数学：《定积分的简单应用--在物理中的应用》

本节 复习
二、液体的静压力
指导
如果平板垂直放置在液体中，由于液体
在不同的深度压强p 不同，平板一侧所受的
主 页
液体的压力就不能直接使用此公式，可采用
后退 目录
退 出
“微元法”来计算.
定积分在物理中的应用
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
本节 设桶的底半径为R ，水的比重为 ，计算桶的一端面
本节 的水的压力。
复习
2m
指导
6.一个横放着的半径为R的圆形由桶，桶内盛有
半桶油，设油的密度为ρ，计算桶的一个端面上所
主 页
受的压力。
后退 目录
退
出
定积分在物理中的应用
7.一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂
定积分在物理中的应用
二、均方根
本节
知识 引入
通常交流电器上标明的功率就是平均
本节 功率．交流电器上标明的电流值都是一种
目的
与要 求
特定的平均值，习惯上称为有效值．
本节
周期性非恒定电流i （如正弦交流电）
重点
与难 点
的有效值规定如下：当i(t) 在它的一个周
本节 复习
期T 内在负载电阻R 上消耗的平均功率，
kq
1 a

1 b
.
本节 复习
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
指导
主 页 后退 目录 退 出
w


a
krq2 dr

kq
1 r a

kq a
.
定积分在物理中的应用
2. 将直角边各为a 及2a 的直角三角形薄板垂直
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
函数的均方根，即
主 页 后退 目录 退 出
1 b f 2( x)dx.
ba a
小结
定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
1. 利用“微元法”思想求变力作
本节 功、水压力等物理问题．
目的
与要 求
（注意熟悉相关的物理知识）
本节 重点
2. 利用“微元法”思想求平均值、
与难
点
均方差．
本节 复习 指导
函数的平均值
本节 复习 指导
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地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面 平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图 面积微元 2(a x)dx,
2a
o 2a
a
dP ( x 2a) 2(a x) 1 gdx
x
P a 2( x 2a)(a x)gdx 7 g a3.
y0 y1 y2 yn1 ;
n
主 页
（3）取极限： 每个小区间的长度趋于零.
后退 目录
退
出
定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
函数 f ( x)在区间[a,b]上的平均值为
y lim y0 y1 y2 yn1 ,
本节
知识 引入
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
本节 目的 与要
每个小区间的长度 x b a ;
求
n
本节 重点
（2）求和：设各分点处的函数值为 y0 , y1, y2 , , yn
与难
点
函数 f ( x)在区间[a,b]上的平均值近似为
本节
复习
指导
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
o
x x dx
5
x
5
w 0 88.2 x dx

88.2
x2 2

5 0
3462 (千焦)．
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是变化的，就不能直接使用此公式，而采用
退
出 “微元法”思想.
定积分在物理中的应用
如图：以 x 为积分变量，积分区间为[a,b].
本节 知识
在区间 [a,b] 内任取一小区间[x, x dx],
引入
本节 功的微元数
目的
与要
求
dW F( x)dx
本节
重点
与难 点
所以
x x dx
0
3
定积分在物理中的应用
习题
本节
1.弹簧原长0.30厘米，每压缩0.01m需力2N，
知识
引入
本节 求把弹簧从0.25m压缩到0.20m所作的功。
目的
与要 求
2.一个质点按规律x=t3作直线运动，介质的
本节 重点
阻力与速度成正比，求质点从x=0移到x=1时克服
与难
点
本节 介质阻力所作的功。
复习
指导
3.有一圆柱形贮水桶，高2m，底圆半径0.8m
定积分在物理中的应用
II. 液体的静压力
本节 一、预备知识
知识
引入
由物理学知道，距液体表面深度为h 处的
本节 目的
液体压强为 p gh，这里 是液体密度，g 是
与要 求
重力加速度。如果有一面积为A 的平板水平地
本节 重点
放置在液体深为h 处，那么，平板一侧所受的
与难 点
液体压力为P p A．
指导 等于取固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功
率时，称这个值I 为i(t) 的有效值.
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定积分在物理中的应用
有效值计算公式的推导
本节
知识 引入
固定值为I 的恒定电流在R 上消耗的功率为I 2 R ,
本节
目的 与要
电流i(t)在R上消耗的功率为i 2 (t)R ,
求
本节
重点 与难 点
它在[0,T
]上的平均功率为
1 T
T i 2 (t )Rdt,
0
本节
复习 指导
按定义有 I 2R 1 T i 2(t )Rdt,
T0
主
页 后退 目录
I2 1 T
T i 2 (t )dt
0
即I
1 T i 2(t )dt . T0
退
出
定积分在物理中的应用
正弦交流电i(t) Im sint 的有效值
n
n

