定积分在物理学上的应用

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定积分物理应用公式

定积分物理应用公式定积分在物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们计算一些重要的物理量，如质心、力矩和功等。

下面我们将分别介绍这些应用。

1. 质心的计算：质心是一个物体的平均分布位置，可以用定积分来计算。

对于一维情况下的质心计算，我们可以使用以下公式：质心位置x_c = (1/M) * ∫(x * dm)其中，M是物体的总质量，x是物体的位置，dm是质量元素。

通过对物体的质量进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以质量进行积分，就可以得到质心的位置。

2. 力矩的计算：力矩是一个物体受力时产生的转动效应，可以通过定积分来计算。

对于一维情况下的力矩计算，我们可以使用以下公式：力矩M = ∫(r x F) dx其中，r是力矩臂的长度，F是作用在物体上的力，dx是位置元素。

通过对物体的位置进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以力进行积分，再乘以力矩臂的长度，就可以得到力矩的大小。

3. 功的计算：功是一个物体在受力作用下所做的功，可以通过定积分来计算。

对于一维情况下的功计算，我们可以使用以下公式：功W = ∫(F dx)其中，F是作用在物体上的力，dx是位置元素。

通过对物体的位置进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以力进行积分，就可以得到功的大小。

以上是定积分在物理学中的一些应用。

通过定积分的计算，我们可以得到质心的位置，力矩的大小和功的大小，从而帮助我们更好地理解和分析物体的运动和受力情况。

这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用，而且在工程实践中也有着广泛的应用。

在实际应用中，我们可以通过测量和实验来获取所需的物理量，然后将其代入相应的定积分公式中进行计算。

这样可以帮助我们更好地理解物体的运动和受力情况，从而指导我们的实际操作和应用。

定积分在物理学中有着重要的应用，可以帮助我们计算质心、力矩和功等物理量。

通过定积分的计算，我们可以更好地理解和分析物体的运动和受力情况，从而指导我们的实际操作和应用。

这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用，而且在工程实践中也有着广泛的应用。

定积分的应用于物理学

定积分的应用于物理学定积分是微积分中一个极为重要的概念，它可以描述一个函数在一定区间内的面积。

除了数学上的应用之外，定积分在物理学中也有广泛的应用。

一、定积分在物理学中的应用1.速度和加速度在物理学中，速度和加速度是两个基本的物理量。

对于一个以某个加速度运动的物体，我们可以通过求解其速度关于时间的定积分来得到运动过程中的位移。

而得到位移后，我们还可以对它进行求导来获得速度和加速度的函数式。

2.质量和质心质量是物理学中另外一个基本的物理量，而质心则是一个系统的重心。

对于一个由若干个质点组成的系统，我们可以将每个质点的质量加起来，然后用质心的坐标来描述整个系统。

这个质心的坐标可以用各个质点坐标的定积分来求解。

3.力和功在物理学中，力是另一个基本的物理量。

对于一个物体在某个力场中做功，我们可以通过对力在某段距离上的积分来得到。

与此同时，我们也可以通过对某个物体所受多个力的叠加效应进行积分来得到最终的合力。

二、例子：牛顿第二定律牛顿第二定律是经典力学中的一个基本法则，它表明力等于物体质量乘以物体的加速度。

具体而言，我们可以用定积分来解决一个常见的牛顿第二定律问题。

假设一个物体受到一个恒定的力F作用，那么根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程：F = ma其中，a是物体的加速度，m是物体的质量。

为了求解这个方程，我们需要将其改写为以下形式：a = F/m这个定理告诉我们，当一个物体受到一个力的作用时，它的加速度是与它的质量成反比例的。

因此，我们可以用定积分来求解运动过程中的位移。

假设我们知道物体的初始速度v0和它所受的力F(t)关于时间t 的函数式，我们可以求出物体在某段时间内的加速度函数a(t)。

一旦我们知道了加速度函数，我们就可以将它关于时间的定积分求解出来，得到物体在受到力的作用下所走过的位移。

这个过程可以用以下公式来描述：x(t) = v0t + ∫0t a(t)dt其中，v0是物体的初始速度，a(t)是物体在受到力的作用下的加速度函数。

高等数学中定积分在物理学领域中的应用

在物理学中，定积分是一种非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种物理问题的建模与求解。

通过对定积分的运用，我们可以更好地理解物理现象，解释实验结果，并推导出物理定律。

本文将就高等数学中定积分在物理学领域中的应用展开探讨。

一、定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中的应用在物理学中，质心、转动惯量和力矩是常见的物理量，它们的计算与定积分有着密切的联系。

