∑=f π2I r H对r ＜R 1221f ππr R I I =∑ 得2112πR IrH =忽略导体的磁化（即导体相对磁导率μr =1），有01=M ，21012πR IrμB =对R 2＞r ＞R 1I I=∑f得rI H 2π2=填充的磁介质相对磁导率为μr ，有()r I μM r 2π12-=，rI μμB r 2π02= 对R 3＞r ＞R 2()()2223223ππR r R R I I I f -⋅--=∑ 得()()222322332πR R r r R I H --= 同样忽略导体的磁化，有03=M ，()()2223223032πR R r r R I μB --= 对r ＞R 30=-=∑I I If得04=H ，04=M ，04=B（2）由r M I s 2π⋅=，磁介质内、外表面磁化电流的大小为()()I μR R M I r si 12π112-=⋅= ()()I μR R M I r se 12π222-=⋅=对抗磁质（1r μ<），在磁介质内表面（r ＝R 1），磁化电流与内导体传导电流方向相反；在磁介质外表面（r ＝R 2），磁化电流与外导体传导电流方向相反．顺磁质的情况与抗磁质相反．H （r ）和B （r ）分布曲线分别如图（ｂ）和（c ）所示．。
定积分在物理中的某些应用
检疫
注册申请
条件：申办注册登记的出口动物饲养场，应具备独立法人资格， 不具独立法人资格的，由其拥有独立法人资格的上级主管单位
提出注册登记申请。 受理单位：所在地直属检验检疫机构。 所需材料及数量:申请注册时，需提交《申请表》和《企业法 人营业执照》复印件、饲养场平面图和彩色照片(包括场区全 貌、进出场区及生产区消毒通道、栏舍内外景、兽医室、发病 动物隔离区、死亡动物处理设施、粪便处理设施、隔离检疫舍 等)以及饲养管理制度和动物卫生防疫制度等资料，一式3份。 实施一场一证制度。同一企业所属的位于不同地点的饲养场应
W a F ( x)dx
2022年9月1日10时36分
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14
例8. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹 簧的伸长量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常 数) 如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。 解： 当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx
O x
64g (kJ )
x+dx
x
2022年9月1日10时36分
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19
例13. 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球
的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？
解：建立坐标系如图所示。
x
相应于区间[x，x+dx]的球体中
的薄片(球台)的体积约为
R+x
dV (R2 x2 )dx
v =1吨/米3 ，于是受到的静压力 为 P 2vx 9 x2 dx 从而闸门受到的总压力为
3
o x
y
x dx
P
3
2vx
重积分的地理和地球科学应用
重积分的地理和地球科学应用重积分是数学分析中的一种积分方式，它通过对多元函数进行积分计算，可以得到物理学、工程学等多个领域中有关领域量的重要性质。
然而，在地理学和地球科学中，重积分的应用更为广泛和重要。
本文将重点论述重积分在地理学和地球科学中的应用及意义。
一、物理地理学中的应用在物理地理学中，我们常用重积分计算地震力、海浪冲击力、火山爆发时的喷发速度以及地球上各种物理过程中的能量流量等。
例如，在计算海浪冲击力时，需要计算一个面对海浪的垂直平面上海水施加的压力。
使用单重积分得到的结果只能计算平面的力，因此需要使用双重积分来处理曲面的上的力。
同时，物理地理学中涉及到的物理量往往需要多个参数进行描述，因此需要使用到三重积分和四重积分等更高维度的计算方式。
例如，计算小行星体积时需要使用三重积分，而计算岩石内部密度分布的时候则需要使用四重积分。
二、地质学中的应用在地质学中，重积分的应用则更多地涉及到了空间的概念。
例如，在计算地球内部花岗岩形成的时候，需要计算空间的体积；而在计算地球上某一区域地震或者地热活动的时候，需要计算空间内的热能流或者地震能的发散量。
此外，在地质勘探领域中，我们还经常需要进行地球物理测量，如地震勘探和磁测等。
这时候，需要通过重积分来反演勘探数据，得到地球的物性分布信息。
这种方法不仅可以用于勘探矿层、油气等物质，还可以用于地壳板块运动研究、火山喷发预测等。
三、气象学中的应用气象学是研究大气环流、气候变化等各种气象现象的学科。
在这个领域中，重积分在非常广泛的应用，如大气分布模型、辐射传输模型、海气交换、能量平衡计算等。
以大气分布模型为例，重积分可以帮助推算大气中各种气体的浓度分布，从而了解气候变化机理和大气污染的来源和传播途径。
而在能量平衡计算中，则可以精确计算各种能量的输入与输出，帮助预测气象现象的发生及其后果。
四、总结总的来说，重积分在地理学和地球科学中有着非常广泛和重要的应用。
它可以帮助我们了解地球内部的结构和物性分布，预测地震、火山、暴雨等自然灾害的发生和演变过程，推算出大气中的气体浓度分布等重要信息。
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如果质点系的总质量为 M ,
My 则 x= = M
mi xi ∑ i =1 mi x y= = M
m i yi ∑ i =1 mi ∑ i =1
n
n
.
3.平面薄片的情形
在典型小区域 d σ 中取一点 ( x , y ).
y
μ ( x, y)
D ← dσ
m ≈ μ ( x , y )dσ
L
ω v
r
m
m : 质点平动时惯 性大小的度量 .
