定积分在物理学上的应用

k
m1m2 r2
，
其中k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的
连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的，且各点对该质点的引力方向也是变化的， 就不能用此公式计算．
例 7 有一长度为l 、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质
n次锤击所作的总功为
h
wh 0 f ( x)dx.
wh

h
0
kxdx

kh2 ,
2
依题意知，每次锤击所作的功相等．
wh nw1
kh2 n k , 22
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 n n 1.
二、水压力
由 物 理 学 知 道 ， 在 水 深 为h 处 的 压 强 为
点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解 建立坐标系如图
ly
取y为积分变量
y


l 2
,
l 2
,
取任一小区间[ y, y dy]
2 y dy
yr
o a •M
x
将典型小段近似看成质点
l 2
小段的质量为 dy,
小段与质点的距离为 r a2 y2 ,
引力
mdy
F k a2 y2 ,
端面上所受的压力
P

R
0
2x
R2 x2dx


R
0
R2 x2d(R2 x2)


2 3
R2

x2
3

R 0

2
3
R3.
说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 g (R x),
侧压力元素 dP 2 g (R x) R2 x2 dx ,
故端面所受侧压力为
4R g R R2 x2 dx 0 令 x R sin t
奇函数
o
x
y
xdx
R
x
4Rg x
2
R2

x2

R2 2
arcsin
x R
R0
g R3
例 6 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板
垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与
水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的
p h，这里 是水的比重．如果有一面积为A
的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一 侧所受的水压力为P p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同
的点处压强p 不相等，平板一侧所受的水压力
就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思 想．
例 5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
作的功 . 解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比 , 即
故作用在活塞上的
力为 功元素为
S
o a xx dx b x
所求功为
例 3 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
取x为积分变量， x [0,5]

b
a
krq2 dr

kq
1b r a

kq
1 a

1 b
.
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w


a
krq2 dr

kq
1 r a

kq a
.
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图),求移动过程中气体压力所
水平方向的分力元素
amdy
dFx
wk.baidu.com

k (a2

y
2
)
3 2
,
Fx


l 2

l 2
k
amdy
(a2 y2 )
3 2
2kml

a(4a 2

l
2
)
1 2
,
由对称性知，引力在铅直方向分力为 Fy 0.
说明: 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,
W F s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
对它的作用力的大小为
取任一小区间[ x, x dx],
点击图片任意处播放\暂停
o
x x dx
5
x
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
o
x x dx
5
x
5
w 0 88.2 x dx

88.2
x2 2

5 0
3462 (千焦)．
例4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻
力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功
相等，问第 次锤n击时又将铁钉击入多少？
解 设木板对铁钉的阻力为 f ( x) kx,
第一次锤击时所作的功为
w1

1
0
f
( x)dx
k 2
,
设n次击入的总深度为 h厘米
F

k
q r2
（k
是常数），当
这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移
动到 r b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．
解 取r 为积分变量， r [a,b],
q
•o
a•
1
•r•
• r
•

• dr
•b
r
取任一小区间[r, r dr],
功元素
dw

kq r2
dr,
所求功为 w
设桶的底半径为 R，水的比重为 ，计算桶的一端
面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0, R]
取任一小区间[ x, x dx]
小矩形片上各处的压强近
似相等 p x,
小矩形片的面积为 2 R2 x2dx.
o
x
x dx
x
小矩形片的压力元素为 dP 2x R2 x2dx
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充)
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为
边长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图 面积微元 2(a x)dx,
2a
o 2a
a
dP ( x 2a) 2(a x) 1dx
x
P

a
0
2(
x

2a)(a

x)dx

7
3
a3.
三、引力
由物理学知道，质量分别为m1 , m2 相距为
r 的两个质点间的引力的大小为F