1. 质心的计算质心是一个物体或系统的平均位置，其坐标可以通过下式进行计算：在这个公式中，x 表示物体上各个微小质量元的横坐标，f(x) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。

通过对质心的计算，我们可以更好地理解物体的分布特性，分析物体的运动规律。

2. 转动惯量的计算转动惯量描述了物体对旋转的惯性大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。

转动惯量的计算在研究物体的旋转运动、平衡问题以及惯性驱动等方面具有重要意义。

3. 力矩的计算力矩是描述物体受到旋转影响的力的大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度，F 表示施加在物体上的力。

力矩的计算在分析物体的平衡条件、弹性形变以及稳定性等方面有着重要的应用。

通过以上介绍，我们可以看到定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中具有重要的应用价值，它为我们理解物体的运动特性提供了重要的数学工具。

二、定积分在牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的应用牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的一些重要公式也与定积分有着密切的联系。

1. 牛顿第二定律的应用牛顿第二定律描述了物体受到外力作用时的加速度大小与所受合外力成正比的关系，可以通过下式进行表达：在这个公式中，F 表示物体所受的合外力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。

通过定积分，我们可以更好地理解力的作用及其引起的加速度变化。

定积分在物理上的应用

连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算．
例 3 有一长度为 l 、线密度为 r 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点
M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解
建立坐标系如图
（k 是常数），当这个单位正电荷在电场中从
r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力F 对
它所作的功．
解取r 为积分变量，
q
•o
a•
1
•r•
•
r
•
•
dr
•b
r
r [a,b],
取任一小区间[r, r dr], 功元素
dw
kq r2
dr,
所如求果功要为考w虑将ab单krq2位dr电荷k移q到 1r无ba穷远kq处 a1
o
x
x dx
x
小矩形片的压力元素为 dP 2x R2 x2dx
端面上所受的压力
P
R
0
2x
R2 x2dx
R
0
R2 x2d(R2 x2)
2 3
R2 x2
3
R 0
2
3
R3.
例 2 将直角边各为 a 及 2a 的直角三角形薄板
垂直地浸人水中，斜边朝下，长直角边与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力．
压力
由物理学知道，在水深为h 处的压强为
p h，这里是水的比重．如果有一面积为A
的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一侧所受的水压力为P p A．

定积分在物理中的应用上

定积分的应用可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，为解决物理问题提供了重要的数学工具。
03
CHAPTER
动能与势能的定积分表示
动能的定积分表示
总结词
动能的定积分表示是物体在某段时间内通过的路径与该路径上的力的乘积的积分。
详细描述
根据牛顿第二定律，物体的动能为物体质量与速度平方的一半的乘积。在定积分形式下，动能的表示为 ∫F·dx，其中F是作用在物体上的力，dx是物体在该力作用下的位移。
瞬时加速度表示物体在某一时刻的速度变化快慢，而平均加速度表示物体在某段时间内速度变化的平均快慢。
速度与加速度的连续变化
在物理中，物体的速度和加速度通常都是随时间连续变化的。定积分可以用来描述这种连续变化的过程。
通过定积分，我们可以计算物体在任意时间段内的速度和加速度的变化量，以及物体在任意时刻的速度和加速度的大小。
详细描述
在热力学中，温度场是一个连续变化的物理量，它描述了物体内部各点的温度分布。通过定积分，可以将温度场表示为一个连续的函数，从而方便地计算物体内部各点的温度值。
热量传递的定积分表示
总结词
热量传递的过程可以通过定积分来描述，包括热传导、热对流和热辐射等。
详细描述
热量传递是热力学中的重要过程，包括热传导、热对流和热辐射等。这些过程都可以通过定积分来描述。通过定积分，可以计算热量传递的速率、方向和分布，从而更好地理解和控制热量传递的过程。
VS
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度是恒定的，因此物体的位移量可以通过速度与时间的乘积来计算。定积分可以用来计算在一段时间内物体的总位移量。
匀加速直线运动的定积分表示
总结词
定积分在匀加速直线运动中可以表示物体的速度和位移量。

定积分在物理上的应用-文档资料

如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用 “ 元素法 ” 思想 .
例 4 把一个带 q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点
物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为
端面上所受的压力
2 2 P 2 x R x dx 0 R
2 2 2 2 R x d ( R x ) 0 R
2 2 2 3 2 3 R x R . 3 3 0