I L = mr 2 : 质点转动时惯性
大小的度量 , 称为转动惯量 .
1.一个质点的情形
质点的质量为 m .
质点关于 x轴的转动惯量是
y
M ( x, y)
x
I x = my .
2
y x
O
质点关于 y轴的转动惯量是
I y = mx 2 .
2.质点系的情形
D
a x
= ρ ∫ dy ∫
0
b
y a ( 1− ) b 0
1 3 x d x = a bρ . 12
2
1 3 同理对 x轴的转动惯量 I x = ∫∫ y μ ( x , y )dσ = ab ρ . 12 D
2
z
μ ( x, y, z )
Ω
O x
y
( M为立体 Ω的质量 )
例1 求位于两圆 ρ = a cosθ , ρ = b cosθ (0 < a < b ) 之
间的均匀薄片的质心 .
解
x=
∫∫ xdσ
D
dσ ∫∫ D
=
2 ∫ dθ ∫
π 2 0
b cos θ
a cos θ
ρ cosθ ⋅ ρdρ
y
A
i =1 2 i
3.平面薄片的情形
设面密度为 μ ( x , y ),
y
μ ( x, y)
D
O
对x轴的转动惯量 对y轴的转动惯量 I x = ∫∫ y 2 μ ( x , y )dσ .
D
x
I y = ∫∫ x 2 μ ( x , y )dσ .
D
4.空间区域的情形
转动惯量
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) μ ( x , y , z )dv ,
O
x
将 d σ 近似看成质点 , 可得平面薄片的静矩元 素
dM x = yμ ( x , y )dσ , dM y = xμ ( x , y )dσ .
积分可得 M x = ∫∫ yμ ( x , y )dσ ,
D
M y = ∫∫ xμ ( x , y )dσ .
D
薄片质量 M = ∫∫ μ ( x , y )dσ . 质心坐标 x=
设xOy平面上有 n个质点( x1 , y1 ),", ( xn , yn ), 质量 分别为 m1 ,", mn .
质点系的静矩和转动惯量是系中各质点的 静矩和转动惯量的简单叠加(数量和).
质点系关于 x轴的转动惯量 质点系关于 y轴的转动惯量 I x = ∑ mi yi2 .
i =1 n n
I y = ∑ mi x .
Ω
I xoy = ∫∫∫ z 2 μdv ,
Ω
I yoz = ∫∫∫ x 2 μdv ,
Ω
I zox = ∫∫∫ y 2 μdv .
Ω
例2 设一均匀的直角三角形薄板, 两直角边长分别 为a和b, 求这三角形对其中任一直角边的转动惯量. 解 建立坐标系如图, b O y
对y轴的转动惯量 I y = ∫∫ x 2 μ ( x , y )dσ
Ω
z
μ ( x, y, z )
I y = ∫∫∫ ( z 2 + x 2 )μ ( x , y , z )dv ,
Ω
Ω
O x
I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )μ ( x , y , z )dv ,
Ω
y
I o = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )μ ( x , y , z )dv .
x=
∫∫ dσ
D
=
A
,
y=
∫∫ dσ
D
=
A
.
( x , y ) 叫做平面图形 D 的形心.
4.空间区域的情形
质心坐标 ( x , y , z ) 1 x= xμ ( x , y , z )dv , ∫∫∫ M Ω 1 y= yμ ( x , y , z )dv , ∫∫∫ M Ω 1 z= zμ ( x , y , z )dv . ∫∫∫ M Ω
重积分的应用
一、质心 二、转动惯量 三、引力
一、质心
1.一个质点的情形
质点的质量为 m .
质点关于 x轴的静矩是 质点关于 y轴的静矩是
y
M ( x, y)
x
O
y
x
M x = my . M y = mx .
2.质点系的情形
设xOy平面上有 n个质点( x1 , y1 ),", ( xn , yn ), 质量 分别为 m1 ,", mn .
π 3 3 (b − a ) b 2 + ba + a 2 . = =8 π 2 2 2(b + a ) O (b − a ) 4
a
b x
薄片关于 x轴对称 , 所以 y = 0.
二、转动惯量
物理背景 v = ωr
1 2 1 2 2 动能T = mv = mr ω , 2 2 1 1 2 ( m )v = ( mr 2 )ω 2 2 2
质点系关于 x轴的静矩 质点系关于 y轴的静矩
n
M x = ∑ m i yi .
i =1 n
n
M y = ∑ m i xi .
i =1
如果一质量为∑ mi的质点关于 x轴和 y轴的静
i =1
矩分别等于质点系关于 x轴和 y轴的静矩 , 则该质点 所处的位置叫做质点系 的质心.
设质心的坐标为 ( x , y ).
D D
y
,y=
μ ( x, y)
D ← dσ
∫∫ xμ ( x , y )dσ
μ ( x , y )dσ ∫∫ D
∫∫ yμ ( x , y )dσ
D
μ ( x , y )dσ ∫∫ D
O
x
如果薄片均匀,即μ ( x , y )是常量 . xdσ ∫∫ xdσ ∫∫ D D ydσ ∫∫ ydσ ∫∫ D D