y lim n
y0
y1 y2 ba
yn1 b a n
x

1
n
lim
b a x0 i1
yi1x
1
n
lim
b a x0 i1
f ( xi1 )x,
1 b
y
f ( x)dx
ba a
几何平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
知识
引入 上所受的压力．
本节
目的 与要
解 在端面建立坐标系如图
求
本节 重点
取x为积分变量，x [0, R]
与难
点
取任一小区间[ x, x dx]
本节
复习
指导
小矩形片上各处的压强近
似相等p gx,
o
x
x来自百度文库 dx
主 页
小矩形片的面积为 2 R2 x2dx.
后退 目录 退
x
出
定积分在物理中的应用
oa
bx
F(x)
本节
复习
b
b
指导
W a dW a F ( x)dx
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定积分在物理中的应用
例1 设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要
使弹簧伸长0.1米，需作多少功？
本节 知识
解 如图：建立直角坐标系。
引入 因为弹力的大小与弹簧的
本节 目的
伸长（或压缩）成正比，
1. 由物理学知道，如果物体在作直线运动的
本节 目的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
与要 求
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物
本节 重点
体位移为s 时，力F 对物体所作的功为F F ( x)
与难 点
W F s.
本节 复习
2. 微元法
指导 二、变力沿直线所作的功
如果物体在运动的过程中所受的力F F( x)
复习 指导
一个周期区间 [0, 2 ],

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平均功率
p 1 2
2
2

0
Im
R sin2 tdt

定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
p 1 2
2
0
2
Im Rsin2 tdt
x2
3

R

0
2g R3 . 3
定积分在物理中的应用
III. 平均值和均方差
本节 知识
引入 一、预备知识
本节
目的 与要
实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均
求
值来描述这个班的成绩的概况。
本节
重点
与难
点
本节 复习
y y1 y2 yn
指导
n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
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本节 知识 引入
I
1
2
2
0
Im2 sin2 tdt


Im2
2
sin2 td ( t )
2 0
本节
目的
与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习

Im2
4

t

sin 2
2
t
2

0

Im . 2
结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的1
2
指导
在实际问题中，我们通常称另一种平均值为
与要
求
即
本节
F kx
重点 与难
已知 F 1N , x 0.01
点
本节 复习
代入上式得 k 100
o
指导
从而变力为 F 100x 比例系数
所求的功
x
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W
0.1
100 xdx

0.5J
0
F kx
x
定积分在物理中的应用
例 2 一圆柱形蓄水池
本节 知识
高为 5 米，底半径为
引入
本节 3 米，池内盛满了水.
目的 与要
问要把池内的水全部
求
吸出，需作多少功？
本节
重点
与难
点 解 建立坐标系如图
本节
复习
指导
取x为积分变量， x [0,5]
主 页 后退 目录 退 出
取任一小区间[ x, x dx],
点击图片任意处播放\暂停
o
x x dx
5
x
定积分在物理中的应用
定积分在物理中的应用
二、平均值和均方差
本节
知识
引入
1.平均值
本节
目的
与要
求
本节 问题：求气温在一昼夜间的平均温度.
重点
与难
点 入手点：连续函数 f ( x) 在区间[a,b]上的平均值.
本节
复习
指导 讨论思想：分割、求和、取极限.
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定积分在物理中的应用
（1）分割：把区间[a,b]分成n 等分

Im2R
2
2
sin2td (t )
0

Im2R
4
2
0
(1
cos 2t)d(t)

Im2R
4

t

sin 2
2
t

2
0

Im2R 2 4

Im2R 2
ImUm . 2
(Um Im R)
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率
等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
定积分在物理中的应用
解 取r 为积分变量，
本节
知识 引入
r [a,b],
q
•o
a•
1
•r•
• r
•

• dr
•b
r
本节 目的 与要 求
取任一小区间[r, r dr],
功元素
dw

kq r2
dr,
本节 重点 与难 点
所求功为 w

b
a
krq2 dr

kq
1b r a

1.7.2《定积分的简单应用 --在物理中的应用》
本节知识 引入
本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习
指导
主 页 后退 目录 退 出
定积分
定积分在物理中的应用
I. 变力沿直线所作的功 II.液体的静压力 III.平均值和均方根
定积分在物理中的应用
I. 变力沿直线所作的功
本节 一、预备知识
知识 引入
定积分在物理中的应用
例 4 计算纯电阻电路中正弦交流电i Im sint 在
本节 知识
一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）.
引入
本节 目的
解
设电阻为 R ， 则电路中的电压为
与要
求 本节
u iR Im Rsint,
重点
与难 点
功率 p ui Im2Rsin2 t,
本节
桶内装1m深的水，问要将桶内水全部吸出要作多
主
页
后退 目录
退 出
少功？
定积分在物理中的应用
4.有一上口直径20m，深为15m的圆锥形水池，
本节 其中盛满了水，若将水全部抽尽，需作多少功？
知识
引入
本节
5.有一闸门，它的形状
1m
目的
与要 求
和尺寸如图所示。水面
本节
3m
重点 与难
门顶1m，求闸门上所受
点
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
小矩形片的压力元素为 dP 2gx R2 x2dx 端面上所受的压力
P
R
2gx
R2 x2dx
0
R
g
R2 x2d(R2 x2)
0
g32
R2

目的 与要
求 的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位
本节
重点 与难
正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，
点
本节 复习 指导
那么电场对它的作用力的大小为
F

k
q r2
（k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从 r a
主 页 后退 目录
处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F
退
出 对它所作的功．
1 b
y
f ( x)dx;
ba a
主 页
函数的均方根（有效值）
1 b f 2( x)dx.
ba a
后退 目录
退 出
（理解平均功率、电流的有效值等概念）
定积分在物理中的应用
练习题
本节 知识
1. 把一个带 q 电量的点电荷放在r 轴上
引入
本节 坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围