R
例 2 将直角边各为 a 及 2 a 的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，长直角边与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力．
连线方向．
m 由物理学知道，质量分别为距为 1, m 2相
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算．
1
功元素 dw [ r , r dr ] 取任一小区间 ,
b
b
kq dr, 2 r
kq 1 1 1 kq 所求功为 w a 2 dr kq . r r a a b
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处

w a
kq 1 kq dr kq . 2 a r r a
解在端面建立坐标系如图

定积分在物理中的应用

b
.
3
例题
例 1 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求
汽车在这 1min 行驶的路程。 v/m/s
解：由速度－时间曲线可知：
3t
(0t 10)30 A
B
vt30
(10t 40)
-1.5t 90
(40t 60)
O
10
C t/s
40 60
10
40
60
S3 td t3d0 t( 1 .5 t 9)d 0t
0
10
40
2 3t21003t01400(4 3. t29t0)6 40 0135(m 04 )
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
则变力F(x) 所做的功为:
b
W a F(x)dx
.
10
作业:
P60 习题1.7
A组3，4 , 5 , 6
.
11
2、变力所做的功问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b
点，则变力F(x) 所做的功为:F
y F(x)
b
W a F(x)dx
x
.
Oa
xi
b6
例题
例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离
水平位置l 米处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的
需做功（A ）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J

数学分析10.5定积分在物理中的某些应用

第十章定积分的应用 5 定积分在物理中的某些应用一、液体静压力例1：如图所示为一管道的圆形闸门(半径为3米). 问水平面齐及直径时，闸门所受到的水的静压力为多大？解：圆的方程记为：x 2+y 2=9.由相同深度的静压强等于水的比重(v)与深度(x)的乘积，当△x 很小时，闸门上从深度x 到x+△x 的狭条△A 所受的静压力为： △P ≈dP=2vx 2x 9-dx. 闸门上所受的总压力为： P=⎰-302x 9vx 2dx=18v.二、引力例2：一根长为l 的均匀细杆，质量为M ，在其中垂线上相距细杆为a 处有一质量为m 的质点。

试求细杆对质点的万有引力。

解：如图，细杆位于x 轴上的[-2l ,2l ]，质点位于y 轴上的点a.任取[x, x+△x]⊂[-2l ,2l ]，当△x 很小时，把这一小段细杆看作一质点，其质量为dM=lMdx. 于是它对质点m 的引力为： dF=2r kmdM =l Mx a km 22⋅+dx. 又dF x =dFsin θ, dF y =dFcos θ, 且F x =⎰-22x dF ll =0；F y =⎰-22y dF l l =-2θcos M x a km 2022⎰⋅⋅+l l dx=-2⎰+2022 )x a (kmMa 23ll dx=-a 4a 2kmMa 22l +.例3：设有一半径为r 的圆弧形导线，均匀带电，电荷密度为δ，在圆心正上方距圆弧所在平面为a 的地方有一电量为q 的点电荷. 试求圆弧形导线与点电荷之间作用力(引力或斥力)的大小.解：把中心角为d φ的一小段导线圆弧看作一点电荷，其电量为dQ=δrd φ. 它对点电荷q 的作用力为： dF=2ρkqdQ =22r a kqr δ+d φ. dF z =dFcos θ=dF ·22r a a +=23)r a (akqr δ22+d φ. ∴它们之间的作用力为：F z =⎰π20z dF =⎰+π202223)r a (akqr δd φ=23)r a (πakqrδ222+.三、功与平均功率例4：一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满了水。

定积分在物理学上的应用

1.3 引力
例 4 设有一长度为 l、线密度为的均匀细直棒，在其垂线上距棒 a 单位处有
一质量为 m 的质点 M，试计算该棒对质点 M 的引力．
解取如图所示坐标系，使细棒位于 y 轴，质点 M 位于 x 轴，棒的中点为原点
O，由对称性知，引力在垂直方向上的分量为零，所以只需求引力在水平方向的分
G
amdy
(a2 y2 )
3 2
2Gml
a
1． 4a2 l2
高等数学
高等数学
1.1 变力沿直线所做的功
许多物理量的计算可以根据微元法思想，利用定积分计算解决．下面介绍几个定积分在物理学上应用的实例．
从物理学知道，当物体在恒力 F 的作用下，沿力的方向做直线运动，将物体移动了距离 s 时，力 F 所做的功为
W Fs ．
但在实际问题中，常常需要计算变力所做的功，下面我们通过举例来说明如何计算变力沿直线所做的功．
W
5
88.2xdx
0
88.2
x2 2
5
0
1102.5
(kJ)
1.2 水压力
由物理学知识可知：在水深为 h 处点的压强为 p gh ，这里是水的密度，如
果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深 h 处，那么平板一侧所受的水压力为 F pA ．
如果这个平板铅直放置在水中，那么由于水深不同，平板上各点处的压强 p 也不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算．
因有 F(0.05) 40 ，即 0.05k 40 ，故得 k 800 ．于是可得到 F(x) 800x ，
则功元素为
dW 800xdx．于是，弹簧从 15 cm 拉长到 18 cm，所做的功为

定积分的物理应用

定积分的物理应用在物理学中，定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。

定积分可以用于求解某一物理量在给定范围内的总量、平均值、功率等问题，为理解和解决物理问题提供了强大的数学支持。

本文将探讨定积分在物理学中的几个典型应用。

一、质点运动中的位移和路径长度在物理学中，研究质点在空间中的运动是一项基础工作。

定积分可以用来计算质点在一段时间内的位移和质点沿着某一曲线运动的路径长度。

假设质点在一维坐标轴上运动，位移是计算质点所在位置与初始位置之间的距离差。

可以用定积分来描述质点在一段时间内的位移，其计算公式为：\[ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]其中，v(t)表示质点运动的速度函数，t1和t2表示计算位移的时间段。

路径长度是描述质点沿着某一曲线运动的总距离。

即使质点速度在不同位置的大小和方向都不同，也可以通过定积分来计算路径长度。

计算公式如下：\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[dx(t)]^2 + [dy(t)]^2 + [dz(t)]^2} \]其中，x(t)、y(t)、z(t)分别表示质点在x轴、y轴和z轴上的位置函数。

二、力学中的功和能量在力学中，定积分可以用来计算力学系统中的功和能量。

功是描述力对物体做功的量，可以通过定积分来计算。

在一维情况下，力对物体做功的公式为：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx \]其中，F(x)表示作用在物体上的力，x1和x2表示计算功的位置范围。

能量是物理系统的重要性质，也可以通过定积分来计算。

例如，在弹簧振子系统中，弹性势能可以用以下定积分表示：\[ E = \frac{1}{2} \int_{x_1}^{x_2} kx^2 dx \]其中，k表示弹簧的弹性系数，x1和x2表示弹簧伸缩的位置范围。

三、流体力学中的流量和质量在流体力学中，定积分可以用来计算流体在一定时间内通过某一截面的流量和质量。

定积分在物理学中的应用

( x 3)2 须作的微功 dw x ( y )dx x dx 9 3 w 0 x ( x 3) 2 dx 12750(千克重米）。 9
2
二、求物体之间的引力
问题：已知质量为m1、m2相距为r的两个质点间的引力的大小为 F k m1m2 。 r2 当其中之一不是质点时引力如何计算？解决办法：微元分析法。
在[1,1]上的平均值。解：依题意有 2 1 1 x 2dx 1 ， 2 1 3 3 故得。 3
例9 计算纯电阻电路中正弦交流电i I m sin t
在一个周期内功率的平均值。
2 解：交流电的瞬时功率为 P Ri 2 RI m sin 2 t
二、物体之间的引力问题；
注意：只能解决平面问题。三、求水压力；注意：只能解决平板问题。四、求函Q具有如下性质:
1、Q 对区间具有可加性； 2、部分量dQ f ( x )dx ( x (a, b))。
Q f ( x )dx
a b
14 10xdx 8 l 6
l
x x+dx
14 10m
6m
x
F 660 (2) 2×660ρ 10xdx
l 16(米）
例6
边长分别为a和b的矩形薄板，与液面成角，斜沉于液体内部，一边平行于液面且位于深h处，液体的密度为，求薄板一面所受的液体压力。解：建立坐标系如图所示。 h o 取x到x dx的一小条面积， x 则在x处水深为h x sin b
.
x
l
于是
Fy k
l
2 2 (a 2 l
ym
2 2 (a 2 2 3 y2 )2

定积分在物理中的应用

0
3 2 cos t sin t d t k a 5 y B
4
o

Ax
x a cos 3 t , y a sin k y d s
数学分析
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19
作业
P259 10.
1.;
3.;
7.;
数学分析
目录上页下页返回结束
13
于是功的微元为
故
T 0
d W P(t ) d t
W P(t ) d t
2

0
2 2 V Vm sin 2 t d t m R R
平均功率为
2 2 2 1 T V V (Vm 2) m m P P(t ) d t T 0 2 R 2 R R
o
91500 (J)
数学分析
目录上页下页返回结束
17
2. 设星形线度的大小等于该点到原点距离的立方, 在点O 处有一单
x a cos 3 t , y a sin 3 t 上每一点处线密
位质点 , 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.
提示: 如图.
2 2 k ( x y ) ds 2 2 x y y d Fx d F cos B 1 x 2 2 2 k(x y ) ds d s ( x, y ) 2 2 x y kx ds o Ax d Fy d F sin k y d s
dF k
(x
2
y2 )2
3
ds
1 2
数学分析
目录上页下页返回结束
18
Fx k 2 a cos 3t
0

试论定积分在物理及其他领域的应用

试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分中的一个重要概念，它在物理及其他领域中有着广泛的应用。

在物理学中，定积分的应用可以帮助我们解决各种复杂的实际问题，比如计算物体的质心、计算密度分布的质量、计算电场与磁场的功率等。

在其他领域，定积分也被广泛应用于各种领域，比如经济学、生物学和工程学等。

本文将就定积分在物理及其他领域的应用进行更详细的探讨。

一、定积分在物理学中的应用1. 计算物体的质心物理学中，质心是一个非常重要的概念，它表示一个物体整体的平均位置。

利用定积分的方法，我们可以求得任意形状的物体的质心。

一个均匀细杆，利用定积分可以轻松求得其质心位置。

这对于工程设计或者物体平衡问题都具有重要的意义。

2. 计算密度分布的质量在物理学中，经常需要根据密度分布来计算物体的质量。

利用定积分，我们可以求得密度分布在空间中的质量总量。

这在研究天体物理学或者地球物理学等方面有着非常重要的应用。

3. 计算电场与磁场的功率在电磁学中，电场与磁场的功率计算经常需要用到定积分。

当分布的电荷或者电流密度不均匀时，可以利用定积分来计算电场与磁场的功率。

这对于电路设计或者电动机性能分析等方面都具有着非常重要的应用。

二、定积分在其他领域的应用1. 宏观经济学在宏观经济学中，定积分可以用来描述生产总值、就业率、通货膨胀率等经济指标的变化趋势。

通过对这些指标的定积分分析，可以更好地理解宏观经济运行的规律性，并为制定经济政策提供依据。

2. 生物学在生物学领域，定积分可以被应用于描述生物体内各种物质的浓度变化趋势，比如代谢产物在细胞内的扩散过程等。

定积分也可以用来描述生物体的生长规律以及种群数量的动态变化过程。

3. 工程学在工程学中，定积分是一个非常重要的工具，可以用来计算工程设计中各种复杂形状的物体的体积、质量、重心位置等物理量。

在建筑工程中，可以利用定积分来计算建筑结构的重心位置，以便施工和设计过程中的平衡和稳定性分析。

以上只是定积分在物理及其他领域中部分应用的介绍。

定积分在物理中的某些应用

检疫
注册申请
条件：申办注册登记的出口动物饲养场，应具备独立法人资格，不具独立法人资格的，由其拥有独立法人资格的上级主管单位
提出注册登记申请。受理单位：所在地直属检验检疫机构。所需材料及数量:申请注册时，需提交《申请表》和《企业法人营业执照》复印件、饲养场平面图和彩色照片(包括场区全貌、进出场区及生产区消毒通道、栏舍内外景、兽医室、发病动物隔离区、死亡动物处理设施、粪便处理设施、隔离检疫舍等)以及饲养管理制度和动物卫生防疫制度等资料，一式3份。实施一场一证制度。同一企业所属的位于不同地点的饲养场应
W a F ( x)dx
2022年9月1日10时36分
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14
例8. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹簧的伸长量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常数) 如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。解：当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx
O x
64g (kJ )
x+dx
x
2022年9月1日10时36分
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19
例13. 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球
的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？
解：建立坐标系如图所示。
x
相应于区间[x，x+dx]的球体中
的薄片(球台)的体积约为
R+x
dV (R2 x2 )dx
v =1吨/米3 ，于是受到的静压力为 P 2vx 9 x2 dx 从而闸门受到的总压力为
3
o x
y
x dx
P
3
2vx